PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TỐN Thời gian làm 120 phút (khơng kể giao đề) Bài (3 điểm) a Tính giá trị biểu thức 5 18 13 9 13 13 b Cho a; b số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13 Chứng minh 10a +b chia hết cho 13 Bài (4 điểm) x2 Cho biểu thức A x a Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A không xác định b Với giá trị x biểu thức A nhận giá trị số âm ? c Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài (2 điểm) Cho số x; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x 3x 2y 5z 96 Tìm x; y; z Bài 4: (3 điểm) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 f(-1) = 2012 Tính a; b ; c b Chứng minh f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 đa thức f(x) vô nghiệm Bài (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Gọi M, N trung điểm BC BD a Tam giác BDC tam giác ? Vì ? So sánh DM CN b Từ M kẻ đường thẳng vng góc với CN cắt tia BA K Chứng minh BMK CMD c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN Nội dung Bài Bài (3đ) a Tính giá trị biểu thức Điểm 5 18 13 9 13 13 5 18 13 9 13 13 7 13 18 13 13 18 19 13 13 13 9 13 13 1.5đ b Cho a; b số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13 Chứng minh 10a +b chia hết cho 13 (a + 4b) 13 10(a + 4b) 13 0.5đ Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b 13 0.5đ 0.5đ Do 10(a + 4b) 13 nên (10a +b ) Bài2 (4đ ) x2 Cho biểu thức A x a Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A không xác định Giá trị biểu thức A không xác định x-2 = Kết luận : Giá trị biểu thức A không xác định x = 0.5đ 0.5đ b Với giá trị x biểu thức A nhận giá trị số âm ? Nhận xét : x2 x x2 +3 > x A nhận giá trị số âm x-2 nhận giá trị số âm A nhận giá trị số âm x < c Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên x x ( x 2) A x x x A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên x 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ nhận giá trị nguyên (x-2) x x-2 nhận giá trị : -7 ; -1 ; 1; Giải ra, thử lại kết luận: x 5;1; 3; 9 Bài 3(2đ) 0.5đ Cho số x; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x 3x 2y 5z 96 Tìm x; y; z Từ 5z 6y 6x 4z 4y 5x 0.5đ 20z 24y 30x 20z 24y 30x 20 z 24 y 30 x 20 z 24 y 30 x 0 10 25 36 16 25 36 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 20z = 24y = 30x 10z = 12y = 15x x y z 3x y z 3x y z 96 3 12 10 30 12 10 30 32 0.5đ 0.5đ 0.5đ Giải kết luận : x = 12 ; y = 15 z = 18 Bài (3đ) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 f(-1) = 2012 Tính a; b ; c Tính = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c 2012 = f(-1) = a-b+c Tính được: a + b = 2013 a - b = 2012 Tính được: 2a = 4025 tính a Kết luận : a 4025 ; b 2 4025 ; b 2 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ c = b Chứng minh f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 đa thức f(x) vơ nghiệm Tính : 2012 = f(1) = a + b +c (1) 2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2) 2036 = f(3) = 9a +3b +c (3) Từ (1) (2) có a – b = (4) Từ (2) (3) có a + b = (5) 0.5đ 0.5đ Từ (4) (5) tìm a = ; b = -4 tìm c = 2012 Như f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = ……….= (2x – 1)2 + 2011 > x Kết luận: Đa thức vô nghiệm Bài (8đ) 0.5đ Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Gọi M, N trung điểm BC BD B N M E D A K C 1.0đ a Tam giác BDC tam giác ? Vì ? So sánh DM CN * Chứng minh được: BAD = BAC (c.g.c) suy BD = BC 0.5đ = 450 + 450 = 900 DBC DBA ABC 0.5đ 1.0đ Kết luận BDC vuông cân B * Chứng minh BDM = BCN DM = CN b Từ M kẻ đường thẳng vng góc với CN cắt tia BA K Chứng minh BMK CMD Vì BDM = BCN suy BNC BMD BNC vuông B nên BNC BCN 900 CME vuông E nên MCE CME 900 Từ suy CME BMD Vì CME BMD BMK CMD Chứng minh BMK = CMD (g.c.g) c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK * AB = a, tính BC = a áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC a Và tính BD = BC = a ; BM = BC 2 * Vì BMK = CMD suy MD = MK Vậy chu vi DMK 2MD + DK a Tính DM áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM Chứng ming BDK = BCK DK BC a Chu vi tam giác DMK 2DM DK 2a a a 10 a a 10 2 Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ