PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI GIẢNG SỐ 4: PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI GIẢNG SỐ 4: PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG

KHÔNG GIAN

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M cho trước và song song với đường thẳng D

Phương pháp:

· d/ /D Þuuur uurd =uD

· Đường thẳng d : Qua M, có vectơ chỉ phương uuur uurd =uD

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d , qua M(1; 2;3) và song song với đường thẳng D đi qua 2 điểm A(1;3;5) và (2;1; 1)B -

Giải

Ta có: uuurAB=(1; 2; 6- - Þ) uuurD =(1; 2; 6- - =) uuurd

Đường thẳng d qua M(1; 2;3), có VTCP (1; 2; 6)

d

uuur=

x- = y- =z

Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC có A(1; 0; 2 ,) (B -1; 2;3 ,) (C 4; 2;1- ) Viết phương trình chính tắc của d trong các trường hợp sau:

1) Chứa cạnh AB cua tam giác ABC

2) Qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với cạnh BC

Đáp số : 1) : 1 2

4

2 3

x

d

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua A(-2;1;3) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau ( )P :x+2y+ + = và z 4 0 ( )Q : 2x+ + + = y z 2 0

Đáp số : : 2 1 3

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M cho trước và vuông góc

với mặt phẳng ( )P cho trước

Phương pháp:

· Vì d ^( )P nên chọn uuur uurd =n P

· d qua M , có vectơ chỉ phương uuur uurd =n P

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(1; 2;1 ;- ) (B 4; 0; 2 ;) (C 2; 1; 4- - Viết phương trình d đi qua gốc ) tọa độ và vuông góc với mặt phẳng (ABC )

Giải

Ta có : uuurAB=(3; 2;1)

; uuurAC=(1;1; 5- )

; uuur uuurABÙAC = -( 11;16;1)

Chọn nr= -( 11;16;1)

là VTPT của mặt phẳng (ABC )

Vì d^(ABC) nên uuur rd = = -n ( 11;16;1)

Đường thẳng d qua điểm O(0; 0;0) , có VTCP ( 11;16;1)

d

uuur=

nên :

Bài tập: Cho A(2;1;1) và mặt phẳng ( )P : 2x+ - = y z 0

1) Viết phương trình d qua A và vuông góc với ( )P

2) Tìm tọa độ H là giao điểm của d và ( )P Tính khoảng cách từ A đến ( )P

Đáp số : 1) : 2 1 1

; 2) 6

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt ( )P và ( )Q

Phương pháp:

· Tìm 1 điểm chung của ( )P và ( )Q

· uuur uur uurd =n P Ùn Q

Ví dụ: Viết phương trình d là giao tuyến của hai mặt ( )P : 2x+ -y 3z- =8 0 và ( )Q : 3x+4y-3z- = 11 0

Giải

Ta có : nuurP =(2;1; 3- )

; nuurQ =(3; 4; 3- )

; nuur uurPÙn Q =(9; 3; 5- )

, chọn uuurd =(9; 3;5- )

Cho

3

3

x

y

= ì

2 3; 0;

3

è ø Î Đường thẳng d qua d 3; 0; 2

3

Aæ - ö

có VTCP uuurd =(9; 3;5- )

nên:

2

:

z

d

+

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của ( )P và ( )Q trong các trường hợp

sau:

1) ( )P : 3x-2y+ = và 11 0 ( )Q : 4x-3z- = 7 0

2) ( )P :x+ + = và y 5 0 ( )Q : 3x+ + = y 7 0

3) ( )P :z+ = và 2 0 ( )Q :y- = 4 0

Đáp số: 1)

11 2

:

d y t

ì = - + ï

ï

= í

î

; 2)

1

x

d y

z t

= -ì

ï = -í

ï = î

; 3) : 4

2

x t

d y z

= ì

ï = í

ï = -î

Bài toán 4: Phương trình các đường đặc biệt trong tam giác

4.1: Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác ABC

Phương pháp:

· Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC

· Viết phương trình qua 2 điểm A và M

4.2: Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC

Phương pháp:

· Tìm tọa độ điểm H dựa vào tính chất: AH BC

BH k BC

ï í

= ïî

uuur uuur uuur uuur

· Viết phương trình qua A và H

Ví dụ : Cho tam giác ABC có A(1;1; 2 ,) (B -2;3;1 ,) (C 3; 1; 4- ) Viết phương trình các đường thẳng chứa trung tuyến và đường cao vẽ từ B của tam giác

Giải

ü Phương trình đường trung tuyến BM:

Gọi M là trung điểm của AC, suy ra M(2;0;3), BMuuuur=(4; 3;1- )

BM qua B(-2;3;1),

có VTCP ur =(4; 3;1- )

x+ = y- = z

ü Phương trình đường cao BH:

Gọi H x y z là chân đường cao kẻ từ B của tam giac ABC ( ; ; )

Ta có: uuurBH =(x+2;y-3;z-1 ;) uuurAC=(2; 2; 2- )

.Vì BH ^AC ÛBH ACuuur uuur =0

4 0

x y z

Û - + + = (1) Mặt khác H thuộc ÁC nên AHuuur

cùng phương với uuurAC

x- y- z

-2 0

1 0

x y

x z

+ - = ì

Û í - + =

( ) ( )

2

3 Giải hệ pt ( ) ( ) ( )1 ; 2 ; 3 ÛH(-1;3; 0)

(1; 0; 1)

-uuur

BH qua B(-2;3;1), có VTCP ur=(1; 0; 1- ) 2

1

= - + ì

ï

ï = -î

Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC có A(11; 4; 3 ,- ) (B 2;3;1 ;) (C 4; 4; 1- Viết phương trình đường trung ) tuyến AM, đường cao AH

Đáp số:

11 16

3 6

= + ì

í

ï = -î

;

11 3

3 2

= + ì

í

ï = - + î

Bài 2: Cho tam giác ABC có A(1;3; 4 ,) (B 2; 2;0) , phương trình trung tuyến

1

4

= +

ì

í

ï =

-î

Viết phương trình cạnh BC, AC

Đáp số: : 2 2

-Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d d1, 2 (d d1, 2 không cùng phương)

Phương pháp:

ì

Û

^

r ur

r uur nên chọn ur ur uur= Ùu1 u2

là VTCP của d

· d qua điểm A, có VTCP ur

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1;3), vuông goác với hai đường thẳng

1

:

Giải

Ta có : uur1=(1; 1; 2 ;- ) uuur2 =(2;1;1)

; Chọn ur ur uur= Ùu1 u2 = -( 3;3;3)

là VTCP của đường thẳng d Mặt khác d đi qua A(1;1;3) nên d có phương trình là : 1 1 3

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua A(2; 1;1- ) và vuông góc với hai đường thẳng sau

1

:

2

0

z

= + ì

í

ï = î

Đáp số: : 2 1 1

-

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d1 và cắt d2(AÏd2)

Phương pháp:

· Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc vớ i d1

· Tìm giao điểm B của d2 với (P)

· Phương trình d là phương trình qua 2 điểm A và B

Ví dụ: Viết phương trình d qua A(1;1;1), vuông góc với 1: 1 1

và cắt đường thẳng 2:

Giải

ü Gọi (P) là mặt phẳng qua A(1;1;1) vuông góc với 1: 1 1

Ta có : (P) là mặt phẳng qua A(1;1;1) có VTPT nr=(1; 2;1- )Þ( )P :x-2y+ = Gọi z 0

B là giao điểm của d2 với mặt phẳng ( )P ÞB(0;0; 0)

ü uuurAB= - - -( 1; 1; 1)

Đường thẳng d qua A(1;1;1) có VTCP ur=(1;1;1)

nên đường

thẳng d có phương trình : 1 1 1

-Bài tập: Viết phương trình d qua A(1; 2;3), vuông góc với 1: 2 2 3

Đáp số: : 1 2 3

-Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt hai đường thẳng d d1; 2

Phương pháp:

ü Gọi MÎd N1; Î d2

ü Vì A, M, N thẳng hàng nên AMuuuur=k ANuuur

từ đó suy ra toan độ M, N

ü Phương trình d qua 2 điểm A,M hoặc A, N

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1;1), cắt cả hai đường d d có phương trình 1; 2 1

:

Giải

ü Gọi M t( ;1 2 ;1- t +t) và N u u u( ; 2 ; 2 ) thuộc d d1; 2 Ta có : uuuurAM = - -(t 1; 2 ;t t)

; ( 1; 2 1; 2 1)

AN = u- u- u

-uuur

ü Vì A, M, N thẳng hàng nên AMuuuur=k ANuuur ( )

0

t

t k u

î ( 1; 0; 0)

AM

Þuuuur=

- Suy ra d có phương trình

1

1

z

= -ì

í

ï = î

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1;1- ), cắt cả hai đường d d có phương 1; 2 trình 1

1 2

3

= +

ì

í

ï =

-î

Đáp số: : 1 1 1

-Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng d qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng D

Phương pháp:

ü Gọi M Î D ÞuuuurAM

ü Vì AM ^ D Ûuuuur uurAM u D =0

M

Þ

ü Phương trình d qua hai điểm A và M

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A(- -4; 2; 4) , cắt và vuông góc với đường thẳng

3 2

1 4

= - +

ì

ï

ï = - +

î

Giải

Gọi M thuộc D ÞM(- +3 2 ;1t - - +t; 1 4t) ÞuuuurAM = +(1 2 ;3t - - +t; 5 4 ;t u) uurD =(2; 1; 4- )

Ta có : MA^ D Ûuuuur uurAM u D = Û = - Þ0 t 1 uuuurAM =(3; 2; 1- )

Đường thẳng d qua A(- -4; 2; 4), có VTCP ur=(3; 2; 1- )

-Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua A(- -4; 2; 4) , cắt và vuông góc với đường thẳng

:

x- y z+

-

Bài toán 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

1; 2

d d

Phương pháp:

ü Gọi A, B thuộc d d1; 2 (theo 2 tham số khác nhau)

ì

Û

=

uuur ur uuur uur , từ đó tìm được A, B

ü Phương trình d là phương trình AB

Ví dụ: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d d1; 2 biết: 1

:

:

Giải

Gọi A(3+ - -t; 1 t; 4+ ;t) B(2 2 ; 4+ u - - +u; 3 4u)Îd d1; 2 ,uuurAB= - +( 1 2u t- ;5- + - +u t; 7 4u-t)

Ta có: ( )

1;1; 2

A

uuur ur uuur uur

Đường thẳng d qua A(1;1; 2), có VTCP ur =(3; 2; 1- )

Bài tập: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d d1; 2 biết:

1

:

-

Đáp số:

d

-Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng d song song với D và cắt cả hai đường d d1; 2

Phương pháp:

ü Gọi M, N thuộc d d1; 2 ÞMNuuuur

ü Vì MN / /D ÞMNuuuur=kuuurD

ü Phương trình d qua M hoặc N có VTCP uuurD

x+ y- z+

- và cắt cả hai

Giải

Gọi M(1 3 ; 1+ t - +t; 2 2 ;+ t) (N - +2 2 ;3 4 ;u + u u) thuộc hai đường thẳng d d1; 2

(2 3 3; 4 4; 2 2)

MN = u- -t u t- + u- -t

uuuur

và uuurD =(3; 4;1- )

Vì MN song song với D nên ta có:

4

3

t

k

D

ì = -ï

- - = ì

ï ï

-î

uuuur uur

Đường thẳng d qua N(0; 1; 1- - , )

có VTCP ur=(3; 4;1)

- Phương trình đường thẳng d: 1 1

x = y+ = z+

Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d song song với : 1 5

x y- z

- và cắt cả hai

Đáp số:

d

-Bài toán 11: Viết phương trình d nằm trong (P) cắt cả hai đường thẳng d d1; 2

Phương pháp:

ü Xác định A= Çd1 ( )P B; =d2Ç( )P

ü Phương trinh AB chính là phương trình d

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )P : 2x+ + - = và cắt cả y z 4 0

-

Giải

Gọi A(3 2 ; 2+ t +t;6 5+ t)Îd B1; (6 3 ; 2 ;1+ u u + Îu) d2 Vì A và B cùng thuộc (P) nên ta có:

1;1;1

2; 3;1

A

AB

ì

uuur

Đường thẳng d qua (1;1;1)

A và có VTCP ur=(2; 3;1- )

-Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )P :y+2z= và cắt cả hai 0 đường 1

1 :

4

z

=

-ì

ï =

í

ï =

î

và 2

2

1

z

= -ì

ï = + í

ï = î

-Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với đường thẳng D

Phương pháp:

ü Ta có: d ( )P u n P

ì

^ D

r uur

r uur Chọn ur uur uur=n PÙuD

ü Gọi M = Ç D Þd M = D Ç( )P

ü Viết phương trình d qua M có VTCP ur

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )P :x+ - - = cắt và y z 1 0

x- y- z

Giải

Ta có: nuurP =(1;1; 1- )

;uuurD =(1; 2; 2)

vì d ( )P u n P

ì

^ D

r uur

r uur Chọn ur uur uur=n PÙuD =(4; 3;1- )

Gọi M

là giao điểm của d với ( )P tọa độ M là nghiệm của hệ:

1

0

1 2

1;1;1

1 2

1 0

t

M

x y z

= + ì

ïî ï

ï + - - = î

Đường thẳng d qua M(1;1;1), có VTCP ur=(4; 3;1- )

-Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )P : 2x+ -y 2z+ = cắt và 9 0

x- y+ z

Đáp số: : 1 ,

4

x t

= ì

í

ï = +

î

Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , song song với mặt phẳng (P)

và vuông góc với đường thẳng D

Phương pháp:

ü Ta có: d/ /( )P u n P

ì

^ D

r uur

r uur Chọn ur uur uur=n PÙuD

ü Đường thẳng d qua A có VTCP ur uur uur=n PÙuD

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;5) , song song với mặt phẳng

( )P :x+ - - = và vuông góc với đường thẳng y z 1 0 : 1 1 1

x- y- z

Giải

Ta có: nuurP =(1;1; 1- )

;uuurD =(1; 2; 2)

vì: d ( )P u n P

ì

^ D

r uur

r uur Chọur uur uur=n PÙuD =(4; 3;1- )

.Đường

thẳng d qua A(1;1;5), có VTCP ur uur uur=n PÙuD =(4; 3;1- )

-Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1; 2- , song song với mặt phẳng ) ( )P :x- - - = và vuông góc với đường thẳng y z 1 0 : 1 1 2

x- y- z+

-

Bài toán 14: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P và cắt hai đường d d1; 2 chéo nhau

Phương pháp:

ü Giả sử A= Çd d B1; = Çd d2ÞuuurAB

ü Vì AB^( )P ÞuuurAB=k nuurPÞ A B,

ü Phương trình d qua A hoặc B có dÇ có VTCP d1 ur uur=n P

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P : 7x+ -y 4z= và cắt cả 0

hai đường thẳng 1: 1 2

1 2

3

z

= - + ì

í

ï = î

Giải

Giả sử: A= Çd d B1; = Çd d2ÞA(2 ;1u - - +u; 2 u) (;B - +1 2 ;1t +t;3) Ta có :

(2 2 1; ;5 )

AB= t- u- t+u -u

uuur

; VTPT của (P): nuurP =(7;1; 4)

vì AB^( )P nên ABuuur

cùng phương với nuurP 2 2 1 5

2; 1

- Þ A(2; 0; 1 ;- ) (B - -5; 1;3) Vậy đường thẳng

d có phương trình là : 2 1

-

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P : 3x- + - = và cắt y z 1 0

cả hai đường thẳng 1: 1 1

Đáp số:

7 3 13 14

13 14 13

ì = +

ï

ï

ï = - Î

í

ï

ï = +

ïî

Bài toán 15: Viết phương trình đường đường thẳng d qua điểm A, song song với mặt phẳng

( )P và cắt đường thẳng D

Phương pháp:

ü Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua A song song với ( )P

ü Gọi B= D Ç( )Q

ü Phương trình d là phương trình AB

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua A(3; 2; 4- song song với mặt phẳng )

( )P : 3x-2y-3z- và cắt 7 : 2 4 1

x- y+ z

Giải

Mặt phẳng ( )Q qua A song song với ( )P Þ nuurQ =(3; 2; 3- - )

là VTPT của ( )Q Þ phương trình ( )Q : 3x-2y-3z-17= 0

Gọi BÎ D Þ B(2 3 ; 4 2 ;1 2+ t - - t + t), mà BÎ( )Q Þ3 2 3( + t) (- - -2 4 2t)-3(1 2 ) 17+ t - = 0 6

7

t

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua O(0;0; 0) song song với mặt phẳng

( )P :x-4y+5z- = và cắt 1 0 : 1 2

x y- z+

Đáp số: :

28 27 16

Bài toán 16: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (P) (d không vuông góc với ( )P )

Phương pháp:

· Nếu D/ / P( ) thì:

ü Chọn điểm M thuộc D Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên ( )P

ü d qua H và có VTCP là uuurD

· Nếu d cắt ( )P thì:

ü Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa D và vuông góc với ( )P

ü Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )Q và ( )P

x- y+ z

( )P :x-3y+ - = z 4 0

Giải

Nhận xét : D cắt ( )P

Gọi ( )Q là mặt phẳng chứa D và vuông góc với mặt phẳng (P) ( )Q qua M(2; 1; 2- ) có VTPT ( 5;1;8)

n=

-r

( )Q : 5x y 8z 5

d là giao tuyến của ( ) ( )P ; Q : 5 8 5 0

d

x y z

ì

-Bài tập: Cho đường thẳng : 8 3

và mặt phẳng ( )P đi qua 3 điểm A(7;0; 0), (0;7; 0)

B , (0; 0; 7)C Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên ( )P

Đáp số:

4

7 8

x

= ì

í

ï =

-î

Bài toán 17: Viết phương trình hình chiếu song song của d1 lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu d2(d1¹d2)

Phương pháp:

ü Gọi (Q) là mặt phẳng: ( )

( )

2

1

/ /

Q

ïî

uur ur uur

ü Phương trình d là giao tuyến của ( )P và ( )Q

d = - = lên mặt phẳng ( )P :x-2y-2z- = theo phương chiếu 1 0 2: 1 2

Giải

Gọi (Q) là mặt phẳng: ( )

( )

2

1

/ /

(0;1; 2)

Q

í É ïî

uur ur uur

( )Q :y 2z 1 0

d là giao tuyến của ( )P và ( )Q : 2 2 1 0

d

ì

Bài tập: Viết phương trình hình chiếu song song của 1: 1 3 3

lên mặt phẳng ( )P :x-3y- + = theo phương chiếu z 8 0 2: 1 3 1

-Đáp số:

:

z d

Bài toán 18: Viết phương trình đường thẳng d sử dụng công thức về góc

Phương pháp:

Gọi a là góc của d và D ta có os .

d

d

u u c

u u

D

=

uur uur uur uur

Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d qua A(1;1; 2) và vuông góc với : 1 2

x- y- z

tạo với trục Oz 1 góc a sao cho:

1) a =45 ;o

2) a nhỏ nhất

Giải

Giả sử: uuurd =(a b c; ; )

với a2+b2+c2> là VTCP của d Vì d ^ D nên 0 u uuur uurd D = Û0

2 2

b= - -a c Ta có ·

a

1

2

c

-ë

Với a= -c Chọn c= Þ = -1 a 1;b=0

1

2

= -ì ï

ï = + î

Với 5a= - Chọn 3c

1 3

2 5

= -ì ï

ï = + î

2) Ta có :

2 2

os

c C

a =

Với c= Þ0 Cosa =90o

Với c¹ , đặt 0 t a

c

= ta có 2

2 2

Cos

5

t

Với 0o £ £a 90o thì a nhỏ

nhất khi Cosa lớn nhất 2

os

a t

c

-Û = Û = - Chọn c=5Þ = -a 4;b= - 2

Bài tập:

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc lần lượt là 60o và 45o

Đáp số:

1

3

= + ì

ï

í

ï = ±

î

D = = và mặt phẳng ( )P :x- + - = Viết phương y z 5 0 trình đường thẳng d qua A(3; 1;1- ) vuông góc với ( )P và tạo với đường thẳng D một góc 45o

Đáp số:

3

1

z

= + ì

ï = - +

í

ï =

î

hoặc

3 7

1 15

= + ì

í

ï = -î

Bài toán 19: Viết phương trình đường thẳng sử dụng công thức về khoảng cách

Phương pháp: Đường thẳngD qua điểm M, và có VTCP là ur

khi đó khoảng cách từ A đến D

là: d(A; ) u AM

u

D

Ù

=

r uuuur

r