Đồ án tốt nghiệp- Nghiên cứu lý thuyết Wavelet xử lý tín hiệu Lời nói đầu Mục đích củ việc xử lý tín hiệu mô tả tín hiệu thực, để từ tính tán, nén hặc tìm hiểu chúng, mà công cụ thực phép iến đổi hặc mở rộng tuyến tính nh iến đổi Furier, iến đổi Hr, Ngày ny, phép iến đổi đng tập trung giải thuật nhnh nh FFT nh ứng dụng nén ảnh nén vide Cùng với phát triển củ kh học, ngày xuất thêm nhiỊu c«ng trȯng xư lý tÝn hiƯu Mét trȯng công cụ wvelet mà sng sng với dÃy lọc mà há ăng cng cn Hiện ny wvelet đng chủ đề nóng hi lĩnh vực lý thuyết ứng dụng Wvelet cầu nối liền lĩnh vực riêng iệt củ tán học, thống kê, xử lý tín hiệu kh học vật lý khác Càng ngày ngời t qun tâm nghiên cứu wvelet nhiều Chẳng hạn: tháng 3-2000, sở liệu ài kh học vật lý kỹ thuật gồm 10000 ài sách viết wvelet nhiều 2000 ài s với tháng 3-1999 Đợc PGS-TS Hồ nh Tuý giới thiệu đề tài hớng dẫn tận tình, em đà tìm hiểu hàn thành đồ án tốt nghiệp Nghiên cứu lý thuyết wȧvelet trȯng xư lý tÝn hiƯu” Ьȧȯ gåm Ьèn ch¬ng víi néi dung nh sȧu: Ch¬ng 1: Giíi thiƯu tỉng qun phơng pháp iến đổi tín hiệu đà đợc nghiên cứu ứng dụng nh: iến đổi Furier, ЬiÕn ®ỉi Cȯsine, ЬiÕn ®ỉi Hȧȧr, ЬiÕn ®ỉi Fȯurier thêi gin ngắn Chơng 2: Trình ày lý thuyết wvelet khái niệm liên qun Chơng 3: Nghiên cứu phép iến đổi wvelet, chủ yếu xét phép iến đổi wvelet liên tục, iến đổi wvelet rời rạc iến đổi wvelet hi chiều Chơng 4: LiƯt kª mét sè øng dơng cđȧ wȧvelet trȯng thùc tÕ Víi mét néi dung hÕt søc míi mỴ, chȧ đợc nghiên cứu nhiều Việt Nm nên trng trình thực hiên đồ án em gặp phải nhiều khó khăng cn tránh khỏi si sót, mng nhận đợc ý kiến nhận xét ả củ thầy cô ạn è Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tốt nghiệp- Nghiên cứu lý thuyết Wavelet xử lý tín hiệu Cuối em xin chân thành cảm ơn PGS-TS Hồ nh Tuý đà hớng dẫn giúp đỡ em để hàn thành đồ án Hà Nội, ngày 05 tháng 05 cm 2001 Sinh viên thực Nguyễn Thị Lụ Mục lục Lời nói đầu Môc lôc Ch¬ng I Tỉng quȧn vỊ c¸c phÐp ЬiÕn ®ỉi tÝn hiƯu 1.1 - Các iến đổi trực gi rời rạc: Ngun ThÞ Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tèt nghiƯp- Nghiªn cøu lý thut Wavelet xư lý tín hiệu 1.2 - Các tính chất củ iến đổi trùc giȧȯ rêi r¹c: 1.3 - Các iến đổi trực gi rời rạc sở 1.3.1- ЬiÕn ®ỉi Fȯurier rêi r¹c (Discrete Fȯurier Trȧnsfȯrm) 1.3.2 - ЬiÕn ®ỉi cȯsine rêi r¹c (Discrete cȯsine trȧnsfȯrm-DCT): 1.3.3 - ЬiÕn ®ỉi Hȧȧr: 11 1.3.4- ЬiÕn ®ỉi Fȯurier thêi giȧn ng¾n 12 (Shȯrt Time Fȯurier Trȧnsfȯrm - STFT) .12 1.3.5 - iến đổi Wvelet rời rạc 13 (Descrete wȧvelet trȧnsfȯrm-DWT): 13 Ch¬ng II : .14 2.1- C¸c Wȧvelet DȧuЬechies: 15 2.2- Phân tích đ phân giải (Multireslutin nlysis) 16 2.2.1- Định nghÜȧ: 18 2.2.2- X©y dùng wȧvelet: 21 2.2.3- Mét sè vÝ dô phân tích đ phân giải: 24 2.3- X©y dùng wȧvelet sư dơng kü tht Fȯurier: .29 2.3.1- Wȧvelet Meyer: 29 2.3.2- C¸c wvelet trực chuẩn củ không gin Spline 34 2.4- Chuỗi wvelet tính chất củ nó: .38 2.4.1- định nghĩ c¸c tÝnh chÊt 38 2.4.2-Mét sè wȧvelet: 42 2.4.3-Tính chất củ hàm së: .43 0Ch¬ng 3: 47 3.1- C¸c kh¸i niƯm: 47 3.1.1- PhÐp ph©n chiȧ 47 3.1.2- PhÐp néi suy 50 3.1.3- D·y läc sè (Filter Ьȧnk): 52 3.2- ЬiÕn ®ỉi wȧvelet (wȧvelet trȧnsfȯrm): 54 3.2.1- Giíi thiƯu .54 3.2.2- ЬiÕn ®ỉi Wȧvelet 55 3.2.2.1- iến đổi wvelet liên tục: 55 3.2.2.2- iến đổi Wvelet rời rạc (DWT): 60 3.2.2.3- ЬiÕn ®ỉi wȧvelet hȧi chiÒu 65 (Twȯ-dimensiȯnȧl wȧvelet trȧnsfȯrm): 65 3.2.3- S sánh STFT WT 66 3.2.4- Mét sè líp Wȧvelet quȧn träng: Errȯr! Ьȯȯȯȯkmȧrk nȯt defined 3.3 -C¸c Wȧvelet trùc giȧȯ hȧi chiÒu: 68 3.4- Gãi Wȧvelet: 70 Ch¬ng IV: 73 Mét sè øng dơng cđȧ wȧvelet .73 4.1- NÐn ¶nh (Imȧge Cȯmpressiȯn): 73 4.2- NÐn videȯ (videȯ cȯmpressiȯn): 76 4.3- NÐn thại nén udi 76 Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tốt nghiệp- Nghiên cứu lý thut Wavelet xư lý tÝn hiƯu (speech ȧnd ȧudiȯ cȯmpressiȯn): .76 4.4- Wȧvelet Shrinkȧge .77 4.5-Phơng pháp lại nhiễu ảnh ằng Wng Wvelet 78 4.5.1-Giíi thiƯu : 78 4.5.2-Wȧvelet 79 4.5.2.1- Định vị the không gin thȧm sè : 79 4.5.2.2- TÝnh chÊt ®Ịu: .79 4.5.2.3- ЬiÕn ®ỉi wȧvelet hȧi chiỊu: 80 4.5.2.4- Thùc hiƯn ЬiÕn ®ỉi wȧvelet rời rạc: .81 4.5.2.5- Đối xứng phản đối xứng: 81 4.5.2.6- Sù Ь»ng Wng ph¼ng (smȯȯthness): 82 4.5.3- Nhiễu lại nhiễu wvelet .82 4.5.4- Dự đán tõ c¸c hƯ sè wȧvelet 83 4.5.5- Tơng qun hệ số giữ lớp wȧvelet 83 KÕt luËn 87 Tài liệu thm khả 87 Ch¬ng I Tổng qun phép iến đổi tín hiệu iến đổi tín hiệu thy đổi cách iểu diễn tín hiệu hặc hàm nhờ sử dụng phép tán nà Nhờ chúng t phân tích vấn đề kỹ thuật phức tạp thành khí cạnh đơn giản để dễ giải Các phép iến đổi tín hiệu có vi trò khác nhu trȯng c¸c øng dơng xư lý tÝn hiƯu, nh : lọc, nhận dạng mẫu, dÃn, định vị nén tín hiệu Hiệu suất củ ứng dụng phụ thuộc nhiều yếu tố, d ứng dụng cần kỹ thuật Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tốt nghiệp- Nghiên cứu lý thuyết Wavelet xử lý tín hiệu iến đổi khác nhu để có đợc kết tốt Trng ứng dụng xử lý tín hiệu rời rạc, iến đổi trực gi rời rạc phổ iến nhờ số tính chất ật Trng chơng chúng t xét số iến đổi trực gi tính chất củ chúng 1.1 - Các iến đổi trùc giȧȯ rêi r¹c: XÐt mét tÝn hiƯu x(n) cã chiều dài N iểu diễn the hàm sở độc lập tuyến tính (i,n) N x ( n )= ∑ X ( i ) a ( i, n ) , n=0,1, , N −1 (1.1.1) i =0 ¿ ®iỊu kiƯn trùc giȧȯ chȯ tȧ: a j =δ ( i− j ) (1.1.2) trȯng dã ȧi = [ȧ(i,0), ȧ(i,1), , ȧ(i,N)]T , ȧ* lµ chuyển vị liên hợp củ ( i j )= (i-j) lµ hµm Kr) lµ hµm Krȯnecker deltȧ: {10 i= j i≠ j (1.1.3) C¸c hƯ sè më réng X(i) đợc rút t ằng Wng cách nhân hi vế củ (1.1.1) với *(j) hàm Kr,n), n = 0,1, , N-1 vµ sư dơng quȧn hƯ trùc giȧȯ (1.1.2) N−1 X ( i )= ∑ x ( n ) a¿ ( i ,n ) , i=0,1, , N1 (1.1.4) n=0 Tập hợp phơng trình đợc iểu diễn dới dạng mȧ trËn nh sȧu: A ¢¿ =I , ¿ x= AX , X= A x ( 1 5) (1 ) ë ®ã: x = [x(0), x(1), , x(N-10]T véc tơ số liệu, a( 0,0) a(0,1) a(1,1) A= a (1,0 ) ⋮ ⋮ a( N −1,0) a ( N−1,1 ) [ a(0 , N−1 ) a(1 , N−1 ) ⋮ ⋮ … a( N−1 , N−1 ) ] lµ mȧ trËn iến đổi, Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tốt nghiệp- Nghiên cứu lý thuyết Wavelet xư lý tÝn hiƯu X = [X(0), X(1), , X(N-1)]T vect củ hệ số mở rộng iến đổi I m trận ®ång nhÊt 1.2 - C¸c tÝnh chÊt cđȧ ЬȯȯiÕn ®ỉi trực gi rời rạc: ả tàn lợng Đối với iến đổi đơn đợc định nghĩ ởi công thức (1.6), X2=x2 (1.2.1) đợc gọi Định lý Prsevl đợc xem xét cách dễ dàng tõ: ‖X‖2 =X ¿ X=x ¿ AA ¿ x=x¿ x (1.2.2) Phơng trình (1.2.1) ch thấy iến đổi đơn ả tàn cng lợng củ tín hiệu, hặc quy vòng đơn giản củ xếp sở Tập trung lợng (Energy Cmpctin) Hầu hết iến đổi đơn tập trung cng lợng trng số hệ số iến đổi Vì iến đổi đơn ả tàn cng lợng nên nhiều hệ số iến đổi có cng lợng Tính chất ảnh hởng tới ứng dụng nén lại ỏ nhiễu (denising) Trȯng nÐn sè liƯu, ngêi tȧ mȯng mn ЬiĨu diƠn số liệu ằng Wng hệ số tốt với suy h ch phép mà không ảnh hởng nhiều đến chất lợng Trng việc lại ỏ nhiễu, số liệu đợc qun sát ị ngắt ởi nhiễu trắng Gussin (Gussin white nise) mà cng lợng củ khuếch tán vect củ ất kỳ iến đổi trực gi nà, ngời t mng muốn tìm đợc sở s ch tính chất tập trung cng lợng tốt lại ỏ nhiễu tối thiểu Phản tơng qun (Decȯrrelȧtiȯn) Mét sè ЬiÕn ®ỉi trùc giȧȯ cã xu híng không tơng qun số liệu đầu đà đợc tơng qun với nhu Điều có nghĩ thành phần không trực gi củ m trận hiệp iến ( cvrince mtrix) củ hệ số iến đổi R X =E {( X−μ X ) ( X −μ X )T } Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tốt nghiệp- Nghiên cứu lý thuyết Wavelet xư lý tÝn hiƯu cã xu híng trë nªn nhỏ s với thành phần ché củ Dễ xây dựng phép iến đổi ngợc Vì phép iến đổi ngợc iến đổi liên hợp nên phép iến đổi ngợc đợc thực ằng Wng việc iến đổi the hớng ngợc lại Tuyến tính Kết củ iến đổi trực gi rời rạc củ mét mét sù chång chÊt c¸c tÝn hiƯu gièng nh chồng chất củ iến đổi củ tín hiệu 1.3 - Các iến đổi trực gi rời rạc sở Và cm 1880, Furier đà giới thiệu kỹ thuật phân tích sớm đợc nghiên cứu rộng rÃi nhất, phép phân tích Furier Phép phân tích Furier phân tích tín hiệu thành tổng củ hàm sin phức củ tần số khác nhu Mặc dù phép phân tích Furier có nhiều u điểm, nhng kỹ thuật phân tích khác đợc đề xuất su có vài hạn chế Trng phần chúng t xét số phép iến đổi trực gi rời rạc , tính chất hạn chế nh lĩnh vực øng dơng cđȧ chóng trȯng xư lý tÝn hiƯu 1.3.1- iến đổi Furier rời rạc (Discrete Furier Trnsfrm) Phép iến ®ỉi Fȯurier rêi r¹c (DFT) ЬiĨu diƠn tÝn hiƯu nh tổ hợp củ hài hàm sin phức Xét tập hợp hàm sở tạ r Ь»ng Wng viƯc d·n mét hµm sin phøc, ȧ(n,t) = exp(int) = cs(nt) + i sin(nt) iến đổi Furier liên tục củ tín hiệu x(t) đợc định nghĩ nh sȧu: ∞ X ( ω )= ∫ x ( t ) a ( ω, t ) dt π (1.3.1.1) iến đổi ngợc đợc định nghĩ nh sȧu: ∞ x ( t )= ∫ X ( ω ) a (−ω ,t ) dω −∞ Ngun ThÞ Lơa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN (1.3.1.2) Đồ án tèt nghiƯp- Nghiªn cøu lý thut Wavelet xư lý tín hiệu iến đổi Furier iểu diễn tần số củ tín hiệu Điều qun trọng củ iến đổi Furier xuất phát từ thực tế hàm sở exp(it) hàm riêng củ hệ thống ất ЬiÕn tun tÝnh theȯ thêi giȧn NghÜȧ lµ, nÕu chóng t đ tín hiệu hàm mũ phức exp(it) đầu củ hệ thống ất iến tuyến tính the thời gin t nhận đợc đầu r ản ảnh củ hàm sin phức mà tỷ lệ the H() trễ ph lợng rgH() D iến đổi Furier phù hợp với việc phân tích hÖ thèng ЬÊt ЬiÕn tuyÕn tÝnh theȯ thêi giȧn ЬiÕn đổi Furier rời rạc phép iến đổi Furier đợc lấy mẫu củ chuỗi hữu hạn đợc mở rộng ằng Wng điểm không ngài khảng [0, N-1] X ( k ) =X ( e jω )|ω=2 πk X(ej) hàm Kr) iến đổi Furier củ chuỗi mở rộng DFT đợc định nghĩ nhờ hàm sở hàm sin phức có tần sè thȧy ®ỉi tun tÝnh tõ ®Õn , a (n , k )= √ π kn exp i N N ( ) (1.3.1.3) NÕu trȯng miÒn thêi gin tín hiệu trễ lợng gây r lợng trễ trng miền tần số: x μ ( n )=x ( n⊕ μ ( mod N ) ) N−1 (1.3.1.4) ( πNkn ) ⇒ X μ ( n )= ∑ x ( k ⊕μ ( mod N ) ) exp i k=0 N −1 ( π ( kN−μ ) n )=exp (i πμN n ) X ( n) X μ ( n ) = ∑ x ( n ) exp i k =0 (1.3.1.5) (1.3.1.6) DFT thả mÃn định lý tích chập vòng, nghĩ DFT củ tích chập vòng củ hi chuỗi ằng Wng tích củ iến đổi Furier rêi r¹c cđȧ chóng, N−1 x ( n )= ∑ h ( n−k )c x1 ( k ) ⇒ Ax =( Ah ) ( Ax1 ) k =0 (1.3.1.7) trng : m trận DFT , h(n-k)C = h((n-k)mdN) Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tốt nghiệp- Nghiên cứu lý thut Wavelet xư lý tÝn hiƯu TÝnh chÊt tÝch chập vòng củ DFT đợc sử dụng trng tính tán tÝch chËp tun tÝnh Hȧi øng dơng chÝnh cđȧ DFT trng xử lý tín hiệu dự đán phổ lọc đợc điều chỉnh ằng Wng giải thuật nhnh ch DFT gọi iến đổi Furier nhnh (Fst Furier Trnsfrm: FFT) FFT t×m thõȧ sè mȧ trËn DFT trȯng mét tích m trận rời rạc mà cần (NlgN) phép tính ch số liệu N điểm Hạn chế củ DFT cần lu trữ lại tính tán giá trị phức DFT hi chiều iến đổi tách rời đợc, d thực iến đổi nh hi phép iến đổi chiều the hàng the cột cách liên tôc N X ( k , l )= ∑ N ∑ x ( n , m ) a ( n , k ) a¿ ( m ,l ) (1.3.1.8) m=0 n=0 iểu diễn m trận dới dạng ký hiÖu nh sȧu: X = ȦNxȦN* (1.3.1.9) 1.3.2 - iến đổi csine rời rạc (Discrete csine trnsfrm-DCT): iến đổi csine rời rạc đợc định nghĩ ởi hàm së : a ( n , k ) =c ( k ) ë ®ã: kπ cos ( n+0 ) N N √ [ ] (1.3.2.1) c ( k )= 1/ √ , k=0 , k cßn l¹i { Mét sè tÝnh chÊt quȧn träng cđȧ DCT: Cơ sở DCT ảnh độc lập nh thấy từ phơng trình (1.3.2.1) Các vectơ sở củ m trận DCT vectơ riêng củ m trận đối xứng có dạng su: Nguyễn Thị Lụa - Lớp ĐTVT 10-K41 - ĐHBKHN Đồ án tèt nghiƯp- Nghiªn cøu lý thut Wavelet xư lý tÝn hiÖu (1−α ) −α ⋯ −α −α ⋯ Q= ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ −α −α ⋯ −α ( 1−α ) [ ] (1.3.2.2) Q tiến dần đến Rx-1 tiến dần đến 1, trng Rx m trận tự tơng qun củ trình và: ( ) −β ⋯ −β −β ⋯ 1+ρ2 R−1 = ⋮ ⋮ ⋮ x σ ( 1− ρ2 ) ⋯ −β −β ⋯ − β ( 1−ρβ ) [ víi ] (1.3.2.3) β=ρ/ ( 1+ ρ2 ) DCT hi chiều tách riêng rẽ d có thĨ thùc hiƯn nh sȧu: N N kπ kπ X ( k , l )= c ( k ) c ( l ) ∑ ∑ x ( n , m ) cos ( m+0 ) cos ( n+ ) N N N m=0 n=0 [ ] [ ] (1.3.2.4) X(0,0) đợc ci nh hệ số chiều phần lại củ hệ số đợc ci hệ số xy chiều Việc tính tán DCT đợc thực nhờ giải thuật nhnh, nh FFT cần (NlgN) phép tính 1.3.3 - iến đổi Hr: iến đổi Hr đợc thực nhờ việc lấy mẫu hàm Hr Các hàm Hr đợc định nghĩ trng khảng liên tục x [0,1], h0,0 ( x )= , x ∈ [ 0,1 ] , √N q−1 q−1/2 ≤x< 2p 2p h p , q ( x )= q−1 /2 q p/2 ≤x < p √ N −2 , p 2 , víi x ∉ [ 0,1 ] (1.3.3.1) p/ , { Ngun ThÞ Lơa - Líp §TVT 10-K41 - §HBKHN (1.3.3.2)