PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN VIỆT YÊN Thời gian làm bài:120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) 0, 1) M = 1, 2 1 0, 25 11 : 2012 7 0,875 0, 2013 11 2) Tìm x, biết: x x x Câu (5,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: b a a c a b c bc a c a b c a b c b Hãy tính giá trị biểu thức B 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x 2013 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y z xyz Câu (6,0 điểm) Cho xAy =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b ) KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c 1 chứng minh rằng: a b c 2 bc ac ab Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN VIỆT N Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung 2 1 0, 25 0, 11 : 2012 1) Ta có: M 1, 1 0,875 0, 2013 11 1 2 2 11 2012 : 7 7 7 2013 11 10 1 1 1 11 2012 : Câu 2013 (4 điểm) 11 2 2012 : 0 7 2013 KL:…… 2 2) x x nên (1) => x x x hay x 2 +) Nếu x 1 (*) = > x -1 = => x = +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 KL:………… Câu 1) (5 điểm) +Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = =1 a b c c a b mà => a b c b c a ca b 1 1 1 c a b a b b c c a =2 c a b b a c =2 => a b c b c a ca b 1 1 1 c a b a b b c c a =1 c a b b a c 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b a c a b c )( )( ) =8 Vậy B = ( a c b a c b +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = =0 a b c c a b mà Điểm =1 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b a c a b c )( )( ) =1 Vậy B = ( a c b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c 0,5 đ Ta có: a b c a b c x 5x 6x x 7x a ;b ;c 18 18 18 18 18 (1) Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b , c , a , b, c , x 4x 5x x 6x a , ; b, ; c, 15 15 15 15 15 0,5đ 0,25đ (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu 6x x x 4 4 x 360 Vây: c’ – c = hay 15 18 90 0,5đ 0,5đ Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 0,5đ 0,25đ 1) Ta có: A x x 2013 x 2013 x 0,5đ x 2013 x 2011 2013 Dấu “=” xảy (2 x 2)(2013 x) 0 x KL:…… 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử x y z Câu Theo = + + + + = yz yx zx x2 x2 x2 x2 (4 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ => x => x = Thay vào đầu ta có y z yz => y – yz + + z = => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Câu (6 điểm) Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) V ẽ h ình , GT _ KL 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a, ABC cân B CAB ACB (MAC ) BK đường cao BK đường trung tuyến K trung điểm AC b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) BH = AK ( hai cạnh t ) mà AK = AC BH = AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC tam giác cân ( ) Mặt khác : MCB = 900 ACB = 300 1đ 1đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ MCK = 600 (2) Từ (1) (2) MKC tam giác c) Vì ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK = AB BK 16 12 Mà KC = AC => KC = AK = 12 KCM => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Câu (1 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Vì a b c 1 nên: 1 c c (1) ab a b ab a b a a b b Tương tự: (2) ; (3) bc b c ac a c a b c a b c Do đó: (4) bc ac ab b c a c a b a b c 2a 2b 2c 2(a b c ) 2 (5) Mà b c a c a b a b c a b c a b c a b c a b c 2 (đpcm) Từ (4) (5) suy ra: bc ac ab ( a 1)(b 1) 0 ab 1 a b Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ