Phương trình Lượng giác-Phạm Tuấn Khải
Phạm Tuấn Khải Phương trình lượng giác là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng. Để giải được một phương trình lượng giác đòi hỏi người giải phải quan sát kỹ đề bài, đề ra hướng giải tối ưu nhất, vận dụng những công thức biến đổi lượng giác để đi đến kết quả cuối cùng. Chuyên đề này xin hướng dẫn cho các bạn có hướng nhìn tổng quát cho các bài toán phương trình lượng giác. Giải phương trình lượng giác là dùng các công thức lượng giác biến đổi đưa về phương trình tích, từ đó chúng ta sẽ có được những phương trình lượng giác cơ bản: sin u = sin v ⇔ u = v + k2π u = π −v + k2π cos u = cos v ⇔ u = v + k2π u = −v + k2π tan u = tan v ⇔ u = π 2 + k π u = v + kπ cot u = cot v ⇔ u = k π u = v + kπ (k, k ∈ Z) Trong quá trình giải chúng ta thường gặp những dạng phương trình lượng giác như sau: • Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo sin x, cos x a sin x + b cos x = c Để giải phương trình này chúng ta xét điều kiện - Nếu a 2 + b 2 < c 2 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu a 2 + b 2 ≥ c 2 thì phương trình có nghiệm, chia hai vế phương trình cho √ a 2 + b 2 để đưa về phương trình lượng giác cơ bản. • Dạng 2: Phương trình bậc hai theo các hàm số lượng giác at 2 + bt + c = 0, (a = 0) trong đó t có thể là sin x, cos x, tan x hoặc cot x. • Dạng 3: Phương trình đối xứng theo sin x, cos x a(sin x ± cos x) + b sin x cos x = c Đặt t = sin x ± cos x ; với t = √ 2 sin x ± π 4 , t ∈ − √ 2; √ 2 và t 2 = 1 ± 2 sin x cos x đưa về phương trình đại số để giải. • Dạng 4: Phương trình đẳng cấp a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x = m sin x + n cos x - Trước tiên kiểm tra cos x = 0 ⇔ sin x = ±1 ⇔ x = π 2 + kπ có phải là nghiệm phương trình hay không. - Sau đó xét cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos 2 x (hay cos 3 x) đưa về phương trình đại số theo tan x. Bài toán 1. Giải phương trình 2 cos x(sin x + cos x) 2 = 2 sin x + 9π 2 + sin 2x Hướng dẫn. Nhìn vào đề bài điều chúng ta nghĩ đến là thu gọn (sin x + cos x) 2 và sin x + 9π 2 . Ta có (sin x + cos x) 2 = sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = 1 + sin 2x, sin x + 9π 2 = sin x + π 2 + 4π = sin x + π 2 = cos x. Phương trình trở thành 2 cos x(1 + sin 2x) = 2 cos x + sin 2x ⇔ sin 2x(2 cos x − 1) = 0 ⇔ sin 2x = 0 cos x = 1 2 ⇔ x = kπ 2 , x = ± π 3 + k2π. Vậy nghiệm phương trình là x = kπ 2 , x = ± π 3 + k2π (k ∈ Z) Bài toán 2. Giải phương trình 4 cos 2 x 2 + π 4 tan 2 x = 1 Hướng dẫn. Điều kiện: cos x = 0 ⇔ sin x = ±1. Đầu tiên chúng ta hạ bậc cos 2 x 2 + π 4 = 1 2 1 + cos x + π 2 = 1 2 (1 − sin x) Sự xuất hiện của 1 − sin x làm cho ta nghĩ đến biến đổi tan 2 x thành tan 2 x = sin 2 x cos 2 x = sin 2 x 1 − sin 2 x = sin 2 x (1 − sin x)(1 + sin x) . Lúc này phương trình trở thành 2 sin 2 x 1 + sin x = 1 ⇔ 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = 1 (loại) sin x = − 1 2 ⇔ x = − π 6 + k2π x = 7π 6 + k2π. Vậy nghiệm phương trình là x = − π 6 + k2π, x = 7π 6 + k2π (k ∈ Z) Phạm Tuấn Khải Bài toán 3. Giải phương trình 3 cot 2 x + 3(cot x + 1) sin x − 4 √ 2 cos x + 7π 4 = 1 Hướng dẫn. Điều kiện: sin x = 0 ⇔ x = kπ. Ta có √ 2 cos x + 7π 4 = √ 2 cos x − π 4 + 2π = √ 2 cos x − π 4 = cos x + sin x. Phương trình tương đương với 3 cos 2 x sin 2 x + 3(cos x + sin x) sin 2 x − 4(cos x + sin x) = 1 ⇔ 3 sin 2 x − 4 + (cos x + sin x) 3 sin 2 x − 4 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − 4 (1 + cos x + sin x) = 0 ⇔ sin 2 x = 3 4 cos x + sin x = −1 ⇔ cos 2x = − 1 2 cos x − π 4 = − √ 2 2 ⇔x = ± π 3 + kπ, x = − π 2 + k2π, x = π + k2π (loại) Vậy nghiệm phương trình là x = ± π 3 + kπ, x = − π 2 + k2π (k ∈ Z) Bài toán 4. Giải phương trình √ 3(1 + 2 cos 2x) sin 2x = 2(3 − 4 cos 2 x) cos 2 x Hướng dẫn. Ta có sin 2x = 2 sin x cos x. Như vậy hai vế của phương trình đều có cos x, việc còn lại là chúng ta xử lý (1 + 2 cos 2x) sin x và (3 − 4 cos 2 x) cos x. Ta thấy rằng (1 + 2 cos 2x) sin x = sin x + 2 cos 2x sin x = sin x + sin 3x − sin x = sin 3x , (3 − 4 cos 2 x) cos x = 3 cos x − 4 cos 3 x = −cos 3x Do đó phương trình đã cho tương đương với √ 3 sin 3x cos x = −cos 3x cos x ⇔ cos x( √ 3 sin 3x+cos 3x) = 0 ⇔ cos x = 0 tan 3x = − √ 3 3 ⇔ x = π 2 + kπ, x = − π 18 + kπ 3 Vậy nghiệm phương trình là x = π 2 + kπ, x = − π 18 + kπ 3 (k ∈ Z) Bài toán 5. Giải phương trình 4 cos 2 x(1 + sin x) + 2 √ 3 cos x cos 2x = 1 + 2 sin x Hướng dẫn. Phương trình tương đương với 4 cos 2 x +4 cos 2 x sin x +2 √ 3 cos x cos 2x = 1 +2 sin x ⇔ 4 cos 2 x − 1 + 2 sin x(2 cos 2 x − 1) + 2 √ 3 cos x cos 2x = 0 ⇔ 4 cos 2 x − 1 + 2 sin x cos 2x + 2 √ 3 cos x cos 2x = 0 ⇔ 4 cos 2 x − 1 + 2 cos 2x(sin x + √ 3 cos x) = 0 Đến đây nhiều bạn sẽ cảm thấy lúng túng khi chúng ta không tìm được nhân tử chung để đưa về phương trình tích, nhưng các bạn hãy chú ý 4 cos 2 x − 1 = 3 cos 2 x − sin 2 x = ( √ 3 cos x + sin x)( √ 3 cos x − sin x). Do đó ta được phương trình ( √ 3 cos x + sin x)( √ 3 cos x − sin x + 2 cos 2x) = 0 ⇔ √ 3 cos x + sin x = 0 √ 3 cos x − sin x + 2 cos 2x = 0 ⇔ sin x + π 3 = 0 cos 2x = cos x − 5π 6 ⇔ x = − π 3 + kπ x = − 5π 6 + k2π x = 5π 18 + k2π 3 Vậy nghiệm phương trình là x = − π 3 + kπ x = − 5π 6 + k2π x = 5π 18 + k2π 3 (k ∈ Z) Bài toán 6. Giải phương trình √ 3 3 sin 2x(2 cos x − 1) − 1 = c os 2x − 3 cos x − cos 3x Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với √ 3 3 sin 2x(2 cos x−1)−1−cos 2x+3 cos x+cos 3x = 0. Do √ 3 3 sin 2x(2 cos x −1) có chứa (2 cos x −1) nên ta phân tích các hạng tử còn lại theo (2 cos x − 1) như sau: − 1 − cos 2x + 3 cos x + cos 3x = −1 − cos 2x + 2 cos x + cos x + cos 3x = −1 − cos 2x + 2 cos x + 2 cos x cos 2x = (2 cos x − 1)(1 + cos 2x). Từ đó ta có phương trình (2 cos x − 1) √ 3 3 sin 2x + 1 + cos 2x = 0 ⇔ cos x(2 cos x − 1) √ 3 3 sin x + cos x = 0 ⇔ cos x = 0 cos x = 1 2 tan x = − √ 3 ⇔ x = π 2 + kπ x = ± π 3 + k2π x = − π 3 + kπ Vậy nghiệm phương trình là x = π 2 + kπ x = π 3 + k2π x = − π 3 + kπ (k ∈ Z) Phạm Tuấn Khải Bài toán 7. Giải phương trình tan x cos 3x + 2 cos 2x − 1 1 − 2 sin x = √ 3(sin 2x + cos x) Hướng dẫn. Điều kiện: cos x = 0 sin x = 1 2 ⇔ x = π 2 + kπ x = π 6 + k2π x = 5π 6 + k2π. Ở bài toán này, nếu ta quy đồng mẫu thì bài toán sẽ rất phức tạp. Do đó chúng ta cần phân tích biểu thức trên tử để đơn giản mẫu. Ta có tan x cos 3x = sin x(4 cos 3 x − 3 cos x) cos x = sin x(4 cos 2 x − 3) = sin x(1 − 4 sin 2 x) = sin x(1 − 2 sin x)(1 + 2 sin x), 2 cos 2x − 1 = 1 − 4 sin 2 x = (1 − 2 sin x)(1 + 2 sin x), sin 2x+cos x = 2 sin x cos x+cos x = cos x(1+2 sin x). Phương trình đã cho trở thành (1 + 2 sin x)(sin x + 1) = √ 3 cos x(1 + 2 sin x) ⇔(1 + 2 sin x)(sin x − √ 3 cos x + 1) = 0 ⇔ sin x = − 1 2 sin x − √ 3 cos x = −1 ⇔ sin x = − 1 2 sin x − π 3 = − 1 2 ⇔ x = − π 6 + k2π x = 7π 6 + k2π hoặc x = π 6 + k2π x = 3π 2 + k2π (loại) Vậy nghiệm phương trình là x = − π 6 + k2π, x = 7π 6 + k2π (k ∈ Z) Bài toán 8. Giải phương trình tan x + 4 cos x = 2 sin 2x + π 3 + 2 cos x Hướng dẫn. Điều kiện: cos x = 0 ⇔ x = π 2 + kπ. Phương trình tương đương với tan x + 4 cos x = sin 2x + √ 3 cos 2x + 2 cos x Ta thấy √ 3 gắn với cos 2x, ta cần phần tích các hạng tử còn lại sao cho xuất hiện cos 2x. Ta nhóm lại và thực hiện phép biến đổi như sau: tan x − sin 2x = sin x cos x (1 − 2 cos 2 x) = − sin x cos 2x cos x 4 cos x − 2 cos x = 2(2 cos 2 x − 1) cos x = 2 cos 2x cos x . Do đó phương trình trở thành − sin x cos 2x cos x + 2 cos 2x cos x = √ 3 cos 2x ⇔ cos 2x − sin x cos x + 2 cos x − √ 3 = 0 ⇔ cos 2x −sin x − √ 3 cos x + 2 = 0 ⇔ cos 2x = 0 sin x + √ 3 cos x = 2 ⇔ cos 2x = 0 sin x + π 3 = 1 ⇔ x = π 4 + kπ 2 , x = π 6 + k2π Vậy nghiệm phương trình là x = π 4 + kπ 2 , x = π 6 + k2π (k ∈ Z) Bài toán 9. Giải phương trình 2 cos x cos 3x + 1 (1 + 2 cos x)(cos x + sin x) = sin x − sin 2x Hướng dẫn. Điều kiện: cos x = − 1 2 cos x + sin x = 0 ⇔ x = ± 2π 3 + k2π x = − π 4 + kπ. Tương tự như bài toán 7, ta có nhận xét 2 cos x cos 3x + 1 = cos 2x + cos 4x + 1 = cos 2x + 2 cos 2 2x = cos 2x(1 + 2 cos 2x) = (cos 2 x − sin 2 x)(4 cos 2 x − 1) = (cos x − sin x)(cos x + sin x)(2 cos x − 1)(2 cos x + 1). Phương trình đã cho tương đương với (cos x − sin x)(2 cos x − 1) = sin x − sin 2x ⇔(cos x − sin x)(2 cos x − 1) = −sin x(2 cos x − 1) ⇔cos x(2 cos x − 1) = 0 ⇔ cos x = 0 cos x = 1 2 ⇔ x = π 2 + kπ x = ± π 3 + k2π. Vậy nghiệm phương trình là x = π 2 + kπ, x = ± π 3 + k2π (k ∈ Z) Bài toán 10. Giải phương trình 1 + sin x sin x tan π 4 − x 2 = tan x + 2 √ 3 Hướng dẫn. Điều kiện: sin x = 0 cos x = 0 ⇔ x = kπ 2 . Ta có tan π 4 − x 2 = sin π 4 − x 2 cos π 4 − x 2 = cos x 2 − sin x 2 cos x 2 + sin x 2 Sự xuất hiện của cos x 2 + sin x 2 làm ta nghĩ đến 1 + sin x = cos x 2 + sin x 2 2 Như vậy phương trình tương đương với cos x 2 + sin x 2 cos x 2 − sin x 2 sin x = tan x + 2 √ 3 ⇔ cos x sin x = tan x + 2 √ 3 ⇔ cos 2 x − sin 2 x sin x cos x = 2 √ 3 ⇔ cot 2x = √ 3 ⇔ x = π 12 + kπ 2 Vậy nghiệm phương trình là x = π 12 + kπ 2 (k ∈ Z) Phạm Tuấn Khải Bài toán 11. Giải phương trình 2 cos 2 π 4 − 3x + √ 3 cos 6x 2 cos 4x − 1 = 2 cos 4x + 1 Hướng dẫn. Điều kiện: cos 4x = 1 2 ⇔ x = ± π 12 + kπ 2 Nhìn vào đề bài dĩ nhiên chúng ta hạ bậc 2 cos 2 π 4 − 3x = 1 + cos π 2 − 6x = 1 + sin 6x và khi quy đồng mẫu sẽ xuất hiện (2 cos 4x − 1)(2 cos 4x + 1) = 4 cos 2 4x − 1 = 1 + 2 cos 8x. Thu gọn phương trình trở thành sin 6x + √ 3 cos 6x = 2 cos 8x ⇔cos 8x = cos 6x − π 6 ⇔ x = − π 12 + kπ (loại) x = π 84 + kπ 7 Vậy nghiệm phương trình là x = π 84 + kπ 7 (k ∈ Z) Bài toán 12. Giải phương trình (sin 2x − cos 2x) tan x + sin 3x cos x = sin x + cos x Hướng dẫn. Điều kiện: cos x = 0 ⇔ x = π 2 + kπ. Ta thấy rằng sin 3x cos x = tan x(3 − 4 sin 2 x) = tan x(1 + 2 cos 2x) Do đó vế trái phương trình biến đổi thành (sin 2x − cos 2x) tan x + sin 3x cos x = tan x(sin 2x + 1 + cos 2x) = tan x(2 sin x cos x + 2 cos 2 x) = 2 sin x(sin x + cos x) Như vậy phương trình đã cho tương đương với 2 sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x ⇔(2 sin x − 1)(sin x + cos x) = 0 ⇔ sin x = 1 2 sin x + π 4 = 0 ⇔ x = π 6 + k2π x = 5π 6 + k2π x = − π 4 + kπ Vậy nghiệm phương trình là x = π 6 + k2π x = 5π 6 + k2π x = − π 4 + kπ (k ∈ Z) Bài toán 13. Giải phương trình cos x − sin 3x = √ 2(cos x − sin x) sin 4x Hướng dẫn. Ta biến đổi cos x − sin 3x = sin π 2 − x − sin 3x = 2 cos π 4 + x sin π 4 − 2x = √ 2(cos x − sin x) sin π 4 − 2x Phương trình tương đương với (cos x − sin x) sin π 4 − 2x = (cos x − sin x) sin 4x ⇔ (cos x − sin x) sin π 4 − 2x − sin 4x = 0 ⇔ cos π 4 + x = 0 sin 4x = sin π 4 − 2x ⇔ x = π 4 + kπ x = π 24 + kπ 3 x = 3π 8 + kπ Vậy nghiệm phương trình là x = π 4 + kπ x = π 24 + kπ 3 x = 3π 8 + kπ (k ∈ Z) Bài toán 14. Giải phương trình 3 sin 4 x + 2 cos 2 3x + cos 3x = 3 cos 4 x − cos x + 1 Hướng dẫn. Ở bày toán này chúng ta nhóm lại cho thật khéo sau đó biến đổi sẽ tìm được nhân tử chung. Biến đổi phương trình thành 2 cos 2 3x − 1 + cos 3x + cos x = 3 cos 4 x − 3 sin 4 x Ta thấy rằng 2 cos 2 3x − 1 = cos 6x = (4 cos 2 2x − 3) cos 2x = (2 cos 4x − 1) cos 2x , cos 3x + cos x = 2 cos x cos 2x, 3 cos 4 x − 3 sin 4 x = 3(cos 2 x − sin 2 x)(cos 2 x + sin 2 x) = 3(cos 2 x − sin 2 x) = 3 cos 2x. Như vậy phương trình tương đương với (2 cos 4x − 1) cos 2x + 2 cos x cos 2x = 3 cos 2x ⇔ cos 2x(cos 4x + cos x − 2) = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π 4 + kπ 2 cos 4x + cos x = 2 (∗) (∗) ⇔ cos 4x = 1 cos x = 1 ⇔ x = kπ 2 x = k2π ⇔ x = k2π. Vậy nghiệm phương trình là x = π 4 + kπ 2 , x = k2π (k ∈ Z) Bài toán 15. Giải phương trình cos 3x cos 5x − cos x cos 3x = 2 sin 5x sin 3x Hướng dẫn. Điều kiện: cos 5x = 0 cos 3x = 0 ⇔ x = π 10 + kπ 5 x = π 6 + kπ 3 Phạm Tuấn Khải Quy đồng mẫu ta được phương trình cos 2 3x − cos 5x cos x = 2 sin 5x sin 3x cos 5x cos 3x Ta biến đổi vế trái và vế phải của phương trình này cos 2 3x − cos 5x cos x = 1 2 (1 + cos 6x) − 1 2 (cos 6x + cos 4x) = 1 2 (1 − cos 4x) 2 sin 5x sin 3x cos 5x cos 3x = 1 2 (cos 2x − cos 8x)(cos 2x + cos 8x) = 1 2 (cos 2 2x − cos 2 8x) = 1 4 (1 + cos 4x) − 1 2 (2 cos 2 4x − 1) 2 = −2 cos 4 4x + 2 cos 2 4x + 1 4 cos 4x − 1 4 Như vậy ta có phương trình 1 2 (1 −cos 4x) = −2 cos 4 4x + 2 cos 2 4x + 1 4 cos 4x − 1 4 ⇔ 8 cos 4 4x − 8 cos 2 4x − 3 cos 4x + 3 = 0 ⇔ (cos 4x−1)(2 cos 4x−1)(4 cos 2 4x+6 cos 4x+3) = 0 ⇔ cos 4x = 1 cos 4x = 1 2 4 cos 2 4x + 6 cos 4x + 3 = 0 (vô nghiệm) ⇔ x = kπ 2 x = ± π 12 + kπ 2 So sánh điều kiện ta nhận nghiệm x = kπ, x = ± π 12 + kπ 2 . Vậy nghiệm phương trình là x = kπ, x = ± π 12 + kπ 2 (k ∈ Z) Bài toán 16. Giải phương trình cos x + sin 3 x sin x − sin 2 x = 1 + sin x + cot x Hướng dẫn. Điều kiện: sin x = 0 sin x = 1 ⇔ x = kπ x = π 2 + k2π Ta có cos x + sin 3 x sin x − sin 3 x = cos x(1 − sin x) + (cos x + sin 2 x) sin x sin x(1 − sin x) = cot x + cos x + sin 2 x 1 − sin x Phương trình tương đương với cos x + sin 2 x 1 − sin x = 1 + sin x ⇔2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = 1 cos x = − 1 2 ⇔ x = k2π (loại) x = ± 2π 3 + k2π Vậy nghiệm phương trình là x = ± 2π 3 + k2π (k ∈ Z) Bài toán 17. Giải phương trình sin 3x − π 6 + sin 2x + π 3 + cos x = 0 Hướng dẫn. Với bài toán này ta nghĩ ngay đến việc áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Ta làm như sau sin 3x − π 6 + cos x = sin 3x − π 6 + sin x + π 2 = 2 sin 2x + π 6 cos x − π 3 Đến đây ta vẫn chưa tìm được nhân tử chung. Vì thế ta chịu khó biến đổi sin 2x + π 3 = 2 sin x + π 6 cos x + π 6 Nhận thấy rằng cos x − π 3 = cos π 3 − x = sin x + π 6 Do đó phương trình đã cho tương đương với sin x + π 6 sin 2x + π 6 + cos x + π 6 = 0 ⇔ sin x + π 6 = 0 ⇔ x = − π 6 + kπ sin 2x + π 6 = −cos x + π 6 (∗) (∗) ⇔ sin 2x + π 6 = sin x − π 3 ⇔ x = − π 2 + k2π x = 7π 18 + k2π 3 Vậy nghiệm phương trình là x = − π 6 +kπ, x = − π 2 +k2π, x = 7π 18 + k2π 3 (k ∈ Z) Bài toán 18. Giải phương trình 2 sin x + tan x + 1 cos 3x = 1 + tan 3x Hướng dẫn. Điều kiện: cos 3x = 0 ⇔ x = π 6 + kπ 3 . Ta có tan 3x − tan x = sin 2x cos x cos 3x = 2 sin x cos 3x Do đó phương trình đã cho tương đương với 2 sin x + 1 cos 3x = 1 + 2 sin x cos 3x ⇔2 sin x − 1 + 1 − 2 sin x cos 3x = 0 ⇔(2 sin x − 1) 1 − 1 cos 3x = 0 ⇔ sin x = 1 2 cos 3x = 1 ⇔ x = π 6 + k2π (loại) x = π 6 + k2π (loại) x = k2π 3 Vậy nghiệm phương trình là x = k2π 3 (k ∈ Z) Bài toán 19. Giải phương trình 2 sin 2x + 1 sin x sin 3x − 3π 2 = 4 + 8 cos 2x Phạm Tuấn Khải Hướng dẫn. Điều kiện: sin x = 0 sin 3x − 3π 2 = 0 ⇔ x = kπ x = π 2 + kπ 3 . Ta có sin 2x = 2 sin x cos x sin 3x − 3π 2 = cos 3x , do đó 2 sin 2x + 1 sin x sin 3x − 3π 2 = 1 sin x cos x + 1 sin x cos 3x = cos 3x + cos x sin x cos x cos 3x = 2 cos 2x cos x sin x cos x cos 3x = 2 cos 2x sin x cos 3x Phương trình trở thành cos 2x sin x cos 3x = 2 + 4 cos 2x ⇔cos 2x = 2 cos 3x sin x(1 + 2 cos 2x) ⇔cos 2x = 2 cos 3x(sin x + 2 cos 2x sin x) ⇔cos 2x = 2 cos 3x(sin x + sin 3x − sin x) ⇔cos 2x = sin 6x ⇔ sin 6x = sin π 2 − 2x ⇔x = π 16 + kπ 4 , x = π 8 + kπ 2 Vậy nghiệm phương trình là x = π 16 + kπ 4 , x = π 8 + kπ 2 (k ∈ Z) Bài toán 20. Giải phương trình tan x + π 4 + sin x cos 5x = 2 cos 2x Hướng dẫn. Điều kiện: cos x + π 4 = 0 cos 5x = 0 ⇔ x = π 4 + kπ x = π 10 + kπ 5 . Ta có tan x + π 4 = sin x + π 4 cos x + π 4 = cos x + sin x cos x − sin x = cos 2 x − sin 2 x (cos x − sin x) 2 = cos 2x 1 − sin 2x Phương trình tương đương với cos 2x 1 − sin 2x + sin x cos 5x = 2 cos 2x ⇔cos 2x cos 5x + sin x − sin 2x sin x = 2 cos 5x cos 2x(1 − sin 2x) ⇔2 sin x − 2 sin 2x sin x = 2 cos 5x cos 2x − 2 cos 5x sin 4x ⇔2 sin x − cos x + cos 3x = cos 7x + cos 3x − sin 9x + sin x ⇔sin 9x + sin x − cos 7x − cos x = 0 ⇔2 sin 5x cos 4x − 2 cos 3x cos 4x = 0 ⇔ 2 cos 4x(sin 5x − cos 3x) = 0 ⇔ cos 4x = 0 sin 5x = sin π 2 − 3x ⇔ x = π 8 + kπ 4 , x = π 16 + kπ 4 , x = π 4 + kπ (loại) Vậy nghiệm phương trình là x = π 8 + kπ 4 , x = π 16 + kπ 4 (k ∈ Z) BÀI TẬP 1. 2 sin 2x sin x + √ 3 cos x + 4 cos 2 x = 1 2. 2 cos 2 x + √ 3 sin 2x + 1 = sin x + √ 3 cos x 3. sin 3x sin x + √ 3 cos x = 2 4. √ 3 sin 2x − cos 2x − √ 3 sin x + cos x − 1 = 0 5. sin 4x + 4 sin 5π 2 + x = 4(sin x + cos x) 6. 4 sin 3 x − 2 cos x(sin x − 1) − 4 sin x + 1 = 0 7. 2 cos 2 x + 3 cos x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x 8. 2 cos 3 x + cos 2x + sin x = 0 9. (2 cos x − 1) sin 4x cos x − sin x = 2 sin 2x 10. 4 sin 2 x cos x + 2 sin x + cos x = cos 3x 11. cos 3x − sin 3x 1 − 2 sin 2x = cos x + cos 2x 12. cos 6x(1+2 sin x)+2 cos 2 x = 1+2 cos 5x sin 2x 13. √ 2 sin π 4 − x 1 + sin 2x cos x = 1 + tan x 14. 1 − 2 cos 2x − √ 3 sin x + cos x = 0 15. 1 2 cot 2 x + 1 + 1 2 tan 2 x + 1 = 15 cos 4x 8 + sin 2 2x 16. √ 3 sin 3x cos x − 2 sin 2x = cos 2x + 2 cos 2 x 17. sin x cos 2x + cos 2 x(tan 2 x − 1) + 2 sin 3 x = 0 18. √ 2 sin 2x + π 4 − sin x − 3 cos x + 2 = 0 19. cos x − sin x + cos 2x + sin 2x = 1 + cos 3x 20. 4(sin x + cos x)(1 + cos x) 2 = 6 cos 2 x 2 + sin x 21. sin 3x + π 4 + 8 sin 2 x − √ 2 sin x = 2 22. cos 2x + 5 = 2 √ 2(2 − cos x) sin x − π 4 23. sin 2x sin x + π 4 − cos 2x cos x + π 4 = 2 24. 2 sin π 3 − 2x + 2 sin 2x + √ 3 cos x = 4 cos 4x 25. 2 cos 6x − √ 3 cos 2x = sin 2x − 2 cos 4x + √ 3 26. √ 3 sin 4 x + cos 4 x = sin 2x + π 3 + 1 4 sin 4x 27. cos 2x + sin 3x − cos 3x 2 sin 2x − 1 = sin x (1 + tan x) 28. (2 sin x − 1) tan x = 3 cos x + 2 cos x sin x − 1 29. (2 sin 5x − 1)(2 cos 2x − 1) = 2 sin x 30. 16 cos 4 x + π 4 − 4 √ 3 cos 2x + 5 = 0 31. cos x + 1 16 sin 3 x = sin x cos 2 2x 32. 1 sin x + sin 3x + 2 cos x 1 + cos 2 x = 2 cos x 33. cos 3 x + 4 cos 2 x + 1 sin x cos x (cos x − 2) = √ 3 34. cos 2 2x + cos 4x (tan 2x cot x − 1) = − 3 4 . c 2 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu a 2 + b 2 ≥ c 2 thì phương trình có nghiệm, chia hai vế phương trình cho √ a 2 + b 2 để đưa về phương trình lượng giác cơ bản. • Dạng 2: Phương trình bậc. k ∈ Z) Trong quá trình giải chúng ta thường gặp những dạng phương trình lượng giác như sau: • Dạng 1: Phương trình bậc nhất theo sin x, cos x a sin x + b cos x = c Để giải phương trình này chúng. Phạm Tuấn Khải Phương trình lượng giác là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng. Để giải được một phương trình lượng giác đòi hỏi người giải phải