GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

GIÁI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 1 PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : <1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT <2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTPT n  =(A;B;C) A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0  Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và // mp (Q) - Từ ptmp(Q)  VTPT n  Q = (A;B;C) - Vì (P) // (Q)  VTPT n  P = n  Q = (A;B;C) - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n  P Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và vuông góc với đường thẳng d - Từ (d)  VTCP u  d = (A;B;C) - Vì (P) vuông góc với (d)  Chọn VTPT n  P = u  d =(A;B;C)  Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n  P . Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R) - Từ pt mp (Q) và (R)  VTPT n  Q ; VTPT n  R - Vì (P)  (Q) và  (R)  VTPT n  P  Q n  và n  P  n  R  Chọn n  P = [ n  Q; n  R ] - Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n  P = [ n  Q; n  R ] Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng - Tính AB  , AC  và a  = [ AB  , AC  ] - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n  P = a  = [ AB  , AC  ] Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q) - Tính AB  , vtpt n  Q và tính [ AB  , n  Q ] - Vì A, B  (P) ; (Q)  (P) nên chọn n  P =[ AB  , n  Q ] - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d) - Tính VTPT n  Q của mp (Q); VTCP u  d của đường thẳng (d). - Tính [ u  d , n  Q ] - Vì (P)  (Q) và // (d) nên VTPT n  P = [ u  d , n  Q ] - Từ đó viết được PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. - Tình trung điểm I của ABvà AB  - Mp (P) đi qua I và nhận AB  làm VTPT. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A - Tính VTCP u  d của đường thẳng (d) và tìm điểm M  (d) - Tính AM  và [ u  d , AM  ] - Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n  P =[ u  d , AM  ]. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  ) - Từ (d)  VTCP u  d và điểm M  (d) - Từ (  )  VTCP u   và tính [ u  d , u   ] - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n  = [ u  d , u   ]. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q) - Từ (d)  VTCP u  d và điểm M  (d) - Từ (Q)  VTPT n  Q và tính [ u  d , n  Q ] Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 2 - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n  =[ u  d , n  Q ]. Dạng 12: Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt của mp (Q) , trong đó D  D Q ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h - Gọi VTPT của mp (P) là n  P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 - Từ (d)  VTCP u  d và điểm M  (d) - Vì (d) nằm trong (P)  u  d. n  P =0 (1) - PT mp (p) đi qua M: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   90 0 - Gọi VTPT của mp (P) là n  P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 - Từ (d)  VTCP u  d và điểm M  (d) - Vì d  (P)  u  d. n  P =0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một góc   90 0 - Gọi VTPT của mp (P) là n  P = (A;B;C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 - Từ (d)  VTCP u  d và điểm M  (d) - Vì d  (P)  u  d. n  P =0 (1) - Tính sin ((P),(  )) (2) - Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất - Gọi H là hình chiếu  của A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max  AK = AH  K  H - Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  D Q ). - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R  tìm được D' - Từ đó ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r  và diện tích S = 2 r  tính r. - d(I,(P)) = 2 2 R r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  D Q ) - Suy ra d (I,(P)) (2)  Giải hệ (1), (2) tìm được D'  viết được pt (P). Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Gọi VTPT của mp (P) là n  P = (A;B;C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 3 - Từ (d)  VTCP u  d và điểm M  (d) - d  (P)  u  d. n  P =0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r  và diện tích S = 2 r  tính r. - Vì d  (P)  u  d. n  P =0 (1) - Gọi VTPT của mp (P) là n  P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0, chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Bán kính r = 2 2 ( ,( ))R d I p để r min  d(I,(P)) max - Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK  Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max  AK = AH  K  H - PT mp(P) đi qua H và nhận IH  làm VTPT PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTCP u  =(a,b,c) PP: phương trình tham số của d là (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct            với t  R * Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0 x x y y z z a b c      * Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B - Tính AB  - Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB  làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (  ) - Từ pt(  )  VTCP u   - Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u   làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P) - Tìm VTPT của mp(P) là n  P - Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u  d = n  P Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d 1 ),(d 2 ) - Từ (d 1 ),(d 2 ) 1 2 1 2 , à u à uVTCPd d l v   => tính [ 1 u  , 2 u  ]. - Vì (d)  (d 1 ),(d 2 ) nên có VTCP u  d= [ 1 u  , 2 u  ] - Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u  d= [ 1 u  , 2 u  ] Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P):Ax + By + Cz + D = 0 Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 4 (Q):A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 - Từ (P) và (Q)  n  P , n  Q - Tính [ n  P , n  Q ] - Xét hệ ' ' ' ' Ax + By + Cz +D =0 A 0x B y C z D          . Chọn một nghiệm (x 0 ; y 0 ;z 0 ) từ đó  M  d - Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u  d =[ n  P , n  Q ]. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d ' = (P)  (Q) Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d' đi qua M, H Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2 : Cách 1 *Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d 1 * Tìm B = 2 ( ) d   * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d 1 Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d 2 Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d 1 và cắt cả d 2 , d 3 - Viết phương trình mp (P) song song d 1 và chứa d 2 - Viết phương trình mp (Q) song song d 1 và chứa d 3 - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d 1 và cắt d 2 Cách 1 : - Viết pt mp ( )  qua A và vuông góc d 1 - Tìm giao điểm B = 2 ( ) d   - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( )  qua A và vuông góc d 1 * Viết pt mp ( )  qua A và chứa d 1 * Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( )  , cắt đường thẳng d' Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )  - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )  * Tìm B = ( ) 'P d * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2 cho trước. - Tìm giao điểm A=d 1 ( )P và B=d 2 ( )P - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'. * Tìm giao điểm I' = d' ( )P * Tìm VTCP u  của d' và VTPT n  của (P) và tính [u,n]v     * Viết ptđt d qua I và có VTCP v  Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 : - Gọi 0 0 0 1 ( , , )M x at y bt z ct d    , Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 5 và ' ' ' 0 0 0 2 ( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d    là các chân đường vuông góc chung của d 1 , d 2 - Ta có hệ 1 1 2 2 . 0 , ' . 0 MN d MN u t t MN d MN u                   . - Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d 1 ,d 2 . * Viết ptmp(Q) chứa d 1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d 2 và vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d 1 . - Viết pt mp ( )  qua A và vuông góc d 1 - Tìm giao điểm B = 1 ( ) d   - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d 1 ,tạo với d 2 góc 0 0 (0 ;90 )   (= 30 0 , 45 0 , 60 0 ) * Gọi VTCP của d là 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c     * Vì 1 1 . 0d d u u     =>phương trình (1) Vì 2 2 . . u u cos u u       => phương trình (2) Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d. ( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc 0 0 (0 ;90 )   thì có . . P P u u sin u u       ) Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d 1 góc 0 0 (0 ;90 )   . - Gọi VTCP của d là 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c     - Vì d//(P) nên . 0 p u n    => phương trình (1). - Vì 1 1 1 . ( , ) . u u cos d d cos u u        nên có phương trình (2). - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c  Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d 1 góc 0 0 (0 ;90 )   . - Gọi VTCP của d là 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c     - Vì d  (P) nên . 0 p u n    => phương trình (1). - Vì 1 1 1 . ( , ) . u u cos d d cos u u        nên có phương trình (2). - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c  Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d 1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 6 * Gọi VTCP của d là 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c     * Vì d 1 d nên 1 . 0u n    => phương trình (1). * Vì [ , ] ( , ) u u AM d M d h h      => phương trình (2). *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c  PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M có véc tơ pháp tuyến n  Ví dụ : Lập mặt phẳng P a) Đi qua điểm   1, 2,4M  và song song với mặt phẳng : 2x+3y +5z-10=0 b) Đi qua điểm M( 0,2,-1 ) và vuông góc với đường thẳng d: 1 2 1 1 3 2 x y z      c) Đi qua M(1,0,-4 ) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (   ): 1 0 : 2 3 7 0x y z x y z           Dạng 2: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M ,có cặp vec tơ chỉ phương Ví dụ 1. Lập mặt phẳng P đi qua 3 điểm A(5,1,3), B(1,6,2), C(5,0,4) 2. Lập mặt phẳng P đi qua điểm M và đồng thời // với 2 đường thẳng chéo nhau cho sẵn Ví dụ :Cho 2 đường thẳng 1 2 8 3 1 1 : 5 2 , : 7 2 3 8 x t x y z d y t d z t                 a) Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau b) Viét phương trình mặt phẳng P đi qua gốc toạ đọ O,// cả 1 2 ,d d 3. Lập mặt phẳng P chứa một đường thẳng và // với một đường thẳng khác (hai đường thẳng này chéo nhau ) Ví dụ :(ĐHKA-2002) Cho  là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0 và (Q): x+2y-2z+4=0 , đường thẳng: ' : 1 2 1 2 x t y t t R z t             a) Lập mặt phẳng (R) ,chứa  và //' b) Tìm điểm H thuộc  sao cho MH đạt GTNN ,với M(2,1,4) Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 7 Ví dụ 2: (ĐHKB-2006) Trong không gian OXYZ,cho hai đường thẳng 1 2 1 1 1 : , : 1 2 2 1 1 2 x t x y z d d y t t R z t                   1. Viết phương trình mặt phẳng qua A(0,1,2 ),đồng thời // với 1 2 ,d d 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho 3 điểm A,M,N thẳng hàng Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình : 2 1 1 1 2 3 x y z     và mặt phẳng P có phương trình : x- y +3z +2 =0 1. Tìm toạ độ giao điểm M của d và P 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P 4. Lập mặt phẳng chứa hai dường thẳng // hoặc cắt nhau: Ví dụ 1:( Bài6-Ôn chương III-tr110 -HHKG12NC ) Cho hai đường thẳng d : 7 3 1 2 5 2 2 ': 2 3 4 1 2 x t x y z y t t R d z t                   a) Chứng minh d và d' đồng phẳng .Viết phương trình mặt phẳng P chứa chúng b) Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi P và 3 mặt phẳng toạ độ c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên Ví dụ 2.(ĐHKD-2005) TRong Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 1 2 1 : : 3 1 2 x y z d d       là giao tuyến của hai mặt phẳng :x+y-z-2=0,và x+3y-12=0 a) Chứng minh d1,d2 // nhau .Viết phương trình P chứa hai đường thẳng d1,d2 b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lượt tại A,B.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ ) 5. Lập mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đương thẳng cho sẵn Ví dụ 1 (Bài 4.tr110-HH12NC) Cho điểm A(2,3,1) và hai đường thẳng : 1 2 2 5 2 : 2 : 3 1 1 2 x t x y z d y t t R d z t                 a) Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và d1 b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua A và d2 Ví dụ 2. Trong Oxyz cho điểm M(5,2,-3) và mặt phẳng P : 2x+2y- z+1 = 0 a) Gọi M1,là hình chiếu vuông góc Mlên mặt phẳng P.Xác định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1 b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm M và chứa đường thẳng d : 1 1 5 2 1 6 x y z      6. Lập mặt phẳng P,tiếp xúc với mặt cầu Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 8 Ví dụ (Bài 87-tr137-BTHH12NC ) Trong Oxyz cho mặt cầu S có phương trình : 2 2 2 10 2 26 113 0x y z x y z       Và hai đường thẳng d 7 3 5 1 13 ': 1 2 2 3 2 8 x t x y z d y t t R z                  a) Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc S và vuông góc với d b) Viết phương trình mặt phẳng Q tiếp xúc S và // với cả d và d' Ví dụ 2. (Bài 9-tr111-HH12NC ) Cho mặt cầu S có phương trình : 2 2 2 2 4 6 0x y z x y z      1.Tìm toạ độ tâm ,bán kính mặt cầu 2.Tuỳ theo giá trị k ,xét vị trí tương đối của cầu S và mặt phẳng P : x+y-z+k=0 3. Mặt cầu S cắt 3 trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C khác với gốc O.Viết phương trình mặt phẳng ABC 4. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B 5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S và // với mặt phẳng Q có phương trình : 4x+3y-12z-1=0 ĐƯỜNG THẲNG . -Trước khi phân dạng lập phương trình đường thẳng các em cần chú ý đến khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng : Là véc tơ có phương song song với đường thẳng -Vì vậy véc tơ này có thể là véc tơ chỉ phương của một đường thẳng khác song song với đường thẳng cần lập , hoặc là véc tơ pháp tuyến của một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cần lập . -Ngoài ra còn chú ý đến các quan hệ vuông góc , quan hệ song song của đường thẳng với đường thẳng , quan hệ vuông góc , song song của đường thẳng với mặt phẳng trong không gian . - Do đó trước khi tiến hành các bước lập phương trình đường thẳng chúng ta nên vẽ sơ bộ mô phỏng một hình vẽ ( không đòi hỏi phải chính xác ) , để từ hình vẽ ta tìm ra cách giải hợp lý . 1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ chỉ phương   ; ;u a b c  . Ví dụ 1: ( Bài 6-tr89-HH12CBXB-2007) Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau : a/ d đi qua M(5;4;1) và có véc tơ chỉ phương   2; 3;1a    . b/ d đi qua A(2;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng   : 5 0x y z      . c/ d đi qua B(2;0;-3) và song song với d’: 1 2 3 3 4 x t y t z t            . d/ d đi qua hai điểm P(1;2;3) và Q(5;4;4) . 2. Lập đường thẳng d đi qua   0 0 0 ; ;M x y z , đồng thời cắt hai đường thẳng chéo nhau (cho sẵn : 1 2 ,d d ). Ví dụ 1. .(Bài 29-tr103-HH12NC). Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 9 LËp đường th¼ng d ®i qua A(1,-1,1) vµ c¾t hai đường th¼ng 1 2 1 2 ' : : 1 2 ' ' 3 2 ' x t x t d y t t R d y t t R z t z t                        Ví dụ 2( HVKTQS-2000) Cho hai đường thẳng : 2 4 8 6 10 : ; ': 1 1 2 2 1 1 x y z x y z d d            . Viết phương trình đường thẳng (m) song song với trục Ox và cắt d với d’ tại M và N . Tìm tọa độ M,N . Ví dụ 3. Cho đường thẳng   3 : 1 2 4 x t y t t R z              và đường thẳng ' là giao tuyến của hai mặt phẳng : x-3y+z=0 và x+y-z+4=0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;2) đồng thới cắt  và ' 3. Lập d song song với 1 d đồng thới cắt 2 3 ,d d cho sẵn . Ví dụ 1: Cho 1 1 : 2 4 1 x d y t z t            , 2 1 2 2 : 1 4 3 x y z d      và 3 4 5 ' : 7 9 ' ' x t d y t z t             . Lập phương trình đường thẳng d song song với 1 d đồng thới cắt 2 3 ,d d . Ví dụ 2. Cho : 1 1 6 : 1 2 3 x y z d     và 2 1 : 2 3 x t d y t z t             a/ Chứng tỏ 1 2 ,d d chéo nhau b/ Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Oz đồng thời cắt cả 1 2 ,d d Ví dụ 3. ( ĐH-KA-2007) Cho đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d      và 2 1 2 : 1 3 x t d y t z            . a/ Chứng tỏ 1 2 ,d d chéo nhau . b/ Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q): 7x+y-4z=0 và cắt hai đường thẳng 1 2 ,d d 4. Lập đường thẳng d đi qua   0 0 0 ; ;M y z , vuông góc với 1 d và cắt 2 d ( với 1 2 ,d d chéo nhau cho sẵn ) Ví dụ 1.(ĐH-KD-2006). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : 1 2 2 3 : 2 1 1 x y z d       , 2 1 1 1 : 1 2 1 x y z d       Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200 10 a/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng 1 d . b/ Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc với 1 d và cắt 2 d . Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai đường thẳng : 1 1 2 : 3 1 1 x y z d     , 2 : 1 2 1 x t d y t z t           và điểm M(3;2;1) . a/ Lập phương trình đường thẳng d đi qua M vuông góc với 1 d và cắt 2 d b/ Tìm tọa độ điểm A thuộc 1 d và điểm B thuộc 2 d sao cho M,A,B thẳng hàng . Ví dụ 3.(ĐH-Dược-98). Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm A(0;1;4) và hai đường thẳng 1 1 2 : 3 1 1 x y z d     , 2 1 : 1 x d y t z t           . Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với 1 d và cắt 2 d . 5. Lập đường thẳng d đi qua M , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d’ ( cho sẵn ) Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;-2) vuông góc và cắt đường thẳng d’: x=t;y=1-t;z=2t . . Ví dụ 2. (ĐH-KB-2004) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm A(-4;2;4) và đường thẳng d có phương trình : 3 2 1 1 4 x t y t t R z t               . Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A vuông góc và cắt d . . Ví dụ 3.(ĐH- Thương mại -2001) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2;-1;0) vuông góc và cắt đường thẳng d’ có phương trình : 5x 2 0 2z 1 0 y z x y            . 6.Lập phương trình đường thẳng đi qua M ( thuộc mặt phẳng (P) ), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d’ ( cho sẵn ) . BÀI TOÁN Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d . Hãy lập phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A ( là giao của d với (P) ), nằm trong (P) và vuông góc với d . Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+y+z-2=0 và đường thẳng d : 1 2 2 1 3 x y z     . [...]... tip xỳc vi c ng thng d1 v d2 Bài 4 .Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ- ờng thẳng d và d lần lượt có phương trình : 25 Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian Biờn son: Lờ Minh t - 0918 344 200 y 2 x 2 z 5 z và d : y 3 1 2 1 Chứng minh rằng hai đ- ờng thẳng đó vuông góc với nhau Viết ph- ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua d và vuông góc với d Bài 5 .Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ-... Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian Vớ d 7 (HKD-2009) A Theo chng trỡnh chun Trong khụng gian h ta Oxyz , cho cỏc im A(2;1;0),B(1;2;2),C(1;1;0) v mt phng (P): x+y+z-20=0 Tỡm ta im D thuc ng thng AB sao cho ng thng CD song song vi (P) B Theo chng trỡnh nõng cao - Trong khụng gian ta Oxyz ,cho ng thng x 1 y 2 z v mt phng (P): x+2y-3z+4=0 d: 2 1 1 Vit phng trỡnh ng thng d nm trong mp(P) sao cho... T LUYN Bi 1 .Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đ- ờng thẳng x 1 y 2 z : Tìm toạ độ điểm M trên sao 1 1 2 2 cho: MA2 MB 28 Bài 2 .Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2 ; 1 ; 0) v ng thng d : d: x 1 2 y 1 1 z Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i 1 qua im M, ct v vuụng gúc vi ng thng d và tìm toạ độ của điểm M đối xứng với M qua d Bài 3 .Trong khụng gian vi h ta... Gii tớch trong khụng gian x 2y z 4 0 ; 1: x 2 y 2z 4 0 a/ Vit phng trỡnh mt phng (P) cha Biờn son: Lờ Minh t - 0918 344 200 x 1 t 2 1 Vi d 4 ( HKB-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng : : y 2 t z 1 2t v song song vi ng thng 2 b/ Cho im M(2;1;4) Tỡm ta im H thuc ng thng cho on thng MH cú di nh nht ? 2 sao Vớ d 2 (HKA-2005) Trong không gian với hệ toạ độ... (HQG TPHCM 1998) Trong khụng gian vi h trc to trc chun 0xyz ,cho ng thng (d) v mt phng (P) cú phng trỡnh : 18 Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian (P):x+y+z-3=0 v d : x z 3 0 Lp phng trỡnh hỡnh chiu 2 y 3z 0 vuụng gúc ca ng thng (d) lờn (Q) Bi 2: Lp phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca giao tuyn (d) ca hai mt phng 3x-y+z-2=0 v x+4y-5=0 lờn mt phng 2x-z+7=0 Bi3: (HMC-98) :Trong khụng gian vi h to trc... thẳng d1 b.Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 24 Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian Vớ d 2 ( HSPTPHCM-2000) Trong khụng gian ta Oxyz , cho im A(3;2;0) v ng thng d cú phng trỡnh x 1 y 3 z 2 Tỡm ta im A i xng vi im A qua 1 2 2 dng thng d Vớ d 3 ( HC-2000) Trong khụng gian Oxyz cho hai ng thng x 2 y z 1 x 1 y 2 z d1 : d2 : 1 1 2 2 1 1 a/ Tớnh khong cỏch gia hai ng thng... 2 2 Bi 17 .Trong Khụng gian vi h ta Oxyz.Cho ng thng x : y z t 2t v im A(1, 0 , 1) 1 Tỡm ta cỏc im E v F thuc ng thng tam giỏc AEF l tam giỏcu Bi 18 .Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho x 3 y 1 z 3, P : x 2 y z 5 0 v ng thng (d ) : 2 im A( -2; 3; 4) Gi l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca ( d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d Tỡm trờn im M sao cho khong cỏch AM ngn nht Bi 19 .Trong khụng gian vi h... tớch trong khụng gian x 1 t d : y t t R z 1 Bi 6: Trong khụng gian 0xyz, cho hai ng thng (d1),(d2) ,bit : x 7 y 5 z 9 x y 4 z 18 , d2 : d1 : 3 1 4 3 1 4 1) CMR hai ng thng ú song song vi nhau 2) Vit phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (P) i qua hai ng thng (d1) v (d2) 3) Lp phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (d1),(d2) v cú tõm thuc ng thng (d) cú phng trỡnh : x 3 2t d : y 3 t t R z 1 t Bi 7: Trong khụng gian 0xyz,... 2t 2 ( t1 , t2 R) R) t1 (P): x-2y+2z+3=0 2t 14 Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian Bi 3: (HNN_TH-98): Cho mt phng (P) v ng thng (d) cú x 1 y z 2 phng trỡnh (P) :2x+y+z=0 v d : 2 1 3 1) Tỡm to giao im A ca (d) v (P) 2) Lp phng trỡnh ng thng (d1) qua A vuụng gúc vi (d) v nm trong mt phng (P) Bi 4: (H Khi A-2002): Trong khụng gian 0xyz ,cho mt phng (P) v ng thng (dm) cú phng trỡnh : (P) :2x-y+2=0... bng nhau Vớ d 6 (HKB-2009) A Theo chng trỡnh chun * Trong khụng gian ta Oxyz , cho t din ABCD cú cỏc nh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1) v D(0;3;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A,B sao cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) B Theo chng trỡnh nõng cao Trong khụng gian ta Oxyz ,cho mt phng (P):x-2y+2z-5=0 v hai im A(-3;0;1) B(1;-1;3) Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P) , vit . (P) ) phải nằm trên mặt phẳng (Q) chứa d và song song với d’ . Do đó ta có cách giải sau : VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.( Bài 27-tr103-HH12NC) Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê. gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d m ) có phương trình : (P) :2x-y+2=0 ,   024 )12( 01)1( )12( :      mzmmx mymxm d m xác định m để (d m )//(P) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI.          t 33 2 21 : 1 ,   13 23 2 : 2         uz uy ux d 3)   01 012 : 1      zyx yx d ,   012 033 : 2      yx zyx d Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường