Đồ án tốt nghiệp thuật toán số giải bài toán điều khiển tối ưu đối với phương trình đàn hồi tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Thuật toán số giải toán điều khiển tối ưu phương trình đàn hồi tuyến tính Nguyễn Quang Huy huy.nq185454@sis.hust.edu.vn Ngành Hệ thống thông tin quản lý Giảng viên hướng dẫn: TS Tạ Thị Thanh Mai Chữ kí GVHD Bộ mơn: Tốn ứng dụng Viện: Tốn ứng dụng Tin học HÀ NỘI, 8/2022 NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN Mục tiêu nội dung đồ án Đánh giá lý thuyết xây dựng lược đồ giải số cho toán điều khiển tối ưu với phương trình đàn hồi tuyến tính Kết đạt - Tìm hiểu lý thuyết giải xấp xỉ phương trình đàn hồi phương pháp Phần tử hữu hạn; lý thuyết toán điều khiển tối ưu cho lớp phương trình elliptic, chứng minh tồn điều kiện cần bậc nghiệm tối ưu với phương trình đàn hồi tuyến tính - Xây dựng lược đồ giải số đánh giá sai số cho toán điều khiển tối ưu miền biên phương trình đàn hồi - Viết chương trình lập trình FreeFem++ xây dựng ví dụ mơ số cho tốn điều khiển tối ưu với biến điều khiển miền biên không gian hai chiều ba chiều Ý thức làm việc sinh viên - Tích cực trao đổi với giảng viên chủ động tìm thêm tài liệu tham khảo - Hồn thành tốt cơng việc Đồ án Hà Nội, tháng năm 2022 Giảng viên hướng dẫn TS Tạ Thị Thanh Mai Lời cảm ơn Nhìn lại thời gian năm học tập trưởng thành giảng đường Đại học Bách khoa Hà Nội, từ cậu học sinh đỗ soát, trở thành tân sinh viên Viện Toán ứng dụng Tin học, ngày hôm nay, tác giả bày tỏ biết ơn trân trọng tới thầy cô Em cảm ơn thầy cô giảng dạy, hướng dẫn, quan tâm tạo điều kiện cho em Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên hướng dẫn, TS Tạ Thị Thanh Mai, Bộ mơn Tốn ứng dụng, Viện Tốn ứng dụng Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội Em cảm ơn Cô nhẫn nại bảo, dạy dỗ em khái niệm trừu tượng; lắng nghe định hướng điều tốt đẹp cho em Em cảm ơn Cô bên cạnh, cho em cách tạo cảm hứng công việc giữ đam mê học tập, nghiên cứu khoa học Do thời gian có hạn kiến thức cịn hạn chế nên đồ án khơng tránh khỏi cịn thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý, nhận xét thầy để hồn thiện đồ án tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2022 Tác giả đồ án Nguyễn Quang Huy Lời cam đoan Tác giả xin cam đoan đồ án tốt nghiệp Thuật toán số giải toán điều khiển tối ưu phương trình đàn hồi tuyến tính cơng trình nghiên cứu hướng dẫn khoa học TS Tạ Thị Thanh Mai Tất tài liệu tham khảo tác giả liệt kê rõ phần cuối đồ án Các nội dung trình bày đồ án trung thực không chép người khác Nếu phát có gian lận nào, tác giả xin chịu hoàn toàn trách nhiệm trước Hội đồng, kết đồ án Hà Nội, tháng năm 2022 Tác giả đồ án Nguyễn Quang Huy Tóm tắt nội dung đồ án Trình bày kiến thức không gian hàm, hội tụ không gian tơ pơ yếu, tốn tối ưu khơng gian Banach tổng qt Trình bày tính đặt chỉnh tốn đàn hồi tuyến tính, tính chất nghiệm yếu công thức đánh giá sai số phương pháp phần tử hữu hạn Giới thiệu tốn điều khiển tối ưu với phương trình đàn hồi tuyến tính nghiên cứu điều kiện cần bậc nghiệm tối ưu Đưa phương pháp rời rạc biến điều khiển toán điều khiển tối ưu với phương trình đàn hồi tuyến tính công thức đánh giá sai số dựa phép chiếu không gian Hilbert Đề xuất lược đồ giải số toán điều khiển tối ưu, kết hợp phương pháp tìm kiếm theo đường phương pháp biến phân Đưa mô số minh hoạ không gian hai ba chiều lập trình phần mềm FreeFem++ Hà Nội, tháng năm 2022 Tác giả đồ án Nguyễn Quang Huy Mục lục Bảng ký hiệu chữ viết tắt ii Danh sách bảng iv Danh sách hình vẽ v Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Không gian Sobolev–Slobodeckij 13 Ánh xạ tuyến tính 14 1.2.1 Toán tử tuyến tính liên tục phiếm hàm 14 1.2.2 Hội tụ yếu 18 1.2.3 Toán tử liên hợp 22 Bài tốn quy hoạch tồn phương không gian Hilbert 24 1.3.1 Tính khả vi khơng gian Banach 24 1.3.2 Điều kiện cần bậc tốn quy hoạch tồn phương 29 Chương Phương trình đàn hồi tuyến tính 2.1 2.2 31 Bài toán yếu 31 2.1.1 Mơ hình vật lý 31 2.1.2 Công thức yếu toán biên hỗn hợp 33 Nghiệm yếu phương trình đàn hồi 34 2.2.1 Bổ đề Lax-Milgram 34 2.2.2 Tính đặt chỉnh tốn 37 2.2.3 2.3 Tính quy nghiệm yếu 39 Phương pháp phần tử hữu hạn 41 Chương Bài tốn điều khiển tối ưu với phương trình đàn hồi tuyến tính 3.1 3.2 3.3 3.4 Phát biểu toán 44 3.1.1 Bài toán điều khiển miền 44 3.1.2 Bài toán điều khiển biên 45 Các kết nghiệm tối ưu 45 3.2.1 Sự tồn nghiệm điều kiện tối ưu cần bậc 45 3.2.2 Tính quy nghiệm 48 Đánh giá sai số phương pháp rời rạc 49 3.3.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc 50 3.3.2 Công thức đánh giá sai số 51 Thuật toán điều khiển tối ưu 56 Chương Các ví dụ số 4.1 4.2 44 58 Minh hoạ không gian chiều 59 4.1.1 Biến dạng ngang đĩa 59 4.1.2 Uốn lực tuần hoàn 61 4.1.3 Nâng hình chữ nhật 63 Minh hoạ không gian chiều 65 4.2.1 Biến dạng dầm theo hướng 65 4.2.2 Biến dạng vật thể lực biên 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 i Bảng ký hiệu chữ viết tắt Rm Không gian véc tơ thực m chiều I ε (u) Ma trận đơn vị Ứng suất biến dạng theo véc tơ u σ (u) A⊤ Ứng suất cắt theo véc tơ u Chuyển vị ma trận A tr (A) u·v Vết ma trận A Tích vơ hướng hai véc tơ u v Rm u:v u◦v Tích vơ hướng Frobenius hai véc tơ u v Rm
u : v = tr uv⊤ Tích Hadamard hai véc tơ u v Rm u ◦ v = ∂i u m (ui vi )⊤ 1≤i≤m ∈ R Đạo hàm yếu véc tơ u theo biến xi ∂i j u ∂αu Đạo hàm cấp véc tơ u theo biến xi x j ∂xα11 ∂xα22 ∂xαmm u α = (α1 , α2 , , αm ) ∈ Nm đa |α| số Độ dài đa số |α| = α1 + α2 + + αm ∆u Toán tử Gradient ∇u = (∂ j ui )1≤i, j≤m ∈ Rm×m  ⊤ m Tốn tử Divergence div (u) = ∑ j=1 ∂ j ui ∈ Rm 1≤i≤m  ⊤ m Toán tử Laplace ∆u = ∑ j=1 ∂ j j ui ∈ Rm (u, v)X Tích vơ hướng hai véc tơ u v không gian X f ◦g Ánh xạ hợp f g T∗ F ′ (u) Toán tử liên hợp toán tử T Đạo hàm Gâteaux ánh xạ F phần tử u thuộc không S gian Banach (trong đồ án đạo hàm Fréchet) Toán tử biểu diễn biến điều khiển theo biến trạng thái Ω Miền Lipschitz bị chặn ∇u div (u) 1≤i≤m ii Γ Biên miền Ω Ω n Bao đóng Ω Véc tơ đơn vị Γ L (E, F) X∗ Khơng gian véc tơ tốn tử tuyến tính bị chặn từ E vào F Đối ngẫu tô pô không gian tô pô X Ck (Ω) C0k (Ω) Không gian hàm thực khả vi liên tục tới cấp k Ω Không gian hàm thuộc Ck (Ω) có giá compact Ω C0∞ (Ω) gọi không gian hàm thử Ck,α (Ω) Không gian hm cú o hm ti cp k liờn tc Hăolder địa phương bậc α Ω L p (Ω) (Ω) Lloc Khơng gian hàm thực khả tích Lebesgue bậc p Ω Không gian hàm thực khả tích Lebesgue địa phương W k,p (Ω) Ω Khơng gian Sobolev: Không gian hàm u ∈ L p (Ω) có L p (Ω) đạo hàm tới cấp k thuộc L p (Ω) Ký hiệu H k (Ω) := W k,2 (Ω) Không gian hàm véc tơ Rm có thành phần khả Hk (Ω) tích Lebesgue bậc p Ω Không gian hàm véc tơ Rm có thành phần có đạo hàm tới cấp k thuộc L2 (Ω) Chú ý H0 (Ω) = L2 (Ω) ∥u∥Hk (Ω) Chuẩn không gian Sobolev Hk (Ω): ∥u∥Hk (Ω) = ρ(T ) σ (T ) ∑l≤k ∑|α|=l ( Ω |∂ α u| p dx) p Đường kính tập T Đường kính hình cầu lớn chứa T (Th )h>0
ˆ P, ˆ Σˆ K, Họ lưới xấp xỉ Phần tử hữu hạn tham chiếu P[a,b] Phép chiếu từ Rm lên [a, b]: P[a,b] (u) = {b, max {a, u}} Πh λ Phép chiếu lên khơng gian khả tích bình phương Hệ số chỉnh hố Tikhonov κ, µ E Các số Lamé vật liệu Mô đun Young vật liệu ν IPOPT Tỷ số Poisson vật liệu Internal Point OPTimizer: Thư viện giải toán tối ưu phi R tuyến kích thước lớn iii Định lý 3.6 Nếu fh nghiệm (3.18) phương trình liên hợp rời rạc Z (uh − uΩ ) v dx, a (ph , v) = Ω ∀v ∈ H1ΓD (Ω) (3.19)
có nghiệm ph := p fh cho bất đẳng thức biến thiên sau Z λ f h + α ◦ ph

fh − fh dx ≥ 0, ∀fh ∈ Fad h (3.20) Ω thoả mãn Bài toán điều khiển biên Tương tự, ta xét phép rời rạc không gian với tập Gh ký hiệu Gad h = Gh ∩ Gad Với gh ∈ Gad h , ta ký hiệu uh := u(gh ) phần tử thuộc H1ΓD (Ω) thỏa mãn toán yếu Z (β ◦ gh ) v ds, a (uh , v) = ΓN ∀v ∈ H1ΓD (Ω), (3.21) a dạng song tuyến (2.6) Theo cách tiếp cận mục trước, ta tìm điều kiện tối ưu sau Định lý 3.7 Gọi gh nghiệm tối ưu toán rời rạc λ J(gh ) = ∥uh − uΩ ∥2L2 (Ω) + ∥gh ∥2L2 (ΓN ) 2 gh ∈Gad h (3.22) Khi đó, tồn ph := p (gh ) thỏa mãn phương trình liên hợp Z a (ph , v) = (uh − uΩ ) v dx, Ω ∀v ∈ H1ΓD (Ω), (3.23) cho bất đẳng thức biến phân sau Z (λ gh + β ◦ ph ) (gh − gh ) ds ≥ 0, ∀gh ∈ Gad h (3.24) ΓN 3.3.2 Công thức đánh giá sai số Bài toán điều khiển miền Bây ta có đủ cơng cụ để trình bày kết đồ án Từ Bổ đề 3.1, ta thấy nghiệm tối ưu thuộc không gian H1 (Ω) Để rời 51 rạc biến điều khiển, gọi Πh : H1 (Ω) → L2 (Ω) toán tử chiếu L2 lên không gian hàm bước, xác định Πh f(x) = |T | Z f (τ)dτ, x ∈ T, T T ∈ Th , (3.25) |T | độ đo Lebesgue T , xem [5] Từ Định lý 15.3 [20], tồn số c cho ∥Πh f − f∥L2 (Ω) ≤ ch∥f∥H1 (Ω) (3.26) với f ∈ H1 (Ω) Định lý 3.8 Nếu giả thiết tốn (3.1) - (3.3) thỏa mãn, tồn số cf tùy thuộc vào f H1 (Ω) không phụ thuộc vào h fh cho f − fh ≤ cf h L (Ω) Chứng minh Bằng cách chọn f = fh (3.10) fh = Πh f (3.20), ta thu α ◦ p + λ f, fh − f
L2 (Ω) ≥ 0, α ◦ ph + λ fh , Πh f − fh
L2 (Ω) ≥ Ta viết lại bất đẳng thức thứ hai dạng

α ◦ ph + λ fh , f − fh L2 (Ω) + α ◦ ph + λ fh , Πh f − f L2 (Ω) ≥ 0, cộng với bất đẳng thức Khi đó, ta có
α ◦ p − α ◦ ph , fh − f L2 (Ω) − λ f − fh L2 (Ω)
+ α ◦ ph + λ fh , Πh f − f L2 (Ω) ≥ Từ phương trình liên hợp (3.9), ta có


α ◦ p − α ◦ ph = S∗ Sf − uΩ − S∗ Sfh − uΩ = S∗ S f − fh Khi số hạng bất đẳng thức


α ◦ p − α ◦ ph , fh − f L2 (Ω) = S∗ S f − fh , fh − f L2 (Ω)
= −∥S f − fh ∥2L2 (Ω) ≤ Mặt khác, để ý theo tính chất trực giao ta có (fh , Πh f − f)L2 (Ω) = 0, ∀f ∈ L2 (Ω), ∀fh ∈ Πh L2 (Ω), (3.27) 52 suy
λ f − fh L2 (Ω) ≤ α ◦ ph , Πh f − f L2 (Ω) Như vậy,
λ f − fh L2 (Ω) ≤ α ◦ ph , Πh f − f L2 (Ω)
= α ◦ ph − Πh (α ◦ ph ) , Πh f − f L2 (Ω)
+ Πh (α ◦ ph ) , Πh f − f L2 (Ω) ≤ ∥α ◦ ph − Πh (α ◦ ph )∥L2 (Ω) Πh f − f L2 (Ω) , ≤ (ch)2 ∥α ◦ ph ∥H1 (Ω) f H1 (Ω) , từ (3.26) từ (3.27), Cuối cùng, từ (2.13) ta có đánh giá sau với số c   ∥α ◦ ph ∥H1 (Ω) ≤ c ∥ph ∥H1 (Ω) ≤ c ∥uh ∥L2 (Ω) + ∥uΩ ∥L2 (Ω)   ≤ c fh L2 (Ω) + ∥uΩ ∥L2 (Ω) ≤ c Fad bị chặn Tóm lại, ta thu kết Định lý, cf phụ thuộc h vào f H1 (Ω) Bài toán điều khiển biên Lúc này, sử dụng Bổ đề 3.2 độ trơn H1−ε nghiệm tối ưu g khơng đủ để sử dụng tốn tử chiếu Πh (3.25) đánh (3.26) Để thu đánh giá sai số lý thuyết, ta sử dụng phép nội suy giới thiệu Scott Zhang [21], định nghĩa phù hợp cho hàm không trơn Mở rộng kết cho hàm véc tơ, ta xét không gian đa thức phần tử: 
Gh = g ∈ C0 Γ | g đa thức bậc tối đa r ΓT , T ∈ ThB Gọi {xi }Ni=1 nút lưới {ϕi }Ni=1 sở nút Gh Ta chọn cho nút xi phân hoạch σi ⊂ Γ định nghĩa phép chiếu L2 (σi ) Πσi g ∈ Gh |σi xác định ∥g − Πσi g∥L2 (σi ) = ∥g − w∥L2 (σi ) w∈ Gh |σ i Biểu diễn (Πσi g) (xi ) cho cách sử dụng hàm (duy nhất) ψi ∈ Gh |σi thoả mãn Z ψi ϕ j dτ = δi j σi 53 Điều kiện chứng tỏ Π toán tử chiếu Gh , xem Định lý 2.1 [21] Ngồi ta có Z (Πσi g) (xi ) = gψ i dτ σi Vì g ∈ H1−ε (ΓN ), toán tử Scott - Zhang Πh : H1−ε (ΓN ) → L2 (ΓN ) định nghĩa Z  Πh g = ∑ (Πσi g) (xi ) ϕi = ∑ g (τ) ψi (τ) dτ ϕi (3.28) i i σi
Từ Hệ 3.4 [22], với ε ∈ 0, 12 cho trước, tồn số c cho ∥g − Πh g∥L2 (ΓN ) ≤ ch1−ε ∥g∥H1−ε (ΓN ) (3.29) Tiếp tục chứng minh Định lý 3.8, ta thu được: Định lý 3.9 Giả sử giả thiết Bổ đề 3.2 thoả mãn Với ε ∈ 0, 12 cho trước, tồn số cg không phụ thuộc vào h gh cho:
∥g − gh ∥L2 (ΓN ) ≤ cg h1−ε , g gh tương ứng nghiệm tối ưu toán (3.4) - (3.6) (3.22) Đánh giá sai số tổng thể Nhớ lại tốn (3.18) (3.22), có biến điều khiển rời rạc Trong đó, hiển nhiên toán, ta phải rời rạc biến trạng thái Trong bổ đề tiếp theo, ta nghiên cứu cách tiếp cận để đánh giá sai số phép rời rạc tổng thể toán Ở đây, giả sử ta giải phương trình trạng thái phương trình liên hợp với sai số cho phép δ˜ Làm tương tự Bổ đề [13] Với tốn điều khiển miền, ta chứng minh Bổ đề 3.3 Gọi ˜fh nghiệm toán:

S∗ S˜fh − uΩ + ˜f + λ ˜fh , fh − ˜fh L2 (Ω) ≥ 0, ∀fh ∈ Fad h , (3.30) ∥˜f∥L2 (Ω) ≤ δ˜ Khi đánh giá sai số sau ˜ fh − ˜fh ≤ δ L (Ω) λ (3.31) 54 Chứng minh Ta xét bất đẳng thức biến phân (3.30) với hàm fh (3.20) với hàm ˜fh để có được:

S∗ S˜fh − uΩ + ˜f + λ ˜fh , fh − ˜fh L2 (Ω) ≥ 0,

S∗ Sfh − uΩ + λ fh , ˜fh − fh L2 (Ω) ≥ Ta cộng hai bất đẳng thức lại


S∗ S ˜fh − fh + ˜f + λ ˜fh − fh , fh − ˜fh L2 (Ω) ≥ Suy
2 λ fh − ˜fh L2 (Ω) + S ˜fh − fh L2 (Ω) ≤ ∥˜f∥L2 (Ω) fh − ˜fh L2 (Ω) , thu điều phải chứng minh Với tốn điều khiển biên, ta có kết tương tự Bổ đề 3.4 Cho g˜ h nghiệm toán (S∗ (S˜gh − uΩ ) + g˜ + λ g˜ h , gh − g˜ h )L2 (ΓN ) ≥ 0, ∀gh ∈ Gad h ∥˜g∥L2 (ΓN ) ≤ δ˜ Khi đó, ta có đánh giá sau δ˜ ∥gh − g˜ h ∥L2 (ΓN ) ≤ λ (3.32) Sai số tổng thể tổng hai sai số Sai số sai số xấp xỉ f (tương ứng g) fh (tương ứng gh ) Sai số thứ hai tạo rời rạc phương trình trạng thái đánh giá Bổ đề 3.3 (tương ứng Bổ đề 3.4) Sai số thứ hai đánh giá số trường hợp cụ thể Ở đây, ta giả sử tham số rời rạc biến điều khiển h cố định Khi đó, kích thước lưới h˜ cho phương trình trạng thái hiệu chỉnh để lưới mịn cần thiết Tác giả nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn cho phương
trình (2.4) với giả sử Ω đa diện lồi lưới tam giác Th˜ quy ad Lưu ý tập chấp nhận rời rạc Fad h , Gh trơn định, điều hữu ích để xây dựng đánh giá sai số Xét trường hợp vật liệu giữ cứng Γ Giả sử nghiệm u thuộc H1+s (Ω) xấp xỉ đa thức bậc r, với s ∈ (0, r] 55 Như Ern Guermond ra, xem Định lý (2.8), đóng góp phương pháp phần tử hữu hạn vào sai số theo bậc h˜ 1+s Khi đó, ta có f − ˜fh ≤ γ1 h + γ2 h˜ 1+s , L (Ω) γ1 , γ2 độc lập với h, h˜ ˜fh Đánh giá khơng cần phải chọn kích thước lưới rời rạc biến trạng thái lớn biến điều khiển 3.4 Thuật toán điều khiển tối ưu Trong phần này, tác giả đề xuất lược đồ số cho toán điều khiển tối ưu dựa kết hợp nguyên lý biến phân phương pháp điểm [23] Các phương pháp điểm phù hợp để giải tốn quy hoạch tồn phương chúng phát huy mạnh kích thước tốn lớn dần, điều khiến chúng trở thành ứng cử viên hoàn hảo cho toán điều khiển tối ưu ràng buộc phương trình đạo hàm riêng Algorithm Thuật toán số cho toán điều khiển tối ưu Khởi tạo: n = 0, xấp xỉ đầu w0 , véc tơ wa , wb miền tính tốn Tˆh 1: repeat 2: Giải tốn đàn hồi tuyến tính (3.3) (hoặc (3.5)) để tìm nghiệm unh 3: 4: Giải tốn liên hợp (3.9) (hoặc (3.13)) tìm pnh
Cập nhật gradient rút gọn Jh′ wnh theo cơng thức (3.11) (hoặc (3.15)) 5: thuật tốn điểm tìm kiếm theo đường có lọc Tìm wn+1 h 6: n = n + 7: until Hội tụ return: wn+1 h Vì hai tốn điều khiển miền biên giải theo cách, ta ký hiệu chung w biến điều khiển (w f g toán tương ứng) Đầu tiên, ràng buộc bất đẳng thức (3.2) (hoặc (3.6)) xử lý cách sử dụng hàm chắn logarit tốn (3.1) - (3.3) (hoặc toán (3.4) - (3.6)) giải cách giải dãy toán Trạng thái u khử cách sử dụng toán thuận (3.3) (hoặc tốn 56 (3.5)) Khi đó, ta giải tốn tối ưu có ràng buộc cách sử dụng phương pháp điểm Điểm Karush-Kuhn-Tucker đạt cách áp dụng phương pháp kiểu Newton, Hessian xấp xỉ phương pháp L-BFGS Khi tìm thấy hướng giảm, độ dài bước tính phương pháp Armijo kết hợp với lọc Tài liệu [23] trình bày chi tiết thuật tốn điểm Thuật toán cài đặt thư viện IPOPT Để trực quan, tác giả mơ tả thuật tốn đề xuất cho toán điều khiển tối ưu với cấu trúc đàn hồi tuyến tính sơ đồ mã giả Hơn nữa, cách tiếp cận mở rộng sang phân tích cấu trúc phức tạp áp dụng cho lớp rộng tốn điều khiển tối ưu có ràng buộc phương trình đạo hàm riêng 57 Chương Các ví dụ số Trong phần này, ta trình bày số thử nghiệm số để kiểm tra lược đồ đề xuất việc giải toán điều khiển miền toán điều khiển biên Tác giả xét vật liệu đàn hồi hai chiều ba chiều nhiều loại lực tác động khác Lược đồ dựa Phương pháp phần tử hữu hạn triển khai phần mềm FreeFEM ++, xem [24] Trong Bảng 4.1, ta liệt kê tham số mơ hình đàn hồi tuyến tính mơ đun Young, tỷ số Poisson hệ số chỉnh hố cho trường hợp Khơng có quy tắc chung cho cách lựa chọn λ , điều phụ thuộc vào trường hợp cụ thể Trong ví dụ, ta cố định tham số số dương Theo quan điểm số, λ thường chọn số nhỏ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Mơ đun Young E 20 × 105 105 20 × 105 21 × 105 21 × 105 Tỷ số Poisson ν 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 10−9 10−6 10−9 10−9 10−7 Tham số λ Bảng 4.1: Các tham số dùng ví dụ Để kiểm tra thuật tốn, ta so sánh hình dạng tính với hình dạng mong muốn nhận từ nghiệm uΩ toán thuận (3.3) (3.5) Dưới đây, bốn ví dụ minh họa hiệu lược đồ việc giải toán điều khiển miền 58 4.1 4.1.1 Minh hoạ không gian chiều Biến dạng ngang đĩa Ví dụ đầu tiên, xét biến dạng ngang đĩa hình chữ nhật, hai chiều  với lỗ hình trịn Ω = [0; 20] × [−1; 1] \ (x − 10)2 + y2 ≤ 0, 25 Miền rời rạc đĩa mô tả Hình 4.1 Ern Guermond xét tốn thuận Giả sử mặt bên trái bị giữ cứng khơng có ứng suất pháp tuyến đặt ba mặt cịn lại Để xét tốn điều khiển tối ưu, ta tác động lực f = (300; 0)⊤ miền để có trường dịch chuyển mong muốn uΩ , thể Hình 4.2 Chọn véc tơ hệ số α = 1, tập chấp nhận fa = (200; 0)⊤ , fb = (400; 0)⊤ xấp xỉ đầu f0 = (200; 0)⊤ Hình 4.1: Đĩa có lỗ: Trạng thái khơng biến dạng miền Hình 4.2: Đĩa có lỗ: Biến dạng mong muốn đĩa Ta áp dụng lược đồ thu hình dạng biến dạng Hình 4.3, rõ ràng tốt để mô trạng thái mong muốn Đồ thị thể hội tụ qua 25 lần lặp J (f) vẽ Hình 4.4 Ta quan sát thấy thuật toán hội tụ nhanh Hình 4.3: Đĩa có lỗ: Hình dạng mong muốn (cam) hình dạng tính (xanh lá) véc tơ α (x) sử dụng để hạn chế miền điều khiển Ví dụ, ta đặt:  1, x ∈ [15; 20] × [−1; 1], α(x) = 0, ngược lại chạy thuật tốn Kết mơ tả Hình 4.5 Hình cho thấy rõ ràng việc tác động ngoại lực phía bên phải đĩa dẫn đến biến dạng 59 0.00175 Objective functional 0.0017 0.00165 0.0016 0.00155 0.0015 0.00145 0.0014 0.00135 0.0013 10 15 20 25 30 Hình 4.4: Đĩa có lỗ: Sự hội tụ J (f) qua lần lặp theo chiều ngang Thuật tốn dường hội tụ nhanh so với trường hợp trước (Hình 4.6), giá trị hàm mục tiêu lớn Bởi ta giới hạn biến điều khiển lực theo phương ngang miền bên phải, nên tích phân hàm mục tiêu (3.1) đơn giản hóa trình tối ưu thời gian Mặt khác, biến dạng nhỏ so với trường hợp trước, dẫn đến khác biệt lớn hình dạng mong muốn hình dạng tính Hình 4.5: Đĩa có lỗ: Hình dạng mong muốn (cam) hình dạng tính (xanh lá) (điều khiển miền con) 0.0052 Objective functional 0.005 0.0048 0.0046 0.0044 0.0042 0.004 0.0038 0.0036 0.0034 0.0032 10 15 20 25 Hình 4.6: Đĩa có lỗ: Sự hội tụ J (f) qua lần lặp (điều khiển miền con) Kết mô cho thấy hình dạng tính phụ thuộc vào miền điều khiển Nhưng để đơn giản, từ ta giả sử biến điều khiển tác động toàn miền (hoặc biên), tức α = β = 60 4.1.2 Uốn lực tuần hoàn Trong ví dụ này, ta mơ biến dạng phức tạp vật liệu Cho hình chữ nhật Ω = [0; 20] × [0; 1] có hai biên x = x = 20   πx ⊤ giữ cứng lại Ta tác động lực uốn f = 0; 2000 sin miền để có trường dịch chuyển mong muốn uΩ Thanh chưa biến dạng biến dạng đến trạng thái mong muốn vẽ Hình 4.7 Ta thấy trường hợp này, ta nhận hình dạng "tuần hoàn" tác động ngoại lực tuần hoàn Ta giải toán điều khiển tối ưu tập chấp nhận n o ⊤ ⊤ Fad = (0; −2000) ≤ f ≤ (0; 2000) Với xấp xỉ đầu f0 = (0; 200)⊤ , ta có hình dạng tính với hình dạng mong muốn Hình 4.8 Đồ thị thể hội tụ hàm mục tiêu vẽ Hình 4.9 Ta thấy khác biệt hai hình dạng biến dạng đáng kể, thuật toán hội tụ nhanh Điều ảnh hưởng tham số λ tới hội tụ thuật tốn Hình 4.7: Tác động lực tuần hoàn: Biến dạng mong muốn Hình 4.8: Tác động lực tuần hồn: Hình dạng mong muốn (cam) hình dạng tính (xanh lá) Để quan sát ảnh hưởng tham số việc cải thiện hình dạng tính Hình 4.8, ta chạy thuật tốn với giá trị khác λ Các hình dạng tính với λ = 10−7 10−8 thể Hình 4.10 Hình 4.11 Đồ thị thể hội tụ hàm mục tiêu vẽ Hình 4.12a Hình 4.12b Những kết kết luận trình tối 61 400 Objective functional 350 300 250 200 150 100 50 0 10 15 20 25 30 Hình 4.9: Tác động lực tuần hồn: Sự hội tụ J (f) qua lần lặp ưu phụ thuộc vào tham số chỉnh hoá λ Ta thấy hình dạng tính mơ xác hình dạng mong muốn hàm mục tiêu hội tụ chậm λ giảm Hình 4.10: Tác động lực tuần hồn: Hình dạng mong muốn (cam) hình dạng tính (xanh lá) với λ = 10−7 Hình 4.11: Tác động lực tuần hồn: Hình dạng mong muốn (cam) hình dạng tính (xanh lá) với λ = 10−8 Trong ví dụ tiếp theo, ta áp dụng lược đồ để giải toán điều khiển tối ưu khơng có ràng buộc điều khiển Các tập chấp nhận Fad Gad khơng cịn bị chặn trường hợp Tuy nhiên, ta có nghiệm tối ưu λ > 0, theo kết Định lý 2.16 [16] 62 400 400 Objective functional Objective functional 350 350 300 300 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 (a) Tham số λ = 10−7 90 50 100 150 200 250 300 350 400 (b) Tham số λ = 10−8 Hình 4.12: Tác động lực tuần hoàn: Sự hội tụ J (f) qua lần lặp với giá trị λ khác 4.1.3 Nâng hình chữ nhật Ví dụ mơ biến dạng nâng hình chữ nhật, miền ban đầu Ω = [0; 2] × [0; 0, 1] Ta mô tả trường dịch chuyển mong muốn:  0.2, 1.5 < x ≤ 2, (4.1) uΩ = (0; u2 ), với u2 (x, y) = 2x  , ≤ x ≤ 1.5 15 Hình dạng mong muốn vẽ Hình 4.13, phần tư bên phải nâng lên lên độ cao h = 0, Hình 4.13: Nâng hình chữ nhật: Hình dạng mong muốn thanh, mô tả (4.1) Giả sử mặt trái bị giữ cứng mặt cịn lại khơng có lực tác động Chạy thuật toán với xấp xỉ đầu f0 = (0; 10)⊤ , ta thu hình dạng Hình 4.14 Từ Hình 4.15, ta thấy hình dạng tính giống hình dạng mong muốn Đồ thị thể hội tụ hàm mục tiêu J cung cấp Hình 4.16 Từ cơng thức chiếu (3.12) (3.16), ta thấy nghiệm tối ưu thay đổi phụ thuộc vào tập chấp nhận Để kiểm tra nhận định này, ta giải toán 63 Hình 4.14: Nâng hình chữ nhật: Hình dạng tính Hình 4.15: Nâng hình chữ nhật: Hình dạng mong muốn (vàng) hình dạng tính (đỏ) 0.04 Objective functional 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 10 15 20 25 Hình 4.16: Nâng hình chữ nhật: Sự hội tụ J (f) qua lần lặp 64 tập khác nhau: F1ad n o ⊤ ⊤ = (−1000; 0) ≤ f ≤ (1000; 0) F2ad n o ⊤ ⊤ = (−2000; 0) ≤ f ≤ (2000; 0) Trong tập đầu tiên, ta thu hình dạng biến dạng Hình 4.17, khác biệt đáng kể Trong tập thứ hai, kết cung cấp Hình 4.18 So sánh với Hình 4.15, ta nhận thấy hình dạng tính mơ tốt hình dạng mong muốn trường hợp tập chấp nhận không bị chặn, điều rõ ràng hợp lý Hình 4.17: Nâng hình chữ nhật: Hình dạng mong muốn (vàng) hình dạng tính (đỏ) với F1ad Hình 4.18: Nâng hình chữ nhật: Hình dạng mong muốn (vàng) hình dạng tính (đỏ) với F2ad 4.2 4.2.1 Minh hoạ không gian chiều Biến dạng dầm theo hướng Bây ta xét dầm không gian chiều có dạng hình hộp Ω = [0; 0, 2] × [0; 0, 2] × [0; 2], minh hoạ Hình 4.19a Giả sử phần bị giữ cứng bề mặt bên ngoại lực tác động miền Hình 4.19b vẽ hình dạng mong muốn sau dầm bị biến dạng với trường dịch chuyển:  uΩ = arcsin (z/2) ; 0; 1.5π ⊤ 65