CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Quy tắc xét dấu biểu thức Để xét dấu cho biểu thức g ( x ) = p ( x) ta làm sau: q ( x) - Bước 1: Điều kiện: q ( x ) ≠ Tìm tất nghiệm p ( x ) ; q ( x ) xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần điền vào trục số Ox - Bước 2: Cho x → +∞ để xác định dấu cùa g ( x ) x → +∞ - Bước 3: Xác định dấu khoảng lại dựa vào quy tắc sau: Chú ý: Qua nghiệm bội lẻ g ( x ) đổi dấu qua nghiệm bội chẵn g ( x ) khơng đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu) ( x − ) ( x − 5) f ( x) = ( x + )( x + 1) Ví dụ: Xét dấu biểu thức Bước 1: Ta thấy nghiệm biểu thức −2; −1; 4;5 xếp thứ tự tăng dần trục số Bước 2: Khi x → +∞ (ví dụ cho x = 10000) ta thấy f ( x ) nhận giá trị dương Bước 3: Xác định dấu cùa khoảng lại Do ( x − ) mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua biểu thức không đổi dấu Do ( x − ) mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua biểu thức đổi dấu Ta bảng xét dấu cùa f ( x ) sau: x −2 −∞ f ( x) + −1 − − + +∞ + Kết luận: f ( x ) > ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 4;5 ) ∪ ( 5; +∞ ) f ( x ) < ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ ( −1; ) 2) Tính đơn điệu hàm số Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số v = f ( x ) xác định K ■ Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) với cặp x1 ; x2 thuộc K mà f ( x1 ) < f ( x2 ) tức x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x2 ) ■ Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) với cặp x1 ; x2 thuộc K mà x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) tức x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) Ví dụ 1: Xét hàm số = y f ( x= ) 2x +1 Xét x1 < x2 ⇔ x1 < x2 ⇒ x1 + < x2 + ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) suy hàm số = y f ( x= ) x + hàm số đồng biến Ví dụ 2: Hàm số y= f ( x) = −7 x + nghịch biến , vì: Giả sử x1 < x2 , ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) =−7 x1 + x2 =7 ( x2 − x1 ) > ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) suy hàm số y = f ( x) = −7 x + hàm số đồng biến Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy: ∀x1 ; x2 ∈ K x1 ≠ x2 , hàm số f ( x ) đồng biến K ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) >0 x2 − x1 f ( x ) nghịch biến K ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) với x thuộc K hàm số f ( x ) đồng biến K b) Nếu f ′ ( x ) < với x thuộc K hàm số f ( x ) nghịch biến K Tóm lại xét K K : f ′ ( x ) > ⇒ f ( x ) đồng biến; f ′ ( x ) < ⇒ f ( x ) nghịch biến Chú ý: Nếu f ′ ( x )= ( ∀x ∈ K ) hàm số y = f ( x ) hàm số không đổi K ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K Nếu f ′ ( x ) ≥ ( f ′ ( x ) ≤ ) , ∀x ∈ K f ′ ( x ) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Ví dụ: Xét hàm số y = x − x + x + 10 y′= x − x + 3= ( x − 1) ≥ , dấu xảy điểm x = hàm số cho đồng biến II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Loại 1: Tìm khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) cùa hàm số y = f ( x ) dựa vào bảng xét dấu y′ Phương pháp giải ■ Bước Tìm tập xác định D hàm số Tính đạo hàm y′ = f ′ ( x ) ■ Bước Tìm điểm f ′ ( x ) = f ′ ( x ) không xác định ■ Bước Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng xét dấu y′ Dựa vào quy tắc xét dấu nêu để xét dấu cho y′ ■ Bước Kết luận khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào bảng xét dấu y′ Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau b) = y x4 − x2 a) y =x − x + Lời giải a) TXĐ: D = x = Ta có: y′ = x − x ⇔ x = Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ + − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) , nghịch biến khoảng ( 0; ) b) TXĐ: D = x = Ta có: y′ = x3 − x ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ −1 − + − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) (1; +∞ ) , nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) Ví dụ 2: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = − x3 + 3x − b) y =x − x + Lời giải a) TXĐ: D = x = −1 Ta có: y′ =−3 x + =0 ⇔ x = Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x y′ −∞ −1 − + +∞ − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) (1; +∞ ) b) TXĐ: D = Ta có: y′ =4 x3 − 12 x =4 x ( x − 3) Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ − − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) , nghịch biến khoảng ( −∞;3) Ví dụ 3: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = x+3 x −1 b) y = 3x + x +1 Lời giải a) TXĐ: D = \ {1} Ta có: = y′ −4 ( x − 1) < ( ∀x ∈ D ) Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ − +∞ − Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) D \ {−1} b) TXĐ:= Ta có: = y′ ( x + 1) > ( ∀x ∈ D ) Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x y′ −∞ +∞ −1 + + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) Ví dụ 4: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau x2 − x + b) y = x −1 a) y= x + x Lời giải x = = 0⇔ x x = −2 a) TXĐ: D = \ {0} Ta có: y′ =− Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ −2 + − − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) ( 0; ) b) TXĐ: D = \ {1} Ta có: y=′ ( x − 1)( x − 1) − ( x − x + ) = ( x − 1) x = −2 x2 − x − = ⇔ ( x − 1) x = Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ −2 + − − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 4; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −2;1) (1; ) Ví dụ 5: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a)= y b)= y 16 − x x − x2 Lời giải a) TXĐ: D = [ −4; 4] Ta có: y′ = −2 x 16 − x =0 ⇔ x =0 Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x y′ −∞ −4 + +∞ − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −4;0 ) hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) b) TXĐ: D = [ 0;6] Ta có: y′ = − 2x x − x2 = ⇔ x = Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ + +∞ − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0;3) , hàm số nghịch biến khoảng ( 3;6 ) Ví dụ 6: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a)= y b) y = x2 − 4x x − x + 12 Lời giải ( −∞;0] ∪ [ 4; +∞ ) Ta có: a) TXĐ: D = y′ = 2x − x2 − 4x =0 ⇔ x =2 Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) b) TXĐ: D = Ta có: y′ = ( −∞; 2] ∪ [6; +∞ ) 2x − = ⇔ x = 2 x − x + 12 Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x y′ −∞ − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 6; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) Ví dụ 7: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = x + − x + x + b) y = x + − x − Lời giải a) TXĐ: D = Ta có: y′ =1 − ( x + 3) 2 x + 2x + x + x + − ( x + 3) = x + 2x + =0 ⇔ x + x + =2 x + 2 x ≥ −3 2 x + ≥ ⇔ ⇔ x = −1 ⇔ x = −1 x x x x + + = + + 12 x = −2 Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ +∞ −1 y′ − + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −1; +∞ ) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) b) TXĐ: D = ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) Ta có: y′ = − 4x 2 x2 − = 2x2 − − 2x x2 − x ≥ (vô nghiệm) = ⇔ x2 − = x ⇔ x2 2 x − = Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −2 −∞ y′ +∞ + + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) Ví dụ 8: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau a) y = f ( x ) biết f ′ ( x= ) x ( x − 1) ( x + 3) , ∀x ∈ (x b) y = g ( x ) biết g ′ ( x = ) − 1) ( x − )( x + 3) 2018 , ∀x ∈ Lời giải a) Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x y′ −∞ −3 + − + +∞ + Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −3) ( 0; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −3;0 ) b) Ta có: g ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − )( x + 3) 2018 = ( x + 3) 2018 ( x + )( x + 1)( x − 1) Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ −3 −2 −1 +∞ y′ − 0 − + − + Hàm số đồng biến khoảng ( −2; −1) (1; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ( −1;1) Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x −∞ y′ −2 + − − +∞ + Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) Lời giải Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) ; ( 0; ) Và đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) Chọn C Ví dụ 10: Tìm tất khoảng đồng biến hàm số y = A ( −5; −2 ) ( −2;1) − x2 + 2x −1 x+2 C ( −∞; −2 ) ( −2;1) B ( −5; −2 ) (1; +∞ ) D ( −∞; −2 ) (1; +∞ ) Lời giải Ta có: y′= ( −2 x + )( x + ) − ( − x + x − 1) = ( x + 2) x = − x2 − x + = 0⇔ ( x + 2) x = −5 Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ −5 − −2 + + +∞ − Do đó, hàm số đồng biến khoảng ( −5; −2 ) ( −2;1) Chọn A Ví dụ 11: Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số y = − x − x + 24 x + A ( −4; ) B ( −4;0 ) ( 2; +∞ ) C ( −∞; −4 ) ( 0; ) Lời giải D ( −∞; −4 ) ( 2; +∞ ) x = −4 Ta có: y′ = −3 x − x + 24 =⇔ x = Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x −∞ y′ −4 − + +∞ − Do đó, hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −4 ) ( 2; +∞ ) Chọn D Ví dụ 12: Hàm số= y x2 − 2x A Đồng biến ( 2; +∞ ) nghịch biến ( −∞;0 ) B Đồng biến ( −∞;0 ) nghịch biến ( 2; +∞ ) C Đồng biến (1; +∞ ) nghịch biến ( −∞;1) D Đồng biến (1; ) nghịch biến ( 0;1) Lời giải TXĐ: D = ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) Ta có: y′ = 2x − 2 x2 − 2x =0 ⇔ x =2 Bảng biến thiên (xét dấu y′ ): x y′ −∞ − +∞ + Do hàm số đồng biến ( 2; +∞ ) nghịch biến ( −∞;0 ) Chọn A Ví dụ 13: Hàm số= y x − x2 2 A Đồng biến khoảng −1; ;1 nghịch biến 2 − 2 ; 2 − 2 B Đồng biến ; nghịch biến khoảng 2 ;1 −1; − 2 C Đồng biến ; nghịch biến khoảng 2 ; +∞ −∞; − − 2 D Đồng biến ; nghịch biến khoảng ( −∞; −1) (1; +∞ ) 2 Lời giải TXĐ: D = [ −1;1] Ta có: y′ = − x − x2 − x2 = − 2x2 − x2 Lập bảng xét dấu y′ : x y′ 2 − 2 −1 −∞ − + +∞ − − 2 Do hàm số đồng biến ; nghịch biến khoảng 2 ;1 −1; Chọn B Ví dụ 14: Hàm số y = x−2 đồng biến trên: x + x +1 ( A ) ( B −∞; − + 7; +∞ ( C − 7; + ) D Hàm số cho nghịch biến Lời giải TXĐ: D = Ta có: y′ = − x2 + 4x + (x + x + 1) > ⇔ x − x − < ⇔ − < x < + Chọn C Ví dụ 15: Cho hàm số y = 2x −1 ( x − 1) Hàm số cho: A Đồng biến khoảng ( −∞;0 ) (1; +∞ ) nghịch biến khoảng ( 0;1) B Đồng biến khoảng ( 0;1) nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) (1; +∞ ) C Đồng biến khoảng ( −∞;0 ) nghịch biến khoảng (1; +∞ ) D Đồng biến khoảng (1; +∞ ) nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) Lời giải TXĐ: D = \ {1} ( x − 1) − ( x − 1)( x − 1) ( x − 1) − ( x − 1) = = ( x − 1) ( x − 1) Ta có: y′ ) Lập bảng xét dấu y′ : −2 x ( x − 1) x −∞ y′ − + +∞ − Do hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) (1; +∞ ) Chọn B Ví dụ 16: Cho hàm số y = 3x − ( x − 2) Hàm số cho: −2 −2 A Đồng biến khoảng −∞; ( 2; +∞ ) nghịch biến khoảng ; −2 B Đồng biến khoảng ; nghịch biến khoảng 2 −∞; − ( 2; +∞ ) 3 2 C Đồng biến khoảng −∞; − nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) 3 −2 D Đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) nghịch biến khoảng −∞; Lời giải TXĐ: D = \ {2} ( x − ) − ( x − )( x − ) ( x − ) − ( x − ) −3 x − = = 3 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2) Ta có: y′ Lập bảng xét dấu y′ : x − −∞ y′ − + +∞ − −2 Do hàm số đồng biến khoảng ; nghịch biến khoảng 2 −∞; − ( 2; +∞ ) 3 Chọn B Ví dụ 17: Cho hàm số= y x − x nghịch biến khoảng: A ( −∞;3) B ( −∞; ) C ( 2;3) Lời giải TXĐ: D = ( −∞;3] Ta có: y′ = − x + x Lập bảng xét dấu y′ : −1 − 2x − x − 3x = = = ⇔ x = 2 3− x 3− x 3− x D ( 2; +∞ ) x −∞ y′ + +∞ − Do hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3) Chọn C Loại 2: Tìm khoảng đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) hàm số dựa vào đồ thị bảng biến thiên Phương pháp giải: Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải, hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải Chú ý tập xác định hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x y′ y −1 −∞ + 0 − +∞ + +∞ −∞ Khẳng định sau A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) D Hàm số đồng biến Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) đồng biến khoảng ( −∞; −1) (1; +∞ ) ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) Chọn B Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x y′ −2 −∞ + − + 0 −2 +∞ − +∞ y −∞ Khẳng định sau −3 +∞ A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( −3;0 ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −3; −2 ) C Hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ( 0;1) Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) (1; +∞ ) Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x −∞ y′ + + +∞ − +∞ y −∞ Khẳng định sau A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;3) B Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) C Hàm số đồng biến ( −∞;1) ∪ (1;3) D Hàm số đồng biến ( −∞;1) (1;3) Lời giải Hàm số xác định tập \ {1} Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) (1;3) Hàm số nghịch biến khoảng ( 3; +∞ ) Chọn D Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x −∞ −1 y′ + +∞ − − +∞ y −∞ Khẳng định sau A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) −3 B Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; ) ( 4; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) Lời giải Tập xác định hàm số là: ( −1; +∞ ) \ {4} Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số đồng biến khoảng ( −1; ) nghịch biến khoảng ( 2; ) ( 4; +∞ ) Chọn C Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng A ( −1;1) B ( −∞; −2 ) C (1; +∞ ) D ( −2;1) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số suy hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) (1; +∞ ) Chọn A Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng ( ) A − 2; B ( −2; ) C (1;3) ( ) D 0; Lời giải ( )( ) Dựa vào đồ thị hàm số suy hàm số đồng biến khoảng −∞; − , 0; nghịch biến ( ) ( khoảng − 2;0 ) 2; +∞ Chọn D DẠNG 2: BÀI TỐN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM CĨ THAM SỐ Loại 1: Tính đồng biến, nghịch biến hàm số bậc ba chứa tham số Phương pháp giải: Xét tam thức bậc 2: y = ax + bx + c ( a ≠ ) ta biết lớp 10 a > y ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ ax + bx + c ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ Δ ≤ a < y ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ ax + bx + c ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ Δ ≤ Xét tốn 1: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) đồng biến nghịch biến Ta có: 3a > - Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ 3ax + 2bx + c ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ ∆y′′ ≤ 3a < - Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ 3ax + 2bx + c ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ ∆y′′ ≤ Chú ý: Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: y = ( m − 1) x3 + mx + x − ta cần xét a = trước Số giá trị nguyên đoạn [ a; b ] b − a + Ví dụ 1: Có giá trị ngun tham số m để hàm số y =2 x3 − 3mx + 6mx + đồng biến A B C D Lời giải Ta có: y′ = x − 6mx + 6m a= > ⇔ ≤ m ≤ Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ Δ′ = 9m − 36m ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ có giá trị m thỏa mãn đề Chọn C − x3 − mx + ( 4m + ) x + với m tham số Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số y = Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) ? A B C Lời giải Ta có: y′ = −3 x − 2mx + 4m + D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ ) a y′ =−3 < ⇔ ⇔ −9 ≤ m ≤ −3 Δ′y′ = m + ( 4m + ) ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ có giá trị m thỏa mãn đề Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + x + ( m + 3) x + Số giá trị nguyên tham số m ∈ [ −20; 20] để hàm số cho đồng biến là: A 20 B 19 C 21 D 23 Lời giải Ta có: y′ = x + x + m + a = > Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ ⇔ m ≥ Δ′y′ =4 − ( m + 3) < m ∈ ⇒ có 20 giá trị m thỏa mãn đề Chọn A Kết hợp m ∈ [ −20; 20] Ví dụ 4: Số giá trị nguyên tham số m đề hàm số y = −2 x3 − ( m + 3) x + 24mx + nghịch biến là: A Vô số B 11 C D Lời giải Ta có: y′ = −6 x − 12 ( m + 3) x + 24m = − x − ( m + 3) + 4m a =−1 < Hàm số nghịch biến ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ Δ′ = ( m + 3) + 4m ≤ ⇔ m + 10m + ≤ ⇔ −9 ≤ m ≤ −1 Kết hợp m ∈ ⇒ có giá trị tham số m thỏa mãn đề Chọn D Ví dụ 5: Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số y = −1 x + 2mx − ( m + ) x + nghịch biến tập xác định Tính tổng phần tử tập hợp S A B C D Lời giải Ta có: y′ = − x + 4mx + 2m + 12 a =−1 < ⇔ − ≤ m ≤ Hàm số nghịch biến ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ 2 Δ′= 4m − 2m − 12 ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m ∈ {−1;0;1; 2} ⇒ Tổng phần tử tập hợp S Chọn D Ví dụ 6: Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số y =x − ( m − ) x + 12 x + đồng biến tập xác định Tính tổng phần tử tập hợp S là: A B 10 C 15 D Lời giải Ta có: y′ = x − ( m − ) x + 12 a= > Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ ⇔ 0≤m≤4 Δ′y′ = ( m − ) − 36 ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m ∈ {0;1; 2;3; 4} ⇒ Tổng phần tử tập hợp S 10 Chọn B Ví dụ 7: Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 + mx + x + tăng Số phần tử tập hợp S là: A B C D Lời giải Ta có: y′ =x + 2mx + a = > Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ ⇔ −2 ≤ m ≤ Δ′y′ = m − ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m ∈ {−2; −1;0;1; 2} ⇒ Số phần tử tập hợp S Chọn D Ví dụ 8: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y= ( m + ) x3 − ( m + ) x + ( m − 8) x + m2 − nghịch biến A −2 < m < B m < −2 C m ≤ D m ≤ −2 Lời giải Với m = −2 ta có y = −10 x + (hàm số nghịch biến ) Với m ≠ −2 ta có y′ = ( m + 2) x2 − ( m + 2) x + m − m + < Hàm số nghịch biến ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ Δ′y′ = ( m + ) − ( m + )( m − ) ≤ m < −2 ⇔ ⇔ m < −2 ( m + )( − m ) ≤ Kết hợp hai trường hợp Chọn D Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2017] Hỏi có số nguyên m để hàm số y= (m − 1) x + ( m − 1) x − x + nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) ? A B C D Lời giải Với m =1 ⇒ y =− x + hàm số nghịch biến ( −∞; +∞ ) Với m =−1 ⇒ y =−2 x − x + không thỏa mãn nghịch biến ( −∞; +∞ ) Với m ≠ ±1 ⇒ y′ = ( m − 1) x + ( m − 1) x − nghịch biến ( −∞; +∞ ) ( m − 1) < ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ 2 Δ′y′ = ( m − 1) + ( m − 1) ≤ −1 < m < 1 ⇔ ⇔ − ≤ m ≤1 2 ( m − 1)( 2m + 1) ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m = 0, m = Chọn A Ví dụ 10: Hàm số y= A m = m x − x + ( m + 3) x + m đồng biến giá trị m nhỏ B m = −2 C m = −4 D m = Lời giải Xét hàm số y= m x − x + ( m + 3) x + m với x ∈ , ta có y′= mx − x + m + a= m > m > Để hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ 0; ∀x ∈ ⇔ ⇔ ⇔ m ≥1 Δ′y′ ≤ 4 − m ( m + 3) ≤ Vậy giá trị nhỏ m Chọn A Xét tốn 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x; m ) đồng biến nghịch biến D (trong D khoảng, đoạn nửa khoảng, nửa đoạn) Phương pháp giải: Xét hàm số f ( x; m ) ta tính y′ = f ′ ( x; m ) Hàm số đồng biến D ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ D ) Hàm số nghịch biến D ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ D ) Cô lập tham số m đưa bất phương trình y′ ≥ y′ ≤ dạng m ≥ f ( x ) m ≤ f ( x ) Sử dụng tính chất: Bất phương trình: m ≥ f ( x ) ∀x ∈ D ⇔ m ≥ Max f ( x ) D Bất phương trình: m ≤ f ( x ) ∀x ∈ D ⇔ m ≤ Min f ( x ) D Chú ý: Với hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) liên tục nên hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) đồng biến đoạn [ a; b ] Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số bạn xem chủ đề GTLN, GTNN hàm số Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho số thực khơng âm a1 , a2 , , an ta có: a1 + a2 + + an > n n a1a2 an Dấu xảy ⇔ a1 = a2 = = an MaxF ( x ) = a + b + c Với hàm số lượng giác F ( x ) =a sinx + b cos x + c − a + b2 + c MinF ( x ) = Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − x + mx + đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Lời giải Ta có: y′ = x − x + m y′ x − x + m ≥ ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) ⇔ = ⇔ m ≥ −3 x + 6= x g ( x ) ( ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ) ⇔ m ≥ max g ( x ) ( 0;+∞ ) Ta có lim g ( x ) = 0; lim g ( x ) = −∞; g (1) = Mặt khác g ′ ( x ) =−6 x + =0 ⇔ x = x →0 x →+∞ Do max g ( x ) = +∞ Do m ≥ giá trị cần tìm ( 0;+∞ ) Ví dụ 2: Cho hàm số y = − x3 + x + 3mx − Xác định tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Lời giải Ta có: y′ = −3 x + x + 3m Hàm số cho nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ y′ ≤ ∀x ⊂ ( 0; +∞ ) ⇔ m ≤ x − 2= x g ( x ) ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m ≤ g ( x ) ( 0;+∞ ) Xét g ( x= ) x − x ( x ∈ ( 0; +∞ ) ) ta có: g ′ ( x ) = x − = ⇔ x = lim g ( x ) = 0; lim g ( x ) = +∞; g (1) = −1 nên g ( x ) = −1 x →0 x →+∞ Do m ≤ −1 giá trị cần tìm ( 0;+∞ ) Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + x − mx + Xác định tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến đoạn [ −2;0] Lời giải Ta có: y′ = x + x − m Hàm số cho nghịch biến đoạn [ −2;0] ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ [ −2;0]) ⇔ m ≥ x + 2= x g ( x ) ( ∀x ∈ [ −2;0]) ⇔ m ≥ max g ( x ) [ −2;0] Mặt khác g ′ ( x ) =2 x + =0 ⇔ x =−1 Lại có g ( −2 ) = 0; g ( ) = 0; g ( −1) = −1 Do max g ( x ) = [ −2;0] Vậy m ≥ giá trị cần tìm Ví dụ 4: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2019]: Tập hợp giá trị thực tham số m để hàm − x3 − x + ( 4m − ) x + nghịch biến khoảng ( −∞; −1) số y = 3 C −∞; − 4 B − ; +∞ A ( −∞;0] D [ 0; +∞ ) Lời giải Ta có: y′ = −3 x − 12 x + 4m − Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ⇔ y′ = −3 x − 12 x + 4m − ≤ ( ∀x ∈ ( −∞; −1) ) ⇔ 4m ≤ x + 12 x + ( ∀x ∈ ( −∞; −1) ) ⇔ 4m ≤ x + x + ( ∀x ∈ ( −∞; −1) ) (*) Xét g ( x ) = x + x + khoảng ( −∞; −1) ta có: g ′ ( x ) =2 x + =0 ⇔ x =−2 Ta tìm g ( x ) = g ( −2 ) = −1 ⇒ (*) ⇔ ( −∞ ;−1) 4m ≤ −1 ⇔ m ≤ − Chọn C Ví dụ 5: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x − ( m − ) x + ( 2m + 3) x nghịch biến khoảng ( 0;3) ? Lời giải Ta có: y′ =x + ( m − ) x + 2m + Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;3) ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ [ 0;3]) (Do hàm số liên tục nên ta mở rộng đoạn [ 0;3] ) ⇔ x − x + ≤ −2m ( x + 1) ( ∀x ∈ [ 0;3]) ⇔ 2m ≤ − x2 + x − = g ( x ) ( ∀x ∈ [ 0;3]) x +1 ⇔ 2m ≤ g ( x ) [0;3] Ta có: g ′ ( x ) = ( − x2 − x + ( x + 1) [ ] = → x = −1 + 2 x∈ 0;3 ) Mặt khác g 2 − =− 2, g ( ) = −3, g ( 3) = Do g ( x ) = −3 ⇒ 2m ≤ −3 ⇔ m ≤ − [0;3] Ví dụ 6: Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 20 để hàm số y = x + x + ( m + ) x + m đồng biến khoảng ( −1; +∞ ) A 13 B 14 C 15 D 16 Lời giải Ta có: y′ = x + 12 x + m + Hàm số đồng biến khoảng ( −1; +∞ ) ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ [ −1; +∞ ) ) (Do hàm số cho liên tục nên ta lấy x ∈ [ −1; +∞ ) ) ⇔ g ( x= ) 3x + 12 x + ≥ −m ( ∀x ∈ [ −1; +∞ ) ) ⇔ g ( x ) ≥ −m (*) [ −1;+∞ ) Ta có: g ′ ( x ) = x + 12 > ( ∀x ∈ [ −1; +∞ ) ) , g ( −1) = −7 Suy (*) ⇔ −7 ≥ −m ⇔ m ≥ m < 20 Kết hợp ⇒ có 13 giá trị tham số m Chọn A m ∈ Ví dụ 7: Tìm tham số m để hàm số sau đồng biến ( 0; +∞ ) : = y x3 + mx − A m ≤ B m ≤ C m ≥ −1 3x D m ≥ −2 Lời giải Ta có: y′ = x + m + 3x Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ) ⇔ g (= x ) 3x + ⇔ g ( x ) ≥ −m (*) ( 0;+∞ ) ≥ −m ( ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ) 3x Theo BĐT AM – GM ta có: x + 1 ≥ 3x = 2 3x 3x Do (*) ⇔ ≥ −m ⇔ m ≥ −2 Chọn D Ví dụ 8: Tập hợp giá trị -m để hàm số y = −mx3 + x − x + m − nghịch biến ( −3;0 ) A − ; +∞ 1 C −∞; − 3 B − ; +∞ D − ;0 Lời giải Ta có: y′ = ( −mx3 + x − 3x + m − )′ =−3mx + x − 2x − = f ( x) y′ ≤ −3mx + x − ≤ m ≥ 3x Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;0 ) ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ ( −3;0 ) x ∈ ( −3;0 ) x ∈ ( −3;0 ) x − ′ ( − x ) Ta có = f ′( x) = > ( ∀x ∈ ( −3;0 ) ) ⇒ f ( x ) đồng biến khoảng ( −3;0 ) 3x3 3x Do f ( x ) < f ( −3) = − ( −3;0 ) 1 ∀x ∈ ( −3;0 ) ) ⇒ m ≥ − ⇔ m ∈ − ; +∞ Chọn A ( 3 Ví dụ 9: Biết tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y= x − ( m − 1) x − ( m − 3) x + 2017 m đồng biến khoảng ( −3; −1) ( 0;3) đoạn T = [ a; b ] Tính a + b A a + b = 10 B a + b = 13 C a + b = D a + b = Lời giải Ta có y′ = x − ( m − 1) x − ( m − 3) Để hàm số đồng biến khoảng ( −3; −1) ( 0;3) y′ ≥ với x ∈ ( −3; −1) x ∈ ( 0;3) Hay x − ( m − 1) x − ( m − 3) ≥ ⇔ x + x + ≥ m ( x + 1) ⇔ x2 + 2x + ≥ m với x ∈ ( 0;3) 2x +1 x2 + 2x + ≤ m với x ∈ ( −3; −1) 2x +1 x + x + ′ ( x − 1)( x + ) x = Xét f ′ ( x ) = 0⇔ → f ′( x) = = ( x + 1) x = −2 2x +1 Dựa vào bảng biến thiên hàm số f ( x ) , để f ( x ) đồng biến ( 0;3) m ≤ , để f ( x ) đồng biến ( −3; −1) m ≥ −1 ⇒ m ∈ [ −1; 2] ⇒ a + b =5 Chọn D Ví dụ 10: Để hàm số y = − x3 + ( a − 1) x + ( a + 3) x − đồng biến khoảng ( 0;3) giá trị cần tìm tham số a A a < −3 B a > −3 C −3 < a < 12 D a ≥ 12 Lời giải Ta có: y′ =− x + ( a − 1) x + a + Để hàm số đồng biến khoảng ( 0;3) y′ ≥ ( ∀x ∈ ( 0;3) ) ⇔ − x + ( a − 1) x + a + ≥ ( ∀x ∈ ( 0;3) ) ⇔ 2ax + a ≥ x + x − ⇔ a ≥ Xét hàm số f ( x ) = Ta = có: f ′ ( x ) x2 + 2x − ⇔ a ≥ max f ( x )(*) ( 0;3) 2x +1 x2 + 2x − ( 0;3) 2x +1 2x2 + 2x + ( x + 1) > ( ∀x ∈ ( 0;3) ) ⇒ f ( x ) đồng biến khoảng ( 0;3) 12 12 Vậy f ( x ) < f ( 3) = Do (*) ⇔ a ≥ Chọn D 7 Ví dụ 11: Giá trị tham số m cho hàm số y = x3 − 2mx − ( m + 1) x + nghịch biến khoảng ( 0; ) B m ≤ A m ≥ −1 11 C m ≥ 11 Lời giải Ta có: y′ = x − 4mx − m − Hàm số nghịch biến biến khoảng ( 0; ) ⇔ x − 4mx − m − ≤ ( ∀x ∈ [ 0; 2]) ⇔ x − ≤ m ( x + 1) ( ∀x ∈ ( 0; ) ) ⇔ Xét hàm= số g ( x ) Ta= có: g ′ ( x ) 3x − ≤ m ( ∀x ∈ [ 0; 2]) 4x +1 3x − ( x ∈ [0; 2]) 4x +1 x ( x + 1) − ( x − 1) 12 x + x + = > ( ∀x ∈ [ 0; 2]) 2 ( x + 1) ( x + 1) ⇒ g ( x ) đồng biến đoạn [ 0; 2] D m ≤ −1 Ta có: g= ( x) 3x − 11 Chọn C ≤ m ( ∀x ∈ [ 0; 2]) ⇔ m ≥ g= ( 2) 4x +1 Ví dụ 12: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − mx + x đồng biến khoảng ( −2;0 ) B m ≤ A m ≥ −2 C m ≥ − 13 D m ≥ 13 Lời giải Cách 1: Ta có: y′ =6 x − 2mx + Hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ( −2;0 ) ) ⇔ mx ≤ x + ( ∀x ∈ ( −2;0 ) ) ⇔ m ≥ x + Xét f ( x )= x + x ( x ∈ ( −2;0 ) ) x →( −2 ) f ( x) ( ∀x ∈ ( −2;0 ) ) ⇔ m ≥ max ( ) −2;0 x = ( loai ) ta có f ′ ( x ) =3 − =0 ⇔ x x = − Lại có lim f ( x ) = −∞; lim + f ( x ) = x →0 x −13 , f − = −2 3 Vậy m ≥ −2 Chọn A Cách 2: f ( x ) = x + 1 = − 3 ( − x ) + f ( x ) = −2 x = − ≤ −2 ⇒ max ( −2;0 ) x − x ( ) Ví dụ 13: Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = x3 + mx − đồng biến x5 khoảng ( 0; +∞ ) ? A B C D Lời giải Ta có: y′ = x + m + x6 Để hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ) ⇔ g ( x= ) 3x + ≥ −m ( ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ) ⇔ g ( x ) ≥ −m (*) ( 0;+∞ ) x6 Lại có: g ( x ) = x + 1 = x + x + x + ≥ 4 x x x = (Bất đẳng thức AM – GM) x x x Do (*) ⇔ −m ≤ ⇔ m ≥ −4 Theo ta có m ∈ {−4; −3; −2; −1} Chọn D Ví dụ 14: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − ( m − 1) x + m − đồng biến khoảng (1;3) A m ≤ B m < C m ≤ D m < Lời giải Ta có: y′ =4 x3 − ( m − 1) x Hàm số đồng biến khoảng (1;3) ⇔ x3 − ( m − 1) x ≥ ( ∀x ∈ [1;3]) (Do hàm số cho liên tục nên ta lấy x đoạn [1;3] ) ⇔ g ( x ) = x ≥ m − ( ∀x ∈ [1;3]) ⇔ g ( x ) ≥ m − ⇔ ≥ m − ⇔ m ≤ Chọn C [1;3] Ví dụ 15: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − m x + m đồng biến khoảng ( 0; ) A m ∈ ( −2; ) B m ∈ ( 0; ) C m ∈∅ D m ∈ {0} Lời giải Ta có: = y ′ x − 2m x Do hàm số cho liên tục nên đồng biến khoảng ( 0; ) ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ [ 0; 4]) ⇔ x − 2m x ≥ ( ∀x ∈ [ 0; 4]) ⇔ x ≥ m ( ∀x ∈ [ 0; 4]) ⇔ m ≤ ⇔ m =0 Chọn D Ví dụ 16: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − ( 2m − 3) x + ( m − 3m ) x + nghịch biến khoảng (1;3) ? A B C D Lời giải Ta có: y=′ x − ( 2m − 3) x + ( m − 3m )= ( x − m ) x − ( m − 3) < ⇔ m − < x < m Hàm số nghịch biến khoảng (1;3) ⇔ m − ≤ ≤ ≤ m ⇔ ≤ m ≤ Vậy có giá trị nguyên tham số m = {3; 4} Chọn C x3 x2 Ví dụ 17: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = − ( 2m − 1) + ( m − m − ) x + nghịch biến khoảng (1; ) A B C Vô số D Lời giải Ta có y′ = x − ( 2m − 1) x + m − m − = x − ( m − ) x − ( m + 1) Hàm số nghịch biến khoảng (1; ) ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ (1; ) ⇔ x − ( m − ) x − ( m + 1) ≤ ⇔ m − ≤ x ≤ m +1 x ≥ ⇒ m − ≤ ⇔ m ≤ Với x ∈ (1; ) ⇒ ⇒1≤ m ≤ x ≤ ⇒ m +1 ≥ ⇔ m ≥ Suy có ba giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng (1; ) Chọn D Ví dụ 18: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số f ( x ) = x + 4mx + 4m + nghịch biến khoảng ( −∞; ) A m ≤ −1 B m > −1 C m ≤ D m > Lời giải Hàm số xác định ⇔ x + 4mx + 4m + ≥ ⇔ ( x + 2m ) + ≥ (Ln đúng) Ta có f ′ ( x )= ( ) ′ x + 4mx + 4m + = x + 2m x + 4mx + 4m + Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) , y′ ≤ ( ∀x ∈ ( −∞; ) ) ⇔ x + 2m x + 4mx + 4m + Suy x + 2m ≤ ( ∀x ∈ ( −∞; ) ) ⇔ m ≤ − ≤ ( ∀x ∈ ( −∞; ) ) x −2 ∀x ∈ ( −∞; ) ) ⇔ m ≤ = −1 Chọn A ( 2 Ví dụ 19: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y =x3 − 3mx + ( 2m − 1) x + nghịch biến đoạn có độ dài 2? A.= m 0,= m B m = C m = D m = Lời giải x3 − 3mx + ( 2m − 1) x + 1′ = Ta có y′ = x − 6mx + ( 2m − 1) Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ PT y′ = hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = Hàm số có hai cực trị, Δ′ ( y′ ) > ⇔ 9m − ( 2m − 1) > ⇔ ( m − 1) > ⇔ m ≠ x1 + x2 = 2m ⇒ x1 − x2 =2 ⇔ ( x1 − x2 ) =4 Khi x2 2m − x1.= m = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1.x2 =⇔ 4m − ( 2m − 1) =⇔ 4m − 8m =⇔ m = Chọn A Ví dụ 20: Tổng giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện để hàm số y= x − mx + ( − 2m ) x + m nghịch biến đoạn có độ dài là: A T = B T = −2 C T = −4 D T = Lời giải Ta có: y′ = x − 2mx + − 2m Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài phương trình x − 2mx + − 2m = (*) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 − x2 = Phương trình (*) có nghiệm phân biệt Δ′ = m + 2m − > 2m x + x = Theo định lí Vi-et ta có: x1.x2 = − 2m Ta có: x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 ) = 20 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 20 ⇔ 4m + 8m − 12 = 20 ( t / m ) 2 m = −4 ⇔ ⇒T = −2 Chọn B m = Ví dụ 21: Xác định giá trị b để hàm số f ( x )= sin x − bx + c nghịch biến toàn trục số A b ≤ B b < C b > D b ≥ Lời giải Ta có:= y′ cos x − b Hàm số nghịch biến ⇔ cos x − b ≤ ∀x ∈ ⇔ b ≥ cos x ∀x ∈ ⇔ b ≥ Chọn D Ví dụ 22: : Xác định giá trị m để hàm số f ( x= ) sin x + mx + c đồng biến A m ≥ B −2 ≤ m ≤ C m > D m ≥ −2 Lời giải Ta= có: y′ cos x + m Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ) ⇔ y′ =−2 + m ≥ ⇔ m ≥ Chọn A Ví dụ 23: Xác định giá trị m để hàm số = y m sin x + cos x + ( m + 1) x đồng biến A m ≥ B −1 ≤ m ≤ C m > Lời giải Ta có:= y′ m cos x − sin x + m + Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ ) m ≥ −1 ⇔ y′ =− m + + m + ≥ ⇔ m + ≥ m + ⇔ 2 m + 2m + ≥ m + D m ≥ −1 ⇔ m ≥ Chọn A Ví dụ 24: Xác định giá trị tham số m để hàm số y =( m − 3) x − ( 2m + 1) cos x nghịch biến A −4 ≤ m ≤ B −4 ≤ m ≤ C −1 ≤ m ≤ D −1 ≤ m ≤ Lời giải Ta có: y′ = m − + ( 2m + 1) sin x Hàm số nghịch biến ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ ) m ≤ m ≤ ⇔ max y′ = m − + 2m + ≤ ⇔ − m ≥ 2m + ⇔ 2 ⇔ 3m + 10m − ≤ ( − m ) ≥ ( 2m + 1) ⇔ −4 ≤ m ≤ Chọn A Ví dụ 25: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − ( 3m + ) x + ( 3m + 12m ) x + m − m nghịch biến đoạn [1;3] m ≥ B m ≤ A ≤ m ≤ m ≥ D m ≤ −1 C −1 ≤ m ≤ Lời giải x = m Ta có: y′ = x − ( m + ) x + ( m + 4m ) = ( x − m )( x − m − ) ; y′ = ⇔ x= m + Do phương trình y′ = ln có nghiệm phân biệt Bảng biến thiên x y′ m −∞ + m+4 − +∞ + y m ≤ m ≤ Để hàm số nghịch biến [1;3] ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ Chọn C m + ≥ m ≥ −1 Ví dụ 26: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − 6mx + (12m − 3) x + m + nghịch biến đoạn [ 0;1] A −1 ≤ m ≤ m ≥ B m ≤ −1 m≥ C m ≤ Lời giải D ≤ m ≤ x 2m + = Ta có: y′ =3 x − 12mx + 12m − =3 ( x − 2m + 1)( x − 2m − 1) ; y′ =0 ⇔ x 2m − = Do phương trình y′ = ln có nghiệm phân biệt Bảng biến thiên x 2m – −∞ y′ + 2m + − +∞ + y 2m − ≤ m ≤ Để hàm số nghịch biến [ 0;1] ⇔ ⇔ ≤ m ≤ Chọn D 2m + ≥ m ≥ Ví dụ 27: Số giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −20; 20] để hàm số y =x3 − ( m − 1) x − ( 9m − 6m ) x + 2m + nghịch biến khoảng ( 2; ) là: A 17 B 36 C 19 D 41 Lời giải Ta có: y′ = x − ( m − 1) x − 3m ( 3m − ) = ( x + m ) x − ( 3m − ) < Để hàm số nghịch biến khoảng ( 2; ) thì: m ≥ −2 TH1: − m ≤ < ≤ 3m − ⇔ ⇔ m ≥ m ≥ m ≤ −4 TH2: 3m − ≤ < ≤ −m ⇔ ⇔ m ≤ −4 m ≤ m ∈ Kết hợp ⇒ có 36 giá trị nguyên m Chọn B m ∈ [ −20; 20] Ví dụ 28: Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x + 6mx Số giá trị nguyên dương m để hàm số cho đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) là: A B C Lời giải Yêu cầu toán ⇔ = y′ ( x − m ( x + 1) x + m ) ≥ ( ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ) D ⇔ ( x − 1)( x − m ) ≥ ( ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ) ⇔ x ≥ m ( ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ) ⇔ ≥ m Kết hợp m ∈ + ⇒ m = {1; 2} Chọn B Ví dụ 29: Cho hàm số y = x3 − ( m + ) x + 12mx + Gọi S tập hợp giá trị nguyên m ∈ [ −10;10] để hàm số cho đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) Số phần tử tập hợp S A 13 B 14 C 15 D 16 Lời giải Ta có: y′ = x − ( m + ) x + 12m ≥ ⇔ x − ( m + ) x + 2m ≥ Giả thiết ⇔ ( x − m )( x − ) ≥ ( ∀x > 3) ⇔ x − m ≥ ( ∀x > 3) ⇔ x ≥ m ( ∀x > 3) ⇔ ≥ m m ∈ Kết hợp ⇒ có 14 giá trị m Chọn B m ∈ [ −10;10] Ví dụ 30: Cho hàm số y =x3 − 3mx + ( m − 1) x + Gọi S tập hợp giá trị nguyên m ∈ [ −20; 20] để hàm số cho đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Số phần tử tập hợp S A 22 B 19 C 21 D 20 Lời giải Ta có: y′ =3 x − 6mx + ( m − 1) Ta có: y′ ≥ ⇔ x − 2mx + ( m − 1) ≥ x ≥ m +1 ⇔ ( x − m − 1)( x − m + 1) ≥ ⇔ x ≤ m −1 Do hàm số đồng biến ( −∞; m − 1] [ m + 1; +∞ ) Để hàm số cho đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ −1 m ∈ Kết hợp ⇒ có 20 giá trị nguyên m Chọn D m ∈ [ −20; 20] − x + ( 3m − ) x + 2m + Có giá trị nguyên tham số m thuộc Ví dụ 31: Cho hàm số y = đoạn [ −20; 20] để hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) A 22 B 23 C 21 Lời giải −4 x3 + ( 3m − ) x Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) Ta có: y′ = ⇔ −4 x + ( 3m − ) x ≥ ( ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ) ⇔ x − ( 3m − ) ≥ ( ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ) (Do −4 x ≥ ( ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ) ) D 20 ⇔ ( 3m − ) ≤ x ( ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ) ⇔ ( 3m − ) ≤ x =4 ⇔ 3m − ≤ ⇔ m ≤ ( −∞ ;−2 ) m ∈ Kết hợp ⇒ có 22 giá trị m Chọn A m ∈ [ −20; 20] Ví dụ 32: Cho hàm số y = x − ( 2m + 3) x + m − Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −10;10] để hàm số nghịch biến khoảng ( 0;3) A B C D Lời giải Ta có: y′ = x3 − ( 2m + 3) x Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;3) ⇔ x − ( 2m + 3) x ≤ ( ∀x ∈ ( 0;3) ) ⇔ x − ( 2m + 3) ≤ ( ∀x ∈ ( 0;3) ) ⇔ x ≤ 2m + ( ∀x ∈ ( 0;3) ) ⇔ 2m + ≥ ⇔ m ≥ m ∈ Kết hợp ⇒ có giá trị m Chọn A m ∈ [ −10;10] Ví dụ 33: Cho hàm số y = x − ( m − ) x + 3m − Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −10;10] để hàm số đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) A B C Lời giải Ta có: y′ =4 x3 − ( m − ) x Hàm số đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) ⇔ x − ( m − ) x ≥ ( ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ) ⇔ x − ( m − ) ≥ ( ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ) ⇔ ( m − ) ≤ x ( ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ) ⇔ ( m − ) ≤ ⇔ m ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m = 19 {0; ±1; ±2; ±3} Chọn D Loại 2: Tính đồng biến nghịch biến hàm số phân thức chứa tham số Xét hàm số y = Ta có = y ax + b −d TXĐ: D = \ cx + d c ax + b ⇒= y′ cx + d ad − bc ( cx + d ) Nếu ad = bc hàm số cho suy biến thành hàm Do đó: Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ad − bc > Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ ad − bc < D ad − bc > Hàm số đồng biến miền = D ( i; j ) ⇔ y′ > ∀x ∈ ( i; j ) ⇔ −d i j ∉ ; ) ( c ad − bc < Hàm số nghịch biến miền = D ( i; j ) ⇔ y′ < ∀x ∈ ( i; j ) ⇔ −d ; ∉ i j ( ) c Ví dụ 1: Cho hàm số y = x +1 x − 2m a) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định b) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −10 ) Lời giải a) TXĐ: D = \ {2m} Ta có: y′ = −2m − ( x − 2m ) Hàm số đồng biến khoảng xác định y′ > ( ∀x ∈ D ) ⇔ −2m − > ⇔ −2m > ⇔ m < − m < − b) Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −10 ) ⇔ ⇔ −5 ≤ m < − 2m ≥ −10 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x+m−2 x−m a) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng xác định b) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ( 5; +∞ ) Lời giải a) TXĐ: D = \ {m} = Ta có: y′ −m − m + −2m + = 2 ( x − m) ( x − m) Hàm số nghịch biến khoảng xác định −2m + < ⇔ 2m > ⇔ m > m > b) Hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) ⇔ ⇔1< m ≤ m ≤ Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx + 4m với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để x+m hàm số nghịch biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B C Vô số Lời giải D Ta có: y′ = m − 4m ( x + m) Hàm số cho nghịch biến khoảng xác định ⇔ y′ < ( ∀x ≠ −m ) m∈ ⇔ m − 4m < ⇔ < m < = →m = 1, m = 2, m Chọn D Ví dụ 4: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = A B mx − 16 đồng biến khoảng xác định x−m C D Lời giải TXĐ: D = \ {m} Ta có: y′ = −m + 16 ( x − m) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y′ > ( ∀x ∈ D ) ⇔ m + 16 > ( ∀x ⊂ D ) ⇔ −4 < m < Kết hợp m ∈ ⇒ m ∈ {−3; −2; −1;0;1; 2;3} ⇒ có giá trị tham số m Chọn B Ví dụ 5: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = A B mx − đồng biến khoảng xác định 2x − m C D Lời giải −m2 + m Hàm số đồng biến khoảng xác định TXĐ: D = \ Ta có: y′ = 2 ( 2x − m) ⇔ y′ > ( ∀x ∈ D ) ⇔ m + > ⇔ −2 < m < 2 Kết hợp m ∈ ⇒ m ∈ {−2; −1;0;1; 2} ⇒ có giá trị tham số m Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y = ( m + 1) x + 20 Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để hàm số x+m nghịch biến khoảng xác định Số phần tử tập hợp S là: A B C 10 D 11 Lời giải TXĐ:= D \ {−m} Ta có: y′ = m ( m + 1) − 20 ( x + m) Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y′ > ( ∀x ∈ D ) ⇔ m + m − 20 > ⇔ −5 < m < Kết hợp m ∈ ⇒ m ∈ {−4; −3; −2; −1;0;1; 2;3} ⇒ có giá trị tham số m Chọn A Ví dụ 7: Cho hàm số y = −mx − 5m + Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m ∈ [ −10;10] để x+m hàm số nghịch biến khoảng xác định Tổng phần tử tập hợp S là: A 16 B −10 C −15 D 15 Lời giải TXĐ: D = \ {m} Ta có: y′ = −m + 5m − ( x − m) m > Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y′ < ( ∀x ∈ D ) ⇔ −m + 5m − < ⇔ m < Kết hợp m ∈ ⇒ m ∈ {−10; −9; ;0} ∪ {5;6;7;8;9;10} Tổng phần tử tập hợp S −4 − − − =−10 Chọn B Ví dụ 8: Số giá trị nguyên tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số y = mx + nghịch biến khoảng mx − xác định là: A 10 B 11 C 12 D 13 Lời giải Với m = ⇒ y = −1 không thỏa mãn yêu cầu −3m 2 Với m ≠ TXĐ: D = \ Ta có: y′ = m ( mx − ) Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y′ < ∀x ∈ D ⇔ −3m < ⇔ m > Vậy có 10 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu Chọn A Ví dụ 9: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = A B x + m +1 đồng biến khoảng xác định mx + C D Vô số Lời giải Với m = ⇒ y = x +1 (thỏa mãn đồng biến khoảng xác định) 2 − m ( m + 1) −2 Với m ≠ TXĐ: D = \ Ta có: y′ = m ( mx + ) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y′ > ( ∀x ∈ D ) ⇔ −m − m + > ⇔ −2 < m < Kết hợp m ∈ ⇒ m ={−1;0} Chọn A Ví dụ 10: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x+2 đồng biến khoảng x + 5m ( −∞; −10 ) ? A B Vô số C D Lời giải 5m − ′ = >0 y Hàm số cho đồng biến khoảng ( −∞; −10 ) ⇔ ( x + 5m ) ( ∀x ∈ ( −∞; −10 ) ) −5m ≥ −10 ⇔ < m ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m = {1; 2} Vậy có hai giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu tốn Chọn A Ví dụ 11: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x+6 nghịch biến khoảng x + 5m (10; +∞ ) ? A B Vô số C D Lời giải 5m − ′ = ⇔ < m ≤ 2 ⇔ m ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m ={−3; −2; −1;0;1; 2} ⇒ có giá trị nguyên tham số m Chọn D m2 x + Ví dụ 15: Tính tổng tất số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = nghịch biến 2mx + khoảng ( 3; +∞ ) ? A 55 B 35 C 40 D 45 Lời giải HD: Điều kiện: x ≠ − m − 10m Ta có: y′ = 2m ( 2mx + 1) 0 < m < 10 m − 10m < y′ < m > Hàm số nghịch biến khoảng ( 3; +∞ ) ⇔ ⇔ 6m + ⇔ ⇔ < m < 10 ≥0 − 2m ≤ m ≤ − 2m Mà m ∈ ⇒ m ∈ {1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} ⇒ Tổng số nguyên 45 Chọn D DẠNG 3: BÀI TỐN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỢP Loại 1: Đổi biến số Xét tốn: Tìm m để hàm số y = f u ( x ) đồng biến nghịch biến D = ( a; b ) Phương pháp giải: x = a ⇒ t = u ( a ) Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đặt = t u ( x) ⇒ = t ′ u′ ( x ) , x = b ⇒ t = u ( b ) t ′ u ′ ( x ) > ( ∀x ∈ D ) tốn đồng (nghịch) biến trở thành tốn tìm m để hàm số Nếu= y = f ( t ) đồng (nghịch) biến Dt = ( u ( a ) ; u ( b ) ) t ′ u ′ ( x ) < ( ∀x ∈ D ) tốn đồng (nghịch) biến trở thành tốn tìm m để hàm số Nếu= y = f ( t ) nghịch (đồng) biến Dt = ( u ( a ) ; u ( b ) ) Cách 2: Tính trực tiếp đạo hàm Chú ý công thức đạo hàm hàm hợp: y′ = f ′ ( u ) u ′ ( x ) Ví dụ 1: [Đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017] Tìm tất giá trị thực m để hàm số y = π đồng biến khoảng 0; 4 m ≤ A 1 ≤ m < B m ≤ C ≤ m < D m ≥ Lời giải Cách 1: ĐK: tan x ≠ m Khi y′ = −m + ( tan x − m ) cos x tan x ≠ m π π ∀x ∈ 0; Hàm số đồng biến khoảng 0; ⇔ −m + > 0 4 ( tan x − m )2 cos x m ≤ m ≤ Chọn A ⇔ m ≥ ⇔ 1 ≤ m < −m + > Cách 2: [Đặt ẩn phụ] Đặt= t tan x ⇒= t′ >0 cos x Khi tốn trở thành tìm m để hàm số f ( t ) = m ≠ t ⇔ f ′ (t ) = −m + (t − m) π π ∀x ∈ 0; ; với x ∈ 0; ⇒ t ∈ ( 0;1) t −2 đồng biến khoảng ( 0;1) t −m m ≥ m ≤ Chọn A > ( ∀t ∈ ( 0;1) ) ⇔ m ≤ ⇔ 1 ≤ m < m < tan x − tan x − m Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = m cos x − nghịch biến khoảng cos x − m π π ; 3 2 A −2 < m ≤ ≤ m < B ≤ m < C −2 < m ≤ D m ≥ Lời giải Ta có: y′ = −m2 + ( cos x − m ) (= − sin x ) (m − ) sin x ( cos x − m ) m − < π π π π Hàm số cho nghịch biến ; ⇔ y′ < ∀x ∈ ; ⇔ 3 2 2 cos x ≠ m π π ∀x ∈ ; −2 < m < −2 < m ≤ Chọn A ⇔ ⇔ m ∉ ( 0;1) 1 ≤ m < Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = cos x − nghịch biến khoảng cos x − m π − ;0 A m ≤ ≤ m < B m ≤ C ≤ m < D m ≥ Lời giải Ta có: y′ = −π ;0 sin x Do sin x < ∀x ∈ ( m cos x − 1) −m + 2 m < −m + > m ≤ −π Hàm số nghịch biến Chọn A ⇔ m ≥ ⇔ ;0 ⇔ m ∉ ( 0;1) 1 ≤ m < m ≤ Ví dụ 4: Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số y = cos x + nghịch biến khoảng cos x − m π 0; 3 A m > −3 m ≤ −3 B m ≥ C m < −3 Lời giải −3 < m ≤ D m ≥ cos x + ′ Ta có: y′ = = cos x − m ( 2m + ) sin x ( cos x − m ) ( 2m + ) sin x < y′ < π Hàm số nghịch biến khoảng 0; ⇒ π ⇒ π x ∈ 0; x ∈ 0; 3 3 ⇔ 2m + < ⇔ m < −3 2 cos x − m ≠ m ≠ cos x Mặt khác π ⇔ ⇔ m ∉ ( −1; ) ⇒ m < −3 Chọn C ∈ ∈ x x 0; cos − ;1 3 Ví dụ 5: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = cot x − đồng biến khoảng m cot x − π π ; 4 2 A m ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) B m ∈ (1; +∞ ) C m ∈ ( −∞;0 ) D m ∈ ( −∞;1) Lời giải Ta có: y′ = −1 + m − ( m cot x − 1) sin x + Với m =0 ⇒ y =1 − cot x ⇒ y′ = π π > ⇒ Hàm số đồng biến khoảng ; sin x 4 2 y′ > π π π π + Với m ≠ , hàm số đồng biến khoảng ; ⇔ ∀x ∈ ; 4 2 cot x ≠ m m < 1 − m > ≤ m < ⇔1 ⇔ m ⇔ m ≠ ∉ 0;1 ( ) m ≥ m Kết hợp trường hợp suy m < giá trị cần tìm Chọn D Ví dụ 6: Có giá trị ngun m để hàm số y = m sin x − 16 nghịch biến khoảng cos x + m − A C B Lời giải m sin x − 16 m sin x − 16 Ta có: y = = cos x + m − − sin x + m ( Do cos x − =− sin x ) D π 0; 2 Khi y′ m − 16 sin x )′ = ( ( − sin x + m ) m − 16 ( − sin x + m) 2sin x cos x π Do 2sin x cos x > ∀x ∈ 0; hàm số cho nghịch biến khoảng m − 16 < −4 < m < π π ⇔ m ∉ 0;1 0; ⇔ ( ) 2 sin x ≠ m ∀x ∈ 0; Kết hợp m ∈ ⇒ có giá trị m Chọn C Ví dụ 7: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = m 1− x − đồng biến khoảng 1− x − m ( 0;1) m < −2 A m > −2 < m ≤ C 1 ≤ m < B −2 < m < −2 < m < D 1 < m < Lời giải Đặt t= − x ⇒ t ′= −1 < ( ∀x ∈ ( 0;1) ) với x ∈ ( 0;1) ⇒ t ∈ ( 0;1) 1− x Khi tốn trở thành tìm m để hàm số f ( t ) = mt − nghịch biến khoảng ( 0;1) t −m m ≥ m ≠ t m > m ≤ Chọn A ⇔ ∀t ∈ ( 0;1) ) ⇔ ⇔ −m + ( ′ = m < −2 f ( t ) ( t − m )2 < m > m < −2 Ví dụ 8: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = − 5x − nghịch biến khoảng − 5x − m 1 0; 5 m ≤ A 1 ≤ m < B m ≤ C ≤ m < D m > Lời giải Đặt t= − x ⇒ t ′= −5 0 1≤ m < 2 (t − m) m < Ví dụ 9: Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số = y m ( x2 − 2x ) − ( x − 3) x − − x đồng biến tập xác định A m ≥ B m ≥ C m ≥ D m ≥ Lời giải Ta có: = y m ( x2 − 2x ) − Đặt t = y′ 2m ( x − 1) − x − − 1; ∀x ≥ ( x − 3) x − − x → = x − ≥ ⇒ t′ = > ( ∀x > 3) ⇔ x = t + , y=′ f ( t= ) 2m ( t + ) − 2t − x −3 Để hàm số đồng biến tập xác định f ( t ) > 0; ∀t ≥ ⇔ 2m ( t + ) ≥ 2t + 1; ∀t ≥ ⇔ 2m ≥ 2t + 2t + ; ∀t ≥ ⇒ 2m ≥ max g ( t ) với hàm số g ( t ) = 2 [0;+∞ ) t +2 t +2 ( t − 1) ≤ ⇔ g t ≤ ⇒ max g t =1 2t + Mặt khác g ( t ) − = − =− () () [0;+∞ ) t +2 t +2 Vậy 2m ≥ ⇔ m ≥ giá trị cần tìm Chọn B Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến hàm số hợp cho trực tiếp Phương pháp giải: Công thức đạo hàm hàm hợp f ( u ) ′ = f ′ ( u ) u ′ Lập bảng xét dấu y′ hàm số cho kết luận Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) a) Tìm khoảng đồng biến hàm số g (= x ) f (1 − x ) b) Tìm khoảng nghịch biến hàm số h = ( x ) f ( x + 3) Lời giải a) Ta có: g ′ ( x ) = f ′ (1 − x ) (1 − x )′ = −2 (1 − x − 1) (1 − x ) − 1 (1 − x + 1) f (1 − x ) ′ = ⇒ g′( x) = −8 x (1 − x )( − x ) = −16 x ( x − 1)( x − 1) Bảng xét dấu cho g ′ ( x ) x −∞ g′( x) − − + +∞ − 1 Vậy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ;1 4 b) Ta có: h′ ( x ) = f ( x + 3) ′ = f ′ ( x + 3) ( x + 3)′ = ( x + − 1) ( x + 3) − 1 ( x + + 1) ⇒ h′ ( x ) = ( x + ) ( x + )( x + ) < Bảng xét dấu cho h′ ( x ) x h′ ( x ) −5 −4 −∞ + − −2 + +∞ + −5 Vậy hàm số h ( x ) nghịch biến khoảng −4; Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − ) a) Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số g= ( x ) f ( x2 − 2) 3x b) Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số h ( x ) = f (1 − x ) + − 5x + Lời giải a) Ta có: g ′= ) x ( x − + 1)( x − −= ) x ( x − 1)( x − ) ( x ) x f ′ ( x −= Bảng xét dấu cho g ′ ( x ) x −2 −∞ g′( x) + −1 − + − +∞ + Vậy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ; (1;1) ( 2; +∞ ) Vậy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −2; −1) (1; ) b) Ta có: h′ ( x ) = f ′ (1 − x ) + x − =− f ′ (1 − x ) + x − =− (1 − x + 1)(1 − x − ) + x − =( x − )( −1 − x ) + x − =− x + x − =− ( x − 1) ( x − 3) Bảng xét dấu cho h′ ( x ) x −∞ +∞ h′ ( x ) − + − Vậy hàm số h ( x ) đồng biến khoảng (1;3) nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 3; +∞ ) Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x= ) x2 − x a) Tìm khoảng đơn điệu hàm số g ( x= ) f ( x + 1) − 12 x 16 x3 b) Tìm khoảng đơn điệu hàm số h ( x= − 16 x + ) f (x )+ Lời giải a) Ta có: g ′ (= x ) f ′ ( x + 1) −= 12 ( x + 1) − ( x + 1) − 12 = ( x + x − 6= ) ( x + 3)( x − 1) Bảng xét dấu cho g ′ ( x ) x − −∞ h′ ( x ) + − +∞ + 3 Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞; − (1; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng 2 − ;1 b) Ta có: h′ ( x= ) x f ′ ( x 2=) x( x − x ) + 16 x − 16= x3 ( x − 1) + 16 ( x − 1=) ( x − 1)( x3 + 8) Bảng xét dấu cho h′ ( x ) x −2 −∞ g′( x) − −1 + − +∞ + Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −2; −1) (1; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ( −1;1) Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − )( x − 5) ∀x ∈ Tìm khoảng đồng biến hàm số = y f ( x2 + 2) − x4 + 2 A ( −1;1) B ( 0; ) C (1; +∞ ) D ( −3;0 ) Lời giải Ta có: = y f ( x + ) − x + ⇒ y=′ x f ′ ( x + ) − x= x.x ( x + − ) − x = x ( x − 2= ) x3 ( x − 1)( x + 1) Bảng xét dấu cho y′ x −1 −∞ y′ − + +∞ − + Dựa vào bảng xét dấu suy hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Chọn C Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =x ( x − 1) ( x − 1) hàm số g= ( x ) f ( x + ) Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng sau đây: 3 B −2; − 2 A ( −∞; −2 ) 3 C 2; 2 3 D ; +∞ 2 Lời giải Ta có: g ′ ( x ) = f ( x + ) ′ = = ( x + ) ( x + − 1) ( x + ) − 1 ( x + ) ( x + 1) ( x + 3) < ⇔ ( x + )( x + 3) < ⇔ −2 < x < − 3 3 Suy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng −2; − Chọn B 2 Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =( x + x ) ( x − ) hàm số g= ( x ) f ( x − 1) Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng sau đây: A ( −1;0 ) B ( 0;1) C ( −2; −1) D ( −1;1) Lời giải Ta có: f ′ ( x ) = ( x + x ) ( x − ) = x ( x + 1)( x − ) 2 ′ Khi g ′ ( x ) = f ( x − 1) = ( x − 1)′ f ′ ( x − 1) x > = x ( x − 1) x ( x − 1) − > ⇔ x ( x − 1) > ⇔ −1 < x < Suy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) Chọn A Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định , biết f ′ ( x= ) x + x , hàm số = y f ( x − 1) đồng biến khoảng sau đây? A (1; ) B ( −1;1) C ( 0;1) Lời giải Ta có cơng thức đạo hàm hàm hợp f ( u ) ′ = f ′ ( u ) u ′ ( x ) D ( −∞; −1) ′ Do f ( x − 1) = f ′ ( x − 1) x = ( x − 1) x3 x > ′ Vẽ bảng xét dấu ta có: f ( x − 1) > ⇔ −1 < x < Do hàm số y f ( x − 1) đồng biến khoảng ( −1;0 ) (1; +∞ ) Chọn A = 5x Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =x ( x − 1) ( x − ) Hỏi hàm số y = f đồng x +4 biến khoảng đây? A ( −∞; −2 ) B ( 0; ) C ( 2; ) D ( −2;1) Lời giải − x2 x2 + − 2x2 x ′ Ta có: = 5.= 2 x +4 ( x2 + 4) ( x2 + 4) − x2 5x 5x 5x 5x ′ Xét hàm= số: y f = ⇒ − 1 − 2 > y 2 x +4 ( x + 4) x + x + x + ⇔ ( − x ) x ( x − x − ) > ⇔ ( x + ) x( x − 2) ( x − x + ) > x > ⇔ ( x + ) x( x − 2) > ⇔ −2 < x < 5x Vậy hàm số y = f đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) nên đồng biến khoảng ( 2; ) x +4 Chọn C Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x )= x + x − ∀x ∈ Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = f ( x ) − 18 x + A ( 0;1) C (1;3) B ( −2;0 ) D ( 2; +∞ ) Lời giải Ta có:= y f ( x ) − 18 x + ⇒= y′ x f ′ ( x ) − 36 = x x f ′ ( x ) − 18 ⇔ x ( x + x − − 18 = ) x ( x − )( x + 5) Bảng xét dấu cho y′ x y′ −2 −∞ − + − +∞ + Dựa vào bảng xét dấu suy hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) Chọn A Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x − ) Hàm số= y f ( − x ) đồng biến khoảng nào? A ( −∞;0 ) B ( 0;1) C ( 2; +∞ ) D (1; ) Lời giải Ta có: f ′ ( x )= x ( x − 1) ( x − )= x ( x − 1)( x − )( x + ) Khi đó: y = f ( − x ) ⇒ y′ = − ( − x ) (1 − x )( − x )( − x ) = ( x − ) x ( x − 1)( x − ) > 2 x > ⇔ x ( x − 1)( x − ) > ⇔ 0 < x < Vậy hàm số= y f ( − x ) đồng biến khoảng ( 0;1) Chọn B Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x ) =+ ( x 3) ( x + x ) Hàm số x4 g ( x= ) f ( x + x ) + + x3 + x đồng biến khoảng sau đây? 2 A ( −2; −1) C ( 0;1) B ( −1;0 ) D ( −4; −3) Lời giải Ta có: f ′ ( x ) =( x + 3) ( x + x ) ; g ′ ( x ) =( x + ) f ′ ( x + x ) + x3 + x + x = ( x + 1) ( x + x + 3)( x + x )( x + x + 1) + x ( x + x + ) = x ( x + 1)( x + ) ( x + x + 3)( x + x + 1) + 1 Do x + x + 1= ( x + 1) ≥ ( ∀x ∈ ) nên ( x + x + 3)( x + x + 1) + > ( ∀x ∈ ) x > Do g ′ ( x ) > ⇔ x ( x + 1)( x + ) > ⇔ −2 < x < −1 Vậy g ( x ) đồng biến khoảng ( −2; −1) (1; +∞ ) Chọn A Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp xác định liên tục thỏa mãn ( f ′ ( x )) + f ( x ) f ′′ ( x= ) x ( x − 1)( x − ) , ∀x ∈ Hàm số g ( x ) = f ( x ) f ′ ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( 0; ) B ( −∞;0 ) C ( 2; +∞ ) D (1; ) Lời giải x > Ta có: g′ ( x )= f ( x ) f ′ ( x ) ′= f ( x ) f ′′ ( x ) + f 2' ( x )= x ( x − 1)( x − ) > ⇔ 0 < x < Do hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (1; +∞ ) nên đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) Chọn C Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + mx + 16 ) Có số nguyên dương tham số m để hàm số= y f ( − x ) đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) ? A B C D Lời giải Ta có: y = f ( − x ) ⇒ y′ = − ( − x )( − x ) ( t + mt + 16 ) với t = − x, x > ⇒ t < Hàm số đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) ⇔ ( x − )( x − 3) t + mt + 16 ≥ ( ∀x ∈ ( 4; +∞ ) ) ⇔ t + mt + 16 ≥ ( ∀t < ) ⇔ t + 16 ≥ −mt ( ∀t < ) ⇔ −t + ⇔ g ( t ) ≥ m , với g ( t ) =−t − ( −∞ ;0 ) −16 ≥ m ( ∀t < ) t 16 t −16 Mặt khác theo BĐT AM – GM ta có: g ( t ) ≥ −t =8 ⇒ m ≤ giá trị cần tìm t Kết hợp m ∈ + ⇒ có giá trị nguyên dương m Chọn B Loại 3: Tính đồng biến, nghịch biến hàm số hợp cho qua bảng biến thiên đồ thị Phương pháp giải: Giả sử giả thiết toán cho đồ thị hàm f ′ ( x ) với x ∈ hình vẽ Đối với tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số y = f ( x ) ta dựa đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến Đối với tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm hợp y = f ( u ) ta làm sau: Ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu qua điểm= x b= , x c= , x d f ′ ( x ) không không đổi dấu điểm= x a= , x e nên ta thiết lập biểu thức đạo hàm: f ′ ( x ) =k ( x − a ) ( x − b )( x − c )( x − d )( x − e ) 2 Trong hệ số k > lim f ′ ( x ) > k < lim f ′ ( x ) < x →+∞ x →+∞ Trong hình vẽ ta thấy k > (vì x → +∞ f ′ ( x ) > nên ta giả sử: f ′( x) = ( x − a ) ( x − b )( x − c )( x − d )( x − e ) từ suy đạo hàm hàm hợp f ( u )′ = u′ f ′ ( u ) Từ 2 lập bảng xét dấu kết luận Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số cho nghịch biến khoảng sau đây? A ( 0; ) B (1;3) C ( −1;1) D ( −∞; ) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy < x < đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm trục hoành nên f ′ ( x ) < ⇒ hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng (1;3) Chọn B Ví dụ 2: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2018] Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số= y f ( − x ) đồng biến khoảng sau đây? A (1;3) B ( 2; +∞ ) C ( −2;1) D ( −∞; −2 ) Lời giải Cách 1: Giả sử f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − ) ta có: f ( − x ) ′ = f ′ ( − x ) ( − x )′ =− f ′ ( − x ) =− ( − x + 1)( − x − 1)( − x − ) =( x − 3)( x − 1)( x + ) > Bảng xét dấu f ( − x ) ′ x y′ −2 −∞ − + − +∞ + Vậy hàm số đồng biến ( −2;1) ( 3; +∞ ) Cách 2: Ta có: f ( − x ) ′ =f ′ ( − x ) ( − x )′ =− f ′ ( − x ) > ⇔ f ′ ( − x ) < − x < −1 x > Dựa vào đồ thị ta có: f ′ ( − x ) < ⇔ ⇔ 1 < − x < −2 < x < Vậy hàm số đồng biến ( −2;1) Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu sau: x y′ −2 −∞ + 0 − + +∞ − Hàm số = y f ( x − ) nghịch biến khoảng đây? A ( −2;0 ) B ( 2; +∞ ) C ( 0; ) D ( −∞; −2 ) Lời giải − ( x + 2) x ( x − 2) Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử f ′ ( x ) = (Chú ý: Do lim f ′ ( x ) < nên ta chọn k = −1 ) x →+∞ Khi y = f ( x − ) ⇒ y′ = −2 x.x ( x − )( x − ) < x > ⇔ ( x + ) x + x x − ( x − ) > ⇔ 0 < x < −2 < x < − ( ) ( ) Vậy hàm số = y f ( x − ) nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) Chọn B Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ đây: x y′ −1 −∞ + − +∞ + Hàm số= y f ( − x ) đồng biến khoảng đây? A ( −∞;0 ) B ( 4;6 ) C ( −1;5 ) Lời giải D ( 0; ) Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − 3) Khi y =f ( − x ) ⇒ y′ =− ( − x + 1)( − x − 3) =− ( − x )( − x ) > ⇔ x ( x − ) < ⇔ < x < Do hàm số= y f ( − x ) đồng biến khoảng ( 0; ) Chọn D Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số = y f ( − x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( 0;1) B ( −1;0 ) C ( 2;3) D ( −2; −1) Lời giải Giả sử f ′ ( x ) = −2 x f ′ ( − x ) ( x + )( x + 1)( x − ) , ta có: y =f ( − x ) ⇒ y′ = x ( x − )( x − )( x − 1) = −2 x ( − x + )( − x + 1)( − x − ) = Bảng xét dấu cho y′ : x −3 −∞ y′ − −2 + 0 −1 − + − + − +∞ + Do hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số g (= x ) f (1 − x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( −1;0 ) B ( −∞;0 ) C ( 0;1) D (1; +∞ ) Lời giải Giả sử f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − )( x − ) 2 Suy g ′ ( x ) =f ′ (1 − x ) (1 − x )′ = ( − x )( −2 x )( −1 − x )( −3 − x ) ( −2 ) > x > x ) f (1 − x ) đồng biến khoảng (1; +∞ ) ⇔ ( x − 1) x ( x + 1) > ⇔ ⇒ hàm số g (= − < x < Chọn D Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) x ) f ( − x ) nghịch có đồ thị hình bên Hàm số g (= biến khoảng sau đây? A ( 0; ) B (1;3) C ( −∞; −1) D ( −1; +∞ ) Lời giải Giả sử f ′ ( x ) = ( x + )( x − )( x − 5) Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( − x ) ( − x )′ = ( − x )(1 − x )( −2 − x ) ( −2 ) < x < −1 ⇔ ( x − )( x − 1)( x + 1) < ⇔ ⇒ hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) Chọn C ⇔ − ( x − ) ( x − x + 3) ( x − x + 1) ( x − x ) < ⇔ ( x − ) x ( x − ) < 0 < x < Do hàm số y= f ( x − x + 3) nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) Chọn B Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ′ ( x ) liên tục có đồ thị hình bên x ) f ( x ) − x + x − đồng biến khoảng sau Hàm số g (= đây? A ( −∞; −1) , (1; ) B ( −1;1) , ( 2; +∞ ) C ( −1; ) D ( −∞; −1) , ( 2; +∞ ) Lời giải Ta có: g ′= ( x) f ′( x) − 2x + > ⇔ f ′( x) > x − Vẽ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) y= x − hệ trục tọa độ Oxy, ta thấy với x > −1 < x < đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm đường thẳng y= x − x > Vậy nên f ′ ( x ) > x − ⇔ −1 < x < ( −1;1) , Do hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) Chọn B Ví dụ 10: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2019] Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x f ′( x) −∞ − + + − +∞ + y f ( x + ) − x3 + x đồng biến khoảng đây? Hàm số = A (1; +∞ ) B ( −∞; −1) C ( −1;0 ) Lời giải D ( 0; ) Ta có: y′ =3 f ′ ( x + ) − x + 3; y′ =0 ⇔ f ′ ( x + ) =x − 1(*) Đặt t= x + , (*) ⇔ f ′ ( t ) = ( t − ) − = t − 4t + Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy t ∈ (1; ) → f ′ (t ) > Và t − 4t + < 0; ∀t ∈ (1; ) suy f ′ ( t ) > t − 4t + ⇔ < t < Do y′ > ⇔ < x + < ⇔ −1 < x < Vậy hàm số đồng biến ( −1;0 ) Chọn C Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục , đạo hàm f ′ ( x ) có bảng xét dấu sau: x −∞ f ′( x) + − − + +∞ − x3 Hàm số y= f ( x + 1) − + x nghịch biến khoảng đây? A ( 2;3) B (1; ) C ( 3; ) D ( 0;1) Lời giải Ta có: y=′ f ′ ( x + 1) − x + Đặt t= x + , = = y′ f ′ ( t ) − ( t − 1) + f ′ ( t ) − t + 2t Để hàm số nghịch biến y′ < f ′ (t ) < f ′ ( t ) < Ta chọn t cho: ⇔ t > ⇔ t ∈ ( 2;3) ⇒ x ∈ (1; ) −t + 2t < t < Vậy hàm số nghịch biến khoảng (1; ) Chọn B Ví dụ 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm f ′ ( x ) hình bên hàm số g (= x ) f ( x + x + ) Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( −1;0 ) B ( 0;1) 1 C −2; − 2 D ( −4; −2 ) Lời giải Giả sử f ′ ( x ) = ( x + )( x − )( x + 1) ′ Khi g ′ ( x )= f ( x + x + ) = (x + x + )′ f ′ ( x + x + ) x > = ( x + 1) ( x + x + )( x + x )( x + x + 3) > ⇔ ( x + 1) x ( x + 1) > ⇔ −1 < x < − 2 2 Suy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 0;1) Chọn B Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm f ′( x) g ( x) = hình vẽ Xét hàm số 3 x + x − x − f ( x ) Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3; −1) B Hàm số nghịch biến khoảng (1;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) Lời giải 3 Khẳng định Ta có: g ′ ( x ) = x + x − − f ′ ( x ) = 2 Parabol y = x + 3 x − = h ( x ) qua điểm ( −3;3) , ( −1; ) (1;1) 2 x = −3 Dựa vào tương giao hai đồ thị ta có: g ′ ( x ) = ⇔ x = h ( x) − f ′( x) = −1 x = Khi x → +∞ f ′ ( x ) < x + x f ′( x) 3 x − ⇒ g ' ( x ) > ta có bảng xét dấu 2 −3 −∞ − −1 + − +∞ + Dựa vào bảng xét dấu suy hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) nên hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) Chọn C Ví dụ 14: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x ) − x3 + 2018 nghịch biến khoảng sau A ( −1;1) B ( −1;0 ) C ( 0; ) D ( −2; −1) Lời giải ′ ( x ) f ′ ( x ) − x , parabol y = x qua điểm ( −1;1) , ( 0;0 ) , (1;1) nằm đồ thị Ta có: g= (Parabol y = x có đồ thị đậm hình vẽ dưới) x = −1 Dựa vào tương giao hai đồ thị ta có f ′ ( x ) − x = ⇔ x= , x → −∞ ⇒ f ′ ( x ) < x x = Từ đó, ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x g′( x) −1 −∞ + − + Do hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;0 ) Ví dụ 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số g ( x= ) f ( x ) − x3 + x − x nghịch biến khoảng sau A ( 0;1) B (1; ) C ( −1;1) D ( 2; +∞ ) Lời giải +∞ − Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x + x − = ⇔ f ′ ( x ) = ( x − 1) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Parabol = y ( x − 1) ta có: x = f ′ ( x ) = ( x − 1) ⇔ x =1 Từ ta có bảng xét dấu g ′ ( x ) sau: x = 2 x g′( x) −∞ − + Do hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng (1; ) Chọn B Ví dụ 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ − +∞ + Hàm số = y f ( x − x + 1) + 2018 giảm khoảng A ( −∞;1) B ( 2; +∞ ) C ( 0;1) D (1; ) Lời giải = y f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) đổi dấu qua điểm x = Dựa vào đồ thị hàm số −1; x = Giả sử f ′ ( x )= k ( x + 1)( x − 1) , lim f ( x ) > ⇒ k > ta có: x →+∞ y = f ( x − x + 1) + 2018 ⇒ y′ = ( x − ) f ′ ( x − x + 1) = k ( x − ) ( x − x + )( x − x ) 1 < x < 2 = 2k ( x − 1) x ( x − ) ( x − 1) + 1 < ⇔ x ( x − 1)( x − ) < ⇔ x < Do hàm số giảm khoảng (1; ) Chọn D Ví dụ 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm y = f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số g (= x ) f ( x ) + ( x + 1) đồng biến khoảng sau A ( −3;1) B (1;3) C ( −∞;3) D ( 3; +∞ ) Lời giải ′ ( x ) f ′ ( x ) + ( x= Ta có: g= + 1) f ′ ( x ) − ( − x − 1) > ⇔ f ′ ( x ) > − x − x = −3 Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) y =− x − ta có f ′ ( x ) =− x − ⇔ x =1 x = Dễ thấy x → +∞ − x − > f ′ ( x ) ⇒ g ′ ( x ) < ta có bảng xét dấu g ′ ( x ) x g′( x) −3 −∞ + − + Hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞;3) (1;3) Chọn B Ví dụ 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm h ( x ) f ( x ) − x Hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Đặt = y = h ( x ) đồng biến khoảng sau A ( −∞; −2 ) B ( 2; ) C ( −2; ) D ( 2; +∞ ) Lời giải Ta có: h′= x f ′ ( x ) − x > ⇔ f ′ ( x ) > x ( x ) f ′ ( x ) −= +∞ − x = −2 Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) y = x ta có f ′ ( x ) =x ⇔ x =2 x = Lập bảng xét dấu cho h′ ( x ) x −2 −∞ h′ ( x ) − + +∞ − + Dựa vào bảng xét dấu suy hàm số y = h ( x ) đồng biến khoảng ( −2; ) Chọn C Ví dụ 19: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm y = f ′ ( x ) Parabol hình vẽ bên Hàm số y = f (1 − x ) + x đồng biến khoảng sau đây? A ( −∞; −1) ( B ) ( 2; +∞ ) ( ) D 1; C − 2;0 Lời giải Giả sử f ′ ( x ) = k ( x − 1)( x − ) , f ′ ( ) =2 ⇒ k =1 ⇒ f ′ ( x ) =( x − 1)( x − ) Khi đó: y = f (1 − x ) + x ⇒ y′ = −2 x (1 − x − 1)(1 − x − ) + 12 x = −2 x x ( x − 1) − = −2 x ( x − 3)( x + ) Bảng xét dấu x y′ − −∞ + ( − ) ( + +∞ − ) Do hàm số đồng biến khoảng 0; −∞; − Do hàm số đồng biến khoảng (1; ) Chọn D Ví dụ 20: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau: x −∞ -1 +∞ +∞ f ′( x) −∞ −2 Bất phương trình f ( x ) > x3 − x − x + m với x ∈ ( −1;1) A m < f ( −1) − B m < f ( −1) − C m ≤ f (1) + D m < f (1) + Lời giải Bất phương trình f ( x ) > x − x − x + m ⇔ f ( x ) − ( x3 − x − x ) > m ( ∀x ∈ ( −1;1) ) Xét g ( x= ) f ( x ) − ( x3 − x − 3x ) ⇒ g ′ ( x=) f ′ ( x ) − ( 3x − x − 3) Do Parabol y = x − x − qua điểm ( −1; ) (1; −2 ) nên ta thấy f ′ ( x ) ≥ x − x − ( ∀x ( −1;1) ) suy hàm số g ( x= ) f ( x ) − ( x3 − x − 3x ) đồng biến khoảng ( −1;1) nên g ( x ) > g ( −1) ( ∀x ( −1;1) ) Suy m ≤ f ( −1) − giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 21: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ đây, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) Hàm 5 số h ( x )= f ( x + ) − g x + đồng biến khoảng 2 đây? 21 A ; +∞ 1 B ;1 4 21 C 3; 5 17 D 4; 4 Lời giải Ta có: h′ ( x = ) f ′ ( x + ) − g ′ x + > 2 Trên đoạn [3;8] , ta f ′= ( x ) f= ( 3) 10; max g ′= ( x ) g= (8) [3;8] [3;8] Do f ′ ( x ) − g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( x ) > g ′ ( x ) ; ∀x ∈ ( 3;8 ) 3 < x + < 5 1 Nếu ⇒ < x < f ′ ( x + ) > g ′ x + ⇒ h′ ( x ) > khoảng ; 2 4 3 < x + < 1 Vậy hàm số cho đồng biến khoảng ; Chọn B 4 Ví dụ 22: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ đây, đường cong đậm đồ thị hàm số 7 y = g ′ ( x ) Hàm số h ( x )= f ( x + 3) − g x − đồng biến 2 khoảng đây? 13 A ; 4 29 B 7; 36 C 6; 36 D ; +∞ Lời giải Ta có: h′ ( x= ) f ′ ( x + 3) − g ′ x − > 2 Trên đoạn [3;8] , ta f ′= ( x ) g= (8) ( x ) f= ( 3) 10; max g ′= [3;8] [3;8] Do f ′ ( x ) − g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( x ) > g ′ ( x ) ; ∀x ∈ ( 3;8 ) 3 < x + < 13 7 13 Nếu ⇒ < x < f ′ ( x + 3) > g ′ x − ⇒ h′ ( x ) > khoảng ;5 2 4 3 < x − < 13 Vậy hàm số cho đồng biến khoảng ; Chọn A 4 DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn 1: Giải phương trình h ( x ) = g ( x ) Biến đổi vận dụng kết quả: Nếu hàm số f ( t ) đồng biến nghịch biến D phương trình f ( t ) = có tối đa nghiệm với u , v ∈ D f ( u= u v ) f ( v ) ⇔= Bài toán 2: Giải bất phương trình h ( x ) < g ( x ) Biến đổi bất phương trình dạng f ( u ) < f ( v ) sử dụng kết quả: Hàm số f ( t ) đồng biến D u , v ∈ D ta có f ( u ) < f ( v ) ⇔ u < v Hàm số f ( t ) nghịch biến D u , v ∈ D ta có f ( u ) < f ( v ) ⇔ u > v Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) x − x + x + 11 − − x = ) ( b) x + + − x x − − x =0 Lời giải 2 x3 − x + x + 11 ≥ a) Điều kiện ( D) x ≤ Xét hàm số f ( x= ) x3 − x + x + 11 − − x ; x ∈ ( D ) 3x − 3x + Ta có: f ′ ( x ) = 2 x − x + x + 11 + > 0, ∀x ∈ ( D ) nên hàm số đồng biến D 5− x Phương trình cho trở thành f ( x= ) 3= f ( ) ⇒ x= Thử lại thu nghiệm x = b) Điều kiện x ≤ Phương trình cho tương đương với x3 + x = ( − x ) − x ⇔ x3 + x = ( − x ) − x + − x (1) Xét hàm số f ( t = ) 2t + t; t ∈ ⇒ f ′ ( t =) 6t + > 0, ∀t ∈ , hàm số liên tục đồng biến Khi (1) ⇔ f ( x ) = f ( ) 3− x ⇔ x = 0 ≤ x ≤ 3− x ⇔ ⇔x= x + x − = Kết luận phương trình để có nghiệm x = 13 − 13 − Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) + = 3− x 2− x b) x3 − + x − + x =4 Lời giải f ( x) a) Điều kiện x < Xét hàm số = = f ′( x) 3− x (3 − x ) + 2− x (2 − x) 8 + − 6, x ∈ ( −∞; ) , ta có: 3− x 2− x > 0, ∀x ∈ ( −∞; ) Suy hàm số f ( x ) liên tục đồng biến miền ( −∞; ) 3 3 Mặt khác f = nên phương trình f ( x ) = có nghiệm x = Kết luận S = 2 2 b) Điều kiện x3 ≥ Xét hàm số f ( = x) x3 − + x − + x; x ∈ ; +∞ Ta có f ′( x) = 15 x 2 x3 − + 3 ( x − 1) > 0, ∀x ∈ ; +∞ nên hàm số đồng biến ; +∞ x Kết luận tập nghiệm S = {1} Bài toán trở thành f ( x= ) f (1) ⇔ = Ví dụ 3: Giải phương trình a) x3 − x + 12 x − =− x3 + x − 19 x + 11 b) x3 + x + x + 2= ( 3x + ) 3x + Lời giải a) Điều kiện x ∈ Phương trình cho tương đương với ⇔ x3 − x + x − + ( x + 1) = − x3 + x − 19 x + 11 + − x3 + x − 19 x + 11 ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = − x3 + x − 19 x + 11 + − x3 + x − 19 x + 11 ( *) Xét hàm số f ( t )= t + 2t ta có f ′ ( t = ) 3t + > 0, ∀t ∈ Do hàm số f ( t ) liên tục đồng biến Khi (*) ⇔ f ( x − 1) = f ( − x3 + x − 19 x + 11 ) ⇔ x − = − x3 + x − 19 x + 11 ⇔ x3 − 3x + 3x − = − x3 + x − 19 x + 11 ⇔ x3 − x + 11x − =⇔ ( x − 1)( x − )( x − 3) = ⇒ x ∈ {1; 2;3} Kết luận tập hợp nghiệm S = {1; 2;3} b) Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với ( 3x + + 1) x3 + x + x + + x + 1= x + ⇔ ( x + 1) + x + 1= ( 3x + 1) 3x + + 3x + Xét hàm số f ( t ) = t + t , t ∈ ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ , hàm số liên tục đồng biến Thu f ( x + 1= ) f ( ) x + ⇔ x += x ≥ −1 ⇔ x ∈ {0;1} 3x + ⇔ x + x + = 3x + Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho có hai nghiệm= x 0;= x Ví dụ 4: Giải phương trình x + 3x − = 2x +1 + ( 2x + 2) ( ) x + − tập số thực Lời giải 2 x + ≥ Điều kiện ⇔ x ≥ − , ta có phương trình cho x + ≥ x = ( x + 4) = x + + ( x − 1)( x + ) = ( x − 1)( x + ) ⇔ ⇔ 2x +1 + x+3 +2 ( 2x + 2) ( *) x+3 +2 Giải phương trình (*), có ( *) ⇔ ⇔ ( x + +1 = 2x +1 + ) 2x +1+1 ⇔ ( x + + 1) x+3 +2 x+3 +2 ( x+3 ) + x += ( ( ) x + + 2= ) 2x +1 + ( ( x + + 1) ( ) 2x +1 + ) 2x +1 + 2x +1 x + ≥ Xét hàm số f ( t ) =t + 2t + t , với điều kiện t ≥ , có x + ≥ f ′ ( t )= 3t + 4t + > 0, ∀t ≥ f ( t ) hàm số đồng biến liên tục [ 0; +∞ ) nên suy f ( ) x + 3= f ( ) x + ⇔ x + 3= 2x +1 ⇔ = x Vậy phương trình cho có nghiệm= x 1;= x Ví dụ 5: Giải phương trình x2 + x + = x x2 − x + ( ) ( x ∈ ) x + −1 Lời giải Điều kiện x ≥ −3 Phương trình cho tương đương với ( x + 2= )( x + ) x2 − x + Đặt x = −2 ⇔ ( x + 4) = x + +1 ( x − 1)2 + x ( x + 2) x + 3= u; x −= v ta thu (1) ⇔ x x + +1 (1) u2 +1 v +1 = ⇔ u + u + u = v3 + v + v v +1 u +1 Xét hàm số f ( t ) = t + t + t ; t ∈ ⇒ f ′ ( t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t ∈ Hàm số liên tục đồng biến tập số thực nên x ≥ x ≥ + 17 f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ x + = x −1 ⇔ ⇔ ⇔x= 2 x + = x − x + x − 3x − = Kết luận tốn có nghiệm x = + 17 ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Ví dụ 6: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ) 4 x + y + − x = Lời giải Điều kiện x ≤ , y ≤ Phương trình thứ hệ tương đương ( x + 1) x =( − y + 1) − y Khi phương trình (1) có dạng: f = ( 2x) f ( (1) ) − y với f ( t ) =( t + 1) t =t + t ( t ∈ ) Ta có: f ′ ( t = ) 3t + > ( ∀t ∈ ) ⇒ f ( t ) đồng biến x ≥ Do (1) ⇔ x = − y ⇔ − x2 y = 2 5 Thế vào phương trình (2) ta được: x + − x + − x − = 2 Do= x 0;= x ( 3) khơng phải nghiệm phương trình 5 Xét hàm số g ( x ) = x + − x + − x − khoảng 2 Ta có: g ′ ( x ) = x − x ( − x ) − 3 0; 4 4 = x ( x − 3) − < ⇒ g ( x ) nghịch biến − 4x − 4x 1 Mặt khác g = ⇒ ( 3) có nghiệm x = ⇒ y = 2 1 Vậy nghiệm hệ phương trình ; 2 20 − x − 17 − y − x − x + y − y = Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau: 2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 Lời giải Điều kiện: x ≤ 6; y ≤ 5; x + y + ≥ 0; x + y + 11 ≥ Khi đó: PT (1) ⇔ ( 20 − x ) − x = ⇔ ( ) − x 3 ( − x ) + = (17 − y ) 5− y − y 3 ( − y ) + Xét hàm f ( t ) = t ( 3t + ) ( t ∈ ) ⇒ − x = − y ⇔ y = x − Thế vào PT(2) ta có: x + + x + = x + x + 13 ⇔ ( x2 + x ) + + 1 = 3x + + x + x + + 3x + Do x ∈ − ;6 ⇒ x =0; x =−1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) x ( y + ) ( x + 1)( y + 1) x + x +1 = Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau: ( x − x − ) y + 1= ( x + 1) Lời giải y ≥ −1 Điều kiện: Ta có: PT (1) ⇔ x > −1 x3 + x + x ⇔ = ( x + 1) x + x2 x + =+ ( y 2) y + x + ( x + 1) x + x x = y +1 ⇔ + x +1 x +1 ( y + 2) ( ) y +1 + y +1 Xét hàm số: f ( t ) =t + t ( t ∈ ) đồng biến x Ta có: f = f x +1 ( ) y + ⇔ x= ( x + 1)( y + 1) vào PT(2) ta có: x ( x2 − x − 2) = ( x + 1) ⇔ x3 − x ( x + 1) − ( x + 1) x + 1= x +1 x + ta có: x3 + xz − z = ⇔ x = z z Đặt = x ≥ ⇔ x = x +1 ⇔ ⇔ x = ± 2 ⇒ y =3 x= x + Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y= ) (2 ± ) 2;3 2 x + x + + x + = y + y + y + Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: 2 x + y − x + y = Lời giải Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ − Khi ta có: (1) − ( ) ta có: x + x + + x + 2= y + y + y + ⇔ ( x + ) + x + 2= ( y + 1) Khi ta có: f ( x= + 2) f ( + y + Xét hàm số f ( t = ) t + t đồng biến ( 0; +∞ ) ) y +1 ⇔= x + y vào PT(2) ta có: = x y 1;= ( y − 1) + y − ( y − 1) + y = ⇔ y − y + = ⇔ y= ; x= − 2 1 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (1;1) ; − ; 6 Ví dụ 10: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2018] Có giá trị nguyên hàm số m để phương trình m + 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm thực? A B C D Lời giải Đặt m += 3a b 3a b3 m += ⇔ m + 3sin x = a; sin x = b ta có: a3 m + 3b = a m + 3b = ⇒ ( a − b ) = b3 − a = ( b − a ) ( b + ba + a ) ⇔ ( b − a ) ( b + ba + a + 3) = Do b + ab + a + > ⇒ a = b ⇒ m + 3sin x = sin x ⇔ m = sin x − 3sin x = b3 − 3b = f ( b ) Xét f ( b )= b3 − 3b ( b ∈ [ −1;1]) ta có: f ′ ( b= ) 3b2 − ≤ ( ∀b ∈ [ −1;1]) Do hàm số f ( b ) nghịch biến [ −1;1] Vậy f ( b ) ∈ f (1) ; f ( −1) = [ −2; 2] Do PT cho có nghiệm ⇔ m ∈ [ −2; 2] Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn A Ví dụ 11: Có giá trị nguyên hàm số m để phương trình m + m + 2sin x = sin x có nghiệm thực? A B C D Lời giải Điều kiện: sin x ≥ u = sin x Đặt = v m + 2sin x 2v u 2v u m += m += ⇔ ⇒ ( v − u ) = u − v2 ( u, v ≥ ) ⇒ v v m + 2u = m + 2u = ⇔ ( v − u ) = ( u − v )( u + v ) ⇔ ( u − v )( u + v + ) = ( *) Do u , v ≥ nên (*) ⇔ u = v ⇒ m = u − 2u= với u sin x ( u ∈ [ 0;1]) Xét f ( u ) =− u 2u ( u ∈ [ 0;1]) ta có f ′ ( u ) = 2u − ≤ Suy hàm số f ( u ) nghịch biến đoạn [ 0;1] Mặt khác f ( ) =0; f (1) =−1 ⇒ Phương trình có nghiệm m ∈ [ −1;0] m = Kết hợp m ∈ ⇒ Chọn C m = −1 Ví dụ 12: Cho phương trình x x + x + 12 = m = A ( ) − x + − x (1) (m tham số thực) Gọi {m ∈ (1) có nghiệm} Số phần tử tập hợp A là? A 12 B C 21 Lời giải D x x + x + 12 Điều kiện ≤ x ≤ Khi PT ⇔ m = 5− x + 4− x Xét hàm số f ( x ) = g ( x ) h ( x ) g ( x ) = x x + x + 12; h ( x ) = 5− x + 4− x Ta có: g ( x ) > 0; h ( x ) > ( ∀x ∈ [ 0; 4]) 1 + 5− x 4− x > Mặt khác g ′ ( x ) = x + > 0; h′ ( x ) = 2 x + 12 5− x + 4− x ( ) Do hàm số g ( x ) h ( x ) dương đồng biến hàm số f ( x ) = g ( x ) h ( x ) dương đồng biến A m∈ ;12 Do = 2+ [0; 4] , f ( 0= ) ; f ( 4= ) 12 ⇒ (1) có nghiệm 2+ {m ∈ (1) coù nghiệm} có 12 phần tử Chọn A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Hàm số= y x + nghịch biến khoảng nào? −1 A −∞; B (0; +∞) −1 C ; +∞ D (-∞; 0) Câu 2: Cho hàm số y = x − x + x + Mệnh đề đúng? 1 A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 3 1 B Hàm số đồng biến khoảng ;1 3 1 C Hàm số nghịch biến khoảng −∞; 3 D Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 3: Cho hàm số y = x−2 Mệnh đề đúng? x +1 A Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) B Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -1) C Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (-1; +∞) Câu 4: Hàm số đồng biến khoảng (-∞; +∞)? A y = x3 + x − B y = x3 − x + C = y x + 3x D y = x−2 x +1 Câu 5: Cho hàm số y = x + x + Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 0) nghịch biến khoảng (0; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (-∞; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0) đồng biến khoảng (0; +∞) Câu 6: Hàm số y = A (0; +∞) nghịch biến khoảng đây? x +1 B (-1; 1) C (-∞; +∞) D (-∞; 0) Câu 7: Hàm số đồng biến khoảng (-∞; +∞)? A y = x +1 x+3 B = y x3 + x C y = x −1 x−2 D y = − x3 − 3x Câu 8: Cho hàm số = y x − x Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (0;2) B Hàm số nghịch biến khoảng (2; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (0;2) D Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0) Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f’ ( x ) = x + 1, ∀x ∈ Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0) B Hàm số nghịch biến khoảng (-1; 1) C Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (-∞; +∞) Câu 10: Cho hàm số = y x − 2x Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -2) B Hàm số đồng biến khoảng (-1; 1) C Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -2) D Hàm số đồng biến khoảng (-1; 1) Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x -∞ -2 y' + 0 - - +∞ + Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (-2; 0) B Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) C Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 0) D Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 2) Câu 12: Cho hàm số = y x + Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (-1; 1) B Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 0) D Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) Câu 13: Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 nghịch biến khoảng đây? A (-∞; 2) B (2; +∞) Câu 14: Tìm khoảng đồng biến hàm số y = C (0; 2) x − x + 24 A (-∞; 0) B (0; 4) (-∞; 0) C (2; +∞) D (-∞; 0) (4; +∞) Câu 15: Hàm số y = x − x + đồng biến khoảng A (-∞; -4) (-4; 0) B (-4; 0) (0; 4) C (-4; 0) (4; +∞) D (-∞; -2) (-2; 0) Câu 16: Hàm số = y 1 A ;1 2 x − x nghịch biến khoảng đây? 1 B 0; 2 Câu 17: Hàm số y = x2 − 2x đồng biến khoảng x −1 A (-∞; 1) ∪ (1; +∞) B (-∞; 1) (1; +∞) Câu 18: Hàm số y = D (-∞; 0) C ( −∞;0 ) D (1; +∞ ) C R\{1} D (-∞; +∞) − x2 + x −1 đồng biến khoảng khoảng đây? x −1 A (0; 1) Câu 19: Hàm số y = B (0; 1) ∪ (1; 2) D (-∞; 1), (2; +∞) x2 − x + đồng biến khoảng sau đây? 1− x A (0; 1) (1; 2) Câu 20: Hàm số y = C (-∞; 1) B (-∞; 0) (2; +∞) C (-∞; 0) (1; 2) D (0; 1) ∪ (1; 2) x2 + x − đồng biến khoảng (các khoảng) sau đây? x +1 A (-2; 1) B (-∞; +∞) C (-∞; -1) (-1; +∞) D (-∞; +∞)\{-1} Câu 21: Trên khoảng nghịch biến hàm số y = A B x − 3x − có chứa số nguyên âm? 2+ x C D Câu 22: Cho hàm số y =x − x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0) (6; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (0; 6) C Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) D Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0) (2; +∞) Câu 23: Hàm số sau đồng biến R? A y = x3 – 2x – B y = x2019 + x2021 – C y = -x3 + x + D y = x2018 + x2020 – Câu 24: Hàm số sau đồng biến tập xác định A y = x +1 x+3 Câu 25: Biết hàm số y = B = y x + C = y x + x D y = x +1 x + + − x nghịch biến tập K Hỏi tập K chứa số nguyên A B C D Câu 26: Trong hàm số sau, hàm số có khoảng đơn điệu khác so với hàm số lại? A y = x +1 x+2 B y = 3x + 2+ x C y = x −5 x+2 D y = Câu 27: Cho hàm số sau: 201x − 211 2x − 2x − = ; (2) y = ; (3) y ; x+2 x − 1222 x −1 x2 − x + (4) y = ; (5) y = 1119 − 1117 x + 2023 x 2019 x − (1) y ( ) Trong hàm số nói có hàm số đồng biến tập xác định nó? A.1 B C D 2x + 2+ x Câu 28: Cho hàm số sau: (1) y = x + 2; (2) y = 2016 x + 1; (3) y =+ x x 2; (4) y = x + x; (5) y = x x − 2; (6) y = x3 + x Trong hàm số có hàm số ln đồng biến ? A B C D Câu 29: Cho hàm số sau: (1) y = x + 2; (3) y =x 2017 + 2018 x; (5) y =− x + 2020; (2) y = sin x + x; (4) y =x − 2010; (6) y =2 − x − x ( ) Trong hàm số có hàm số đồng biến tập xác định chúng? A B C D Câu 30: Cho hàm số sau: 2x −1 x2 −1 ; (2) y ; = x+2 x+2 (3) y = (4) y = 2999 x + 10 x x − 10 x ; (1) y Trong hàm số có hàm có khoảng đơn điệu chứa hữu hạn số nguyên? A B C D Câu 31: Cho hàm số sau: x−2 ; x −1 (2) y = x − x − 2; x+2 ; x+5 (5) y = − x − x; (1) = y (3).= y x3 + 3x ; (2) = y (6) y =1999 x + 2019 x Có hàm số đồng biến tập xác định hàm số trên? A B C D Câu 32: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' + Y 0 - + +∞ - -∞ -1 -∞ Hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng đây? A (-2; 0) B (-∞; -2) C (0; 2) D (0; +∞) Câu 33: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: X -∞ y' Y -1 - +∞ 0 + - +∞ + +∞ -2 -2 Hàm số cho nghịch biến khoảng sau đây? A (0; 1) B (-∞; 0) C (1; +∞) D (-1; 0) Câu 34: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: X -∞ y' -1 + y - +∞ + +∞ -∞ -2 Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A (-1; +∞) B (1; +∞) C (-1; 1) D (-∞; 1) Câu 35: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' -1 + y 0 - + -1 +∞ - -1 -∞ -2 -∞ Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A (-1; 0) B (1; +∞) C (-∞; 1) D (0; 1) Câu 36: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' y -2 - + +∞ +∞ - -∞ Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A (-2; +∞) B (-2; 3) C (3; +∞) D (-∞; -2) Câu 37: Hàm số y = f ( x) xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: x y' -∞ + - +∞ + y +∞ -∞ − 27 Hỏi hàm số nghịch biến khoảng sau đây? B − ;1 27 A (-∞; 1) 4 D ; +∞ 3 4 C 0; 3 Câu 38: Hàm số y = f ( x) liên tục \ {1;0} có bảng biến thiên sau: x -∞ -1 y' + y - - +∞ +∞ +∞ -∞ -∞ A (-∞; -1) ∪ (0; +∞) B (-∞; -1) , (4; +∞) C (-∞; +∞) D (-∞; +∞)\{-1;0} Câu 39: Hàm số y = f ( x) xác định \ {1} có bảng biến thiên sau: -∞ y' +∞ + y + +∞ -∞ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 2) ∪ (2; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -1) (1; +∞) D Hàm số đồng biến \ {1} Câu 40: Hàm số y = f ( x) xác định \ {−2} có bảng biến thiên sau: x -∞ y' y -2 - +∞ - -2 +∞ -∞ + +∞ Hỏi hàm số đồng biến khoảng (các khoảng) đây? x +∞ -2 Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -2), (-2; +∞) B Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; +∞)\{2} C Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -2), (-2; +∞) D Hàm số nghịch biến Câu 41: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ sau: x -∞ -2 y' + y - +∞ + -4 Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 4), (-4; 2) B Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -2), (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (-4; 4) D Hàm số nghịch biến khoảng (1; 4), (-4; 2) Câu 42: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ sau: x -∞ -1 y’ y - 0 + + -1 A Hàm số đồng biến khoảng (-2; 1), (1; 3) B Hàm số đồng biến khoảng (-1; 2), (2; 5) C Hàm số nghịch biến khoảng (-1; 1), (4; 5) D Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1), (3; +∞) Câu 43: Hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [2; 4] có bảng biến thiên sau: y' + y - 2 - Khẳng định sau khẳng định đúng? x +∞ Hàm số đồng biến khoảng đây? A (1; 3) B (2; 4) C (3; 4) D (2; 3) Câu 44: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' y -1 - 0 + +∞ - +∞ + +∞ 1 Khẳng định sau khẳng định sai? 1 B f < f (0) 2 A f ( x) ≥ 1, ∀x ∈ R C f (1) > f (0) D f (−1) < f (−2) Câu 45: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' y -2 - 0 + +∞ - +∞ + +∞ 0 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến (-∞; -2) (0; 2) B Hàm số đồng biến (-2; 0) (2; +∞) C f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến (0; 3) (0; +∞) Câu 46: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' -1 + y - +∞ + +∞ -∞ -2 Khẳng định sau khẳng định sai? B f ( −2 ) < f (−1) A f ( x) ≥ −2, ∀x ∈ 1 D f − > −2 2 C f (3) < f (4) Câu 47: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' y -3 - +∞ + - -3 +∞ + +∞ -3 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến (-∞; -3) (0; 3) B f ( x) ≥ −3, ∀x ∈ C Hàm số đồng biến (-3; +∞) D f (2) − < Câu 48: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' + y - +∞ + +∞ -∞ Khẳng định sau khẳng định sai? 16 A f ( ) < B f ( −3) < f (−2) D f ( ) < f (3) C f (4) > Câu 49: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y’ y - + +∞ - +∞ -1 -1 -∞ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến (-∞; 0) B f ( x) > −1, ∀x ∈ C Hàm số đồng biến (-1; 3) D f (1) − f (2) > Câu 50: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ sau: x -∞ y’ -3 + y -2 - - -6 -∞ -1 +∞ -∞ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến (-3; -1) B Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -6) (-2; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -3) (-1; +∞) +∞ + +∞ -2 D Hàm số nghịch biến khoảng (-3; -1)\{-2} Câu 51: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ -5 y’ + -3 y -1 - - -9 +∞ + +∞ -∞ +∞ -∞ -1 Khẳng định sau khẳng định đúng? A f ( x) ≤ −9, ∀x ∈ \ {−3} B f ( ) > f (1) C f (−2) < f (−1) D f ( −4 ) < f (−5) Câu 52: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' + y - +∞ + +∞ -∞ -2 Khẳng định sau khẳng định đúng? A Với số thực a, b ∈ (0;2) mà a < b ⇒ f(a) > f(b) B Với số thực a, b ∈ (0;2) mà a < b ⇒ f(a) < f(b) C Với số thực a, b ∈ (2; +∞) mà a > b ⇒ f(a) < f(b) D Với số thực a, b ∈ (-∞; 0) mà a < b ⇒ f(a) > f(b) Câu 53: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y’ -2 + y -1 - - -2 -∞ 0 +∞ -∞ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Với số thực a, b ∈ (-2; 2)\{-1} mà a < b ⇒ f(a) > f(b) B Với số thực a, b ∈ (1; 2) mà a < b ⇒ f(a) < f(b) +∞ + +∞ -2 C Với số thực a, b ∈ (-∞; 2) ∪ (0; +∞) mà a < b ⇒ f(a) < f(b) D Với số thực a, b ∈ (-2; -1) mà a < b ⇒ f(a) < f(b) Câu 54: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: x -∞ y' + y - +∞ + +∞ -∞ -1 Khẳng định sau khẳng định sai? B Với số thực x ∈ ( 2;3) ⇒ f ( x) > −1 D Với số thực x ∈ ( −3; −2 ) ⇒ f ( x) > A Với số thực x ∈ (1; ) ⇒ f ( x ) < C Với số thực x ∈ ( 2;3) ⇒ f ( x ) > Câu 55: Cho hàm số y = f ( x) xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: x -∞ y' + y - +∞ + +∞ -∞ − 27 Hỏi hàm số g (= x) f ( x − 1) nghịch biến khoảng đây? 7 B 1; 3 4 A 0; 3 7 C ; +∞ 3 4 D ; +∞ 3 Câu 56: Cho hàm số y = f ( x) xác định \ {0} có bảng biến thiên sau: x -∞ y' + y - -∞ +∞ + +∞ -1 Hỏi hàm số = g ( x) f ( x ) + đồng biến khoảng đây? A (2; +∞) B (-2; 1) C (1; 2) D (-∞; 0) Câu 57: Hàm số y = f ( x) liên tục \ {−1;0} có bảng biến thiên sau: x -∞ y' y -1 - 0 + +∞ - +∞ + +∞ -2 -2 Tìm khoảng nghịch biến hàm số g ( x= ) f ( x + 1) − ? A (0; +∞) B (-∞; +∞) C (-∞; -1) D (-∞; 0) Câu 58: Hàm số y = f ( x) liên tục \ {−1;0} có bảng biến thiên sau: x -∞ y' y -1 - + +∞ +∞ - -1 -∞ Tìm khoảng nghịch biến hàm số g= ( x) f ( x + ) ? A (2; +∞) B (-1; +∞) C (-∞; 1) D (-∞; -4) Câu 59: Hàm số bậc ba y = f ( x) xác định đồ thị vẽ Hỏi hàm số đồng biến khoảng (các khoảng) đây? A (-1; 1) B (-2; +∞) C (-∞; 3), (-1; +∞) D (-∞; -1), (1; +∞) Câu 60: Hàm số bậc ba y = f ( x) xác định đồ thị vẽ Hỏi hàm số đồng biến khoảng (các khoảng) đây? A (-∞; -1) ∪ (2; +∞) B (-∞; -1), (2; +∞) C (-1; 0) ∪ (0; 2) D (-∞; -4), (2; +∞) Câu 61: Hàm số bậc bốn y = f ( x) xác định đồ thị vẽ Hỏi hàm số đồng biến khoảng (các khoảng) đây? A (-1; 2), (1; +∞) B (-∞; -1) C (-1; 0), (1; +∞) D (2; +∞) Câu 62: Hàm số bậc ba y = f ( x) xác định đồ thị hình vẽ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến (-3; 1) B Hàm số nghịch biến (-∞; -1), (1; +∞) C Hàm số nghịch biến (-1; 1) D Hàm số đồng biến (-3; 1) Câu 63: Hàm số bậc ba y = f ( x) xác định đồ thị vẽ Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến (-∞; 1) B Hàm số nghịch biến (1; +∞) C Hàm số nghịch biến (1; 3) D Hàm số đồng biến (1; 5) Câu 64: Hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số g (= x) f ( x + 1) nghịch biến khoảng đây? A (0; 2) B (2; 4) C (-∞; 0) D (2; +∞) Câu 65: Hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số g ( x= ) f (− x) nghịch biến khoảng sau đây? ( B ( − ) 2; +∞ ) A −∞; − C ( 0; +∞ ) D ( −∞;0 ) Câu 66: Hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số g (= x) f (3 − x) đồng biến khoảng sau đây? A (-1;2) B (-∞; 1), (4; +∞) C (1; 4) D (-6; -3) Câu 67: Cho hàm số bậc hai y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số g= ( x) f ( x − 5) đồng biến khoảng sau đây? A (-2; 0) B (0; 2) C (-∞; -2) D (-1; +∞) Câu 68: Hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số g= ( x) f ( x + x) đồng biến khoảng sau đây? ( B ( −1 − C ( −1 − D ( −1 − ) A −1; −1 + 2; −1 + 2; +∞ ) ) 2; −1 + ) Câu 69: Hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Khẳng định sau khẳng định sai nói tính đơn điệu hàm số y =g ( x) = f (−2 x + 2) ? A Hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (2; 5) B Hàm số y = g(x) nghịch biến khoảng (2; +∞) C Hàm số y = g(x) nghịch biến khoảng (-1; 0) D Hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (-∞; -2) Câu 70: Hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số g ( x)= f ( x − x + 6) đồng biến khoảng sau đây? A (0; 1) B (1; 3) C (3; +∞) D (2; 3) Câu 71: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng (-1; 0) B Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (1; +∞) C Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng (-∞; 0) D Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (0; +∞) Câu 72: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng sau đây? A (-1; +∞) B (-1; 1) C (-∞; -1), (1; 2) D (0; 1) Câu 73: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng sau đây? A (-∞; 4), (1; +∞) B (-∞; -1), (1; +∞) C (-2; 4), (1; +∞) D (-2; +∞) Câu 74: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng sau đây? A (-1; 2), (1; +∞) B (-∞; +∞) C (-1; 2), (1; +∞) D (2; +∞) Câu 75: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng sau đây? A (0; 2) B (-∞; 3) C (-∞; 0) D (-4; 0), (2; 3) Câu 76: Hàm số bậc hai y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = f ( x) ? A (-∞; 1) ∪ (3; +∞) B (-∞; 1), (3; +∞) C (1; 3) D (-∞; 2) Câu 77: Hàm số bậc ba y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Tìm khoảng đồng biến hàm số g (= x) f ( x + 2) ? A (-∞; 0) B (-∞; -1), (1; +∞) C (-∞; -4) D (-∞; -2) Câu 78: Hàm số bậc ba y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Tìm khoảng đồng biến hàm số g (= x) f ( x − 1) ? A (3; +∞) B (0; 3) C (-∞; 0), (3; +∞) D (2; +∞) Câu 79: Hàm số bậc ba y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ cạnh Tìm khoảng nghịch biến hàm số= y f (2 − x) ? A (1; +∞) B (-∞; -1) C (-1; 1) D (-∞; 1) Câu 80: Cho hàm số bậc ba y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh hàm số ( C ) : y = f (−3 + x ) Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số (C) đồng biến khoảng (-∞; 0), (2; +∞) B Hàm số (C) nghịch biến khoảng (0; 1) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng (1; 2) D Hàm số (C) đồng biến khoảng (-2; -1) Câu 81: Cho hàm số y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh hàm số ( C= ) : y f ( x + 1) Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số (C) đồng biến khoảng (-1,0) B Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-∞; -1) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng (2; +∞) D Hàm số (C) đồng biến khoảng (0:1) bên Câu 82: Hàm số bậc ba y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh Tìm khoảng nghịch biến hàm số= y f ( − x2 ) ? A (-∞; -1), (0; 1) B (-∞; 0), (2; +∞) C (-∞; -2), (1; 2) D (-1; 0), (1; +∞) Câu 83: Hàm số y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hàm số y= f ( x − x + 3) nghịch biến khoảng sau đây? A (-∞; 0) B (2; +∞) C (1; 2) D (-∞; 2) Câu 84: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Có số nguyên dương thuộc khoảng đồng biến hàm số = y f (2 − x) ? A B C D Câu 85: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = f ( x ) ? A (-∞; 1) B (-∞; 0) C (-∞; -1) D (0; 1) Câu 86: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Có số nguyên dương thuộc khoảng nghịch biến = y f ( x2 − 9) ? A B C D hàm số Câu 87: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f = '( x) x ( x − 1) ∀x ∈ Hỏi hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng đây? A (-1; 0) B (1; +∞) C (-1; 0) D (0; 1) Câu 88: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm= f '( x) x 2019 ( x 2020 − 1) ∀x ∈ Hỏi hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng đây? A (0; 1) B (-∞; 0) Câu 89: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = C (-1; 1) D (1; +∞) ( x − ) ( x − ) ∀x ∈ Hỏi hàm số g= ( x) f ( x) + 2019 nghịch biến khoảng đây? A (-2; +∞) B (2; +∞) Câu 90: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = C (-∞; -2) D (1; +∞) ( − x ) ( x − 1) ∀x ∈ Hỏi hàm số g ( x)= f ( x) − x − đồng biến khoảng đây? A (-∞; 1) B (3; +∞) Câu 91: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = C (-1; 0) D (1; 2) ( x + 3) ( − x ) − 3x , ∀x ∈ Đặt g ( x)= f ( x) + x − khẳng định sau đúng? B g (3) < g (4) A g (0) < g (1) C g (−2) < g (−3) D g (−3) < g (3) Câu 92: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x)= x − x + 2019, ∀x ∈ Đặt g= ( x) f ( x) − 2019 x khẳng định sau đúng? B g (3) > g (4) A g (0) < g (1) C g (4) > g (5) D g (−3) > g (0) Câu 93: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) =− x3 + 12 x + 2, ∀x ∈ Tìm tất tham số thực m để hàm số g ( x)= f ( x) − mx + đồng biến khoảng (1; 4) A m ≤ -14 B m < -14 Câu 94: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f = '( x) ( C m < -10 D m ≤ -10 , ∀x ∈ Tìm giá trị tham số m để hàm số x +1 ) g ( x)= f ( x) − m − x + nghịch biến khoảng (-1; 2)? A m ≥ + B m ≥ Câu 95: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f = '( x) C m ≥ D m ≥ − , ∀x ∈ Có số nguyên m thuộc khoảng x +1 (-20; 20) để hàm số g ( x)= f ( x) − mx + nghịch biến A 16 B 19 C 17 D 18 Câu 96: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f = '( x) cos x + 2sin x + 2, ∀x ∈ Có số nguyên m thuộc khoảng (-20; 20) để hàm số g ( x) = f ( x) − m x + nghịch biến R A 33 B 34 C 35 D 36 Câu 97: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = x + , ∀x ∈ \ {0} Có số nguyên dương m để x hàm số g ( x)= f ( x) − ( m − 1) x + 2019 đồng biến khoảng (2; +∞) A B C Câu 98: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm = f '( x) x+3 x2 + D , ∀x ∈ Có số nguyên m thuộc khoảng (-20; 20) để hàm số g ( x) = f ( x) + 2mx + nghịch biến R? A 18 B 19 C 16 D 17 Câu 99: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x)= x + x, ∀x ∈ Hỏi hàm số g ( x)= f ( x − 1) − x + đồng biến khoảng đây? A (-∞; 1) B (2; 4) C (1; +∞) D (-1; 0) Câu 100: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '(= x) x ( x + 1) , ∀x ∈ Hỏi hàm số = g ( x) f ( x ) + nghịch biến khoảng đây? A (-1; 1) B (-2; 0) C (2; 3) D (3; +∞) Câu 101: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x)= x + 1, ∀x ∈ Hỏi hàm số g ( x)= f ( x + 1) − x + nghịch biến khoảng đây? A (-3; -2) B (-2; -1) C (-1; 2) D (2; +∞) x2 + , ∀x ∈ \ {1} Có số nguyên dương m x −1 Câu 102: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f= '( x) để hàm số g ( x)= f ( x) − ( m − 3) x + đồng biến khoảng [2; 4]? A B C 10 D 11 Câu 103: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x)= x + , ∀x ∈ \ {0} Tìm giá trị m để hàm số x g ( x)= f ( x) − mx + đồng biến khoảng (0; +∞)? A m ≤ B m ≤ Câu 104: Cho hàm số y = C m ≥ -3 D -2 ≤ m ≤ 10 mx − 2m − , m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để x−m hàm số đồng biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B Câu 105: Cho hàm số y = C Vô số D mx + 4m , m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm x+m số nghịch biến khoảng xác định Tìm số phần tử S A B C Vơ số D Câu 106: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = A B Vô số C x+2 đồng biến khoảng (-∞; -10) x + 5m D Câu 107: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x+6 nghịch biến khoảng x + 5m (10; +∞) A B Vơ số C D Câu 108: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = A B Vô số C D Câu 109: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = A B C Vơ số Câu 110: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x +1 nghịch biến khoảng (6; +∞) x + 3m x +1 đồng biến khoảng (-∞; -6) x + 3m D mx + đồng biến khoảng xác định x+m A m < -2 ∨ m > B m < -1 ∨ m > C -2 < m < Câu 111: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = D -2 < m < mx + x + đồng biến khoảng xác x+m định A m < -4 ∨ m > B m < -1 ∨ m > C -3 < m < D -4 < m < Câu 112: Có số nguyên m để hàm số y = m x − m − 20 đồng biến khoảng xác định nó? x −1 A C 10 B D Câu 113: Trong khoảng (-100;100) chứa số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số m x − 3m + nghịch biến khoảng xác định nó? y= x−2 A 197 B 186 C 187 D 198 Câu 114: Biết khoảng (a; b) chứa tất giá trị m thỏa mãn điều kiện hàm số y = mx + nghịch x+m biến khoảng (-∞; -2) Tính giá trị b – a A b − a =2 B b − a = 2 C b − a = D b − a =−2 Câu 115: Đặt S = {m ∈ Z: -100 < m < 100} Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác xuất để số m chọn thỏa mãn điều kiện hàm số y = mx + 3m − đồng biến khoảng (2; +∞) x+m A 100 199 B 101 199 Câu 116: Tìm tất tham số m để hàm số y = A m < B m > -5 C 102 199 D 103 199 x − 3m − nghịch biến khoảng (1; 2) x−m C m < -4 D m < -2 x + m4 Câu 117: Biết tập [a; b) chứa tất tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y = đồng biến x+m khoảng − ; +∞ Tính giá trị b – a A b − a = B b − a = 2 C b − a = D b − a = Câu 118: Đặt S tập hợp tất số nguyên âm m thỏa thỏa mãn điều kiện hàm số y = m3 x + 16 đồng x+m biến khoảng (5; +∞) Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn số lẻ A B C D Câu 119: Tính tổng tất số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = x − m2 đồng biến 8− x khoảng xác định A B -2 C D -1 Câu 120: Tính tổng tất số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = mx − nghịch biến −2 x + m khoảng (-∞; -1) A B -2 C D m2 x + Câu 121: Tính tổng tất số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = nghịch biến khoảng 2mx + (3; +∞) A 55 B 35 C 40 Câu 122: Tính tổng tất số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = D 45 2x − m + nghịch biến nửa x−m khoảng [7; +∞) A 22 B 18 C 10 D 11 Câu 123: Tính tổng tất số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = x + 2m − đồng biến x − 3m + khoảng (-∞; -14) A -5 B -6 C -9 D -10 Câu 124: Có số nguyên m để hàm số y = 2mx + 3m + nghịch biến khoảng xác định x + 2m A B C D 2mx + 3m + nghịch biến khoảng xác Câu 125: Có số nguyên dương m để hàm số y = x + 2m định A B Câu 126: Tìm tất tham số m để hàm số y = A m < B m > C D x +1 đồng biến khoảng xác định x+m C m < -2 D m ≥ Câu 127: Biết khoảng (a; b) chứa tất giá trị m thỏa mãn điều kiện hàm số y = mx − nghịch x + m−3 biến khoảng xác định Tính giá trị biểu thức P = a – b A P = -1 B P = -2 C P = Câu 128: Có số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = D P = -3 mx − đồng biến khoảng xác x−m định A B Vơ số C D Câu 129: Cho hàm số y =x + ( 2m − 1) x + 4m + Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-20; 20] để hàm số cho đồng biến khoảng (1; +∞) A 17 B 19 C 21 D 20 Câu 130: Cho hàm số y = − x + ( m − 1) x + 2m + Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-20; 20] để hàm số cho nghịch biến khoảng (1; 2) A B 29 C 24 D 30 Câu 131: Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + m − với m tham số thực Có giá trị nguyên tham số m thuộc [-10; 10] để hàm số cho đồng biến khoảng (1; 3)? A B C 15 D 13 Câu 132: Cho hàm số y = x − ( m − ) x + với m tham số thực Có giá trị nguyên tham số m thuộc [-10; 10] để hàm số cho nghịch biến khoảng (2; 6)? A 10 B C D 14 Câu 133: Tổng giá trị nguyên tham số m thỏa mãn hàm số y =x − ( m + 1) x + ( m + 2m − 3) x nghịch biến khoảng (1; 2) là: A B C D Câu 134: Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y =x3 − 3mx + ( m − 1) x − đồng biến khoảng (3; +∞) A B C D Câu 135: Cho hàm số y = − x + ( m − ) x − m + với m tham số thực Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số đồng biến khoảng (-∞; -5) A 16 B 27 C D Vô số Câu 136: Cho hàm số y = ( m − 2m ) x + ( 4m − m ) x − Hỏi có giá trị nguyên tham số m để hàm số đồng biến khoảng (0; +∞)? A B Vô số C D Câu 137: Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − ( m − 1) x + m − đồng biến khoảng (4; 6)? A B 10 C D Câu 138: Có tất giá trị nguyên thuộc khoảng (-6; 6) tham số m để hàm số y =x − ( m + 1) x + 4m − đồng biến khoảng (2; 5)? A B C D − x + ( 4m − 1) x + 3m + đồng biến Câu 139: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = khoảng (1; 4) A m > 17 B 17 m>2 C m < −2 B m < -2 Câu 146: Cho hàm số y = m≥2 D m ≤ −2 ( m − 1) sin x − Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến sinx − m π khoảng 0; 2 A -1 < m < m < −1 B m > Câu 147: Cho hàm số y = m ≤ −1 C m ≥ m≤0 D m ≥ −2sin x − Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến sin x − m π khoảng 0; 2 A m ≥ − − h(4) > h(−2) B h(2) > h(−2) > h(4) C h(4) = h(−2) > h(2) D h(4) = h(−2) < h(2) Câu 170: (THPT Quốc gia 2017) Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f’ ( x ) hình bên Đặt g( = x) f ( x) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? A g(3) > g (−3) > g (1) B g(−3) > g (3) > g (1) C g(1) > g (−3) > g (3) D g(1) > g (3) > g (−3) Câu 171: (THPT Quốc gia 2017) Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f’ ( x ) hình vẽ Đặt = g( x) f ( x) + x Mệnh đề đúng? A g(3) < g (−3) < g (1) cạnh B g(1) < g (3) < g (−3) C g(1) < g (−3) < g (3) D g(−3) < g (3) < g (1) Câu 172: (THPT Quốc gia 2017) Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f’ ( x ) hình bên Đặt g( = x) f ( x) + ( x + 1) Mệnh đề đúng? A g(1) < g (3) < g (−3) B g(1) < g (−3) < g (3) C g(3) = g (−3) < g (1) D g(3) = g (−3) > g (1) Câu 173: (Bộ GD & ĐT, Đề tham khảo, Lần 1, 2018) Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số= y f (2 − x) đồng biến khoảng A (1; 3) B (2; +∞) C (-2; 1) D (-∞; 2) Câu 174: (THPT Quốc gia 2018) Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) Hai hàm số y = f ' ( x ) y = g' ( x ) có đồ thị hình vẽ đây, đường cong đậm đồ thị hàm số 9 y = g' ( x ) Hàm số h(x) = f ( x + ) − g 2x + đồng biến 2 khoảng đây? 16 A 2; 5 B − ;0 16 C ; +∞ 13 D 3; 4 Câu 175: Hàm số y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh hàm số ( C ) : y = f ( x) − x − Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số (C) đồng biến khoảng (0; 2) B Hàm số (C) đồng biến khoảng (-∞; -2) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng (2; 4) D Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-4; -3) Câu 176: Hàm số y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh hàm số ( C ) := y f ( x) − ( x + 1) Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số (C) đồng biến khoảng (0; 1) B Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-3; 0) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-∞; -3) D Hàm số (C) đồng biến khoảng (3; +∞) Câu 177: Hàm số bậc ba y = f' ( x ) liên tục có đồ thị hình hàm số ( C ) : y= 1 f ( x) + x3 + x − x − Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số (C) đồng biến khoảng (-3; 0) B Hàm số (C) đồng biến khoảng (1; +∞) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-∞; -3) D Hàm số (C) đồng biến khoảng (0; 1) Câu 178: Hàm số y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh hàm số ( C )= :y 1 f ( x) − x + x + x − Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-1; 0) B Hàm số (C) đồng biến khoảng (2; 3) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-5; -2) D Hàm số (C) đồng biến khoảng (-2; 2) Câu 179: Hàm số y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh 1 hàm số ( C ) : y = f ( x) − x3 − x + x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-∞; -1) B Hàm số (C) đồng biến khoảng (-1; 0) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng (-2; 1) D Hàm số (C) đồng biến khoảng (0; 1) Câu 180: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Trong khoảng (-1000; 1000) có số nguyên thuộc khoảng đồng biến hàm số g ( x)= f ( x + 2) + x + 3x + ? A 997 B 994 C 996 D 995 Câu 181: Hàm số y = f’ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Tìm khoảng nghịch biến hàm số g ( x= ) f ( x) + x − A (-∞; -1), (0; 2) B (-1; 0), (1; 2) C (-1; 1), (2; +∞) D (-1; 2) Câu 182: Hàm số y = f’ ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên cạnh Hỏi hàm số g ( x)= f (1 − x) + x − x + nghịch biến khoảng sau đây? A (-3; 1) B (-2; 0) 3 C −1; 2 D (1; 3) Câu 183: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f’ ( x ) hình vẽ bên Hàm số y= −2 f (2 − x) + x nghịch biến khoảng A (-3; -2) B (-2; -1) C (-1; 0) D (0; 2) Câu 184: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn y = f’ ( x ) đồ thị hàm số f (2) = f (−2) = hình vẽ bên cạnh ( đồ thị hàm số y = f’ ( x ) cắt trục hoành ba điểm x = số y f ( x ) − 1 nghịch biến −2, x = 1, x = ) Hàm = khoảng khoảng sau? A (1; 2) B (-2; 2) C (2; +∞) D (-2; -1) LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: y′= x3 < ⇔ x < Hàm số nghịch biến ( −∞;0 ) Chọn D Câu 2: y=′ x − x + < ⇔ < x 0, ∀x ≠ −1 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) Chọn B Câu 4: Ta có A y=′ x + > 0, ∀x ∈ Chọn A Câu 5: y=′ x + > 0, ∀x ∈ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) Chọn C Câu 6: y′ =− (x 2 + 1) 2 x < ⇔ x > Chọn A Câu 7: Ta có B y=′ x + > 0, ∀x ∈ Chọn B = y′ 3x − x x > Câu 8: Ta có y′ > ⇔ x < y′ < ⇔ < x < Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) Chọn A Câu 9: Ta có f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) Chọn D x = Câu 10: Ta có y′ =4 x3 − x =0 ⇔ x = ±1 x –1 −∞ y′ – 0 + – 0 +∞ +∞ + +∞ y –1 –1 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) nên nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) Chọn C Câu 11: Ta có hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( 2; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) , ( 0; ) Chọn C Câu= 12: y′ 4x 2x2 + > ⇔ x > 0; y′ < ⇔ x < Hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) Chọn B Câu 13: y′= x − x < ⇔ < x < Chọn C x > Câu 14: y′ = x − x > ⇔ Chọn D x < x > Chọn C Câu 15: y′ = x3 − 16 x > ⇔ −4 < x < 0 < x < x − x2 > Câu 16: y′ = x < 1− 2x ( x − 1) Câu 17: y = x −1 Câu 18: y =− x − Câu 19: = y′ = x −1 − 1 ⇒ y′ = + > 0, ∀x ≠ Chọn B x −1 ( x − 1) x ≠ x ≠ 1 Chọn A ⇒ y′ =−1 + >0⇔ ⇔ 2 < < x x −1 − < x 1 ( ) ( x − 1) − x + x > x + − x2 + 2x 0 < x < ( x − )(1 − x ) + x − 4= Chọn A > ⇔ ⇔ 2 ( x − 1) (1 − x ) x ≠ x ≠ Câu 20: y = x − Câu= 21: y′ −1 3 ⇒ y′ = + > 0, ∀x ≠ −1 Chọn C x +1 ( x + 1) ( x − 3)( + x ) − ( x − 3x − 1) = (2 + x) x2 + 4x − (2 + x) x ≠ −2 0, ∀x ∈ ⇒ y đồng biến Chọn C Câu 25: = y′ −3 < x < −3 < x < 1 − Câu 26: Lần lượt tính đạo hàm ( x + 2) > 0, ∀x ≠ −2; ( x + 2) > 0, ∀x ≠ −2; ( x + 2) > 0, ∀x ≠ −2; − ( x + 2) < 0, ∀x ≠ −2 Chọn D Câu 27: Ta loại (1), (2), (3), (4) hàm phân thức Hàm (5)= có y′ ( ) 1119 − 1117 x + 2023 > ⇔ x > − ( 2023 1119 − 1117 ) Hàm số có TXĐ Chọn C Câu 28: Loại (1), (5), (4) TXĐ [ −2; +∞ ) , [ 2; +∞ ) , [ 0; +∞ ) (3) có= y′ x + + x 4x2 + 4x = 2x2 + > 0, ∀x ∈ x2 + (2) có = y′ 2016 > 0, ∀x ∈ (6) có y=′ x + > 0, ∀x ∈ Chọn B Câu 29: Ta có (1), (4) (5) sai (3)= có y′ 2017 x 2016 + 2018 > 0, ∀x ∈ (2) có = y′ cos x + > 0, ∀x ∈ (6) có= y′ ( ) − x − < 0, ∀x ∈ Chọn C Câu 30: Lần lượt tính đạo hàm ( x + 2) ; x ( x + 2) − x2 ( x + 2) ( = x2 + 8x ( x + 2) 2999 x + 20 x = x + x 2999 = 2x ( x + 4) ( x + 2) ; x − 20 x = x ( x − 20 ) ) Do (1), (4) khơng thỏa mãn cịn (2), (3) thỏa mãn −4 < x < Hàm (2) nghịch biến ⇔ ⇒ x ∈ {−3; −1} x ≠ −2 Hàm (3) nghịch biến ⇔ < x < 20 ⇒ x ∈ {1; 2;3; ;19} Chọn B Câu 31: Ta loại (1), (2) hàm phân thức Loại (6) hàm trùng phương x > 3 x + x > ⇔ x < −2 x > Lần lượt tính đạo hàm hàm số lại 3 x − x > ⇔ Chọn A x < −3 x − < 0, ∀x ∈ Câu 32: Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −2;0 ) ( 2; +∞ ) Chọn A Câu 33: Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) Chọn A Câu 34: Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) (1; +∞ ) Chọn B Câu 35: Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) Chọn D Câu 36: Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −2;3) Chọn B 4 Câu 37: Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng 0; Chọn C 3 Câu 38: Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 4; +∞ ) Chọn B Câu 39: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) (1; +∞ ) Chọn C Câu 40: Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2; +∞ ) Chọn C Câu 41: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( 2; +∞ ) Chọn B Câu 42: Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) , ( 3; +∞ ) Chọn D Câu 43: Hàm số đồng biến khoảng ( 2;3) Chọn D Câu 44: Ta có f (1) < f ( ) nên đáp án C sai Chọn C Câu 45: Chọn D Câu 46: Chọn A Câu 47: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy • Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −3) ( 0;3) • Tập giá trị hàm số f ( x ) : T = [ −3; +∞ ) • Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) ⇒ f ( ) > f ( ) ⇒ f ( ) < Chọn C Câu 48: Điền điểm x đáp án vào bảng biến thiên, ta f ( ) > f ( 3) Chọn D Câu 49: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy • Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) • Tập giá trị hàm số f ( x ) : T = ( −∞; +∞ ) • Hàm số bị gián đoạn ( −1;3) nên không đồng biến ( −1;3) • Hàm số đồng biến khoảng (1; ) ⇒ f (1) < f ( ) ⇒ f (1) − f ( ) < Chọn A Câu 50: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy • Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −3) ( −1; +∞ ) • Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −3; −2 ) ( −2; −1) Chọn C Câu 51: Điền điểm x đáp án vào bảng biến thiên, ta f ( −4 ) < f ( −5 ) Chọn D Câu 52: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy • Với a, b ∈ ( 0, ) mà hàm số nghịch biến ( 0, ) nên a < b ⇒ f ( a ) > f ( b ) • Với a, b ∈ ( 2; +∞ ) mà hàm số đồng biến ( 2; +∞ ) nên a > b ⇒ f ( a ) > f ( b ) • Với a, b ∈ ( −∞; ) mà hàm số đồng biến ( −∞;0 ) nên a < b ⇒ f ( a ) < f ( b ) Chọn A Câu 53: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy • Với a, b ∈ ( −2, −1) ∪ ( −1; ) mà a < b ⇒ f ( a ) > f ( b ) f ( a ) < f ( b ) • Với a, b ∈ (1, ) mà hàm số đồng biến (1, ) nên a < b ⇒ f ( a ) < f ( b ) a ∈ ( −∞; −2 ) khơng so sánh hai • Với a, b ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ( 0; +∞ ) mà a < b nên b ∈ ( 0; +∞ ) giá trị f ( a ) , f ( b ) • Với a, b ∈ ( −2, −1) mà hàm số nghịch biến ( −2, −1) nên a < b ⇒ f ( a ) > f ( b ) Chọn B Câu 54: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy • f ( x ) < ⇔ −1 < f ( x ) < suy < x < → A • x > ⇒ f ′ ( x ) > ⇒ f ( x ) > f ( )= −1 → B f ( x) > x > x1 > • f ( x) > ⇔ suy → C f ( x ) < −1 x < x2 < → D sai • −3 < x < −2 ⇒ f ( x ) < Chọn D Câu 55: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′ ( x ) = x ( x − ) ⇒ f ′ ( x − 1) = ( x − 1)( x − ) x = Do g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) = ( x − 1)( x − ) ; g ′ ( x ) = ⇔ x = Vẽ bảng biến thiên hàm số g ( x ) nghiệm = x 1;= x 7 Suy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng 1; Chọn B 3 Câu 56: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′ ( x ) = x ( x − ) ⇒ f ′ ( x ) = x ( x − ) x = Do g ′( x) = x f ′( x ) = x ( x − 2); g ′( x) = 0⇔ x = ± Vẽ bảng biến thiên hàm số g ( x ) nghiệm x = 0; x = ± ( ) ( Suy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng − 2;0 ) 2; +∞ Chọn A Câu 57: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′ ( x )= x ( x − 1)( x + 1)= x ( x − 1) ⇒ f ′ ( x + 1) = (x 2 + 1) ( x + 1) − 1 = (x + 1)( x + x ) Do g ′ ( x ) = x f ′ ( x + 1) = x ( x + 1)( x + x ) = x ( x + 1)( x + ) Phương trình g ′ ( x ) = ⇔ x = nên hàm số g ( x ) nghịch biến ( −∞;0 ) Chọn D Câu 58: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′ ( x ) = − ( x + 1)( x − 3) ⇒ f ′ ( x + ) =− ( x + + 1)( x + − 3) =( x + + 1)( − x + ) Do g ′ ( x ) = x + ′ f ′ ( x + ) = x +1 ( x + + 1)( − x + ) x +1 x > Suy g ′ ( x ) < ⇔ ( x + 1) ( − x + ) < ⇔ −4 < x < −1 Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) ( −4; −1) Chọn A Câu 59: Hàm số đồng biến ( −∞; −1) , (1; +∞ ) Chọn D Câu 60: Hàm số đồng biến ( −∞; −1) , (1; +∞ ) Chọn B Câu 61: Hàm số đồng biến ( −1;0 ) , (1; +∞ ) Chọn C Câu 62: Hàm số đồng biến ( −1;1) , nghịch biến ( −∞; −1) (1; +∞ ) Chọn B Câu 63: Hàm số đồng biến ( −∞;1) ( 3; +∞ ) , nghịch biến (1;3) Chọn D Câu 64: Hàm số g ( x ) nghịch biến < x + < ⇒ < x < Chọn A Câu 65: Ta có g ′ ( x ) =− f ′ ( − x ) ≤ ⇒ f ′ ( − x ) ≥ ⇒ − x < ⇒ x > Vậy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Chọn C 3 − x < −1 x > Câu 66: Hàm số g ( x ) đồng biến Chọn B ⇔ 3 − x > x < x > Câu 67: Hàm số g ( x ) đồng biến x − > −1 ⇔ x > ⇔ Chọn C x < −2 x + x + > Câu 68: Hàm số g ( x ) đồng biến −1 < x + x < ⇔ ⇔ −1 − < x < −1 + x + x − < Chọn B x > Câu 69: Hàm số g ( x ) đồng biến −2 x + < ⇔ x > ⇔ x < −1 Do hàm số g ( x ) nghịch biến −1 < x < nên đáp án B sai Chọn B x2 − x + < (l ) x2 − x + < x > Câu 70: Hàm số g ( x ) đồng biến Chọn C ⇔ ⇔ x < x − x + > x − x + > Câu 71: Ta có hàm số đồng biến ( −1;0 ) , (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến ( 0;1) , ( −∞; −1) Chọn B x < −1 Câu 72: Ta có f ′ ( x ) < ⇔ Chọn C 1 < x < Câu 73: Ta có f ′ ( x ) ≥ ⇔ x ≥ −2 Chọn D Câu 74: Ta có ( 2; +∞ ) f ′ ( x ) > ⇒ f ( x ) đồng biến ( 2; +∞ ) Chọn D Câu 75: Ta có f ′ ( x ) ≤ ⇔ x ≤ Chọn B x < Chọn B Câu 76: Ta có f ′ ( x ) < ⇔ x > Câu 77: Ta có g ′ = ( x ) f ′ ( x + ) > ⇔ x + < −2 ⇔ x < −4 Chọn C Câu 78: Ta có g ′ ( = x ) f ′ ( x − 1) > ⇔ x − > ⇔ x > Chọn A Câu 79: Ta có y′ =− f ′ ( − x ) < ⇔ f ′ ( − x ) > ⇔ − x > ⇔ x < −1 Chọn B x > x > f ′ ( x − 3) > x > x − > −2 Câu 80: Ta = có y′ x f ′ ( x − 3) > ⇔ ⇔ ⇔ x x > f ′ ( x − 3) < 0 < x < x − < −2 Khi = y′ x f ′ ( x − 3) < ⇔ ⇔ ⇔ x −2 f ( x − 3) > Hàm số đồng biến (1; +∞ ) , ( −1;0 ) nghịch biến ( −∞; −1) , ( 0;1) Chọn B x > x > −1 < x + < ′ + > f x ) ( Câu 81: Ta = có y′ x f ′ ( x + 1) > ⇔ ⇔ 1 < x + < ⇔ < x < x < x < ′ + < f x ( ) 0 < x + < x < x < −1 < x + < ′ + > f x ( ) Khi= y′ x f ′ ( x + 1) < ⇔ ⇔ 1 < x + < ⇔ −1 < x < x > x > ′ f x + < ( ) 0 < x + < Hàm số đồng biến ( 0;1) nghịch biến ( −1;0 ) Chọn D x > x > f ′ ( − x ) > x > 4 − x < Câu 82: y′ =−2 x f ′ ( − x ) < ⇔ Chọn D ⇔ ⇔ x − < < x < x < ′ 4 − x > f ( − x ) < x > x > x − x + < 0 < x − x + < ′ ( x − x + 3) < f x > Câu 83: y′= ( x − ) f ′ ( x − x + 3) < ⇔ ⇔ ⇔ x − 2x + > 0 < x < x < ′ x < f ( x − x + 3) > 2 < x − x + < Chọn B −1 < − x < 1 < x < Câu 84: y′ =− f ′ ( − x ) > ⇔ f ′ ( − x ) < ⇔ ⇔ ⇒ x =2 Chọn A 2 − x > x < x > x > x ∈∅ ′ f x < ( ) x < −1 Câu = 85: y′ x f ′ ( x ) < ⇔ Chọn C ⇔ x < ⇔ −1 < x < x < x > ′ f x > ( ) x < x > x > < x ′ f ( x − ) > x − < −2 Do khơng có giá trị x thỏa mãn tốn Chọn C x > Câu 87: f ′ ( x ) > ⇔ x ( x − 1) > ⇔ x − > ⇔ x < −1 Do hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng (1; +∞ ) ( −∞ − 1) Chọn B Câu 88: f ′ ( x ) < ⇔ x 2019 ( x 2020 − 1) < TH1: Với x > ⇒ f ′ ( x ) < ⇔ x 2020 − < ⇔ −1 < x < Ta < x < TH2: Với x < ⇒ f ′ ( x ) < ⇔ x 2020 − > ⇒ x 2020 > ⇒ x < −1 Do hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) ( −∞ − 1) x = Cách 2: Ta có f ′ ( x )= ⇔ Lập bảng xét dấu cho f ′ ( x ) ta có: x = ±1 x –1 −∞ y′ – 0 + – +∞ + Dựa vào bảng xét dấu suy hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) ( −∞; −1) Chọn A Câu 89: g ′ (= x ) f ′ ( x ) < ⇔ ( x − ) ( x − ) < ⇔ ( x − ) ( x + ) < ⇔ x < −2 Do hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) Chọn C Câu 90: g ′ ( x ) = f ( x ) − x − 1′ = f ′ ( x ) − x =( − x ) ( x − 1) + x − x =( − x )( x − 1)( x + 1) Lập bảng xét dấu cho g ′ ( x ) : x y′ –1 −∞ + – + +∞ – Suy g ( x ) đồng biến khoảng (1;3) nên đồng biến khoảng (1; ) Chọn D Câu 91: Tính chất: ■ Nếu hàm số f ( x ) đồng biến D = [ a; b ] với x1 , x2 ∈ D x1 > x2 ta có f ( x1 ) > f ( x2 ) ■ Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến D = [ a; b ] với x1 , x2 ∈ D x1 > x2 ta có f ( x1 ) < f ( x2 ) Ta có: g ′ ( x ) =f ′ ( x ) + x =( x + 3) ( − x ) = ( x + 3) ( − x ) ≥ ⇔ x ≤ Do hàm số g ( x ) đồng biến nửa khoảng ( −∞;3] nghịch biến nửa khoảng [3; +∞ ) Suy g ( ) < g (1) , g ( 3) > g ( ) , g ( −2 ) > g ( −3) Chọn A x ≥ Câu 92: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 2019 = x − x ≥ ⇔ x ≤ Do hàm số g ( x ) đồng biến nửa khoảng ( −∞;0] [ 4; +∞ ) , hàm số g ( x ) nghịch biến đoạn [0; 4] Vậy g ( 3) > g ( ) Chọn B Câu 93: g ′ ( x ) =f ′ ( x ) − m =− x3 + 12 x + − m Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (1; ) ⇔ g ′ ( x ) ≥ ( ∀x ∈ [1; 4]) (mở rộng đoạn hàm số g ( x ) liên tục đoạn [1; 4] ) ⇔ − x + 12 x + − m ≥ ( ∀x ∈ [1; 4]) ⇔ − x3 + 12 x + ≥ m ( ∀x ∈ [1; 4]) (*) Xét hàm số h ( x ) = − x + 12 x + khoảng [1; 4] ta có: ( ) →x = h′ ( x ) = −3 x + 12 = x∈ 1;4 Mặt khác h (1) = 13, h ( ) = 18, h ( ) = −14 Khi (*) ⇔ h ( x ) ≥ m ⇔ −14 ≥ m ⇔ m ≤ −14 Chọn A [1;4] Câu 94: g ′ ( = x) f ′( x) − m + = −m+ x +1 Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −1; ) ⇔ − m + ≤ ( ∀x ∈ [ −1; 2]) x +1 (Do hàm số liên tục nên ta mở rộng đoạn) ⇔ m − ≥ ′( x) Xét hàm số = h ( x ) f= ( ∀x ∈ [ −1; 2]) (*) x +1 −8 x đoạn [ −1; 2] ⇒ h′ ( x ) = =0 ⇔ x =0 x +1 ( x + 1) Mặt khác h ( −1) = 2, h ( ) = 4, h ( ) = ⇒ (*) ⇔ m − ≥ max h ( x ) ⇔ m − ≥ ⇔ m ≥ + [ −1;2] Chọn A Câu 95: : Hàm số g ( x ) nghịch biến ⇔ g ′= ( x ) f ′ ( x ) − m ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ m ≥ f ′ ( x )( ∀x ∈ ) ⇔ m ≥ max f ′ ( x ) 4 Mặt khác f ′ ( x ) = ≤ = ⇒ max f ′ ( x ) = x +1 +1 Do m ≥ giá trị cần tìm m ∈ ( −20; 20 ) Kết hợp ⇒ có 16 giá trị tham số m Chọn A m ∈ x) f ′( x) − m = cos x + 2sin x + − m Câu 96: g ′ (= Hàm số g ( x ) nghịch biến ⇔ g ′ ( x ) ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ cos x + 2sin x + − m ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ m ≥ cos x + 2sin x + = − sin x + 2sin x ( ∀x ∈ ) m ≥ 2 ⇔ m ≥ − ( sin x − 1) ( ∀x ∈ ) ⇔ m ≥ ⇔ m ≤ −2 m ∈ ( −20; 20 ) Kết hợp ⇒ có 36 giá trị tham số m Chọn D m ∈ ′ ( x ) f ′ ( x ) − ( m − 1) ≥ ( ∀x ∈ [ 2; +∞ ) ) Câu 97: Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) ⇔ g= ⇔ f ′ ( x) ≥ m −1 ⇔ x + Xét hàm số h ( x )= x + ≥ m − 1( ∀x ∈ [ 2; +∞ ) ) (*) x x2 −1 nửa khoảng [ 2; +∞ ) ta có: h′ ( x ) = − = > ( ∀x ∈ [ 2; +∞ ) ) x x2 x Do hàm số h ( x ) đồng biến nửa khoảng [ 2; +∞ ) ⇒ h= ( x ) h= ( 2) [ 2;+∞ ) Khi (*) ⇔ h ( x ) ≥ m − ⇔ h ( ) ≥ m − ⇔ [ 2;+∞ ) 5 ≥ m −1 ⇔ m ≤ 2 Kết hợp m ∈ + ⇒ m = {1; 2;3} Chọn C Câu 98: Hàm số g ( x ) nghịch biến ⇔ g ′= ( x ) f ′ ( x ) + 2m ≤ ( ∀x ∈ ) ⇔ −2m ≥ x+3 x2 + ( ∀x ∈ )(*) ′( x) Xét hàm số = h ( x ) f= h′ ( x ) = x2 + − x+3 x2 + ta có: x ( x + 3) x +1 x2 + = − 3x (x + 1) =0 ⇔ x = 1 Lại có: h = 10, lim h ( x ) = 1, ⇒ max h ( x ) = 10 −1, lim h ( x ) = x →−∞ x →+∞ 3 Do (*) ⇔ −2m ≥ max h ( x ) ⇔ −2m ≥ 10 ⇔ m ≤ − 10 m ∈ ( −20; 20 ) Kết hợp ⇒ có 18 giá trị tham số m Chọn A m ∈ Câu 99: g ′ ( x ) = f ( x − 1) ′ − = f ′ ( x − 1) − = ( x − 1) + ( x − 1) − = x − x > Do g ′ ( x ) > ⇔ ⇒ g ( x ) đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) ( −∞; −2 ) x < −2 Suy hàm số đồng biến khoảng ( 2; ) Chọn B ′ ′ ( x ) x.x ( x + 1) < ⇔ x < Câu 100: = g ′ ( x ) f (= x ) x f= Do hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ⇒ hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) Chọn B Câu 101: g ′ ( x ) = f ( x + 1) ′ − = ( x + 1) + − = x2 + 2x Khi g ′ ( x ) < ⇔ −2 < x < ⇒ g ( x ) nghịch biến khoảng ( −2;0 ) nên hàm số nghịch biến khoảng ( −2; −1) Chọn B Câu 102: Hàm số g ( x ) đồng biến đoạn [ 2; 4] ⇔ g ′= ( x ) f ′ ( x ) − ( m − 3) ≥ ( ∀x ∈ [ 2; 4]) ⇔ f ′ ( x ) ≥ ( m − 3) ( ∀x ∈ [ 2; 4]) (*) ′( x) Xét = h ( x ) f= x ( x − 1) − x − x − x − x2 + 4] ta có: h′ ( x ) = đoạn [ 2;= 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1) Với x ∈ [ 2; 4] ⇒ h′ ( x ) = ⇔ x = 19 Lại có: h ( ) = 7, h ( 3) = 6, h ( ) = ⇒ h ( x ) = [ 2;4] Ta có: (*) ⇔ h ( x ) ≥ m − ⇔ ≥ m − ⇔ m ≤ [ 2;4] Kết hợp m ∈ + ⇒ có giá trị tham số m Chọn A ′ ( x ) f ′ ( x ) − m ≥ ( ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ) Câu 103: Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ⇔ g= ⇔ f ′ ( x ) ≥ m ( ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ) (*) Xét h ( x= ) f ′ ( x=) x + 2 khoảng ( 0; +∞ ) ta có: h′ ( x ) = x − = ⇔ x = x x Mặt khác lim+ h ( x ) = +∞, h (1) = 3, lim h ( x ) = +∞ ⇒ h ( x ) = h (1) = x →0 ( 0;+∞ ) x →+∞ Hoặc áp dụng BĐT AM -GM ta có: h ( x ) = x + 1 1 = x2 + + ≥ 3 x2 = x x x x x Suy h ( x ) = Do (*) ⇔ ≥ m Chọn A ( 0;+∞ ) Câu 104: y′ = m ( −m ) − ( −2m − 3) −m + 2m + = ; ∀x ≠ m 2 ( x − m) ( x − m) Yêu cầu toán ⇔ y′ > ⇔ −m + 2m + > ⇔ −1 < m < Kết hợp với m ∈ → m= Câu = 105: y′ {0;1;3} giá trị cần tìm Chọn D m.m − 1.4m m − 4m = ; ∀x ≠ −m 2 ( x + m) ( x + m) Yêu cầu toán ⇔ y′ < ⇔ m − 4m < ⇔ < m < → m= Kết hợp với m ∈ Câu= 106: y′ 1.5m − 1.2 = ( x + 5m ) {1; 2;3} giá trị cần tìm Chọn D 5m − ( x + 5m ) ; ∀x ≠ −5m 5m − > Yêu cầu toán ⇔ y′ > 0; ∀x ∈ ( −∞; −10 ) ⇔ ⇔ Yêu cầu toán ⇔ y′ > 0; ∀x ∈ ( −∞; −6 ) ⇔ ⇔ Yêu cầu toán ⇔ y′ > ⇔ m − > ⇔ Chọn B m < −1 Câu 111: y′ = m ( m + 3) − 1.4 m + 3m − = ; ∀x ≠ −m 2 ( x + m) ( x + m) m > Yêu cầu toán ⇔ y′ > ⇔ m + 3m − > ⇔ Chọn A m < −4 Câu 112: y′ = m ( −1) − ( −m − 20 ) −m + m + 20 = ; ∀x ≠ 2 ( x − 1) ( x − 1) Yêu cầu toán ⇔ y′ > ⇔ −m + m + 20 > ⇔ −4 < m < Kết hợp với m ∈ → có giá trị nguyên m cần tìm Chọn B Câu 113: y′ = m ( −2 ) − ( −3m + 1) −2m + 3m − ; ∀x ≠ = 2 ( x − 2) ( x − 2) m > Yêu cầu toán ⇔ y′ < ⇔ −2m + 3m − < ⇔ m < 2 −100 < m Yêu cầu toán ⇔ y′ > 0; ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ ⇔ m < −2 ⇔ m > −1 x = −m ∉ ( 2; +∞ ) m ≥ −2 −100 < m 0 < m < 1 Yêu cầu toán ⇔ y′ > 0; ∀x ∈ ; +∞ ⇔ ⇔ − ≤ m m − > m > Yêu cầu toán ⇔ y′ > 0; ∀x ∈ ( 5; +∞ ) ⇔ ⇔ m < −2 ⇔ −5 ≤ m < −2 x = −m ∉ ( 5; +∞ ) m ≥ −5 Kết hợp với m ∈ − →m = Vậy xác suất cần tính P = Câu 119: = y′ {−5; −4; −3} giá trị cần tìm Chọn C 2.8 − ( −1) ( −m ) 16 − m = ; ∀x ≠ 2 ( x − 8) ( x − 8) Yêu cầu toán ⇔ y′ > ⇔ 16 − m > ⇔ −4 < m < Kết hợp với m ∈ →m = Vậy {−3; −2; −1;0;1; 2;3} giá trị cần tìm ∑ m = Chọn C Câu = 120: y′ m.m − ( −2 ) ( −5 ) = ( −2 x + m ) m − 10 ( 2x − m) ; ∀x ≠ m m − 10 < Yêu cầu toán ⇔ y′ < 0; ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ ⇔ −2 ≤ m < 10 m ∉ ( −∞; −1) x= Kết hợp với m ∈ →m = Vậy {−2; −1;0;1; 2;3} giá trị cần tìm ∑ m = Chọn A Câu 121: Với m = , ta = y →= m loại Với m ≠ = Ta có y′ m − 2m.5 = ( 2mx + 1) m − 10m ( 2mx + 1) ; ∀x ≠ − 2m m − 10m < Yêu cầu toán ⇔ y′ < 0; ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ⇔ ⇔ < m < 10 ∉ ( 3; +∞ ) x = − 2m {1; 2;3; ;9} giá trị cần tìm Kết hợp với m ∈ → m= Vậy ∑ m = + + + + = 45 Chọn D Câu 122: = y′ ( −m ) − ( −m + 3) = ( x − m) −m − ( x − m) ; ∀x ≠ m −m − < m > −3 Yêu cầu toán ⇔ y′ < 0; ∀x ∈ [ 7; +∞ ) ⇔ ⇔ ⇔ −3 < m < x= m ∉ [ 7; +∞ ) m < {−2; −1;0; ;6} giá trị cần tìm Kết hợp với m ∈ →m = Vậy ∑ m = 18 Chọn B Câu 123: y′ = ( −3m + ) − ( 2m − 3) = ( x − 3m + ) −5m + ( x − 3m + ) ; ∀x ≠ 3m − −5m + > Yêu cầu toán ⇔ y′ > 0; ∀x ∈ ( −∞; −14 ) ⇔ ⇔ −4 ≤ m < x 3m − ∉ ( −∞; −14 ) = Kết hợp với m ∈ → m ={−4; −3; −2; −1;0} giá trị cần tìm Vậy ∑m = −10 Chọn D Câu= 124: y′ 2m.2m − 1( 3m + ) = ( x + 2m ) m2 − ( x + 2m ) ; ∀x ≠ −2m Yêu cầu toán ⇔ y′ < ⇔ m − < ⇔ −3 < m < {−2; −1;0;1; 2} Kết hợp với m ∈ →m = 2m.2m − 1( 3m + ) Câu= 125: y′ = ( x + 2m ) giá trị cần tìm Chọn C m2 − ( x + 2m ) ; ∀x ≠ −2m Yêu cầu toán ⇔ y′ < ⇔ m − < ⇔ −3 < m < → m= Kết hợp với m ∈ + Câu 126: = y′ 1.m − 1.1 = ( x + m) {1; 2} giá trị cần tìm Chọn A m −1 ( x + m) ; ∀x ≠ m Yêu cầu toán ⇔ y′ > ⇔ m − > ⇔ m > Chọn B Câu 127: y′ = m ( m − 3) − ( −2 ) m − 3m + = ; ∀x ≠ − m 2 ( x + m − 3) ( x + m − 3) Yêu cầu toán ⇔ y′ < ⇔ m − 3m + > ⇔ < m < Do đó= a 1;= b →= P a −= b −1 Chọn A Câu 128: = y′ m ( −m ) − 1( −9 ) = ( x − m) − m2 ( x − m) ; ∀x ≠ m Yêu cầu toán ⇔ y′ > ⇔ − m > ⇔ −3 < m < Kết hợp với m ∈ → có giá trị nguyên m cần tìm Chọn A Câu 129: y′ =4 x3 + ( 2m − 1) x Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) ⇔ y′ ≥ ( ∀x ∈ [1; +∞ ) ) ⇔ x + ( 2m − 1) x ≥ ( ∀x ∈ [1; +∞ ) ) ⇔ x + ( 2m − 1) ≥ ( ∀x ∈ [1; +∞ ) ) ⇔ x + ( 2m − 1) ≥ ⇔ + 4m − ≥ ⇔ m ≥ [1;+∞ ) m ∈ Kết hợp ⇒ có 20 giá trị tham số m Chọn D m ∈ [ −20; 20] Câu 130: y′ = −4 x3 + ( m − 1) x Hàm số cho nghịch biến khoảng (1; ) ⇔ nghịch biến đoạn [1; 2] ⇔ y′ ≤ ( ∀x ∈ [1; 2]) ⇔ −4 x3 + ( m − 1) x ≤ ( ∀x ∈ [1; 2]) ⇔ −4 x + ( m − 1) ≤ ( ∀x ∈ [1; 2]) ⇔ max −4 x + ( m − 1) ≤ ⇔ −4 + ( m − 1) ≤ ⇔ m ≤ [1;2] m ∈ Kết hợp ⇒ có 24 giá trị tham số m Chọn C m ∈ [ −20; 20] x = Câu 131: y′ =4 x3 − ( m − 1) x =4 x x − ( m − 1) ; y′ =0 ⇔ x = m −1 TH1 Nếu m − ≤ ⇔ m ≤ → y′= có nghiệm x = y′ đổi dấu từ – sang + qua điểm x = Suy hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) , tức đồng biến khoảng (1;3) x = TH2 Nếu m − > ⇔ m > → y=′ ⇔ x= − m − x = m −1 Dựa vào BBT, yêu cầu toán ⇔ m − ≤ ⇔ m ≤ Do < m ≤ Kết hợp trường hợp ta m ≤ thỏa mãn yêu cầu toán Mà m ∈ [ −10;10] m ∈ → có 13 giá trị nguyên m cần tìm Chọn D x = Câu 132: y′ = x3 − ( m2 − ) x = x x − ( m − ) ; y′ =⇔ 2 x= m − TH1 Nếu m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ → y′= có nghiệm x = y′ đổi dấu từ – sang + qua điểm x = Suy hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) tức không nghịch biến khoảng ( 2;6 ) m > TH2 Nếu m − > ⇔ → y′ ≤ 0; ∀x ∈ ( 2;6 ) ⇔ x − m + ≤ 0; ∀x ∈ ( 2;6 ) m < −2 m ≥ 10 ⇔ m ≥ x + 4; ∀x ∈ ( 2;6 ) ⇔ m ≥ 62 + = 40 ⇔ m − 40 ≥ ⇔ m ≤ −2 10 m ≥ 10 Kết hợp trường hợp, ta giá trị cần tìm m ≤ −2 10 Mà m ∈ [ −10;10] m ∈ → có + = giá trị nguyên m cần tìm Chọn C Câu 133: y′ = x − ( m + 1) x + ( m − 1)( m + 3) = x − ( m − 1) x − ( m + 3) < ⇔ m − < x < m + Do hàm số cho nghịch biến khoảng ( m − 1; m + 3) m + ≥ Để hàm số nghịch biến khoảng (1; ) ⇔ ⇔1≤ m ≤ m − ≤ Kết hợp m ∈ ⇒ m = {1; 2} ⇒ ∑ m= Chọn A x= m − Câu 134: y′ = x − 6mx + ( m − 1) ; y′ = ⇔ x − 2mx + m − = ⇔ x= m + Dễ thấy m − ≠ m + 1; ∀m ∈ → Hàm số cho có điểm cực trị Vì hệ số a > suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; m − 1) ( m + 1; +∞ ) → m +1 ≤ ⇔ m ≤ Yêu cầu toán ⇔ ( 3; +∞ ) ⊂ ( m + 1; +∞ ) Kết hợp với m ∈ + → m= {1; 2} giá trị cần tìm Chọn B x = −4 x3 + ( m − ) x = x ( − x + m − ) ; y′ =⇔ Câu 135: y′ = x= m − TH1 Nếu m − ≤ ⇔ m ≤ → y′= có nghiệm x = y′ đổi dấu từ – sang + qua điểm x = Suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) , tức đồng biến khoảng ( −∞; −5 ) TH2 Nếu m − > ⇔ m > → y′ ≥ 0; ∀x ∈ ( −∞; −5 ) ⇔ x ( − x + m − ) ≥ 0; ∀x ∈ ( −∞; −5 ) ⇔ − x + m − ≤ 0; ∀x ∈ ( −∞; −5 ) ⇔ m ≤ x + 2; ∀x ∈ ( −∞; −5 ) ⇔ m ≤ { x + 2} − 27 ( −∞ ;−5) Kết hợp trường hợp, ta m ≤ 27 giá trị cần tìm Mà m ∈ + → có 27 giá trị nguyên m cần tìm Chọn B Câu 136: Ta xét hai trường hợp sau: m= → y= −4 • Hệ số a =m − 2m =0 ⇔ Hàm số= y x − có đồ thị parabol nghịch →= m y 4x − = biến khoảng ( −∞;0 ) , đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) → m= thỏa mãn tốn • Hệ số a = m − 2m ≠ ⇔ m ≠ {0; 2} a > a > m − 2m > Yêu cầu toán ⇔ ⇔ ⇔ ⇔2 0∀x ∈ 0; nên hàm số đồng biến 2 m +1 ( cos x − m ) sin x m > −1 m ≥ m > −1 π 0; ⇔ m ∉ 0;1 ⇔ m ≥ ⇔ −1 < m ≤ ( ) 2 m ≤ m ∈ Kết hợp ⇒ có 11 giá trị tham số m Chọn A m ∈ [ −10;10] Câu 142: y = cot x + 2m + = ⇒ y′ cot x − m + −m + − 4m − −1 = ( cot x − m + 1) sin x 5m + ( cot x − m + 1) sin x 5m + > π Hàm số đồng biến 0; ⇔ m −1 π 4 cot x ∉ ∀x ∈ 0; 3 m > − m > − ⇔ ⇔ ⇔− 4 − m2 > m < −2 m > − m2 1 m ≤ Ta có y′ = Để hàm số đồng biến 0; ⇔ m ≤ ⇔ 2 (t − m) m < −2 m ≥ m ≥ 2 Chọn C ( m − 1) t − π Câu 146: Đặt t = sin x x ∈ 0; ⇒ t ∈ ( 0;1) Khi hàm số trở thành y = t −m 2 m > 2 m m − + + < −m2 + m + m < −1 m ≤ −1 Ta có y′ = Để hàm số đồng biến 0;1 ⇔ ⇔ ( ) m ≥ (t − 2) m > m ≤ m ≥ m ≤ Chọn B −2t − π Câu 147: Đặt t = sin x x ∈ 0; ⇒ t ∈ ( 0;1) Khi hàm số trở thành y = t −m 2 m>− 2m + > − 0, ∀x ∈ 0; cos x > 0, ∀x ∈ 0; ⇔ 6 6 ( 2sin x + m − 1) ( 2sin x + m − 1) m − + 4m 5m − > m> m − π 1 ≥ Với x ∈ 0; ⇒ sin x ∈ 0; → 2 ⇔ m ≤ ⇔ m ≥ ⇒ m ∈ {1; 2;3; 4} 6 2 1 − m m ≥ ≤0 Chọn C Câu 149: y′ = m − 5m + π π − sin x ) > 0, ∀x ∈ 0; ⇔ < 0, ∀x ∈ 0; ( 3 3 ( cos x − 5m + ) ( cos x − 5m + ) −5m + + m m − 5m + < 1 < m < 5m − ≥ m ≥ π 1 Với x ∈ 0; ⇒ cos x ∈ ;1 → ⇔ ⇔ < m < ⇒ m ∈ {2;3} 3 2 5m − ≤ m ≤ 10 Chọn A Câu 150: y = Khi y′ m sin x − 16 m sin x − 16 (Do cos x − =− sin x ) = cos x + m − − sin x + m m − 16 ( sin x )′ = ( − sin x + m ) m − 16 ( − sin x + m) 2sin x cos x π Do 2sin x cos x > ∀x ∈ 0; hàm số cho nghịch biến khoảng m − 16 < −4 < m < π π ⇔ m ∉ 0;1 0; ⇔ ( ) 2 sin x ≠ m ∀x ∈ 0; Kết hợp m ∈ ⇒ có giá trị m Chọn C Câu 151: = y′ − ( m − 1) − m + 2m − 1 − = ( cot x − m ) sin x ( cot x − m ) 2 sin x m − < m < π π ⇔m≤0 Hàm số đồng biến khoảng ; ⇔ π π ⇔ 4 2 m ∉ ( 0;1) cot x ≠ m ∀x ∈ ; m ∈ ( −20; 20 ) Kết hợp ⇒ có 20 giá trị tham số m Chọn A m ∈ Câu = 152: y′ −m2 + ( cos x − m ) = − sin x ) ( m2 − ( cos x − m ) sin x π Do sin x > ∀x ∈ 0; nên hàm số cho nghịch biến khoảng π 0; 2 m − < −2 < m < ⇔ ⇔ −2 < m ≤ m π ⇔ m cos x ≠ ∀x ∈ 0; ∉ ( 0;1) m ∈ ( −100;100 ) Kết hợp ⇒ m = {0; −1} có giá trị tham số m Chọn C m ∈ x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) ; y′ = ⇔ x − ( 2m + 1) x + m ( m + 1) = Câu 153: y′ = −m = x= x m ⇔ x − 2mx + m = x − m ⇔ ( x − m ) = x − m ⇔ ⇔ x − m = x = m +1 Vì hệ số a > suy hàm số nghịch biến khoảng ( m; m + 1) m ≤ −1 Yêu cầu toán ⇔ m ≤ −1 < ≤ m + ⇔ ⇔ m = −1 Chọn C m ≥ −1 Câu 154: y′ ( −3m + − m 2 x − − 3m + ) > 0, ∀x ∈ (1;5 ) ⇔ 2x −1 ( m + 3m − x − − 3m + ) < 0, ∀x ∈ (1;5 ) −4 < m < m + 3m − < m ≥ Với x ∈ (1;5 ) ⇒ x − ∈ (1;3) → 3m − ≥ ⇔ ⇔ −4 < m < Chọn B 3m − ≤ m ≤ Câu 155: y′ ( 4m − + m x + + 4m − ) < 0, ∀x ∈ (1;5 ) ⇔ 3x + ( m + 4m − x + + 4m − ) < 0, ∀x ∈ (1;5 ) −5 < m < 1 m + 4m − < − < ≤ m m≤ Chọn B Với x ∈ (1;5 ) ⇒ x + ∈ ( 2; ) → 5 − m ≥ ⇔ ⇔ ≤ m −3 ⇒ f ′ ( x ) ≤ (dấu xảy điểm x = ) Do hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( −3; +∞ ) Chọn A ′ ( x ) f ′ ( x ) + ≥ ⇔ f ′ ( x ) ≥ −1 Câu 159: Ta có g= Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy x > −2 ⇒ f ′ ( x ) ≥ −1 (dấu xảy điểm x = ) Do hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( −2; +∞ ) Chọn D x = Câu 160: Đặt g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − = f ′ ( x ) − = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > ⇒ g ′ ( x ) > từ ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x −∞ y′ – + – +∞ + Suy hàm số g ′ ( x ) đồng biến khoảng (1; ) ( 3; +∞ ) Chọn C x = −2 x = −1 Câu 161: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > −3 ⇒ g ′ ( x ) > từ ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x –2 −∞ y′ + –1 – + – +∞ + Dựa vào bảng xét dấu suy hàm số nghịch biến khoảng ( −2; −1) (1; ) Chọn B Câu 162: g ′= − f ′ ( x ) − ( x + ) ( x ) f ′ ( x ) − x= Dựa vào tương giao hai đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) x = −2 đường thẳng y= x + ta thấy g ′ ( x ) =0 ⇔ x =0 x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > x + ⇒ g ′ ( x ) > nên ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x y′ –2 −∞ – 0 + – +∞ + Suy hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 0; ) Chọn A Câu 163: Ta có g ′= + f ′ ( x ) − ( x − ) ( x ) f ′ ( x ) − x= Dựa vào tương giao hai đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y= x − (Đường thẳng qua x = −1 điểm ( −1; −3) , (1; −1) , ( 2;0 ) hình vẽ) ta có: g ′ ( x ) =0 ⇔ f ′ ( x ) − ( x − ) =0 ⇔ x =1 x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > x − ⇒ g ′ ( x ) > (Vì đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm đường thẳng y= x − ) Ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x –1 −∞ y′ – + – +∞ + Suy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;1) ( 2; +∞ ) Chọn B x = −2 x = −1 Câu 164: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − = f ′ ( x ) − 3 = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) < −3 ⇒ g ′ ( x ) < từ ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x –2 −∞ y′ – –1 + – + +∞ – Dựa vào bảng xét dấu suy hàm số đồng biến khoảng ( −2; −1) (1; ) Chọn C + f ′ ( x ) − ( − x − 1) Câu 165: Ta có g ′= ( x ) f ′ ( x ) + x= Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y =− x − (Đường thẳng qua x = −3 điểm ( −3; ) , ( −1;0 ) , (1; −2 ) hình vẽ) ta có: g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − ( − x − 1) = ⇔ x = −1 x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > − x − ⇒ g ′ ( x ) > (Vì đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm đường thẳng y =− x − ) Ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x –3 −∞ y′ – –1 + – +∞ + Suy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −3) ( −1;1) Chọn B ′ ( x ) f ′ ( x ) + ( x= Câu 166: Ta có g= + 1) f ′ ( x ) − ( − x − 1) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y =− x − (Đường thẳng qua x = −3 điểm ( −3; ) , (1; −2 ) , ( 3; −4 ) hình vẽ) ta có: g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − ( − x − 1) = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) < − x − ⇒ g ′ ( x ) < (Vì đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm đường thẳng y =− x − ) Ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x y′ –3 −∞ + – + +∞ – Suy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −3) (1;3) Chọn B ′( x) f ′( x) − x Câu 167: Ta có g= Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = x (Đường thẳng qua x = −1 điểm ( −1; −1) , (1;1) , ( 2; ) hình vẽ) ta có: g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − x = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > x ⇒ g ′ ( x ) > (Vì đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm đường thẳng y = x ) Ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x –1 −∞ y′ + + – +∞ + Chú ý qua điểm x = −1 đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm đường thẳng y = x (quan sát đồ thị) điều chứng tỏ x = −1 nghiệm kép phương trình g ′ ( x ) = hay y = x tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) điểm x = −1 Suy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 2; +∞ ) , hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng (1; ) Chọn A ′ ( x ) f ′ ( x ) + ( x= Câu 168: Ta có g= + 1) f ′ ( x ) − ( − x − 1) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y =− x − (Đường thẳng qua x = −3 điểm ( −3; ) , (1; −2 ) , ( 3; −4 ) hình vẽ) ta có: g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − ( − x − 1) = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) < − x − ⇒ g ′ ( x ) < (Vì đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm đường thẳng y =− x − ) Ta có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) sau: x y′ –3 −∞ + – + +∞ – Suy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −3;1) ( 3; +∞ ) Chọn D Câu 169: Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x ) − x; h′ ( x ) = ⇔ f ′( x) = x Nghiệm phương trình h′ ( x ) = nghiệm f ′ ( x ) = x , hoành độ giao điểm hai đồ thị y = f ′ ( x ) đường thẳng y = x Dựa vào hình vẽ, ta h′ ( x ) = 0⇔ x= −2; x = 2; x = Gọi S1 , S diện tích hai phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = x hình vẽ • S= ∫ f ′ ( x ) − x dx= −2 ∫ h′ ( x ) dx= h ( ) − h ( −2 ) > −2 4 2 • 2S2 = − ∫ h′ ( x ) dx = h ( 2) − h ( 4) > ∫ x − f ′ ( x ) dx = Từ đồ thị S1 > S ⇒ h ( ) − h ( −2 ) > h ( ) − h ( ) ⇒ h ( −2 ) < h ( ) Vậy h ( ) > h ( ) > h ( −2 ) Chọn A Câu 170: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) =+ x Nghiệm phương trình g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) ; g ′ ( x ) =⇔ nghiệm f ′ ( x )= x + , hoành độ giao điểm hai đồ thị y = f ′ ( x ) đường thẳng y= x + Dựa vào hình vẽ, ta g ′ ( x ) = 0⇔ x= −3; x = 1; x = Gọi S1 , S diện tích hai phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y= x + hình vẽ • S= 1 ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx= ∫ g ′ ( x ) dx= −3 g (1) − g ( −3) > −3 3 1 • 2S2 = ∫ ( x + 1) − f ′ ( x ) dx =−∫ g ′ ( x ) dx =g (1) − g ( 3) > Từ đồ thị S1 > S ⇒ g (1) − g ( −3) > g (1) − g ( 3) ⇒ g ( −3) < g ( 3) Vậy g (1) > g ( 3) > g ( −3) Chọn D Câu 171: Ta có g ′ ( x ) = − x Nghiệm phương trình g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x; g ′ ( x ) = ⇔ f ′( x) = nghiệm f ′ ( x ) = − x , hoành độ giao điểm hai đồ thị y = f ′ ( x ) đường thẳng y = − x Dựa vào hình vẽ, ta g ′ ( x ) = 0⇔ x= 1; x = −3; x = Gọi S1 , S diện tích hai phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = − x hình vẽ 1 −3 −3 3 • S1 =∫ − x − f ′ ( x ) dx =− ∫ g ′ ( x ) dx =g ( −3) − g (1) > • 2= S2 dx ∫ f ′ ( x ) − ( − x ) = dx g ( 3) − g (1) > ∫ g′ ( x)= Từ đồ thị S1 > S ⇒ g ( −3) − g (1) > g ( 3) − g (1) ⇒ g ( −3) > g ( 3) Vậy g ( −3) > g ( 3) > g (1) Chọn B Câu 172: Ta có g ′ ( x ) =2 f ′ ( x ) + x + 2; g ′ ( x ) =0 ⇔ f ′ ( x ) =− x − Nghiệm phương trình g ′ ( x ) = nghiệm f ′ ( x ) =− x − , hoành độ giao điểm hai đồ thị y = f ′ ( x ) đường thẳng 0⇔ x= −3; x = 1; x = y =− x − Dựa vào hình vẽ, ta g ′ ( x ) = Gọi S1 , S diện tích hai phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y =− x − hình vẽ 1 −3 −3 3 • S1 =∫ − x − − f ′ ( x ) dx =− ∫ g ′ ( x ) dx =g ( −3) − g (1) > • 2= S2 dx ∫ f ′ ( x ) − ( − x − 1) = dx g ( 3) − g (1) > ∫ g′( x)= Từ đồ thị S1 > S ⇒ g ( −3) − g (1) > g ( 3) − g (1) ⇒ g ( −3) > g ( 3) Vậy g ( −3) > g ( 3) > g (1) Chọn A Câu 173: Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − ) Ta có y′ = − f ′(2 − x) = − ( − x )(1 − x )( −2 − x ) = ( x + )( x − 1)( x − 3) x > Do y′ = −2; x = 0⇔ x= 1; x = Lập bảng biến thiên y ' > ⇔ −2 < x < Vậy hàm số cho đồng biến khoảng ( −2;1) Chọn C Câu 174: Ta có h′ ( x = ) f ′ ( x + ) − g ′ x + > 2 Trên đoạn [3;8] , ta f ′= ( x ) f= ( 3) 10; max g ′= ( x ) g= (8) [3;8] [3;8] Do f ′ ( x ) − g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( x ) > g ′ ( x ) ; ∀x ∈ ( 3;8 ) 3 < x + < 9 Nếu ⇒ − < x < f ′ ( x + ) > g ′ x + ⇒ h′ ( x ) > khoảng 2 3 < x + < Vậy hàm số cho đồng biến khoảng − ;0 Chọn B Câu 175: Ta có= y f ( x ) − x − ⇒= y′ f ′ ( x ) − x − ;1 Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = x (đường thẳng qua x = −2 điểm ( −2; −2 ) , ( 2; ) , ( 4; ) hình vẽ) ta có: f ′ ( x ) − x = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > x (Do đồ thị f ′ ( x ) nằm phía đường thẳng y = x ) ta có bảng xét dấu: x –2 −∞ y′ – + – +∞ + Do hàm số đồng biến khoảng ( −2; ) ( 4; +∞ ) , nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 2; ) Khẳng định sai B Chọn B Câu 176: Ta có= y f ( x ) − ( x + 1) ⇒= y′ f ′ ( x ) − ( x + 1) = f ′ ( x ) − ( x + 1) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y= x + (đường thẳng qua x = −3 điểm ( −3; −2 ) , (1; ) , ( 3; ) hình vẽ) ta có: f ′ ( x ) − x = ⇔ x = x = Mặt khác x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > x + (Do đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía đường thẳng y= x + ) ta có bảng xét dấu: x y′ –3 −∞ – + – +∞ + Do hàm số đồng biến khoảng ( −3;1) ( 3; +∞ ) , nghịch biến khoảng ( −∞; −3) (1;3) Khẳng định sai B Chọn B Câu 177:= y ′ f ′ ( x ) + x + x= − f ′ ( x ) − ( − x2 − x + 2) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Parabol: y =− x − x + ( P ) (hình vẽ) ta có: x = −2 y′ =0 ⇔ x =0 x = Mặt khác x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > − x − x + (Do đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm phía Parabol ( P ) nên y′ > ta có bảng xét dấu: x –2 −∞ y′ – 0 + – +∞ + Do hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) (1; +∞ ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 0;1) Khẳng định sai A Chọn A Câu 178:= y′ f ′( x) f ′ ( x ) − ( x − x − ) − x + x= +1 2 Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Parabol: y = x − x − (hình vẽ) ta có: x = −1 y′ = f ′ ( x ) − ( x − x − ) =0 ⇔ x =0 x = Mặt khác x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) < x − x − nên y′ < ta có bảng xét dấu: x y′ –1 −∞ + 0 – + +∞ – Do hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 0; ) , hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ( 2; +∞ ) Chọn A Câu 179:= + f ′ ( x ) − ( x + x − 1) y′ f ′ ( x ) − x − x= Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Parabol: y = x + x − (hình vẽ) ta có: x = −2 f ′ ( x ) − ( x + x − 1) =0 ⇔ x =0 x = Mặt khác x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) < x + x − nên y′ < ta có bảng xét dấu: x –2 −∞ y′ + 0 – + +∞ – Do hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 0;1) , hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) (1; +∞ ) Chọn D Câu 180: = y′ f ′ ( x + ) + x + Đặt t = x + ⇒ y′ = f ′ ( t ) − ( −t − 1) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) đường thẳng y =−t − (đường thẳng qua t = −3 điểm ( −3; ) , (1; −2 ) , ( 3; −4 ) hình vẽ) ta có: f ′ ( t ) − ( −t − 1) = ⇔ t = t = x + =−3 x =−5 ⇔ x + = ⇔ x =−1 = x x+2 = Mặt khác x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) < − x − (Do đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía đường thẳng y =− x − ) ta có bảng xét dấu: x y′ –5 −∞ + –1 – + +∞ – Do hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −5 ) ( −1;1) ⇒ Có 995 số nguyên thuộc khoảng đồng biến hàm số Chọn D ′ ( x ) f ′ ( x )= Câu 181: g= + x f ′ ( x ) − ( − x ) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = − x (đường thẳng qua x = −1 x = điểm ( −1;1) , ( 0;0 ) , (1; −1) , ( 2; −2 ) hình vẽ) ta có: f ′ ( x ) − x = ⇔ x = x = Khi x → +∞ ⇒ f ′ ( x ) > − x (Do đồ thị f ′ ( x ) nằm phía đường thẳng y = − x ) ta có bảng xét dấu: x –1 −∞ y′ + 0 – + – +∞ + Do hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) (1; ) Chọn D Câu 182: g ′ ( x ) = −2 f ' (1 − x ) + x − = −2 f ′ (1 − x ) + − x Đặt t =1 − x ⇒ g ′ ( x ) =−2 f ′ ( t ) − ( −t ) Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) đường thẳng y = −t (đường thẳng qua t = −3 điểm ( −3;3) , (1; −1) , ( 3; −3) hình vẽ) ta có: f ′ ( t ) − ( −t ) = ⇔ t = t = Khi t → +∞ ⇒ f ′ ( t ) < −t ⇒ g ′ ( x ) > ta có bảng xét dấu: t y′ –3 −∞ - + – +∞ + t < −3 1 − x < −3 x > Do g ′ ( t ) < ⇔ ⇔ ⇔ 1 < t < 1 < − x < −2 < x < Do hàm số nghịch biến khoảng ( −2;0 ) Chọn B −2 f ( − x ) + x ⇒ y′ = f ′ ( − x) + 2x Câu 183: y = Đặt t = − x ⇒ y′ = f ' ( t ) + ( − t ) = f ′ ( t ) − ( t − ) < ⇔ t − > f ′ ( t ) Vẽ đường thẳng y = t − hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) 2 < t < 2 < − x < −1 < x < Dựa vào hình vẽ ta thấy t − > f ′ ( t ) ⇒ ⇔ t > 2 − x < x < −3 Do hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) Chọn C Câu 184: Ta có bảng biến thiên f ( x ) sau: x y′ –2 −∞ + –1 – + y +∞ – Do f ( x ) ≤ ⇒ f ( x ) − ≤ ( ∀x ∈ ) Đặt y= g ( x )= f ( x ) − 1 ⇒ g ′ ( x )= f ( x ) − 1 f ′ ( x ) x < −2 Do f ( x ) − ≤ ( ∀x ∈ ) nên hàm= số y f ( x ) − 1 nghịch biến f ′ ( x ) > ⇔ 1 < x < Chọn A