Do an nghien cuu ly thuyet wavelet trong xu ly tin hieu 191688

i - i Các i biến i đổi i trực i giao i rời i rạc

i i i i i i i i Xét i một i tín i hiệu i x(n) i có i chiều i dài i N i và i có i thể i biểu i diễn i theo i các i hàm i cơ i sở i độc i lập i tuyến i tính i a(i,n) i i i i i i x (n )= ∑ i =0

X ( i ) a ( i, n) , n=0,1, , N −1 i i i i i i i i i i i i i i i (1.1.1) điều i kiện i trực i giao i cho i ta: i i i i i a i ¿ a j =δ(i−j) i i i i i i i i i i (1.1.2) trong i dã i ai i = i [a(i,0), i a(i,1), , i a(i,N)] T i , i i i i i i i i i i i i i i a * i là i chuyển i vị i liên i hợp i của i a i i i i i i i i i i i i i i (i-j)) i là i hàm i Kronecker i delta: i i i δ(i−j)={ 10 i= i≠ j j i i (1.1.3)

Các i hệ i số i mở i rộng i X(i) i có i thể i đợc i rút i ta i bằng i cách i nhân i cả i hai i vế i của i (1.1.1) i với i a * (j),n), i n i = i 0,1, i , i N-1 i và i sử i dụng i quan i hệ i trực i giao i (1.1.2)

Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN i i i i i i i i i i i i i

Tập i hợp i các i phơng i trình i ở i trên i có i thể i đợc i biểu i diễn i dới i dạng i ma i trận i nh i sau: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

A ¢ ¿ =I , (1 1 5) x=AX , X=A ¿ x (1 1 6) ở i đó: i i i  i x i = i [x(0), i x(1), i i , i x(N-10] T i i là i véc i tơ i số i liệu, i i i i i i i i i i i i

A = [ a ( a( a N (1,0 0,0) ⋮ −1,0) ) a ( a( a( N 0,1) 1,1) ⋮ −1,1 ) … ⋮ a( a(0 a(1 N−1 , N−1 , N−1 ⋮ , N −1 ) ) ) ] i i i là i ma i trận i biến i đổi, i i i i i i i i i i i  i X i = i [X(0), i X(1), i i , i X(N-1)] T i i i là i vecto i của i các i hệ i số i mở i rộng i và i biến i đổi i i i i i i i i i i i  i I i là i ma i trận i đồng i nhất.

i - i Các i tính i chất i của i biến i đổi i trực i giao i rời i rạc

i i i i i i i i  i Bảo i toàn i năng i lợng Đối i với i một i biến i đổi i đơn i nhất i đợc i định i nghĩa i bởi i công i thức i (1.6), i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ‖X‖ 2 =‖x‖ 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i (1.2.1) đợc i gọi i là i Định i lý i Parseval i có i thể i đợc i xem i xét i một i cách i dễ i dàng i từ: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ‖X‖ 2 = X ¿ X = x ¿ AA ¿ x = x ¿ x i i i i i i i (1.2.2)

Phơng i trình i (1.2.1) i cho i thấy i một i biến i đổi i đơn i nhất i bảo i toàn i năng i lợng i của i một i tín i hiệu, i hoặc i nó i là i một i sự i quay i vòng i đơn i giản i của i một i sắp i xếp i cơ i sở.

 i Tập i trung i năng i lợng i (Energy i Compaction)

Hầu i hết i các i biến i đổi i đơn i nhất i tập i trung i năng i lợng i trong i một i số i hệ i số i biến i đổi i Vì i các i biến i đổi i đơn i nhất i bảo i toàn i năng i lợng i nên i nhiều i hệ i số i biến i đổi i sẽ i có i ít i năng i lợng i Tính i chất i này i ảnh i hởng i tới i các i ứng i dụng i nén i và i loại i bỏ i nhiễu i (denoising) i Trong i nén i số i liệu, i ngời i ta i mong i muốn i biểu i diễn i số i liệu i bằng i càng i ít i các i hệ i số i càng i tốt i với i một i sự i suy i hao i cho i phép i mà i không i ảnh i hởng i nhiều i đến i chấtlợng Trongviệc loạibỏ nhiễu,nếusốliệu đợc quansát bịngắt bởinhiễu

6 trắng i Gaussian i (Gaussian i white i noise) i mà i năng i lợng i của i nó i khuếch i tán i trên i mọi i vecto i của i bất i kỳ i biến i đổi i trực i giao i nào, i ngời i ta i mong i muốn i là i sẽ i tìm i đợc i một i cơ i sở i sao i cho i tính i chất i tập i trung i năng i lợng i tốt i nhất i đối i với i sự i loại i bỏ i nhiễu i tối i thiểu. i i i  i Phản i tơng i quan i (Decorrelation)

Một i số i biến i đổi i trực i giao i có i xu i hớng i không i tơng i quan i số i liệu i đầu i vào i đã i đợc i tơng i quan i với i nhau i Điều i đó i có i nghĩa i là i các i thành i phần i không i trực i giao i của i ma i trận i hiệp i biến i ( i covariance i matrix) i của i các i hệ i số i biến i đổi. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

R X = E {( X− μ X ) ( X − μ X ) T } có i xu i hớng i trở i nên i nhỏ i so i với i các i thành i phần i chéo i của i nó i i i i i  i Dễ i xây i dựng i phép i biến i đổi i ngợc

Vì i phép i biến i đổi i ngợc i là i sự i biến i đổi i liên i hợp i nên i phép i biến i đổi i ngợc i đợc i thực i hiện i bằng i việc i biến i đổi i nó i theo i hớng i ngợc i lại. i i i i  i TuyÕn i tÝnh

Kết i quả i của i một i biến i đổi i trực i giao i rời i rạc i của i một i một i sự i chồng i chất i các i tín i hiệu i giống i nh i sự i chồng i chất i của i các i biến i đổi i của i các i tín i hiệu.

i - i Các i biến i đổi i trực i giao i rời i rạc i cơ i sở

i - i Biến i đổi i cosine i rời i rạc

Biến i đổi i cosine i rời i rạc i đợc i định i nghĩa i bởi i các i hàm i cơ i sở i : i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a(n ,k)=c(k)√ N 2 cos [ ( n+0.5 ) kπ N ] i i i i i i i i i i (1.3.2.1) ở i đó: i i i c(k)={ 1 1/ √ , k 2 , k=0 còn lại

Một i số i tính i chất i quan i trọng i của i DCT:

 Cơ i sở i DCT i là i ảnh i độc i lập i nh i có i thể i thấy i từ i phơng i trình i (1.3.2.1).

 Các i vectơ i cơ i sở i của i ma i trận i DCT i là i các i vectơ i riêng i của i các i ma i trận i đối i xứng i có i dạng i sau: i i i i i i i i i i i i i i i

Q i tiến i dần i đến i Rx -1 i khi i  i tiến i dần i đến i 1, i trong i đó i Rx i là i ma i trận i tự i tơng i quan i của i quá i trình i và:

Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN i i i i

 DCT i hai i chiều i có i thể i tách i riêng i rẽ i do i đó i có i thể i thực i hiện i nh i sau:

X(0,0) i đợc i coi i nh i hệ i số i một i chiều i và i phần i còn i lại i của i các i hệ i số i đợc i coi i là i các i hệ i số i xoay i chiều.

 Việc i tính i toán i DCT i có i thể i đợc i thực i hiện i nhờ i giải i thuật i nhanh, i nh i FFT i và i cần i O(NlogN) i phép i tính.

i - i Biến i đổi i Haar

Biến i đổi i Haar i đợc i thực i hiện i nhờ i vào i việc i lấy i mẫu i các i hàm i Haar i Các i hàm i Haar i đợc i định i nghĩa i trong i một i khoảng i liên i tục i x i  i [0,1], i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i h 0,0 (x)= 1

√ N { 2 −2 p/ 2 p , 0 /2 , , q 2 −1 víi q−1 p 2 ≤ p x x< /2 ∉ [ ≤x 0,1 q −1 2 < ] p 2 / q 2 p i i i i i i i i i i i i i (1.3.3.2) trong i đó:i i i i i i i i i i i i i i i N i = i 2 n , i i i 0 i p i  i n-1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 2 p i khi i q i = i 0, i 1 i khi i p i = i 0 i và i 1 i  i q i  i p i  i 0 i

Ma i trận i Haar i nhận i đợc i nhờ i việc i lấy i mẫu i hp,q(x) i ở i x i = i m/N, i m i = i 0, i , i N-1 i

Ví i dụ i ma i trận i Haar i cấp i 8 i là:i i i i i i i i i i i i i i i

Một i số i tính i chất i của i biến i đổi i Haar:

 Biến i đổi i Haar i là i thực i và i trực i giao

 Biến i đổi i Haar i nhanh i , i đợc i thực i hiện i bằng i O(N) i phép i tính

 Các i vecto i cơ i sở i của i biến i đổi i Haar i đợc i sắp i xếp i liên i tục

 Các i hàm i Haar i thay i đổi i theo i cả i tỷ i lệ i và i vị i trí, i trong i khi i các i hàm i lợng i giác i chỉ i thay i đổi i theo i tần i số.

 Biến i đổi i Haar i tập i trung i năng i lợng i ảnh i kém.

Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN

1.3.4- i Biến i đổi i Fourier i thời i gian i ngắn

(Short i Time i Fourier i Transform i - i STFT)

Biến i đổi i Fourier i thời i gian i ngắn i là i sự i phân i chia i một i chuỗi i thời i gian i thành i các i khối i chồng i nhau i (overlaping i blocks) i có i chiều i dài i bằng i nhau i và i áp i dụng i biến i đổi i Fourier i nhanh i (FFT) i cho i mỗi i khối i một i cách i tuần i tự. Đầu i tiên i tín i hiệu i đợc i nhân i với i một i hàm i cửa i sổ i (t-) i và i sau i đó i thực i hiện i biến i đổi i Fourier, i kết i quả i sẽ i cho i một i biến i đổi i hai i chiều i (two-indexed) i

Trong i biến i đổi i Fourier i thời i gian i ngắn i (STFT) i các i hàm i sử i dụng i trong i mở i rộng i thu i đợc i bằng i cách i làm i trễ i và i i điều i chỉnh i hàm i cửa i sổ i cơ i sở i (t) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i g,(t) i = i e j)t i (t-)i i i i i i i i i i i i i i i i i i i (1.3.4.1) từ i đó i dẫn i đến i một i dạng i mở i rộng i :

Hàm i f(t) i có i thể i khôi i phục i lại i đợc i theo i công i thức i sau: f ( t ) = ∫

STFT i không i có i tính i chất i bảo i toàn i năng i lợng. Để i thực i hiện i phơng i pháp i này i một i cách i tốt i nhất i thì i yêu i cầu i phải i chọn i khoảng i thời i gian i của i các i đoạn i để i phân i chia i sao i cho i tín i hiệu i ở i mỗi i khoảng i thời i gian i đó i có i thể i coi i là i tĩnh i Vì i STFT i chỉ i xử i lý i số i liệu i tĩnh i trên i mỗi i đoạn i nên i nó i chỉ i tính i một i cặp i giá i trị i biên i độ i và i pha.

STFT i là i một i phơng i pháp i phổ i biến i và i tính i toán i hiệu i quả i Nhợc i điểm i lớn i nhất i của i phơng i pháp i này i là i khi i tín i hiệu i có i một i dải i động i lớn i thì i cụm i tần i số i thấp i Trong i trờng i hợp i đó i hớng i tạp i âm i tần i số i cao i có i thể i che i cấu i trúc i tín i hiệu i tần i số i cao.

i - i Biến i đổi i Wavelet i rời i rạc

Trên i đây i là i một i số i phơng i pháp i biến i đổi i tín i hiệu i sử i dụng i nhiều i trong i xử i lý i tín i hiệu i Mỗi i phơng i pháp i đều i có i những i u i điểm i và i hạn i chế i riêng i của i nó i Hiện i nay i ngời i ta i đang i nghiên i cứu i và i phát i triển i một i phơng i pháp i biến i đổi i mới i mà i có i thể i khắc i phục i đợc i các i nhợc i điểm i của i những i phơng i pháp i trên i Đó i là i phép i biến i đổi i Wavelet i mà i ở i đây i ta i quan i tâm i nhiều i đến i biến i đổi i Wavelet i rời i rạc i (Discrete i Wavelet i Transform) i Biến i đổi i waveler i rời i rạc i bắt i đầu i với i một i wavelet i mẹ i là i một i tín i thời i gian i chu i kỳ i ngắn i và i có i trung i bình i bằng i không, i (t), i kết i hợp i với i chuỗi i thời i gian i cần i xét i f(t) i để i lọc i ra i chuỗi i thời i gian i Wavelet i mẹ i đợc i dãn i ra i theo i thời i gian i ở i các i hệ i số i dãn i cố i định i tạo i thành i các i wavelet i con i Trong i mỗi i tỷ i lệ i đều i có i chứa i f(t) i Do i vậy i wavelet i mẹ i và i các i bản i ảnh i trễ i của i nó i tạo i thành i một i dãy i các i bộ i lọc i chồng i nhau i mà i mỗi i đoạn i của i dãy i có i cùng i hệ i số i phẩm i chất i (Qw i = i độ i rộng i băng i tần i / i tần i số i trung i tâm) i Có i nhiều i khái i niệm i liên i quan i bởi i vậy i chúng i ta i sẽ i nghiên i cứu i phép i biến i đổi i này i trong i một i chơng i riêng. i i i i i i i i i i i i i i

Lần i đầu i tiên i wavelet i đã i đợc i Haar i tìm i ra, i nhng i cấu i trúc i chung i của i các i wavelet i để i hình i thành i cơ i sở i cho i các i hàm i trung i bình i bình i phơng i đã i đợc i phát i minh i trừ i trớc i đó i từ i lâu i với i các i thuật i toán i hiệu i quả i để i tính i toán i khai i triển i Cũng i thời i gian i đó i , i ứng i dụng i của i kỹ i thuật i này i trong i xử i lý i tín i hiệu i đợc i phát i triển.

Bên i cạnh i vấn i đề i cơ i bản i là i khai i triển i hàm i tuyến i tính, i wavelet i cho i sự i đa i phân i giải i về i thời i gian i và i tần i số i rất i tốt i Tính i năng i này i rất i quan i trọng i đối i với i việc i phân i tích i các i tín i hiệu i không i tĩnh i Trong i khi i các i hàm i Fourier i cơ i bản i đợc i cho i ở i dạng i khép i kín i thì i nhiều i wavelet i có i thể i thu i đợc i chỉ i qua i một i thủ i tục i tính i toán i Việc i sử i dụng i một i thủ i tục i tính i toán i để i khai i triển i tín i hiệu i trên i dữ i liệu i thật i thì i tốt i hơn i là i biểu i thức i dạng i khép i kín.

Trong i xử i lý i tín i hiệu i ngời i ta i phát i hiện i ra i cách i thức i giải i tích i Fourier i địa i ph- ơng i trên i cơ i sở i hàm i nguyên i đơn, i sự i dịch i chuyển i và i tỷ i lệ i của i nó i Sự i điều i chế i bởi i hàm i mũ i phức i trong i biến i đổi i Fourier i đợc i thay i thế i bởi i sự i tỷ i lệ i và i thay i thế i tần i số i Tính i đơn i giản i của i giản i đồ i wavelet i đã i và i đang i xuất i hiện, i các i nhà i nghiên i cứu i khoa i học i đang i nghiên i cứu i wavelet i nh i là i một i phơng i pháp i để i thay i thế i cho i Fourier i Sự i chính i thức i hoá i một i vài i cấu i trúc i của i Matlat i và i Meyer i đã i tạo i ra i cơ i chế i khai i triển i wavelet i gọi i là i phân i tích i đa i phân i giải i và i thành i lập i liên i kết i với i các i ph- ơng i pháp i đã i sử i dụng i trong i các i lĩnh i vực i khác i Cũng i vậy i cấu i trúc i wavelet i của i Daubechies i cũng i kết i nối i chặt i chẽ i với i các i phơng i pháp i bank i lọc i đợc i sử i dụng i trong i xử i lý i số i tín i hiệu.

Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN

Wavelet i là i các i hàm i cơ i sở i j)k(t) i trong i miền i thời i gian i liên i tục i Một i cơ i sở i là i một i tập i hợp i các i hàm i độc i lập i tuyến i tính i mà i có i thể i dùng i để i tạo i ra i các i hàm i f(t) i i i i f(t) i = i tổ i hợp i của i các i hàm i cơ i sở i = i ∑ j,k b jk ω jk ( t )

.i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i (2.1) Đặc i tính i đặc i biệt i của i cơ i sở i wavelet i là i tất i cả i các i hàm i i j)k(t) i đều i đợc i xây i dựng i từ i một i hàm i wavelet i mẹ i (t) i Wavelet i này i là i một i sóng i (một i xung) i nhỏ i Thông i thờng i nó i bắt i đầu i ở i thời i điểm i t i = i 0 i và i kết i thúc i ở i thời i điểm i t i = i N.

Wavelet i đã i đợc i trễ i đi i 0k i bắt i đầu i ở i t i = i k i và i kết i thúc i ở i t i = i k i + i N i Các i wavelet i đợc i tỷ i lệ i j)0 i thì i bắt i đầu i từ i t i = i 0 i và i kết i thúc i ở i t i = i N/2 j) i Đồ i thị i của i chúng i đ- ợc i nén i lại i với i hệ i số i là i 2 j) i , i trong i khi i đồ i thị i của i 0k i thì i lại i đợc i dịch i đi i (về i bên i phải) i một i lợng i là i k: i i i i i i i i i i i i i i i NÐn: i i i i i j)0 i = i (2 j) t)i i i i i i i i i i i i i i i i TrÔ:i i i i i i 0k i = i (t-k)

Một i wavelet i điển i hình i j)k i vừa i bị i nén i j) i lần i và i vừa i bị i làm i trễ i đi i k i lần i có i công i thức i nh i sau: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i j)k(t) i = i (2 j) t i - i k)

Wavelet i có i một i tính i chất i quan i trọng i đó i là i tính i trực i giao i (orthogonality) i Các i wavelet i trực i giao i khi i tích i vô i hớng i (inner i product) i của i chúng i bằng i không: i i i i i

∞ ω jk (t ) ω JK ( t )dt =tích vô hướng của ω jk và ω JK =0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i (2.2)

Trong i trờng i hợp i này i thì i các i wavelet i đó i sẽ i có i một i cơ i sở i wavelet i trực i giao i đối i với i không i gian i hàm i Cơ i sở i đó i tơng i ứng i với i một i tập i hợp i của i các i trục i tạo i với i nhau i một i góc i 90 0 i Tính i trực i giao i dẫn i đến i một i công i thức i đơn i giản i hơn i đối i với i mỗi i hệ i số i bJK i trong i công i thức i mở i rộng i của i f(t) i Nhân i f(t) i trong i phơng i trình i (2.1) i với i JK(t) i và i lấy i tích i phân i ta i đợc: i i i i i i i i i i i i i i i i i

Phơng i trình i (2.2) i giới i hạn i tất i cả i các i tích i phân i của i j)k i nhân i với i JK, i trừ i tr- ờng i hợp i j) i = i J i và i k i = i K i Thành i phần i đó i tạo i ra i (JK(t)) 2 i Khi i đó i bJK i là i tỷ i số i của i hai i tích i phân i trong i phơng i trình i (2.3).

Hiện i nay i wavelet i vẫn i đang i là i một i chủ i đề i nóng i nhng i wavelet i Haar i thì i đã i đợc i ngời i ta i biết i đến i từ i năm i 1910 i Đồ i thị i của i chúng i đợc i tạo i thành i từ i các i mảnh i phẳng, i và i sự i xấp i xỉ i đối i với i hầu i hết i các i tín i hiệu i rất i hạn i chế i Chúng i ta i cần i có i nhiều i mảnh i phẳng i để i có i thể i biểu i diễn i một i đờng i nghiêng i với i độ i chính i xác i tốt i nhất i Mặt i khác i các i cơ i sở i của i chúng i thì i lại i không i cho i phép i nén i theo i tỷ i lệ i lớn i 20:1 i hoặc i 100:1 i nh i mong i muốn, i cho i nên i chúng i ta i cũng i cần i phải i chọn i một i cơ i sở i tốt i nhÊt.

Các i wavelet i mới i thì i càng i phức i tạp i hơn i và i công i thức i của i chúng i là i một i tích i vô i hạn, i nhng i cuối i cùng i thì i các i nhà i toán i học i cũng i vẫn i phải i tìm i ta i chúng i Năm i

1988 i trong i phòng i thí i nghiệm i ở i AT i  i T i Laboratories, i Ingrid i Daubechies i đã i tìm i ra i một i xung i mà i có i điểm i bắt i đầu i và i điểm i kết i thúc i và i điều i quan i trọng i là i nó i trực i giao i với i tất i cả i các i bản i ảnh i tỷ i lệ i và i bản i ảnh i trễ i của i nó i Nó i dựa i trên i cơ i sở i là i bốn i số i

“thần i kỳ” i : i h0, i h1, i h2, i h3 i Bà i sử i dụng i véctơ i tỷ i lệ i S i = i (h0, i h1, i h2, i h3) i i và i wavelet i W i = i (h3, i -h2, i h1, i -h0) i Chúng i ta i thấy i ngay i là i hai i vectơ i đó i trực i giao i với i nhau i Bằng i cách i thực i hiện i các i phép i nhân i và i phép i cộng i thì i tích i thấy i S.W i = i 0 i Bà i cũng i muốn i (1,1,1,1) i và i (1,2,3,4) i có i thành i phần i bằng i không i theo i W, i bởi i vậy i các i tín i hiệu i tuyến i tính i và i tín i hiệu i không i đổi i có i thể i đợc i nén.Khi i đó i tích i của i chúng i phải i bằng i không, i nghĩa i là: i i i i h3 i - i h2 i + i h1 i - i h0 i = i 0 i i và i h3 i - i 2h2 i + i 3h1 i - i 4h0 i = i 0 ởi đây i chúng i ta i chỉ i có i hai i phơng i trình i đối i với i các i biến i h, i tuy i nhiên i chúng i ta i cần i nhiều i hơn i nữa i Phơng i trình i thứ i ba i sẽ i tạo i ra i (h3, i -h2, i h1, i -h0, i 0, i 0) i trực i giao i với i (0, i 0, i h3, i -h2, i h1, i -h0) i Khi i đó i phải i có i tích i của i chúng i là i h1h3+h0h2 i = i 0 i Và i ph- ơng i trình i thứ i t i h0 i + i h1 i + i h2 i + i h3 i = i 2 i sẽ i cho i phép i tính i các i giá i trị i của i h i Daubechies i đã i giải i bốn i phơng i trình i và i tìm i ra i các i số i cho i một i bộ i lọc i tốt i hơn i Haar: i

4h 0 =1+√ 3 , 4 h 1 =3+ √ 3 , 4 h 2 =3− √ 3 , 4 h 3 =1− √ 3 i Đây i vẫn i cha i phải i là i kết i quả i cuối i cùng i Nếu i tìm i đợc i sáu i số i hoặc i tám i số i thì i vẫn i tốt i hơn i Các i bộ i lọc i video i thì i có i xu i hớng i ngắn i còn i các i bộ i lọc i audio i thì i thờng i là i dài i bởi i vì i âm i thanh i thờng i bằng i phẳng i hơn i là i hình i ảnh i

Bớc i chủ i đạo i từ i các i vectơ i rời i rạc i đến i các i hàm i liên i tục i là i phơng i trình i dãn i (dilation i equation) i Bớc i này i có i sử i dụng i các i số i thần i kỳ i h0, i h1, i h2, i h3 i Phơng i trình i đối i với i hàm i tỷ i lệ i (t) i bao i gồm i các i biến i t i và i 2t i và i các i tham i số i h: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i φ (t )=h 0 φ ( 2t )+h 1 φ (2t −1)+h 2 φ ( 2t−2)+h 3 φ (2 t− 3) Thay i t i = i 1 i và i t i = i 2 i vào i phơng i trình i trên i để i tìm i (1) i và i (2) i Khi i đó i phơng i trình i cho i ta i  i ở i t i = i

2 bởi i vì i với i 2t i thì i các i số i ở i bên i phải i là i một i số i nguyên i

Từ i số i lần i là i các i số i nguyên i lần i

2 i chúng i ta i sẽ i chuyển i sang i là i các i số i nguyên i lần i của i

4 i Cuối i cùng i chúng i ta i có i đủ i các i giá i trị i để i vẽ i lên i đồ i thị i từ i t i = i 0 i đến i t i = i 3 i

i -Các i Wavelet i trực i giao i hai i chiều

Ngoài i các i họ i wavelet i trực i giao i có i một i phơng i pháp i có i thể i xây i dựng i các i wavelet i trực i giao i hai i chiều i Chúng i ta i sẽ i nới i lỏng i các i điều i kiện i trực i giao i đã i sử i dụng, i đồng i thời i vẫn i duy i trì i các i yêu i cầu i về i tập i hợp i các i hàm i m,n i độc i lập i tuyến i tính i và i tạo i thành i một i cơ i sở i

Gọi i {m,n(t)} i và i { ψ m,n (t)} T là i các i họ i wavelet i tơng i ứng i với i bộ i tổng i hợp i và i phân i tích i (m,n i là i các i đại i lợng i dãn i và i trễ) i Khi i đó i ở i họ i trực i giao i hai i chiều i thì i chúng i phải i thoả i mãn i điều i kiện i sau: i i i i i i i i i i i i i i i i

Nếu i họ i wavelet i tạo i thành i không i gian i L 2 (R) i thì i bất i kỳ i hàm i nào i của i không i gian i đều i có i thể i viết i nh i sau: i i i i i i i i i i i i i i i f (t)=∑ m ∑ n

⟨ψ m , n , f ⟩ψ m , n (t) (3 3 3) vì i  i và i ψ i có i vai i trò i đối i xứng i với i nhau i Có i nhiều i phơng i pháp i khác i nhau i để i tìm i ra i các i họ i trực i giao i hai i chiều i nh i thế i Ví i dụ i có i thể i xây i dựng i một i cơ i sở i spline i trực i giao i hai i chiều i bằng i việc i không i trực i giao i hoá i wavelet i Battle-Lemarie.

Một i phơng i pháp i khác i bắt i đầu i với i một i dãy i lọc i trực i giao i hai i chiều i (biorthogonal i filter i bank) i và i sử i dụng i phơng i pháp i lặp i dãy i lọc i Cả i các i bộ i lọc i tổng i hợp i và i các i bộ i lọc i phân i tích i đều i phải i đợc i lặp i lại i Ví i dụ i có i thể i sử i dụn i các i bộ i lọc i pha i tuyến i tính i chiều i dài i hữu i hạn i và i thu i đợc i các i wavelet i đối i xứng i và i giá i compact i mà i điều i này i không i thể i thực i hiện i đợc i trong i trờng i hợp i trực i giao.

Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN

Trong i một i dãy i lọc i trực i giao i hai i chiều i với i các i bộ i lọc i phân i tích i / i tổng i hợp i

H0(z), i H1(z), i G0(z), i G1(z) i thì i khôi i phục i hoàn i hảo i với i các i bộ i lọc i FIR i nghĩa i là: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i G0(z) i H0(z) i - i G0(-z) i H0(-z) i = i 2i i i i i i i i i i i i i i i i i (3.3.4)

Chúng i ta i có i thể i lặp i một i dãy i lọc i trực i giao i nh i thế i ở i kênh i thông i thấp i và i tìm i ra i các i đáp i ứng i xung i tơng i ứng i Có i thể i định i nghĩa i các i bộ i lọc i thông i thấp i đợc i lặp i nh i sau: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

G 0 ( z 2 k ) trên i đây i là i sự i trình i bày i ngắn i gọn i về i việc i xây i dựng i wavelet i trực i giao i hai i chiều i dựa i trên i các i bank i lọc.

Hình i 3.12-Đáp i ứng i xung i của i bộ i lọc i trực i giao i hai i chiều i phân i tích i / i tổng i hợp i (a) i h(n) i (b) i g(n) i (c) i h( n ) i (d) i g (n )

Hình i 3.13-Đáp i ứng i pha i của i các i bộ i lọc i phân i tích i / i tổng i hợp.

Trong i biến i đổi i Wavelet i rời i rạc, i mỗi i không i gian i xấp i xỉ i Vj) i đợc i phân i tích i thành i Vj)+1 i và i Wj)+1 i còn i các i không i gian i con i chi i tiết i Wj) i thì i không i thay i đổi i Các i gói i Wavelet i tạo i ra i một i tập i các i cơ i sở i nhờ i việc i phân i hoạch i cả i không i gian i con i xấp i xỉ i và i không i gian i con i chi i tiết i thành i các i không i gian i con i xấp i xỉ i và i không i gian i con i chỉ i tiết i nhỏ i hơn i nữa i Biến i đổi i gói i Wavelet i thờng i đợc i kết i hợp i với i một i giải i thuật i chọn i cơ i sở i tốt i nhất i để i đạt i đợc i một i cơ i sở i phù i hợp i trong i tập i hợp i các i cơ i sở i phân i tích i có i thÓ.

Giải i thuật i chọn i cơ i sở i tốt i nhất i cần i một i hàm i chi i phí i đợc i tối i thiểu i hoá i Nếu i hàm i chi i phí i đợc i cộng i thêm i vào i thì i giải i thuật i đơn i giản i hơn i vì i mỗi i không i gian i con i trực i giao i có i thể i đợc i kiểm i tra i độc i lập i và i chi i phí i của i mỗi i không i gian i con i có i thể i đ- ợc i so i sánh i Hàm i chi i phí i đợc i chọn i phụ i thuộc i vào i từng i ứng i dụng i

Sự i tối i u i hoá i méo i nhịp i đợc i thực i hiện i bằng i sự i phân i tích i gói i Wavelet i trong i ứng i dụng i nén i ảnh i Trong i trờng i hợp i này i :

Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN là i hàm i chi i phí, i ở i đó i méo i (distortion) i là i sai i số i trung i bình i bình i phơng i giữa i các i hệ i số i biến i đổi i lợng i tử i hoá i và i không i lợng i tử i hoá i , i còn i nhịp i (rate) i là i tốc i độ i bit i đo i bằng i hàm i entropy i Do i việc i tối i thiểu i hoá i méo i dẫn i đến i sự i tăng i tốc i độ i bit, i tham i số i i giúp i cân i bằng i giữa i hai i mục i đích i đang i bị i xung i đột i nhau i ở i trên.

Có i một i giải i thuật i nhanh i tìm i kiếm i cơ i sở i tốt i nhất i do i Coifman i và i Wickerhauer i t×m i ra: i

 Tính i toán i các i chi i phí i của i mỗi i khối i con i trong i cây i phân i tích

 Với i t i = i lowest_level i đến i l=top,

- So i sánh i chi i phí i của i mỗi i bố i mẹ i với i tổng i các i chi i phí i của i các i con i của i chóng.

- Nếu i chí i phí i của i bố i mẹ i cao i hơn, i thì i giữ i lại i các i con i của i chúng

- Nếu i chi i phí i của i bố i mẹ i thấp i hơn, i thì i loại i bỏ i các i con. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

Hình 3.14-Sơ đồ phân tích gói wavelet

Chơng i IV: i i i i i i i i i i Một i số i ứng i dụng i của i wavelet i i

Lý i thuyết i và i công i nghệ i wavelet i đang i trong i giai i đoạn i phát i triển i quan i trọng i và i có i nhiều i u i điểm i hơn i so i với i các i phơng i pháp i truyền i thống i đang i tồn i tại i Wavelet i và i phép i biến i đổi i wavelet i đợc i ứng i dụng i trong i nhiều i lĩnh i vực, i trong i xử i lý i tín i hiệu, i nén i tín i hiệu i trong i cả i các i ứng i dụng i xử i lý i ảnh i và i âm i thanh, i là i công i cụ i phân i tích i các i hệ i thống i động i Các i phơng i pháp i xử i lý i tín i hiệu i nh i là i các i bộ i lọc i gơng i cầu i phơng i (Quadrature i Mirror i Filter-QMF) i kết i hợp i với i kỹ i thuật i wavelet i đang i đ- ợc i nghiên i cứu i trong i nhiều i ứng i dụng i của i viễn i thông i Các i lĩnh i vực i ứng i dụng i khác i của i lý i thuyết i wavelet i nh i là i vật i lý i lý i thuyết, i thăm i dò i dầu i khí, i ứng i dụng i trong i y i học, i trong i các i dự i đoán, i trong i việc i xây i dựng i các i giải i thuật i nhanh, i các i toán i tử i tích i phân i đều, i i

“Một i bức i tranh i có i giá i trị i bằng i hàng i ngàn i lời i nói” i Câu i ngạn i ngữ i Anh i đã i nhắc i nhở i chúng i ta i về i tầm i quan i trọng i của i các i bức i ảnh i Điều i này i cũng i đặc i biệt i đúng i trong i thời i đại i thông i tin i và i đa i phơng i tiện i nh i hiện i nay i Khối i lợng i số i liệu i vô i cùng i to i lớn i và i việc i nén i thì i làm i tăng i khả i thông i của i mạng i và i dung i lợng i của i bộ i nhớ i Một i bức i ảnh i màu i 24 i bit i với i 256 i  i 256 i điểm i ảnh i thì i cần i hơn i 0,2 i MByte i để i l- u i Một i chiếc i đĩa i dung i lợng i 1,4 i Mbyte i có i thể i chứa i đợc i 7 i bức i ảnh i Nhng i nếu i bức i ảnh i đợc i nén i lại i với i tỷ i lệ i 50:1 i thì i lúc i đó i cũng i với i chiếc i đĩa i trên i lại i chứa i đợc i 350 i bức i ảnh i

Có i nhiều i kỹ i thuật i mã i hoá i ảnh, i ngày i nay i mã i hoá i băng i con i (subband i coding) i đang i là i phơng i pháp i thành i công i nhất i Mã i hoá i băng i con i sử i dụng i các i wavelet i (nghĩa i là i các i bank i lọc i cấu i trúc i cây) i tránh i đợc i hiệu i ứng i blocking i ở i tốc i độ i bit i trung i bình, i bởi i vì i các i hàm i cơ i sở i của i nó i có i chiều i dài i thay i đổi i Các i hàm i cơ i sở i dài i biểu i diễn i tín i hiệu i tần i số i thấp, i còn i các i hàm i cơ i sở i ngắn i thì i biểu i diễn i tín i hiệu i ở i tÇn i sè i cao i

Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN

Khối tín hiệu Biến đổi Bộ l ợng tử Mã hoá

H4 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Hình i 4.1-Các i bớc i của i bộ i mã i hoá i ảnh i biến i đổi

Một i tính i chất i rất i hấp i dẫn i của i các i wavelet i là i khả i năng i điều i chỉnh i chiều i dài i của i các i hàm i cơ i sở i Một i phân i tích i bốn i mức i và i dãy i lọc i tơng i đơng i của i nó i có i thể i minh i hoạ i nh i sau:

Hình i 4.2-biến i đổi i wavelet i rời i rạc i bốn i mức i và i dãy i lọc i tơng i đơng i của i nó

Hàm i cơ i sở i tần i số i thấp i là i một i chuỗi i các i bản i ảnh i nội i suy i của i bộ i lọc i thông i thấp i H0 i Chiều i dài i của i nó i rất i lớn i Các i tần i số i cao i hơn i ít i đợc i lặp i hơn, i các i hàm i cơ i sở i trở i nên i ngắn i hơn i Tín i hiệu i đợc i xấp i xỉ i bởi i một i số i hàm i cơ i sở, i khi i đó i hầu i hết i năng i lợng i tập i trung i ở i băng i con i thấp.

Hình i 4.3-ảnh i của i Barbara i đợc i phân i tích i với i wavelet i 4 i mức i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Hình i 4.4- i ảnh i Barbara i mã i hoá i bằng i DWT

Các i tín i hiệu i video i là i các i chuỗi i ảnh i 2D i khoảng i 30 i khung i trên i giây i chiều i mới i là i thời i gian, i có i thể i mở i rộng i việc i xử i lý i trừ i 2D i  i 3D i Khi i đó i một i hệ i thống i Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN nén i video i nên i sử i dụng i một i bank i lọc i riêng i 3D i trớc i khi i kết i thúc i Các i chuỗi i biến i đổi i đợc i lợng i tử i hoá i và i mã i hoá i entropy i và i sử i dụng i giải i thuật i định i vị i bit i dựa i trên i lý i thuyết i méo i nhịp i để i tìm i ra i sự i phân i bố i tối i u.

Một i phơng i pháp i khác i để i tiếp i cận i với i nén i video i là i dựa i trên i dự i đoán i sự i chuyển i động i ởi tốc i độ i 30 i khung i trên i một i giây, i thông i tin i ở i các i khung i m i và i m i  i