PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN cos 2 3α = a CÓ NHIỀU VẬN DỤNG Nguyễn Lái GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH Tài liệu này được rút ra một bài toán được đăng trong tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ Về mục TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN số 367 tháng 1/2008. Xét phương trình : cos 2 3α = a (0 ≤ a ≤1) (1). Ứng với một giá trị ]1;0[∈a , giả sử α = x là một nghiệm phương trình (1) nghĩa là cos 2 3x = a ( đúng ) ⇒ α = ( 3 π - x) và α = ( 3 π +x) cũng là nghiệm phương trình (1) , vì cos 2 3( 3 π - x) = cos 2 3x = a ; cos 2 3( 3 π + x) = cos 2 3x = a. Phương trình (1) viết lại : (4cos 3 α - 3cosα) 2 = a ⇔ 16cos 6 α - 24cos 4 α + 9cos 2 α - a = 0 Đặt t = cos 2 α, t∈ [ 0; 1] . Phương trình trở thành: 16t 3 – 24t 2 + 9t – a = 0 (2) Nhận xét : Nếu α = x là nghiệm phương trình (1) thì : t 1 = cos 2 x ;t 2 = cos 2 ( 3 π - x ) ; t 3 = cos 2 ( 3 π + x) là 3 nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. • Từ phương trình (2) theo định lý Viét ta có: t 1 +t 2 +t 3 = 2 3 ; t 1 .t 2 +t 2 .t 3 +t 3 .t 1 = 16 9 ; t 1 .t 2 .t 3 = 16 a . Từ đó ta có nhiều sự vận dụng lý thú sau: Ví dụ 1 .Chứng minh rằng các biểu thức sau đây độc lập với x , 1. S 1 = cos 2 x+cos 2 ( 3 π - x) +cos 2 ( 3 π + x). 2. S 2 = cos 2 x.cos 2 ( 3 π - x) + cos 2 ( 3 π - x). cos 2 ( 3 π + x) + cos 2 ( 3 π + x).cos 2 x. 3. S 3 = cos 4 x + cos 4 ( 3 π - x) +cos 4 ( 3 π + x) . Lời giải :Ta có S 1 = cos 2 x+cos 2 ( 3 π - x) +cos 2 ( 3 π + x) = t 1 +t 2 +t 3 = 2 3 . S 2 = cos 2 x.cos 2 ( 3 π - x)+cos 2 ( 3 π - x).cos 2 ( 3 π + x)+cos 2 ( 3 π + x).cos 2 x = t 1 .t 2 +t 2 .t 3 +t 3 .t 1 = 16 9 S 3 = cos 4 x+cos 4 ( 3 π - x)+cos 4 ( 3 π +x)= t 1 2 +t 2 2 +t 3 2 = (t 1 + t 2 + t 3 ) 2 –2(t 1 t 2 + t 2 t 3 + t 3 t 1 ) = 8 9 . Ví dụ 2:Chứng minh rằng : 6 6 6 5 7 63 cos cos cos 18 18 18 . 64 π π π + + = Lời giải :Ta có cos 6 x + cos 6 ( 3 π - x) + cos 6 ( 3 π +x) = t 1 3 + t 2 3 + t 3 3 = =(t 1 + t 2 + t 3 ) 3 –3(t 1 + t 2 + t 3 )(t 1 t 2 + t 2 t 3 + t 3 t 1 ) + 3t 1 t 2 t 3 = 16 3 32 27 a + (*) Cho 18 π =x từ phương trình (1) ta có : 4 3 ) 18 .3(cos 2 =⇒= aa π . Vậy (*) tương đương: . 64 63 4 3 . 16 3 32 27 18 7 cos 18 5 cos 18 cos 666 =+=++ πππ Ví dụ 3 : Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : 6 6 6 4 4 4 cos cos cos 3 3 cos cos cos 3 3 x x x y x x x π π π π + + + − ÷ ÷ = + + + − ÷ ÷ . Lời giải :Như trên,ta có :cos 4 x + cos 4 ( 3 π + x) +cos 4 ( 3 π - x) = 8 9 . cos 6 x + cos 6 ( 3 π + x) + cos 6 ( 3 π - x) = 16 3 32 27 a + . Do đó : y = . 4 3 8 9 32 27 8 9 16 .3 32 27 3 cos 3 coscos 3 cos 3 coscos 444 666 =≥ + = −+ ++ −+ ++ a xxx xxx ππ ππ Đẳng thức xảy ra khi và ch? khi a = 0 ⇔ cos 2 3x = 0 ⇔ x = 6 π +k 3 π ( k∈ Z ) Mặt khác y = . 12 11 8 9 16 3 32 27 8 9 16 .3 32 27 3 cos 3 coscos 3 cos 3 coscos 444 666 = + ≤ + = −+ ++ −+ ++ a xxx xxx ππ ππ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1 ⇔ cos 2 3x = 1 ⇔ x = k 3 π . ( k∈ Z ) . Vậy : GTNN : y = 4 3 khi x = 6 π +k 3 π ; GTLN: y = 12 11 khi x = k 3 π . ( k∈ Z ) Ví dụ 4: Định tham số m để phương trình sau đây có nghiệm: 6 6 6 1 1 1 cos cos cos 3 3 m x x x π π + + = + − ÷ ÷ . Lời giải :Điều kiện : t 1 = cos 2 x≠ 0 t 2 = cos 2 ( 3 π + x) ≠ 0 ; t 3 = cos 2 ( 3 π - x) ≠ 0 Từ phương trình (2) ⇒ a ≠ 0 và phương trình viết lại 016 249 23 =−+− t tt a ( 0 < a ≤ 1 ) hay : aX 3 - 9 X 2 + 24X - 16 = 0 ( với X = t 1 ) (3). Theo định lý Viét cho phương trình (3)vế trái của phương trình đã cho là: ( ) 3 321 3 3 3 2 3 1 3 3 3 2 3 1 66 6 111 3 cos 1 3 cos 1 cos 1 XXXXXX ttt xx x ++=++=++= − + + + ππ - ( ) ( ) a aa aaaa XXXXXXXXXXXX 4864872948249 3 9 3.3 23 3 321133221321 +−=+⋅⋅− =+++++ Do đó phương trình trở thành : m a aa =+− 48648729 23 . Đặt f(a) = a aa 48648729 23 +− là hàm số ẩn a xác định trong ( 0 ; 1 ]. Ta có đạo hàm: f’(a)= 4 2 2187129648 a aa −+− . Lập bảng biến thiên ta sẽ có :f’(a)< 0 ; ∀a∈ (0;1]⇒ f(a) nghịch biến trong (0 ; 1 ] ⇒ f(a) ≥ f(1) = 129. Mặt khác : +∞= + → )(lim 0 xf a . Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m∈ [ 129 ; +∝). Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau: Bài 1: (Được đăng trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ) Cho 3 số thực liên tiếp: a,b,c lập thành một cấp số cộng có công sai bằng 3 π . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6 6 1 1 1 cos cos cos S a b c = + + . Bài 2: Cho một dãy cấp số cộng có 2007 số hạng đầu tiên x 1 , x 2 , x 3 , x 2007 .Cấp số cộng đó có công sai bằng 3 π và thoả mãn điều kiện 2007 6 1 10035 cos . 16 i i x = = ∑ Tính số hạng x 2007 của dãy,biết rằng số hạng đầu tiên x 1 là một số dương nhỏ nhất. Bài 3 : Giải hệ phương trình : 1 2009 1 64.8 96.4 .3 36.2 .9 3.27 0. x y y y y x x x x y − + = + − + − = . = cos 2 x+cos 2 ( 3 π - x) +cos 2 ( 3 π + x). 2. S 2 = cos 2 x.cos 2 ( 3 π - x) + cos 2 ( 3 π - x). cos 2 ( 3 π + x) + cos 2 ( 3 π + x).cos 2 x. 3. S 3 = cos 4 x + cos 4 ( 3 π - x) +cos 4 ( 3 π . (1) , vì cos 2 3( 3 π - x) = cos 2 3x = a ; cos 2 3( 3 π + x) = cos 2 3x = a. Phương trình (1) viết lại : (4cos 3 α - 3cosα) 2 = a ⇔ 16cos 6 α - 24cos 4 α + 9cos 2 α - a = 0 Đặt t = cos 2 α,. giải :Ta có S 1 = cos 2 x+cos 2 ( 3 π - x) +cos 2 ( 3 π + x) = t 1 +t 2 +t 3 = 2 3 . S 2 = cos 2 x.cos 2 ( 3 π - x)+cos 2 ( 3 π - x).cos 2 ( 3 π + x)+cos 2 ( 3 π + x).cos 2 x = t 1 .t 2 +t 2 .t 3 +t 3 .t 1