Hsg bắc giang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (4,0 điểm) 3  3 1 1) Rút gọn: A     :      10   12  2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2012  x  2013 với x số tự nhiên Câu (5,0 điểm) 1) Tìm x biết x 2.3x 1.5 x 10800 2) Ba bạn An, Bình Cường có tổng số viên bi 74 Biết số viên bi An Bình tỉ lệ với 6; số viên bi Bình Cường tỉ lệ với Tính số viên bi bạn Câu (4,0 điểm) 1) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  2012 hợp số 2) Cho n số tự nhiên có hai chữ số Tìm n biết n  2n số phương Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có ba góc góc nhọn 1) Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân B Gọi H trung điểm BC, tia đối tia AH lấy điểm I cho AI BC Chứng minh hai tam giác ABI BEC BI  CE  2) Phân giác góc ABC , BDC cắt AC, BC D, M Phân giác  góc BDA cắt BC N Chứng minh rằng: BD  MN Câu (1,0 điểm) Cho S 1  Tính  S  P  1 1 1 1 1           P  2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 2013 Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ CẤP TỈNH MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Bản hướng dẫn có 03 trang Phương pháp-Kết Câu Câu 1 (2điểm) Điểm ( điểm)  15   18  A     :     10 10 10   12 12 12  0.5đ 0.5đ 12 11  : 10 12 12 72   11 55 Vậy A  (2điểm) 0.5đ 0.5 72 55 P  x  2012  x  2013 0.5 đ + Nếu x 2012 x 2013 P 1 + Nếu x  2013 P  x  2012  x  2013   x  2013  0.5đ + Nếu x  2012 P  x  2012  x  2013  x  2012   0.5 + Do giá trị nhỏ P 1, đạt x 2012 x 2013 0.5 đ (4điểm) 1.0 đ Câu (2.5điểm) Ta có x 2.3x 1.5x 10800  x.22.3x.3.5x 10800 x   2.3.5  900 0.5 đ x  30 30  x 2 (2.5điểm) Vậy x 2 kết cần tìm + Gọi số viên bi An, Bình, Cường a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn 74 nên a  b  c 74 a b a b  + Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên   10 12 + Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên + Từ ta có a b c a b c 74     2 10 12 15 10  12  15 37 b c b c    12 15 0.5 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 0.5đ 0.5đ + Suy a 20; b 24; c 30 Câu (2điểm) + Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p 3k 1 k  , k 1 +Với p 3k  suy p  2012  3k 1  2012 9k  6k  2013   p  2012  3 (4điểm) 0.5 0.5 0.5 +Với p 3k  suy p  2012  3k  1  2012 9k  6k  2013   p  2012  3 Vậy p  2012 hợp số (2điểm) 0.5 + Vì n số có hai chữ số nên  n  100  18  2n  200 0.5đ + Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 0.5đ 36; 64; 100; 144; 196 + Với 2n 36  n 18  n  22 khơng số phương 2n 64  n 32  n  36 số phương 2n 100  n 50  n  54 khơng số phương 2n 144  n 72  n  76 không số phương 2n 196  n 98  n  102 khơng số phương + Vậy số cần tìm n 32 Câu 0.5 đ 0.5đ (6 điểm) (3điểm) + Xét hai tam giác AIB BCE Có AI=BC (gt) BE=BA( gt) 0.5  + Góc IAB góc ngồi tam giác ABH nên  IAB  ABH  AHB  ABH  900     + Ta có EBC EBA  ABC  ABC  900 Do IAB EBC  ABI   BEC ( c  g  c ) + Do 0.5 0.5 đ  + Do ABI BEC (c  g  c ) nên AIB BCE (3điểm) 0.5 đ  + Trong tam giác vng IHB vng H có AIB  IBH 900   Do BCE  IBH 900 0.5đ KL: CE vng góc với BI 0.5đ + Do tính chất đường phân giác, ta có DM  DN 0.5 đ + Gọi F trung điểm MN Ta có FM FD FN 0.5 đ   + Tam giác FDM cân F nên FMD MDF Câu (1 điểm)    FMD MBD  BDM ( góc tam giác)   MBD  CDM 0.5 đ   Suy MBD (1) CDF 0.5 đ    Ta có MCD (2) CDF  CFD   Do tam giác ABC cân A nên MCD (3) 2MBD   Từ (1), (2), (3) suy MBD hay tam giác DBF cân D Do DFC 0.5 đ BD DF  MN 1 1 1   Cho S 1      2011 2012 2013 1 1 2013 P     Tính  S  P  1007 1008 2012 2013 + Ta có: 1 1 P     1007 1008 2012 2013 1 1 1              1006 1007 1008 2012 2013     1        1006   1 1   1            1006 1007 1008 2012 2013    1 1        2012  2 1 1 1       =S 2012 2013 2013 Do  S  P  =0 0.5 đ Điểm toàn (20điểm) (1 điểm) 0.5 đ 0.5 đ Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác chấm cho điểm phần tương ứng