Chuyên đề cực trị hàm số

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT ❖ Định nghĩa • Giả sử hàm số f xác định tập K x0  K Ta nói: • x điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x cho ( a; b )  K f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f • x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x cho ( a; b )  K f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số • Nếu x điểm cực trị hàm số điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f ❖ Quy tắc tìm cực trị ➢ Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  ( x ) • Bước 2: Tìm điểm x i ( i = 1; 2; ) mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục đạo hàm • Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f  ( x ) Nếu f  ( x ) đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i ➢ Định lý • Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng ( x0 − h; x0 + h ) với h  Khi đó: • Nếu f  ( x0 ) = 0, f  ( x0 )  hàm số f đạt cực đại x0 • Nếu f  ( x0 ) = 0, f  ( x0 )  hàm số f đạt cực tiểu x0 Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số ➢ Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  ( x ) • Bước 2: Tìm nghiệm x i ( i = 1; 2; ) phương trình f  ( x ) = • Bước 3: Tính f  ( x ) tính f  ( xi ) Nếu f  ( xi )  hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu f  ( xi )  hàm số f đạt cực tiểu điểm xi | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Hàm số y = x + x − 3x + đạt cực tiểu điểm A x = −1 B x = C x = −3 D x = Chọn B Ta có hàm số y = x + x − 3x + có tập xác định D =  x=1 y  = x + x − ; y =    x = −3 y = x + ; y ( −3 ) = −4  ; y ( 1) =  Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x = VÍ DỤ Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − ) x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Lời giải Chọn B Xét hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − ) x (1)  y = 3x − ( m + 1) x + ( m − ) Ta có: y =  x − ( m + 1) x + m − = (2) Hàm số cho khơng có cực trị  Phương trình y = vơ nghiệm có nghiệm kép  ( )   ( m + 1) − ( m − )   m2 − 5m +    m  Do m số nguyên nên m   1; ; ;  Vậy tập S có phần tử ( ) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − ( x − ) với x  Hàm số g ( x ) = f ( − x ) có điểm cực đại? A B C D Lời giải Chọn B Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Ta có g ( x ) = f ( − x )  g ( x ) = − f  ( − x ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Từ bảng biến thiên hàm số f ( x ) ta có  − x  −1 x  g ( x )   f  ( − x )     1  − x   −1  x  Như ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g ( x ) có điểm cực đại VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Số điểm cực trị hàm số y = f ( x) A B C D Lời giải Chọn B Gọi đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) Đặt g ( x ) = f ( x ) gọi ( C  ) đồ thị hàm số y = g ( x ) Đồ thị ( C  ) suy từ đồ thị (C ) sau: Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) phía Ox ta phần I Với phần đồ thị ( C ) phía dưới Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta phần II Hợp phần I phần II ta ( C  ) Từ cách suy đồ thị ( C  ) từ ( C ) , kết hợp với bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) = f ( x ) sau: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x) có điểm cực trị VÍ DỤ Cho hàm số y = số đạt cực tiểu x = ? A.Vô số x5 m − ( 2m − 1) x − x + 2019 Có giá trị tham số m để hàm B.1 C.2 D.0 Lời giải Chọn B Ta có y = x − ( 2m − 1) x − mx = x  x − ( 2m − 1) x − m  Dễ thấy x = nghiệm đạo hàm y  Do hàm số đạt cực tiểu x = y  đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x = Ta thấy dấu y  dấu hàm số g ( x ) = x − ( m − 1) x − m Hàm số g ( x ) đổi dấu qua giá trị x = x = nghiệm g ( x ) Khi g ( ) =  m = Thử lại, với m = g ( x ) = x + x đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x = Vậy có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn VÍ DỤ Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x − 3mx + cắt đường tròn tâm I ( 1;1) , bán kính R = hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? A m = 1 B m = 2 C m = 2 D m = 2 Lời giải Chọn B Ta có y = x − 3mx +  y = 3x − 3m Hàm số y = x − 3mx + có điểm cực trị  phương trình y = 3x − 3m = có hai nghiệm phân biệt  m  ( 1) Ta có: y = x.y − 2mx + Suy phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực đại cực tiểu y = −2 mx +  mx + y − = Đường thẳng  cắt đường trịn tâm I ( 1;1) , bán kính R = hai điểm phân biệt A , B Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  d( I; )  R  2m − 4m +   2m −  4m2 +  −4m  m  1 Ta có SIAB = IA.IB.sin AIB = sin AIB  Dấu xảy  sin AIB =  AIB = 90 2 Khi tam giác IAB vng cân I có IA = nên d( I; ) = 2m − 2 2 thỏa mãn đk (1)  =  m2 − m + =  m = 2 2 4m + Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn m = 2 VÍ DỤ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + ( m − ) x + 3m − có ba điểm cực trị A m  ( 2; + ) B m  ( −2; ) C m  ( −; ) D m  ( 0; ) Lời giải Chọn C ( Ta có: y = x + ( m − ) x + 3m − ; y ' = x + ( m − ) x = x x + m − ) x = y' =    x = − m (1) Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình y ' = có ba nghiệm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  − m   m  ( ) VÍ DỤ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x) = ( x + 1)2 x − x Có giá trị nguyên dương ( ) tham số m để hàm số g( x) = f x − 12 x + m có điểm cực trị ? A 18 B 17 C 16 D 19 Lời giải Chọn B  x = −1  Ta có : f ( x) =  ( x + 1) x − x =   x = , x = −1 nghiệm kép  x = ( ( ) ) ( g( x) = f x − 12 x + m  g ( x ) = ( x − 12 ) f  x − 12 x + m ( ) ) Xét g ( x ) =  ( x − 12 ) f  x − 12 x + m = (*) x = x =   2 x − 12 x + m = −1  x − 12 x + m = −1 (l)    2 x − 12 x = − m ( 1) x − 12 x + m =    x − 12 x = − m ( )  x − 12 x + m =  ( Điểm cực trị hàm số g ( x ) nghiệm bội lẻ phương trình (*) nên ta loại phương trình x − 12 x + m = −1 ) Xét hàm số y = x − 12 x có đồ thị (C) có y ' = x − 12 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số Ta có bảng biến thiên Để g ( x ) có điểm cực trị phương trình ( 1) ; ( ) có hai nghiệm phân biệt  Do đó, đường thẳng y = − m y = − m phải cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hồnh độ khác Nhận xét: đường thẳng y = − m nằm đường thẳng y = − m Ta có: −18  − m  m  18 Vậy có 17 giá trị m ngun dương VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) = x − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + với m  Tập hợp tất giá trị m để hàm số y = f ( x ) có cực trị khoảng ( a; b ) Tích a.b A 12 B 16 C 10 D 14 Lời giải Chọn D Ta có y = x − ( 2m − 1) x + − m ( ) Vì f ( x ) hàm chẵn f ( − x ) = f ( x ) , nên đồ thị hàm f ( x ) đối xứng qua trục Oy Do đó, hàm f ( x ) có hai cực trị dương hàm f ( x ) có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy cực trị cịn lại giao điểm đồ thị hàm f ( x ) trục Oy Yêu cầu toán tương đương với phương trình y = có nghiệm dương phân biệt  m − 3m −    ( m − 1) − ( − m )       m  Điều kiện tương đương S   2 m −  P  8 − m    m     m  −1  m   7    m   m   ;8  Vậy a = , b = a.b = 14 4   m    Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 DẠNG Câu 1: Cơ cực trị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x − 2018 )( x − 2019 )( x − 2020 ) Hàm số cho có điểm cực trị? A B Câu 2: Câu 3: Hàm số y = x + x − 3x + đạt cực tiểu điểm A x = −1 B x = C x = −3 B B x = C M ( 0; ) D y = B Hàm số y = C 2x + có điểm cực trị? x+1 B C D D Đồ thị hàm số y = x − 3x − x + có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB ? A M ( 0; − 1) Câu 9: D Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = x ( x − 1)( x + ) Số điểm cực trị hàm số cho A Câu 8: C Hàm số y = x − x + có điểm cực đại A Câu 7: D Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = x ( x − 1)( x + ) Số điểm cực trị hàm số cho A x = Câu 6: D x = C B A Câu 5: D Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x + ) , x  Số cực trị hàm số cho A Câu 4: C B Q ( −1;10 ) C P ( 1; ) D N ( 1; − 10 ) Số sau điểm cực đại hàm số y = x − x + x + A B C D Câu 10: Cho y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 2)( x − 3)2 Khi số cực trị hàm số y = f ( x + 1) A B C D Câu 11: Cho hàm số y = x − x + Xét mệnh đề sau 1) Hàm số có điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến khoảng ( −1; ) ; ( 1; + ) 3) Hàm số có điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến khoảng ( −; −1) ; ( 0;1) Có mệnh đề bốn mệnh đề trên? A B C D 2019 2019 + C2019 x + C2019 x + + C2019 x Câu 12: Hàm số f ( x ) = C2019 có điểm cực trị? | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số A B 2018 D 2019 C Câu 13: Cho hàm số y = x − 3x + Tọa độ điểm cực tiểu đồ thị hàm số B ( −1; ) A ( −2; ) C ( 0;1) D ( 1; ) 2 10 10 x + C10 x + + C10 x Số điểm cực trị hàm số cho Câu 14: Cho hàm số f ( x) = + C10 A 10 B C D ( ) Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1)( x − ) 3x − , x  hàm số cho A C B ( )( D ) Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − x − 3x , x  hàm số cho Chọn khẳng định A T = f ( ) B T = f ( ) C T = f ( −3 ) ( )( ) Câu 17: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − x − 3x , x  hàm số cho Chọn khẳng định A T = f ( ) B T = f ( ) Số điểm cực trị C T = f ( −3 ) Gọi T giá trị cực đại D T = f ( ) Gọi T giá trị cực đại D T = f ( ) Câu 18: Gọi A , B , C điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x + Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC A +1 B C − D Câu 19: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác, gọi ABC Tính diện tích ABC A S = B S = C S = D S = Câu 20: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − ) x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) có ba điểm cực trị −2; − 1; có đạo hàm liên tục Khi hàm số y = f ( x − x) có điểm cực trị? A B C D Câu 22: Cho hàm số f ( x) = x ( x − 1)e x có nguyên hàm hàm số F( x) Số điểm cực trị hàm số F( x) A B Câu 23: Số điểm cực trị hàm số y = sin x − C D x , x  ( − ;  ) B C D Câu 24: Biết phương trình ax + bx + cx + d = ( a  ) có hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số A y = ax + bx + cx + d có điểm cực trị? Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh A B Câu 25: Số điểm cực trị hàm số f ( x ) = Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 D C x2 2tdt  1+ t 2x A B C D Câu 26: Cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = f ( −2 x + x) A B C D 1 Câu 27: Biết đồ thị hàm số y = x2 − 3x − có ba điểm cực trị thuộc đường tròn ( C ) Bán x kính ( C ) gần với giá trị đây? A 12,4 B 6,4 C 4,4 ( ) D 27 Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( − x ) x − + x , x  y = f  ( x ) − x − có điểm cực tiểu Hỏi hàm số A B C D ax + b Câu 29: Cho hàm số y = có đồ thị hình vẽ Chọn mệnh đề mệnh đề sau: cx + d A Hàm số y = ax + bx + cx + d có hai điểm cực trị trái dấu B Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục tung điểm có tung độ dương C Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung D Tâm đối xứng đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d nằm bên trái trục tung Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c với a  , c  2018 a + b + c  2018 Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − 2018 B A Câu 31: Hàm số f ( x ) = A C D x − m có nhiều điểm cực trị? x +1 B C ( D ) Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − ( x − ) với x  g ( x ) = f ( − x ) có điểm cực đại? A B Câu 33: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục C D bảng xét dấu đạo hàm Hàm số y = f ( − x + x − 6) + x6 − 3x − 12 x có tất điểm cực tiểu? A B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C D Hàm số Chủ đề 02: Cực trị hàm số BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A 10 11 12.A 13.D 14.D 15.C 16.C 17.C 18.C 19.B 20.B 21 22.A 23.D 24.D 25.D 26.D 27.B 28.D 29.A 30.D 31 32.B 33.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A Tập xác định: D =  x = 2018  Ta có: f  ( x ) =   x = 2019  x = 2020 Bảng xét dấu f  ( x ) : Dựa vào bảng xét dấu f  ( x ) ta thấy f  ( x ) đổi dấu qua hai điểm x = 2018 ; x = 2019 nên hàm số cho có hai điểm cực trị Câu 2: Chọn B Ta có hàm số y = x + x − 3x + có tập xác định D =  x=1 y  = x + x − ; y =   ; y = x + ; y ( −3 ) = −4  ; y ( 1) =   x = −3 Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x = Câu 3: Chọn B Ta có f ' ( x ) đổi dấu qua giá trị x = x = Câu 4: −3 nên hàm số có cực trị Chọn B  x=0  Xét phương trình f  ( x ) =   x =  x = −2 Ta có bảng xét dấu sau: Dễ thấy f  ( x ) đổi dấu qua x = −2 f  ( x ) đổi dấu qua x = nên hàm số có điểm cực trị Câu 5: Chọn B Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 |