Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Đại số là mảng kiến thức rộng, trong đó chuyên đề về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một phần tương đối khó, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi ôn tập, học kì, hay tốt nghiệp và cả học sinh giỏi. Hơn hết, khi nắm chắc kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp ích rất nhiều trong quá trình học của bậc phổ thông.

CHUYÊN ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biểu thức thuộc khoảng xác định nói Xét biểu thức A( x) +) Ta nói A( x) có giá trị lớn M, A( x) M x có giá trị x cho A( x0 ) M (Chỉ giá trị được) +) Ta nói A( x) có giá trị nhỏ m, A( x ) mx có giá trị x cho A( x0 ) m (Chỉ giá trị được) Như : a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần : - Chứng minh A k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần : - Chứng minh A k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến Ký hiệu: Min A giá trị nhỏ A Max A giá trị lớn A Ví dụ: Sai lầm A( x) 2 x  x   x  ( x  1)  2  GTNN 2 ( Không dấu = ) 1 5  A( x) 2  x      GTNN   x  2 2 2  Đáp án : B Các dạng tốn Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai ax  bx  c Phương pháp: Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x)  x  x  24 b B( x) 2 x  x  Lời giải 2 a A( x)  x  x  24 ( x  2)  20 20x  A( x) 20  x 2 c C ( x ) 3 x  x  2 b B( x) 2 x  x  2( x  x  4)  2( x  2)    minB   x 2  13  13 1  C ( x) 3 x  x  3  x      x  12 12  c Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a A( x )  x  x  b B( x)  x  x  Lời giải 1 2 9 2   A( x)  x  x 1   x  x     x      x  5 5 5   a 2  13 13  B ( x)  3x  x    x      x   12 12  b Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN đa thức có bậc cao Phương pháp: Ta đưa dạng tổng bình phương Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x) x  x  10 x  x  b B( x)  x  10 x  26 x  10 x  30 c C ( x)  x  x  x  x  2017 d D( x)  x  x  x  e E ( x )  x  x  x  20 x  22 f F ( x ) x ( x  3)( x  4)( x  7) g G ( x) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)  2006 Lời giải 4 2 2 a A( x) x  x 10 x  x  ( x  x  x )  ( x  x  9) ( x  x)  ( x  3) 0x  x  x 0  A( x) 0    x 3  x  0  x  x 0 B( x) x  10 x  26 x  10 x  30 ( x  x)  ( x  5)  5    x 5 x    b 2 2 2 c C ( x)  x ( x  2)  x ( x  2)  ( x  2)  2015 ( x  2)( x  1)  2015 2015  x 1 2 2 d D( x) x  x   x  x   ( x  1)  ( x  1)  5  x  e Ta có : E ( x) x  x3  x  20 x  22 ( x  x  x )  5( x  x  4)  ( x  x)  5( x  2)  2  x 2  x 1 F ( x)  x( x  3)( x  4)( x  7) ( x  x)( x  x  12)  y  36  36  y 0    x 6 f  x 0 G ( x) ( x  x  6)( x  x  6)  2006 ( x  x)  2042  2042    x  g Dạng : Đa thức có từ biến trở lên Phương pháp: Đa số biểu thức có dạng F  x; y  ax  by  cxy  dx  ey  h  a.b.c 0   1 - Ta đưa dần biến vào đẳng thức 2 F  x; y  mK  x; y   nG  y   r   Trong G  y  , H  x a 2ab  b   a b  sau F  x; y  mK  x; y   nH  x   r  3 biểu thức bậc biến, K  x; y   px  qy  k biểu thức bậc hai biến x y Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển dạng (2) sau với a 0; 4ac  b 0 Ta có 4a.F  x; y  4a x  4abxy  4acy  4adx  4aey  4ah 4a x  b y  d  4abxy  4adx  2bdy  4ac  b  y 2  y  2ae  bd   4ah  d  2ax  by  d  2ae  bd    2ae  bd    4ac  b   y   4ah  d     4ac  b    4ac  b  2 Vậy có (2) với b  4ac 2ae  bd d  2ae  bd  m  F  x; y  2ax  by  d ; n  ; G( y)  y  ; r h   4a 4a 4ac  b 4a 4a  4ac  b  +) Nếu +) Nếu a  0; 4ac  b   m  0, n     : F  x; y  r  * a  0; 4ac  b   m  0, n     : F  x; y  r  ** +) Nếu m > 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n