Ly thuyet loc toi uu doi voi qua trinh gaussian 115629

LỜI NĨI ĐẦU Lí thuyết lọc nhà toán học nghiên cứu đến hai kỷ Lý thuyết lọc đại dựa toán học đại, có nhiều ứng dụng vật lý kỹ thuật ngành khoa học khác Đề tài đề cập đến vấn đề lý thuyết lọc tối ưu trình Gaussian điều kiện áp dụng vào tốn thống kê toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc toán điều khiển tối ưu với thời gian liên tục Do hạn chế mặt thời gian lên luận văn tránh khỏi sai lầm thiếu sót Em mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến để em tiếp tục ngiên cứu, bổ xung làm cho luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Chng I Các kiến thức chuẩn bị Cỏc khỏi nim Cho không gian xác suất đầy đủ (, F , P) , ( Ft , t T ) họ không giảm  -đại số  - đại số F, Ft , t T liên tục Giả sử ( ,  ) trình ngẫu nhiên hai chiều quan sát phận,  (t , Ft ),1 t T q trình khơng quan sát  (t , Ft ),1 t T trình quan sát Bài toán lọc tối ưu trình quan sát phận ( ,  ) hiểu xây dựng t (0 t T ) ước lượng bình phương tối thiểu hàm h t ( ,  ) Ft –đo sở quan sát 1 ,1 t Nếu Eht   ước lượng tốt trùng với kỳ vọng điều kiện  t (h)  E (ht / Ft  ), Ft   - đại số sinh trình  (t , Ft ) Đại lượng  t (h) khó xác định Song giả thiết trình (h,  ) cho đẳng thức t ht h0  H s ds  xt (1) t Và t t   As ( )ds  Bs ( )dw s 0 (2) (w t , Ft ) trình wiener, A ( At , Ft ), ( Bt , Ft ) thỏa mãn giả thiết T T P ( At ( ) dt  ) 1, P( Bt2 ( ) dt  ) 1 t Và (3) Bt ( x)  Bt ( y )  L1 xs  ys dK ( s )  L2 ( xs  ys ) 2 (4) t Bt2 ( x )  L1 (1  xs2 )dK  s   L2 (1  xt2 ) (5) Trong L1, L2 số không âm K(t)  K (t ) 1 hàm liên tục phải không tăng x, y CT Giả sử hàm gt  gt ( ), t T trình ngẫu nhiên đo thỏa  mãn E gt   kỳ vọng điều kiện E ( gt / Ft ) cải tiến đo (bản đo được) ký hiệu  t ( g ) Phương trình lọc (trường hợp chiều) I.1 Biến ngẫu nhiên: Giả sử (  , F) không gian đo cho, R ( ; ) Định nghĩa1: Hàm thực X  X ( ) xác định  lấy giá trị R gọi hàm F- đo biến ngẫu nhiên   : X ( )  B  X  ( B)  F với B  B (R) (với B (R)  - đại số tập Borel R) Định nghĩa2: Hàm thực X  X ( ) xác định  lấy giá trị R   ;  1 R cho   : X ( )  B  X ( B)  F với B  B   gọi biến ngẫu nhiên suy rộng I.2 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1: Cho không gian xác suất (  , F, P) T  0,  Họ biến ngẫu nhiên  X t , t  T  gọi trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục t T Trong trường hợp T=N=  0,1, 2,  , họ ( X t , t  T ) gọi trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc X(t, ω) phụ thuộc hai biến t ) phụ thuộc hai biến t T, ω) phụ thuộc hai biến t Ω Với t cố định, X(t, ω) phụ thuộc hai biến t ) hàm đo theo ω) phụ thuộc hai biến t Với ω) phụ thuộc hai biến t cố định X(t, ω) phụ thuộc hai biến t ) gọi quỹ đạo hay hàm chọn trình ngẫu nhiên Định nghĩa 2: Hai trình ngẫu nhiên  X t   Yt  , tT xác định không gian xác suất (Ω, F, P) gọi tương đương ngẫu nhiên chúng trùng hầu khắp nơi với t T Nghĩa P  X t Yt  0 Quá trình  Yt , t  T  gọi trình cải tiến trình ( X t , t  T ) Định nghĩa : Quá trình ngẫu nhiên ( X t , t  T ) xác định TxΩ gọi đo với tập borel B B (R) ta có  ( , t ) : X t ( )  B F x B(T) Trong B (T) б- đại số borel T=  0,  Định nghĩa 4: Quá trình ngẫu nhiên ( X t , t  T ) gọi phù hợp với họ б- đại số F t, t T, với tT, biến ngẫu nhiên Xt Ft -đo Định nghĩa 5: Quá trình ngẫu nhiên ( X t , t  T ) gọi đo tiến với tT  ( , s t ) : X s  B Ft x B (  0, t  ) Trong B tập borel R, B (  0,t  ) б -đại số tập borel  o, t  Rõ ràng, trình ngẫu nhiên đo tiến đo phù hợp với họ б- đại số Ft, tT Định nghĩa 6: Quá trình ngẫu nhiên ( X t , t  T ) với X0 Fo -đo được, dự báo đo với б -đại số  0,  x  sinh tập tích có dạng  s, t  x A, s t , A  Ft Định nghĩa 7: Quá trình ngẫu nhiên Xt, tT gọi liên tục ngẫu nhiên P  X  X t     s  t o to T,   có:  s , o Nếu trình ngẫu nhiên liên tục điểm tập S T ta nói liên tục ngẫu nhiên S Định nghĩa 8: Quá trình ngẫu nhiên ( X t , t  T ) gọi liên tục (liên tục phải, liên tục trái) S  T hầu hết quỹ đạo liên tục (liên tục phải, liên tục trái) Nghĩa là,  N có P(N)=0 cho  N, quỹ đạo Xt(), tS liên tục(liên tục phải, liên tục trái) Định nghĩa 9: Nếu tồn giới hạn theo nghĩa xác suất (h.c.c): lim h X t h  X t h Thì giới hạn gọi đạo hàm quỹ đạo trình ngẫu nhiên( X t, tT) theo xác suất (h.c.c) ta nói q trình (Xt, tT) khả vi t ' Kí hiệu: X t dX t dt I.3 Kỳ vọng điều kiện: Định nghĩa 1: Giả sử x biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (, F , P) tồn kỳ vọng E(x), G  -đại số  -đại số F kỳ vọng điều kiện biến ngẫu nhiên x  -đại số G cho đại lượng ngẫu nhiên, kí hiệu E ( x / G ) đo  -đại số G thỏa mãn E ( x / G )dP I A ( )dP B  G Định nghĩa 2: xác suất điều kiện xác suất điều kiện biến cố A với điều B B kiện  -đại số G cho đại lượng ngẫu nhiên P( A / G ) đo  đại số G cho P( A / G)dP  P( A  B), B  G B I.4 Martingale Cho không gian xác suất (, F , P) họ ( Ft ), t  T họ không giảm  -đại số F trình X ( xt , Ft ), t  T gọi martingale ( Submartingale, Supermartingale) nếu: 1) xt Ft đo 2) E xt   3) Với s t , E ( xt / Fs )  xs ( E ( xt / Fs )  xs , E ( xt / Fs )  xs ) Định nghĩa tương đương với mệnh đề: X ( xt , Ft ), t  T martingale (submartingale, supermartingale) A  Fs tùy ý (s