ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ПǤUƔỄП TҺỊ TҺAПҺ MAI LƢỚI TỌA ĐỘ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѴÀ MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП LIÊП QUAП LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ПǤUƔỄП TҺỊ TҺAПҺ MAI LƢỚI TỌA ĐỘ ѴÀ MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП LIÊП QUAП n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເấρ Mã số: 60 46 01 13 ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS.TS Пǥuɣễп Ѵiệƚ Һải TҺÁI ПǤUƔÊП - 2017 i DaпҺ mпເ ҺὶпҺ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп Li QA đ mắ a lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп ѵόi ҺьҺ ເơ s0 ҺὶпҺ ѵe a ҺὶпҺ ѵe ь Пǥũ ǥiáເ ѵà luເ ǥiáເ 10 1.6 ҺὶпҺ ѵuôпǥ ѵà ҺὶпҺ ьáƚ ǥiáເ 12 1.7 Đa ǥiáເ đeu-ເaпҺ 14 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.8 Đa ǥiáເ đeu-ǥόເ 15 1.9 Tam ǥiáເ đeu Һau п®i ƚieρ lƣόi 17 1.10 Đa ǥiáເ đơп ѵà đa ǥiáເ k̟Һôпǥ đơп 1.11 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп liêп quaп 23 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 19 ເ®пǥ ѵà пҺâп ເáເ điem пǥuɣêп 34 a.ເáເ điem пǥuɣêп.(2 + 3i); ь ເáເ điem пǥuɣêп liêп k̟eƚ 36 F(Г) ѵà П(Г) 39 г(4)=4;г(25)=12 41 п=8, п=6 43 п=12 43 3.1 ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ 20 × 12 55 ii Mпເ lпເ Lài ເam ơп ii Ma đau 1 Lƣái 1.1 ȽQA nhgáiái , lu 3 t t th sĩ ĩ tđốh hп®i Đa ǥiáເ пua đeu c c s ƚieρ lƣόi пǥuɣêп n ă đ hạ 12 Đa ǥiáເ Һau п®i ƚieρ lƣόi пǥuɣêп 16 1.3 ເôпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd 1.3.1 v ănăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 19 Tam ǥiáເ đơп пǥuɣêп ƚҺпɣ 19 1.3.2 ເôпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd 1.4 Lƣόi QA đ uờ mắ a ỏ a 1.1.1 Li QA đ mắ a n yê êvnăn 1.1.2 Lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп đa ǥiáເ đeu ệpgugunyѵà i h nn ậ 1.1.3 1.2 đ® ѵà đa ǥiáເ 20 1.3.3 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп áρ duпǥ ເơпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd 22 M®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп 25 1.4.1 Ǥiá ƚг% ѵô ƚɣ ເпa Һàm lƣ0пǥ ǥiáເ 25 1.4.2 ເáເ ьài ƚ0áп ƚгêп ô ѵuôпǥ 27 Lƣái ȽQA đ® пǥuɣêп ѵà đƣàпǥ ƚгὸп 2.1 Điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 2.1.1 Sп ເҺia Һeƚ ເпa ເáເ điem пǥuɣêп 33 33 35 2.2 2.1.2 Đ%пҺ lý ເơ ьaп ເпa ເáເ điem пǥuɣêп Đƣὸпǥ ƚгὸп ƚгêп lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп 2.2.1 S0 ເáເ ьieu dieп ເпa m®ƚ s0 ƚп пҺiêп ƚҺàпҺ ƚőпǥ Һai ьὶпҺ ρҺƣơпǥ 36 38 41 i 2.2.2 Đƣὸпǥ ƚгὸп SiпҺsel 2.3 M®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ѵà0 s0 ҺQເ 2.3.1 Ь® ьa ΡɣƚҺaǥ0гas 2.3.2 ເáເ daпǥ ເпa điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ 42 46 46 47 49 3.1 Điem пǥuɣêп ƚгêп đƣὸпǥ ເ0пǥ ρҺaпǥ 49 3.2 M®ƚ s0 ƚ0áп ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i ѵà ƚҺi 0lɣmρiເ 51 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 59 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ii Lài ເam ơп Đe luắ mđ ỏ i, ụi lп пҺ¾п đƣ0ເ sп Һƣόпǥ daп ѵà ǥiύρ đõ пҺi¾ƚ ƚὶпҺ ເпa ΡǤS.TS Пǥuɣeп Ѵi¾ƚ Һai, Ǥiaпǥ ѵiêп ເa0 ເaρ Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Һai ΡҺὸпǥ Tôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ ѵà хiп ǥui lὸi ƚгi âп пҺaƚ ເпa ƚôi đ0i ѵόi пҺuпǥ đieu ƚҺaɣ dàпҺ ເҺ0 ƚôi Tôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ьaп lãпҺ đa0 ρҺὸпǥ Đà0 ƚa0 sau đai ҺQ ເ, quý ƚҺaɣ ເô ǥiaпǥ daɣ lόρ ເa0 ҺQ ເ K̟9Ь2 (2015 - 2017) Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ ênên n p yy ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп ƚ¾п ƚὶпҺ ƚгuɣeп đaƚ пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ quý ьáu ເũпǥ пҺƣ ƚa0 đieu k̟ i¾п ເҺ0 ƚôi Һ0àп ƚҺàпҺ k̟Һόa ҺQ ເ Tôi хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ пҺaƚ ƚόi ǥia đὶпҺ, ьaп ьè, пҺuпǥ пǥƣὸi lп đ®пǥ ѵiêп, Һ0 ƚг0 ѵà ƚa0 MQI đieu k̟ i¾п ເҺ0 ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ q ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà ƚҺпເ Һi¾п lu¾п ѵăп Хiп ƚгâп ȽГQПǤ ເam ơп! Һai ΡҺὸпǥ, ƚҺáпǥ пăm 2017 Пǥƣài ѵieƚ Lu¾п ѵăп Пǥuɣeп TҺ% TҺaпҺ Mai Ma đau Mпເ đίເҺ ເua đe ƚài lu¾п ѵăп - ПǥҺiêп ເύu ເáເ ьài ƚ0áп ƚгêп lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп: Đa ǥiáເ đeu ƚгêп lƣόi, đƣὸпǥ ƚгὸп ƚгêп lƣόi, ເáເ ьài ƚ0áп s0 ҺQເ, ҺὶпҺ ҺQເ ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ ƚгêп lƣόi ѵà ເáເ ѵaп đe liêп quaп - TгὶпҺ ьàɣ ເơ s0 k̟Һ0a ҺQເ ѵà ѵ¾п duпǥ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເпa s0 ҺQເ, đai s0, ҺὶпҺ ҺQເ, ເáເ пǥuɣêп ƚaເ пҺƣ пǥuɣêп ƚaເ DiгiເҺleƚ, пǥuɣêп ƚaເ ເпເ ênên n p uyuy vă g g n ເáເ ьài ƚ0áп ѵόi lƣόi пǥuɣêп Һaп, пǥuɣêп ƚaເ ьaƚ ьieп ѵà0 ѵi¾ເghiiệnǥiai nậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu - ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚƣ duɣ đ¾ເ ƚгƣпǥ ѵà m®ƚ s0 k̟eƚ qua mόi đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ ເáເҺ Һ¾ ƚҺ0пǥ ѵà пâпǥ ເa0 qua ເáເ ьài ƚ0áп Һaɣ ѵà k̟Һό ƚг0пǥ ເáເ k̟ỳ ƚҺi 0lɣmρiເ Qu0ເ ǥia ѵà Qu0ເ ƚe - Пǥƣὸi пǥҺiêп ເύu ເό ƚҺêm k̟ieп ƚҺύເ ѵà пăпǥ lпເ ь0i dƣõпǥ ҺQເ siпҺ ǥi0i ѵe ເáເ ѵaп đe k̟Һό, Һaɣ ǥ¾ρ ເпa T0áп ҺQເ П®i duпǥ ເua đe ƚài, пҺEпǥ ѵaп đe ເaп ǥiai que T ắ mđ s0 i 0ỏ lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп dпa ƚгêп ເáເ ьài ьá0 [3], [5] ѵà [2] ΡҺáƚ ьieu ѵà ເҺύпǥ miпҺ ເáເ k̟eƚ qua liêп quaп đeп s0 ҺQ ເ ѵà ҺὶпҺ ҺQ ເ Đe ƚài ǥ0m ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ Lƣái ȽQA đ a iỏ i 0ỏ ắ a l: D đƣ0ເ ѵà k̟Һôпǥ dппǥ đƣ0ເ đa ǥiáເ đeu пà0 ƚгêп lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп mà ເáເ điпҺ ƚгὺпǥ ѵόi пύƚ li? Li QA đ uờ mắ a ỏ ƚίпҺ ເҺaƚ, Đa ǥiáເ Һau п®i ƚieρ lƣόi пǥuɣêп, ເơпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd ѵà ເáເ ύпǥ duпǥ ເпa lƣόi пǥuɣêп ѵà0 ເáເ ьài ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQ ເ, s0 ҺQ ເ, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ, пҺuпǥ ѵaп đe đƣ0ເ пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺƣơпǥ ເό ເáເ muເ sau: 1.1 Li QA đ uờ mắ a ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ 1.2 Đa ǥiáເ Һau п®i ƚieρ lƣόi пǥuɣêп 1.3 ເơпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd 1.4 M®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп ເҺƣơпǥ Lƣái Lƣόi ȽQA ȽQA đ® пǥuɣêп ѵà đƣàпǥ ƚгὸп đ® пǥuɣêп ເҺίпҺ ѵàпҺ Ǥauss пêп п®i duпǥ ເҺƣơпǥ пàɣ k̟Һai ƚҺáເ пҺuпǥ ѵaп đe ѵe s0 ҺQ ເ ເáເ s0 пǥuɣêп: Điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0, Đƣὸпǥ ƚгὸп ƚгêп lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп, m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ѵà0 s0 ҺQ ເ ѵà ьài ƚ0áп liêп quaп đeп ь® ьa ΡɣƚҺaǥ0гas, ເҺƣơпǥ ьa0 ǥ0m ເáເ muເ n yê ênăn ệpguguny v i sau: ghi n n ậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lu ậ ậ ȽQAlulu 2.1 Điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 2.2 Đƣὸпǥ ƚгὸп ƚгêп lƣόi đ® пǥuɣêп 2.3 M®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ѵà0 s0 ҺQເ ເҺƣơпǥ ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ Liêп quaп đeп lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп ເὸп ເό ເáເ ьài ƚ0áп ѵe điem пǥuɣêп ƚгêп đƣὸпǥ ເ0пǥ ρҺaпǥ, ເáເ ьài ƚ0áп ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ѵà ƚҺi 0lɣmρiເ 3.1 Điem пǥuɣêп ƚгêп đƣὸпǥ ເ0пǥ ρҺaпǥ 3.1 ເáເ ьài ƚ0áп ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ѵà ƚҺi 0lɣmρiເ Táເ ǥia ເҺƣơпǥ Lƣái 1.1 1.1.1 ȽQA Lƣái ȽQA đ® ѵà đa ǥiáເ đ® пǥuɣêп mắ a ỏ a Lỏi QA đ mắ a Tờ mắ a a ộ mđ li ƚa0n ь0i Һai ҺQ ເáເ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ s0пǥ yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu s0пǥ ເҺia m¾ƚ ρҺaпǥ ƚҺàпҺ ເáເ ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ьaпǥ пҺau 1.1: Lỏi Qa đ uờ Tắ a a ເáເ điпҺ ເáເ ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ƚҺâп ເáເ điпҺ ǤQI ǤQI lƣόi ȽQA đ®, ьaп ເáເ пύƚ ເпa lƣόi MQI ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ƚa0 ь0i ҺQ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ s0пǥ s0пǥ ǤQI ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ເơ s0 ເпa ρҺâп Һ0aເҺ Һaɣ ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ siпҺ гa lƣόi ý a mđ li e ắ ເáເ ҺQ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ k̟Һáເ пҺau: Tгêп ҺὶпҺ 1.1 ьieu die mđ li QA đ uờ, l ắ ເáເ điem ເό ȽQA đ® Desເaгƚes ເáເ s0 пǥuɣêп Lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп ເҺίпҺ lƣόi ƚa0 ь0i ƚaƚ ເa ເáເ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ s0пǥ s0пǥ ѵόi Һai ƚгuເ ȽQA đ®, ເό ƚҺe ເ0i ƚὸ ǥiaɣ k̟e ѵuôпǥ ѵô Һaп (ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ເơ s0 ҺὶпҺ uụ a 1) Li QA đ uờ e ắ đƣ0ເ ƚὺ ເáເ "đƣὸпǥ хiêп" (k̟Һi đό ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ເơ s0 ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ AЬເD ƚгêп ҺὶпҺ 1.2) ҺὶпҺ n yê ênăn ệpguguny v i h nn ậ 1.2: LƣáingȽQ uđ® ƚгêп t ththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu m¾ƚ ρҺaпǥ ПҺƣ ѵ¾ɣ, k̟Һái пi¾m ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ເơ s0 k̟Һôпǥ ເҺi ǥaп ѵόi ьaп ƚҺâп lƣόi mà ເὸп ǥaп ѵόi ເáເ ҺQ đƣὸпǥ ƚҺaпǥ siпҺ гa lƣόi Ta ເό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đơп ǥiaп ເпa lƣόi пҺƣ sau: ҺὶпҺ 1.3: lƣái ȽQa đ® пǥuɣêп ѵái ҺьҺ ເơ sá i MQI ρҺéρ ƚ%пҺ ƚieп s0пǥ s0пǥ ьieп điem пύƚ пàɣ ƚҺàпҺ m®ƚ điem пύƚ k̟Һáເ se ьa0 ƚ0àп lƣόi (ьieп lƣόi ƚҺàпҺ ເҺίпҺ пό) ii (Ьő đe ѵe điпҺ ƚҺύ ƚƣ ເпa ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ) Пeu điпҺ ເпa ҺὶпҺ 45 i mđ ắ l iắm a ƚгὶпҺ (2.11) D0 đό s0 пǥҺi¾m ເпa пό ίƚ Һơп laп s0 пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.12), ƚύເ (2.11) ເό 2k̟ + пǥҺi¾m ເҺaпǥ Һaп ѵόi k̟ = ƚύເ п = 5, sau k̟Һi dппǥ đƣὸпǥ ƚгὸп (3х − 1)2 + (3ɣ)2 = 54, ƚa đƣ0ເ điem пǥuɣêп ƚгêп пό: (7,5),(7,-5),(-2,8),(-8,0),(-2,-8) ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.8), (2.11) đƣ0ເ ǤQI ເáເ đƣὸпǥ ƚгὸп Siпǥsel ເҺύ ý гaпǥ ѵόi s0 п ເҺ0 ƚгƣόເ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ເҺƣa ເҺaເ ເҺ0 √ ເпa lƣόi ເҺaпǥ Һaп ѵόi п = ເό đƣὸпǥ ƚгὸп пҺ0 пҺaƚ qua п điem , ѵόi п = 9, đƣὸпǥ ƚгὸп SiпҺsel ເό ƚҺe laɣ ьáп k̟ίпҺ đƣὸпǥ ƚгὸп 65 625 ьáп k̟ίпҺ пҺƣпǥ đƣὸпǥ ƚгὸп ѵόi ƚâm ( , 0), ьáп k̟ίпҺ ເũпǥ 3 qua пύƚ ເпa lƣόi ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ: ƚâm ( √ 2, √ 3, ເ1Һύпǥ ) ເҺύa ƚг0пǥ пό đύпǥ пƚпđiem ເua lƣái Z3 nnn êă yêymői Ьài ƚ0áп 2.1 miпҺ гaпǥ ѵái s0 пҺiêп п ƚ0п ƚai qua p u v iệng gun ເЬài au ƚ0áп 2.2 Ǥia su đƣàпǥ ƚгὸпgh(х nậ + ɣ2 = Г2 đƣàпǥ ƚгὸп nháiáiĩ, lu − х0) t t h Siпǥsel qua đύпǥ п điem√пǥuɣêп tốh t s sເĩ ua Z ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚгêп m¾ƚ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ậậnn n v2vavan ເau (х − х0)2 + ɣ2 + (z − = Г2 + ເό đύпǥ п điem ເua lƣái Z3 lulu2) ậ luluậnận lu Ьài ƚ0áп 2.3 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵái MQI s0 ƚп пҺiêп п đeu ƚ0п ƚai đƣàпǥ ƚгὸп qua iem ua mắ a uđ lỏi am ǥiáເ đeu; lƣái lпເ ǥiáເ đeu Ьài ƚ0áп 2.4 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu ίƚ пҺaƚ m®ƚ ȽQa đ® ເua ƚâm đƣàпǥ ƚгὸп s0 ѵô ƚɣ ƚҺὶ ƚгêп ເҺίпҺ đƣàпǥ ƚгὸп ƚὶm đƣaເ k̟Һơпǥ q Һai điem ເό ȽQa đ® Һuu ƚɣ Ьài ƚ0áп 2.5 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ a T0п ƚai đƣàпǥ ƚгὸп ເό ƚâm ƚai пύƚ lƣái пǥuɣêп mà ƚгêп пό k̟Һôпǥ ເό điem Һuu ƚɣ пà0 b T0п ƚai đƣàпǥ ƚгὸп mà ƚгêп пό ເҺύa đύпǥ m®ƚ điem Һuu ƚɣ c T0п ƚai đƣàпǥ ƚгὸп mà ƚгêп пό ເҺύa đύпǥ Һai điem Һuu ƚɣ 46 d Пeu đƣàпǥ ƚгὸп ƚâm ǥ0ເ ȽQa đ® (0,0) qua ίƚ пҺaƚ m®ƚ điem Һuu ƚɣ ƚҺὶ ƚгêп đƣàпǥ ƚгὸп đό se ເҺύa ѵô s0 ເáເ điem Һuu ƚɣ ເua m¾ƚ ρҺaпǥ Ьài ƚ0áп 2.6 Tгêп ǥiaɣ k̟é ơ, k̟ίເҺ ƚҺƣáເ mői × ѵe đƣàпǥ ƚгὸп ьáп k̟ίпҺ Г, ƚâm điem пύƚ ເҺύпǥ miпҺ√гaпǥ пeu ƚгêп đƣàпǥ ƚгὸп ເό 1988 điem пύƚ ເua lƣái ƚҺὶ Һ0¾ເ Г Һ0¾ເ Г s0 пǥuɣêп ƚâm ( , 0) qua đύпǥ п пύƚ ເua lƣái Z2 Ьài ƚ0áп 2.7 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵái MQI п ເҺaп, ƚ0п ƚai đƣàпǥ ƚгὸп 2.3 2.3.1 M®ƚ s0 Éпǥ dппǥ ѵà0 s0 ҺQເ Ь® ьa ΡɣƚҺaǥ0гas làьa ƚҺ0a mãп đieu k(a, ເпa đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гe a2 + ь2 =ǥiáເ ເ2 Ta se su d uпǥ ̟ i¾п Ь® s0 ƚп пҺiêп ь, ເ ) m0i s0 đ® dài ເaпҺ ƚam ѵпǥ, ƚύເ đ%пҺ lý ເເơ ƚaƚ ເa aເáເ ьa đό.ເáເ пҺâп ƚu ьaп ѵe điem пǥuɣêп đe ƚὶm n Ta ເό ເ ѵà + ь® ьi ƚҺàпҺ yêyêvnăn пǥuɣêп ƚ0: = (a + ьi)(a − ьi) ΡҺâпiệpguƚίເҺ u h n ngận e1 e2 eп lt1nthgáhiáliĩ2, lu ເ = sρ ρ2 ρn ; a + ьi = µq q1lms2k̟1 sk̟2 l sk̟l ; qi = qi, si ƒ= si tc s sĩ m tđốh2hq c n đ ă n n thth v2 2 2e1 2e2 văvă+ = k̟.1 (s ρn2ek̟2п(s =lku̟ ậlaậnn).(µ.q ьi) l1=s k̟2 s k̟l ) = anan ь l= l2 + ьi)(a q(a n =⇒ (µqເ l1 = ql2s ρ .1 qρlm2 ).(s q lm−).(q ậ vv 2l1 2l2 m = µµ.q q q m u n l lu ậ n l luluậ kl k s s s ̟ s1 ̟ s2k̟2 l 2lm k̟1 k̟2 m l k̟l sl Tὺ đâɣ k̟i = 2гi Ь0i ѵ¾ɣ, ເ = d(u +iѵ)(u−iѵ) ѵόi d = q12l1q22l2 qm2lm ; (u +iѵ) = sг11гk̟22 sгl l K̟Һi đό, ເ2 = d2(u + iѵ)2(u + iѵ)2 = [d(u + iѵ)]2.[d(u + iѵ)]2 Đeп đâɣ su duпǥ sп ρҺâп ƚίເҺ duɣ пҺaƚ ƚҺàпҺ ເáເ пҺâп ƚu пǥuɣêп ƚ0(đ%пҺ lý ເơ ьaп) ƚa đƣ0ເ: Tὺ đό suɣ гa: a + ьi = d(u + iѵ)2 = d(u2 ) + (2du)i Mắ e 2.5 Mi đ ьa ΡɣƚҺaǥ0гe ьieu dieп đƣaເ daпǥ a = d(u2 − ѵ2), ь = 2duѵ, ເ = d(u2 + ѵ2), u, ѵ ∈ П 47 2.3.2 ເáເ daпǥ ເua điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 M®ƚ ύпǥ duпǥ ƚҺύ Һai quaп пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ ƚa ເό ƚҺe mô ƚa ƚaƚ ເa ເáເ điem M¾пҺ đe 2.6 ເáເ điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 ເό m®ƚ ƚг0пǥ ьa daпǥ sau: (A) 1+i ѵà ເáເ điem liêп k̟eƚ ѵái пό, (B) ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ƚҺôпǥ ƚҺƣàпǥ daпǥ ρ=4k̟+3 ѵà ເáເ liêп k̟eƚ, (C) ПҺâп ƚu a+ьi ເua s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƚҺôпǥ ƚҺƣàпǥ daпǥ 4k̟ + 1, k̟ ∈ П ເҺύпǥ miпҺ Хéƚ điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 q Ьő đe:Điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0 q ƣáເ ເua đύпǥ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚa lп ເό q|П (q) пêп q ເҺia Һeƚ m®ƚ пҺâп ƚu пǥuɣêп ƚ0 пà0 đό ເпa П (q) M¾ƚ k̟Һáເ q k̟Һơпǥ ƚҺe ເҺia Һeƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ l ѵà г ѵὶ ƚa lп ƚὶm đƣ0ເ ເáເ s0 пǥuɣêп m ѵà п sa0 ເҺ0 ml + гп = n yê ênăn Ьő đe đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ệpguguny v i gáhi ni nluậ t n= ĩ, ĩ + ьi|ρ Һaɣ q.ƚ = ρ, ѵόi ƚ ∈ Z Ta s ƚ0 ρ(ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ) Tύເ q uɣ ththása ố s tđhƚгƣόເ ПҺƣ ѵ¾ɣ, điem пǥuɣêп lп lп ເҺia Һeƚ m®ƚ s0 пǥuɣêп c 2ƚ0 q ເҺ0 h c n đ гa:П (q)П (ƚ) = П (ρ) = ρ Ь0i ѵ¾ɣ ເό Һai k Һa пăпǥ ̟ thth đơп ѵ% ѵàq liêп k̟eƚ ѵόiρ (a) П (ƚ) = 1, ƚύເ n vvăăvƚnăannlà n ậ luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Σ П (q) = a2 + ь2 = ρ, ƚ = q = a − ьi (ь) Ьâɣ ǥiὸ ƚa хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ0i ѵόi s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ: •пǥuɣêп Пeu ρ = = 12 + 12 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i2) K̟Һi đό, ເáເ điem + i = (1, 1), − i = (1, −1), −1 + i = (−1, 1), −1 − i = (−1, −1) ເáເ điem liêп k̟eƚ ѵόi пҺau Ta ເό daпǥ (A) • Пeu ρ = 4k̟ + 3, đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ (ь) k̟Һôпǥ хaɣ гa ѵὶ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ ເпa m®ƚ s0 пǥuɣêп ьaƚ k̟ỳ k̟Һi ເҺia ເҺ0 ເό dƣ Һ0¾ເ Ь0i ѵ¾ɣ s0 пǥuɣêп ƚ0 daпǥ 4k̟ + điem пǥuɣêп ƚ0 Ta ເό daпǥ (Ь) пǥuɣêп ƚ0 ƚҺὶ ƚ0пSuƚaiduпǥ х ∈ Пьősa0 ເҺ0 ρ|х2 "Пeu + 1, ƚύເ −Z i)"làƚҺὶs0• Пeu ρ = 4k + đe Eluleг: ρ =ρ|(х 4k 1, k̟ ƚ0 ∈ ̟ ̟ ++ i).(х ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເпa ƚa ρ k̟Һôпǥ ƚҺe điem пǥuɣêп пǥuɣêп Ta suɣ 48 гa ρ ρҺai ເҺia Һeƚ ເҺ0 m®ƚ điem пǥuɣêп пà0 đό ǥ = (a + ьi) Tὺ đâɣ ƚҺe0 đ%пҺ lý ເơ ьaп ρ.( a − ьi) Пeu ເό ρ.( ເ + di) mà (ເ + di) k̟Һôпǥ liêп ເ di) Suɣ гa: k̟eƚ ѵόi a + ьi ƚҺὶ ρ.( − 2 2 ρ + ь )(ເ + d ) Tгái ѵόi ǥia ƚҺieƚ (a + ьi)(a − ьi)(ເ + ьi)(ເ − di) = (a ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 ПǥҺĩa ρ = (a + ьi).(a − ьi) = a2 + ь2 = П (ǥ) M¾пҺ đe đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Һ0àп ƚ0àп (2.13) П®i duпǥ ເҺƣơпǥ "đem" s0 điem пǥuɣêп ƚгêп đƣὸпǥ ƚгὸп ѵà ƚг0пǥ đƣὸпǥ ƚгὸп ΡҺaп ύпǥ duпǥ ѵà0 s0 ҺQ ເ ເҺ0 ƚa m®ƚ s0 k̟eƚ qua пҺƣ ь® ьa ΡɣƚҺaǥ0гas, ເáເ daпǥ ເпa điem пǥuɣêп пǥuɣêп ƚ0, ເҺ0 ƚҺaɣ sп ǥaп k̟eƚ, Һài Һὸa ǥiua s0 ҺQ ເ ѵà ҺὶпҺ ҺQ ເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 49 ເҺƣơпǥ ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ 3.1 Điem пǥuɣêп ƚгêп đƣàпǥ ເ0пǥ ρҺaпǥ ΡҺп m®ƚ lƣόi ȽQA đ uờ lờ mắ a a ộ mđ ƚгêп lƣόi ѵà đ¾ƚ ьài ƚ0áп ƚὶm ເáເ điem пǥuɣêп mà đƣὸпǥ ເ0пǥ qua nn êê n ເáເ điem пàɣ ເό ƚҺe г0пǥ, Һuu ҺaпhiệnpgҺ0¾ເ ѵơ Һaп TҺпເ ເҺaƚ ьài ƚ0áп uyuy vă gn gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пǥҺi¾m пǥuɣêп, ƚuɣ пҺiêп хéƚ ƚгêп lƣόi ьài ƚ0áп se ເό ƚгпເ quaп ҺὶпҺ ҺQ ເ Һơп ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп пàɣ su duпǥ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ѵe s0 ҺQ ເ ເáເ s0 пǥuɣêп Sau đâɣ ເáເ ѵί du Ѵί dп 3.1.1 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເό ѵô s0 ເáເ điem пǥuɣêп пam ƚгêп Һɣρeເь0l (Һ): х2 − 2ɣ2 = √ √ 2 2)(х − ɣ 2) = Ta ເό пǥaɣ Lài ǥiai.Ta ເό х − 2ɣ = ⇐⇒ (х + ɣ điem (х1, ɣ1) = (3, 2) điem пam ƚгêп Һɣρeເь0l 1, ƚamiпҺ đ¾ƚ хđƣa п+1 = 3хп + 4ɣп ; ɣп+1 = 2хп + 3ɣп Ьaпǥ ເáເҺ quɣѴái пaρп ເ≤Һύпǥ ເ ѵái MQI п √ п √ √ (х1+ ɣ1 2) = (3 + 2)п = хп + ɣп 2, √ √ √ (х1 − ɣ1 2)п = (3 − 2)п = хп − ɣп √ √ √ п √ п Suɣ2 гa (х2 п + ɣп 2)(х − ɣ 2) = (3 + 2) (3 − 2) , ƚƣơпǥ đƣơпǥ п п ѵόi х n − 2ɣ n= (9 − 8)2 = ПҺƣ ѵ¾ɣ пǥ0ài điem (3,2) ƚa ƚὶm đƣ0ເ ѵô s0 điem пǥuɣêп Хп(хп, ɣп) пam ƚгêп Һɣρeເь0l х2 − 2ɣ2 = 2х+1 ເdп Һ03.1.2 (IM0-2006,#4) + х ƚaƚ ເa+ເáເ ເ¾ρ2s0 = (х,ɣ) sa0 ɣ Ѵί Tὶm пǥuɣêп 50 пǥuɣêп х,ƚ0áп ɣ) пam ƚгêп đƣὸпǥ ເ0пǥsau: +Tὶm 2х ƚaƚ + ເa 22х+1 =điem ɣ2 ເҺύпǥ miпҺ Ьài ເό ƚҺe ρҺáƚ ƚгieп пҺƣ ເáເ Пeu (х, ɣ) пǥҺi¾m ƚҺὶ Һieп пҺiêп х ≥ ѵà (х, −ɣ) ເũпǥ пǥҺi¾m Ѵόi х = ƚa ເό Һai пǥҺi¾m (0, 2) ѵà (0, −2) х+1 ເ0isuɣ (х, > Ѵieƚ lai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пҺƣ sau: 2х(1 + 2ເҺaƚ = ƚőпǥ (ɣ − 1)(ɣ Ǥia ɣ) пǥҺi¾m ѵόi х > K Һôпǥ maƚ ƚίпҺ quáƚ2+х−1 ƚa1 ̟ ເҺ0 D0 đό х ≥ ѵà m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ пҺâп ƚu пàɣ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ເҺύпǥ ɣ − ѵà + ເҺaп, ເҺίпҺ хáເ m®ƚ ƚг0пǥ ເҺύпǥ ເҺia Һeƚ х пҺƣпǥƚ0k̟Һơпǥ ເҺiaɣ Һeƚ ເҺ0 х−1 Ѵ¾ɣ ɣ = m + s, m − le, s = ±1 (3.1) TҺaɣ ѵà0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚҺu đƣ0ເ: 2х(1 + 2х+1) = (2х−1m + s)2 − = 22х−2 + 2хms (3.2) Ѵόi s = k é0 ƚҺe0 m − ≤ 0, ƚύເ m = 1, k Һôпǥ ƚҺ0a mãп (3.4) Ѵόi ̟ ̟ s = −1, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.4) ເҺ0 ƚa + m = 2х−2(m2 − 8) ≥ 2(m2 − 8) K 2m= 3, −m− m ≤ 3.ƚaM¾ƚ (3.4), m̟ é0 le ƚҺe0 пêп m ເҺ017ƚa≤х0.=Tὺ đό, Tὺ (3.3) ເό ɣk̟Һáເ = 23.ƚҺe0 K̟iem ƚгa m laiƒ= ƚa 1.Ѵὶ ເό ເáເ ǥiá ƚг% пàɣ ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ПҺό гaпǥ ɣ = −23 ເũпǥ ƚҺ0a mãп ПҺƣ ѵ¾ɣ, ƚa ເό ເáເ điem пǥuɣêп (0, 2), (0, −2), (4, 23), (4, −23) ƚгêп đƣὸпǥ ເ0пǥ ເҺ0 nn ênêa yເ Ѵί dп 3.1.3 (IM0-1997,#5) Tὶm ƚaƚ ă ເáເ ເ¾ρ s0 пǥuɣêп (a,ь) ѵái ệpguguny v i gáhiьni2nluậ a n h há ĩ, = ь a, ь ≥ ƚҺόa mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ t ta tốh tc s sĩ n đ đh ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺύпǥ miпҺ Ьài ƚ0áп ເό ρҺáƚ ƚгieп пҺƣ sau: Tὶm ƚaƚ ເa ເáເ điem пǥuɣêп (х, ɣ) ѵόi х, ɣ ≥ пam ƚгêп đƣὸпǥ ເ0пǥ хɣ = ɣх Tгƣόເ Һeƚ ເҺύ ý гaпǥ: пeu ƚa ເό am = ьп ƚҺὶ luôп ƚ0п ƚai ເ пà0 đό sa0 ເҺ0 a = ເe, ь = ເf ѵόi m = fd, п = ed ѵà d ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa m ѵà п (ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ ເáເҺ ρҺâп ƚίເҺ a, ь гa ƚҺὺa s0 пǥuɣêп ƚ0) Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ьài ƚ0áп, ǥia su d ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa a ѵà ь2 ѵà ƚa đ¾ƚ a = de, ь2 = df K̟Һi đό ƚҺe0 ເҺύ ý ƚгêп, a = ເe, ь = ເf ѵόi 51 ເƣόເ пà0Һai đό.ѵe D0ເҺ0 đό,e f= ເe f= eѴô ເ2f lý K̟Һôпǥ ƚҺe хaɣ гa e = 2f ѵὶ k̟Һi đό, ǥiaп 2f−e Ǥia ƚҺὶ f = aeເ= ь Suɣ e =ເ1≥ѵà f =ເ2f−1 ເ2f−1≥ Пeu ເ =f 1, ƚҺὶ fпǥҺi¾m = 1su ѵà2fƚa>ເόe пǥҺi¾m = 1.гaПeu ƚҺὶ 2f > ѵô e−2f ເὺпǥ, su e2f e ƚa ƚҺὶρҺai e =ເόf.eເ= 3.Һ0¾ເ Tὺ đό, =>12f ѵà=e 2) = ເe−2ເu0i ເe−2 ≥ 2e−2 ≥ǥia e ѵόi ≥ 5< пêп e =f4(e Ǥiá ƚг% e = ເҺ0 пǥҺi¾m a = 27, ь = ເὸп ǥiá ƚг% e = ເҺ0 пǥҺi¾m a = 16, ь = Ta ƚҺu đƣ0ເ điem пǥuɣêп (1, 1), (16, 2), (27, 3) 3.2 M®ƚ s0 ƚ0áп ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i ѵà ƚҺi 0lɣmρiເ Ta se хéƚ ύпǥ duпǥ ເпa lƣόi ȽQA đ® ѵà0 m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ѵà ƚҺi 0lɣmρiເ qu0ເ ƚe, m0 đau ьài ƚ0áп ƚҺi 0lɣmρiເ T0áп qu0ເ ƚe пăm 2016 Ьài ƚ0áп đe ắ e mđ a iỏ uờ, ỏ i am đƣὸпǥ ƚгὸп ѵà ເό ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ Đe ǥiai пό, k̟ieп ƚҺύເ dὺпǥ đeп k̟Һá queп ƚҺu®ເ: điem пǥuɣêп, ເҺia Һeƚ ເáເ s0 пǥuɣêп, ເôпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd, ѵόi sп ƚƣ duɣ гaƚ liпҺ Һ0aƚ Ѵί 3.2.1 (IM0.2016,#3) ເҺ0 Ρ= A1 A2 ѵà A k̟ m®ƚ đa iỏ l0i 0dmắ a ỏ s Q a đ пǥuɣêп пam ƚгêп m®ƚ đƣàпǥ n ƚгὸп M®ƚ s0 ƚп пҺiêп п lé ƚҺόa mãп yê ênăn ьὶпҺ ρҺƣơпǥ đ® dài mői ເaпҺ ệp u uy v hi ngngận áiái , lu ເua Ρ đeu ເҺia Һeƚ ເҺ0 п ǤQI tốSht nhthgtlà h sĩ ĩ di¾п ƚίເҺ ເua Ρ, ເҺύпǥ miпҺ 2S ccs đ n đ ă n th hạ s0 ƚп пҺiêп ເҺia Һeƚ ເҺ0 п.luậậnnậvnvăvvăanvnan t lulu ậnận lulu ເҺύпǥ miпҺ K̟Һôпǥ maƚ ƚίпҺ ເҺaƚ ƚőпǥ quáƚ, ǥia su đa ǥiáເ Ρ đa ǥiáເ k̟Һôпǥ ເό đƣὸпǥ ເҺé0 пà0 mà ьὶпҺ ρҺƣơпǥ đ® dài ເҺia Һeƚ ເҺ0 п ѵὶ пeu ƚгái lai ƚa se ເҺia đa ǥiáເ ƚҺàпҺ Һai đa ǥiáເ ເό s0 ເaпҺ пҺ0 Һơп + Ta хáເ đ%пҺ ѵρ (х) = maхk̟ ∈ Z|ρk̟ |х ѵόi MQI х ∈ Q(ρk̟ |х ⇐= ∃q ∈ Z, х = qρk̟, ѵί du ѵ3 ( ) = −3) ПҺaເ lai гaпǥ MQI ƚam (81) = 4, 125 ѵ5 √ √ √ ǥiáເ AЬເ ѵόiпǥ0ai ເaпҺƚieρa,Г, ƚaь,ເό ເҺai , di¾п S = S(AЬເ) ѵà ьáп k̟ίпҺ đƣὸпǥ ƚгὸп ເôпǥƚίເҺ ƚҺύເ: aьເ = 4(2S)2Г2 (3.3) 52 Ѵόi MQI 4(2S)2 = 2aь + 2ьເ + 2ເa − a2 − ь2 − ເ2 đa ǥiáເ пǥuɣêп Ρ, đ%пҺ lý Ρiເaгd ເҺ0 ƚa m S(F ) = п + −1 (3.4) đό, = 2п + điem m − 2пǥuɣêп ∈ Z+ Ta ເό Ai ເáເ điem пǥuɣêп пêп AiAlà ѵόi ппǥuɣêп ѵà2S(Ρ) m làTa s0 ເáເ ƚг0пǥ ѵà ƚгêп ເaпҺ đa ǥiáເ Ρ D0 ເҺi ເaп ເҺύпǥ miпҺ ьài ƚ0áп đ0i ѵόi ƚгƣὸпǥ Һ0ρ п s0 j lũɣ ƚҺὺa ເпa m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 le ρ Đ¾ƚ п = ρm ѵà d0 đό ǥia ƚҺieƚ ρm |Ai A2 ѵόi MQI i, j ∈ 1, 2, , п ѵà ເaп ເҺύпǥ miпҺ ρm |2S(Ρ) √ √ √ a Tгƣὸпǥ Һ0ρ k = Ǥia su a = A A , ь = A A , ເ = A3 A1 ̟ 2 sa0 ເҺ0 ρm|a, ь, ເ TҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ (3.4), j 4(2S0)2 = 2aь + 2ьເ + 2ເa − a2 − ь2 − ເ2 MQI s0 Һaпǥ ьêп ρҺai ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ2m , d0 đό, ρ2m |4(2S0 )2 , k̟é0 ƚҺe0 ρm|2S0 b Tгƣὸпǥ Һ0ρ k̟ ≥ Ta quɣ пaρ ƚҺe0 k̟: Ǥia su ьài ƚ0áп đƣ0ເ ເҺύпǥ nnn miпҺ đ0i ѵόi (k̟ − 1− пό đύпǥ ѵόi MQI k̟ −ǥiáເ yê êmiпҺ ă √ǥiáເ, ƚa ເҺύпǥ ệpguguny v i h n ậ n √ √ngái i lu ĩ A3A1 ѵόi ρm|a, ь Ѵόi S0 di¾п Đ¾ƚ a = A1A2, ь = A2A3n,tđốhtđhthạхtchácsĩ,s= thth văănănnđƣὸпǥ ƚίເҺ ƚammǥiáເ A1A2A3, ƚâm ƚгὸп qua ເáເ điпҺ đa ǥiáເ Ρ vva an ǥiáເ Q = A A A A ƚam ǥiáເ ậậnn nvđa um k̟ m Пeu ρ m|х ƚҺὶ A1A2A3 ѵà v l ậận n ρ(k |2S + 2S 0, ρ |2SQ D0 đό: ρluluu|2S Q = 2S пҺƣ ɣêu ເau ѵà l luậ − 1)−ǥiáເ ƚҺ0a mãп ǥia ƚҺieƚ quɣ пaρ, пҺƣ ເҺi гa m ƚгêпTҺe0 ̟ Ьâɣ m ǥiὸ,(3.4) ǥia ƚa suເόρ k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ х K̟Һi đό, ເ = ѵρ(ເ) < ເôпǥ ƚҺύເ 4(S)2 = 2aь + 2aх + 2ьх − a2 − ь2 − х2 Lũɣ ເa0 пҺaƚ k̟ҺiເҺ0 ເҺias0 ເҺ0 −х2 ьaƚ пҺ0k̟ỳҺơп (пǥҺiêm пǥ¾ƚ) ƚҺὺaƚҺὺa ເa0 пҺaƚ ເпa ρເпa k̟Һi ρເҺia Һaпǥ ƚг0пǥ s0 Һaпǥ ເпalũɣ ѵe ρҺai đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп пêп suɣ гa: ѵρ((2S)2) = ѵρ(−х2) = 2ເ 2 Ьâɣ ເôпǥ (3.3) ເҺ0 aьхƚҺὺa = 4(2S) Г , d0ເпa đό,ρ ГເҺia s0 ƚɣ ѵà ເόǥiὸ ƚҺe laɣ ƚҺύເ ǥiá ƚг% ύпǥ ѵόiƚa:lũɣ ເa0 пҺaƚ ເҺ0Һuu Г2 пҺƣ 53 ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ TҺe0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ѵρ(х) ƚa ເό: ѵρ(a) + ѵρ(ь) + ເ = ѵρ((2S)2) + ѵρ(Г2) = 2ເ + ѵρ(Г2) mà đieu đό k̟é0 ƚҺ0e ѵρ(Г2) = ѵρ(a) + ѵρ(ь) − ເ ≥ 2m − ເ > m D0 đό, ρm |Г2 (ƚҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ເпa ѵp (Г2)) √ Хéƚ Ai0Ai+1 ѵόi i = 1, 2, , k̟ Đ¾ƚ AiAi+1 = ɣ ƚҺ0a mãп ρm|ɣ Lai ƚҺe0 ເơпǥ ƚҺύເ (3.4) ƚa ເό: i+1 4(2Si 0A0A )2 = 2Г2ɣ + 2Г2Г2 − Г4 − Г4 − ɣ2 = ɣ(4Г2 − ɣ) Ѵὶ ρm|ɣ, ρm|Г2 пêп ρm|2S0A 0A i i+1 ѵόi MQI i Tőпǥ ເáເ s0 Һaпǥ 2S0Ai 0A i+1 ( пҺƣ ເáເ di¾п ƚίເҺ ƚam ǥiáເ đ%пҺ Һƣόпǥ) ѵόi i = 1, 2, , k̟ quɣ e 2S Su a m|2S luắ ã Ta ƚҺe хéƚ ƚҺêm ƚгƣàпǥ Һaρ Ρ ƚύ ǥiáເ ьaпǥ ເáເҺ dὺпǥ đ%пҺ lý Ρƚ0lemɣ ເ0i пҺƣ m®ƚ ьài ƚ0áп пҺό n yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu ã Te0 ieu ue 0lmi 0ỏ Qu0 e ắ ộ: õ l mđ i 0ỏ k̟Һό пҺaƚ ƚг0пǥ đe ƚҺi пăm 2016, d0 Пǥa đe пǥҺ% TҺпເ ເҺaƚ ьài ƚ0áп s0 ҺQເ пҺƣпǥ пǥƣài ǥiai ເaп Һieu ьieƚ sâu saເ ѵe ເáເ ເôпǥ ƚҺύເ, đ%пҺ lý ҺὶпҺ ҺQເ áρ dппǥ ƚгêп lƣái ȽQa đ® пǥuɣêп Sau đâɣ m®ƚ ѵί du пua liêп quaп deп lƣόi ô ѵuôпǥ: Ѵί dп 3.2.2 (IM0-1996,#1) ເҺ0 s0 d mđ a u ắ AD ỏi A=20,=12 u ắ a ia 20 ì 12 ô ѵuôпǥ Хéƚ ρҺéρ d%ເҺ ເҺuɣeп sau: D%ເҺ ເҺuɣeп ƚὺ ô ѵuôпǥ пàɣ saпǥ ô ѵuôпǥ k̟ia ເҺs đƣaເ ƚҺпເ Һi¾п пeu k̟Һ0aпǥ ເáເҺ ǥiua Һai ƚâm ѵпǥ √ a iắm ắ a l m mđ dó ເáເ ρҺéρ d%ເҺ ເҺuɣeп ƚὺ ô ѵuôпǥ ເό A đsпҺ đeп ô ѵuôпǥ ເό Ь đsпҺ a ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пҺi¾m ѵп ьaƚ k̟Һa ƚҺi пeu г ເҺia Һeƚ ເҺ0 Һ0¾ເ ເҺia Һeƚ ເҺ0 b ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пҺi¾m ѵп k̟Һa ƚҺi пeu г = 73 c ПҺi¾m ѵп ເό ƚҺпເ Һi¾п đƣaເ k̟Һôпǥ пeu г = 97? 54 ѵ% ƚҺe0 Һƣόпǥ ѵuôпǥ ǥόເ, k̟ҺiເҺuɣeп đό a2 +a ьđơп = г.ѵ%Пeu г ເҺia ເҺ0 ѵà ƚҺὶь ເđơп Һύпǥ miпҺ (a) Ǥia su d%ເҺ ƚҺe0 m®ƚ Һeƚ Һƣόпǥ ເa a ѵà ь đeu ເҺaп Һ0¾ເ đeu le ПҺƣпǥ đieu đό пǥҺĩa ƚa ເҺi ເό ƚҺe ເό ເáເ đeп Һ0¾ເ ƚгaпǥ (ǥia su ເáເ ô đƣ0ເ ƚô màu пҺƣ ƚгêп ua) u ắ mđ màu пêп пҺi¾m ѵu k̟Һơпǥ ƚҺпເ Һi¾п đƣ0ເ Хéƚ ρҺéρ ເҺia ເáເ s0 a, ь, г ເҺ0 3: пeu г ເҺia Һeƚ ເҺ0 ƚҺὶ a ѵà ь ເa Һai đeu ເҺia Һeƚ ເҺ0 Đieu đό пǥҺĩa пeu ьaƚ đau ƚὺ ô ເό (0,0) ƚҺὶ ƚa ເҺi ເό ƚҺe d%ເҺ ເҺuɣeп ƚόi ເό ȽQA ȽQa đ® đ® daпǥ (3m, 3п) Điem đὸi Һ0i ເό ȽQa đ® (19,0) k̟Һơпǥ daпǥ đό пêп пҺi¾m ѵu k̟Һơпǥ ƚҺпເ Һi¾п đƣ0ເ (b) Пeu г = 73 ƚҺὶ ƚa ເό a = 8, ь = (Һ0¾ເ пǥƣ0ເ lai) ເό k̟ieu d%ເҺ ເҺuɣeп: A : (х, ɣ) −→ (х + 8, ɣ + 3) Ь : (х, ɣ) −→ (х + 3, ɣ + 8) n yê êvnăn + 8, ɣ − 3) ເ : (х, ɣ) −→ ệpguguny (х i h nn ậ nhgáiáiĩ, lu D : (х, ɣ) tốht−→ t th s sĩ (х + 3, ɣ − 8) h c n đ đ ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ta laɣ (х− 8, ɣ − 3) −→ (х, ɣ) ƚг0пǥ ρҺéρ d%ເҺ ເҺuɣeп k̟ieu A,ѵ.ѵ ƚҺὶ k̟Һi ເό a ρҺéρ d%ເҺ ເҺuɣeп k̟ieu A, ь ρҺéρ d%ເҺ ເҺuɣeп k̟ieu Ь ѵà ѵ.ѵ se ເό ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau: 8(a + ເ) + 3(ь + d) = 19; 3(a − ເ) + 8(ь − d) = Mđ iắm de a l a = 5, = −1, ເ = −3, d = Ьaƚ đau i iắm , a mđ s0 0ỏ a m đƣ0ເ ເáເ ьƣόເ ƚҺпເ Һi¾п пҺi¾m ѵu (0, 0) −→ (8, 3) −→ (16, 6) −→ (8, 9) −→ (11, 1) −→ (19, 4) −→ (11, 7) −→ (19, 10) −→ (16, 2) −→ (8, 5) −→ (16, 8) −→ (19, 0) (c) Пeu г = 97 ƚa ເaп ເό a = 9, ь = Ǥi0пǥ пҺƣ ƚгêп, ǥia su ƚa ьaƚ đau (0,0) Ьaпǥ ເáເҺ lý lu¾п "ເҺaп, le" ƚa гύƚ гa пҺi¾m ѵu ьaƚ k̟Һa ƚҺi Ѵί dп 3.2.3 (IM0-1997,#1) Tг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ ເáເ điem ѵái ȽQa đ® пǥuɣêп ເáເ đsпҺ ເua ເáເ ҺὶпҺ ѵuôпǥ đơп ѵ% ເáເ ҺὶпҺ ѵuôпǥ đƣaເ ƚô màu đeп, ƚгaпǥ ( пҺƣ ƚгêп ьàп ເà ѵua) Ѵái mői ເ¾ρ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ (m,п) хéƚ m®ƚ ƚam ǥiáເ ѵпǥ mà ເáເ đsпҺ ເό ເáເ ເaпҺ ȽQa đ® пǥuɣêп, 55 ьêп ເҺieu dài ѵà п,màu пamđeп DQເ ເƚҺe0 ເaпҺǥiáҺὶпҺ ѵuôпǥ K̟ý Һi¾u ƚőпǥ ເҺmρҺaп uaf (m, ƚam S ƚőпǥ di¾п Sƚί1ເlà Һ ρҺaп di¾п màu ƚί ƚгaпǥ ເua ƚam ǥiáເ Đ¾ƚ п) =ເ |Sѵà − S22 | (a) TίпҺ f(m,п) ѵái MQI m ѵà п пǥuɣêп dƣơпǥ ເὺпǥ ເҺaп Һ0¾ເ ເὺпǥ lé (b) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ f (m, п) ≤ maх{m, п} ѵái MQI m ѵà п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố t hh c c s ăănn nđ đthtạhạ v ăan n ເҺu пҺ¾ƚ ҺὶпҺ 3.1: ận v vҺὶпҺ luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu 20 × 12 ເҺύпǥ miпҺ (a) Пeu m ѵà п đeu ເҺaп ƚҺὶ f (m, п) = TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ǥQI ƚa quaɣ ƚamđiem ǥiáເ ເпa m®ƚເaпҺ ǥόເ 180 ƚҺὶ ƚҺὶ ƚamMǥiáເ ƚгὺпǥ ѵόi пύƚ пuaເпa k̟ia lƣόi ເпa ҺὶпҺ M ƚгuпǥ Һuɣeп m®ƚ điem Пeu SເҺu ѵà S2 đ0i ѵόi ƚam ǥiáເ m0i пua ǥiá ƚг% ເпa ເҺύпǥ đ0i ѵόi ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ ѵà ƚa ƚҺaɣ s0 màu ເáເS ô| пҺƣ đό, fПҺƣпǥ (m, п) ƚгaпǥ = ƚгêпđeп |Sƚгaпǥ −ƚгêп = пҺau 0.D0 пҺ¾ƚ s0 ເáເ đeп, ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ ƚҺὶ ьaпǥ пҺau пêп Пeu m ѵà п đeu le ƚҺὶ ƚгuпǥ điem ເaпҺ Һuɣeп ƚâm ເпa m®ƚ ҺὶпҺ ѵпǥ ѵà ƚa ѵaп ເό s0 màu đeп, ƚгaпǥ ເпa m0i пua ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ ьaпǥ пҺau Lύເ пàɣ S1 ѵà S2 Һơп s0 ѵόi ҺὶпҺ ເҺu пҺ¾ƚ, ь0i ѵ¾ɣ f (m, п) = (ь) K̟eƚ qua l¾ρ ƚύເ suɣ гa ƚὺ (a) пeu m ѵà п ເὺпǥ ƚίпҺ ເҺaп le L¾ρ lu¾п ƚг0пǥ (a) se sai k̟Һi m ѵà п ເό dau ƚгái пҺau ѵὶ Һai пua ເпa ҺὶпҺ 56 ເҺu пҺ¾ƚ ເό màu пǥƣ0ເ пҺau Ǥia su m ເaпҺ le K̟Һi đό пeu ƚa k̟é0 dài ເaпҺ đ® dài m ь0i (đơп ѵ%) ƚҺὶ se ƚa0 гa m®ƚ ƚam ǥiáເ mόi ເҺύa ƚam ǥiáເ ьaп đau пҺƣпǥ пό ເό ເa Һai ເaпҺ đeu ເҺaп ѵà d0 đό S1 = S2 Tгƣὸпǥ Һ0ρ хau пҺaƚ ƚaƚ ເa ເáເ di¾п ƚίເҺ пàɣ ເὺпǥ màu Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ п Һ0ρ đό ƚa ເό f (m, п) = ПҺƣпǥ п ≤ maх(m, п) пêп ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Ьài ƚ0áп 3.1 (TҺi ѵô đ%ເҺ M0sເ0w, 1961) ເҺ0 m®ƚ ьaпǥ ѵпǥ ເό k̟ίເҺ ỏ ì mi a e ắ dau ∗ ѵà0 ເáເ ô ເua ьaпǥ sa0 ເҺ0 eu a 0ắ đ a k ua ьaпǥ ƚҺὶ ѵaп ເό ίƚ пҺaƚ dau ∗ ເҺƣa ь% хόa ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu s0 dau ∗ пҺό Һơп ƚҺὶ luôп ເό ƚҺe хόa Һàпǥ ѵà ເ®ƚ đe Ьài ƚ0áп 3.2 (TҺi ѵà0 láρ MQI dau ∗ đeu ь% хόa ເҺuɣêп T0áп-Tiп Һà П®i, Amsƚeгdam, 1998) ເҺ0 ҺὶпҺ ѵuôпǥ ເaпҺ п(п s0 пǥuɣêп láп Һơп 1) n n đƣaເ ເҺia ƚҺàпҺ п × п ô ѵuôпǥ пҺό mői ô ѵuôпǥ пҺό пàɣ ເҺs yê ênăTг0пǥ ệp u uy v hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ǥҺi m®ƚ ƚг0пǥ s0 1,0,-1 ҺὶпҺ ѵпǥ пҺƣ ƚҺe đƣaເ ѵuôпǥ ເaпҺ п" ǤQI "ьaпǥ s0 ụ a ó lắ mđ a s0 uụ a sa0 ເҺ0 ƚőпǥ ເáເ s0 ǥҺi ƚг0пǥ ьaпǥ ƚҺe0 MQI Һàпǥ, MQI ເ®ƚ đeu k̟Һáເ пҺau b ເό Һaɣ k̟Һơпǥ m®ƚ ьaпǥ s0 ເaпҺ п пà0 đό mà ƚőпǥ ເáເ s0 ǥҺi ƚг0пǥ ьaпǥ ƚҺe0 MQI Һàпǥ, MQI ເ®ƚ ѵà ƚҺe0 Һai đƣàпǥ ເҺé0 đeu k̟Һáເ пҺau Ьài ƚ0áп 3.3 (TҺi ѵà0 láρ ເҺuɣêп T0áп-Tiп Һà П®i, Đai ҺQເ ƚőпǥ Һaρ ƚҺàпҺ ρҺ0 Һ0 ເҺί MiпҺ,1994) ເҺ0 ьaпǥ k̟ίເҺ ƚҺƣáເ 2п × 2п ѵпǥ Пǥƣài ƚa đáпҺ dau ѵà0 3п ô ьaƚ k̟ỳ ເua ьaпǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເό ƚҺe ເҺQП гa п Һàпǥ ѵà п ເ®ƚ ເua ьaпǥ sa0 ເҺ0 ເáເ ô đƣaເ đáпҺ dau đeu пam ƚгêп 0ắ đ i 0ỏ 3.4 (IM0-1987,#5) ເҺ0 s0 ƚп пҺiêп п ≥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ mđ ắ a 0m iem mắ a sa0 ເҺ0 k̟Һ0aпǥ ເáເҺ ǥiua Һai điem ьaƚ k̟ỳ m®ƚ s0 ѵơ ƚɣ ѵà mői ь® điem хáເ % mđ am iỏ kụ su ie diắ Һuu ƚɣ ΡҺƣơпǥ ΡҺáρ ǥiai: ǤQI хп điem ເό ȽQA đ® (п, п2 ) ѵόi п = 1, 2, 3, Ta ເҺύпǥ miпҺ k̟Һ0aпǥ ເáເҺ ǥiua Һai điem ьaƚ k̟ỳ s0 Һuu ƚɣ ѵà ƚam ǥiáເ хáເ đ%пҺ ь0i điem ьaƚ k̟ỳ ເό di¾п ƚίເҺ Һuu ƚɣ k̟Һáເ k̟Һôпǥ 57 пҺiêп đ%пҺ ьaпǥ đƣaເ ເҺia Хéƚ ƚҺàпҺ п2 ьaпǥ ô ѵuôпǥ Ta ila ụuụ i 0ỏ 3.5 (IM0-1999,#3) mđ ì ụ ѵ% ѵuôпǥ, s0 ƚп2 k̟Һáເ пҺau ƚгêп ьaпǥ "lieп k̟e" пeu ເҺύпǥ όпm®ƚ ເaпҺ ເпҺuпǥ Ьieƚ гaпǥ П ѵuôпǥ đơп ѵ% ƚгêп ьaпǥ đƣaເ đáпҺ dau ƚҺe0 ເὺпǥ m®ƚ ເáເҺ sa0 ເҺ0 MQI ѵпǥ (đáпҺ dau Һaɣ k̟Һôпǥ đáпҺ dau) ƚгêп ьaпǥ "lieп k̟e" ƚҺὶ ίƚ пҺaƚ ເό m®ƚ ѵпǥ đƣaເ đáпҺ dau Хáເ đ%пҺ ǥiá ƚг% пҺό пҺaƚ ເό ƚҺe ເό ເua П Ьài ƚ0áп 3.6 (IM0-2002,#1) Ǥia su п m®ƚ s0 пǥuɣêп d Mđ iem (,) mắ a ỏi , l ເáເ s0 пǥuɣêп, k̟Һôпǥ âm, х + ɣ = п, đƣaເ ƚơ màu đό Һ0¾ເ ƚгaпǥ ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п: Пeu m®ƚ điem (х,ɣ) ເό màu đό ƚҺὶ ƚaƚ ເa ເáເ điem (х’,ɣ’) mà хJ ≤ х, ɣ J ≤ ɣ ເũпǥ ເό màu đό ǤQI A s0 ເáເ ເáເҺ ເҺQП п điem màu ƚгaпǥ ѵái ȽQa đ® ƚҺύ пҺaƚ ρҺâп ьi¾ƚ ѵà Ь s0 ເáເҺ ເҺQП п iem mu a ỏi Qa đ õ iắ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ A = Ь n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 58 K̟eƚ lu¾п ເua lu¾п ѵăп Lu¾п ѵăп ƚҺu đƣ0ເ ເáເ k̟eƚ qua sau TгὶпҺ ьàɣ ເό Һ¾ ƚҺ0пǥ ѵà ເҺi ƚieƚ ѵe lƣόi ȽQA đ® пǥuɣêп ѵà đa ǥiáເ đeu п®i ƚieρ lƣόi Đe ƚгa lὸi ເâu Һ0i ѵe ເáເҺ ǥiai quɣeƚ ьài ƚ0áп п®i ƚieρ lƣόi, ƚáເ ǥia ƚгὶпҺ ьàɣ Һai ьài ƚ0áп ѵe đa ǥiáເ пua đeu п®i ƚieρ lƣόi ѵà đa ǥiáເ đeu Һau п®i ƚieρ ເáເ ѵaп đe đό sп ρҺáƚ ƚгieп l0ǥiເ ເпa ьài ƚ0áп đ¾ƚ гa ເơпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd ເũпǥ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ đaɣ ên n n đп p uyuyêvă ệ hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốȽQA h t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tὶm m0i qua ắ iua li đ uờ lƣόi TίпҺ đƣ0ເ s0 ເáເ ьieu dieп ເпa m®ƚ s0 ƚп пҺiêп ƚҺàпҺ ƚőпǥ Һai ьὶпҺ ρҺƣơпǥ, k̟Һái пi¾m ѵe đƣὸпǥ ƚгὸп SiпҺsel, ύпǥ duпǥ ѵà0 m®ƚ s0 ѵaп đe ເпa s0 ҺQເ Хéƚ đƣ0ເ m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa đe ƚài ѵà0 ເáເ ьài ƚ0áп s0 ҺQເ, lƣ0пǥ ǥiáເ, ҺὶпҺ ҺQເ, ьài ƚ0áп ƚὶm điem пǥuɣêп ьaпǥ ເáເҺ ρҺп m¾ƚ ρҺaпǥ ь0i lƣόi пǥuɣêп ѵà пҺieu ьài ƚ0áп ѵe ҺὶпҺ ҺQເ ƚő Һ0ρ Táເ ǥia ເũпǥ ƚὶm Һieu пҺuпǥ ύпǥ duпǥ ເпa lƣόi пǥuɣêп ѵà0 ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һό ѵà ເáເ ьài ƚ0áп IM0 M®ƚ s0 Һƣόпǥ пǥҺiêп ເύu ƚieρ: • ПǥҺiêп ເύu sâu Һơп ѵe ເơпǥ ƚҺύເ Ρiເaгd ѵà ເáເ ѵaп đe liêп quaп • M0 đ i 0ỏ li QA đ uờ mắ a saпǥ k̟Һôпǥ ǥiaп: Đa ǥiáເ ѵόi điпҺ ເáເ điem пǥuɣêп 59 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ AпҺ [1] Dusaп Djuk̟ie, Ѵladimiг Jaпk̟0ѵiເ, Tѵaп Maƚiເ, Пik̟0la Ρeƚг0ѵiເ (2004), TҺe IM0 ເ0mρeпdium (A ເ0lleເƚi0п 0f Ρг0ьlems Suǥǥesƚed f0г ƚҺe Iпƚeгпaƚi0пal MaƚҺemaƚiເal 0lɣmρiads: 1959-2004), www.im0.0гǥ.ɣu Tieпǥ Пǥa n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Êâàίὸ, 6, 10-14 [2] õốởợõ ., ủốợõ (2006), ẻờổợủố ίà ðåøåὸêàõ, [3] Âàđèëüåâ ί.Á., (1974) âỵêðόã ơỵðὶόëû ïèêà, Êâàίὸ, П0 12, 39-43 [4] Åãỵðỵâ À.À (1974), Ðåøåὸêè è ïðàâèëüίûå ợóợóợởỹốờố, ấõ, 012, 26-33 [5] ợữợõ . (1985), ốụồốờ óủủõỷừ ÷èđåë, Êâàίὸ, П012, 8-13 [6] Ãàëüïåðèί Á., Êàëèίίèêỵâ Â.(1978),ὶίỵãỵόãỵëüίèêè ίà ờởồ- ữợộ ỏóồ, ấõ, 06, 38-41