(Luận văn) tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình fefferman và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN lu an n va p ie gh tn to NGUYỄN THỊ LỤA d oa nl w TÍNH ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC z m co l gm @ an Lu n va Hà Nội - 2019 ac th si ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA lu an n va p ie gh tn to TÍNH ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC nf va an lu Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 z at nh oi lm ul Cán hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN THẠC DŨNG z m co l gm @ an Lu n va Hà Nội - 2019 ac th si LỜI CẢM ƠN lu an n va p ie gh tn to Để hoàn thành đề tài luận văn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Thạc Dũng tận tình giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu luận văn trực tiếp hướng dẫn em hoàn thiện đề tài luận văn tốt nghiệp Thầy dành thời gian tâm huyết vào cơng việc, thầy ln đặt niềm tin vào học trị khơng ngừng mong mỏi học trị ln tiến bộ, lĩnh hội nhiều kiến thức Em xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy giáo, giáo khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ em có mơi trường học tập tốt suốt thời gian học tập trường Cuối xin cảm ơn bố mẹ ủng hộ việc học tập; cảm ơn bạn bè, anh chị em đồng nghiệp giúp đỡ, cổ vũ động viên học tập, cơng việc q trình hồn thiện luận văn.Tôi xin cảm ơn anh chị bạn lớp cao học Tốn nhiệt tình giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập lớp d oa nl w an lu nf va Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2019 Học viên z at nh oi lm ul Nguyễn Thị Lụa z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU lu an n va p ie gh tn to Kiến thức 1.1 Miền siêu giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.2 Miền giả lồi 1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami trờn a Kăahler 1.1.4 Min siờu gi li 1.2 Công thức xấp xỉ w d oa nl Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng 2.1 Hàm đa điều hòa chặt miều siêu giả lồi 2.2 Mối liên hệ miền siêu giả lồi miền lồi 2.3 Các phản ví dụ dụng 16 17 19 23 30 lm ul 31 z at nh oi Tài liệu tham khảo nf va an lu KẾT LUẬN 6 7 11 z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI MỞ ĐẦU lu Cho D miền trơn, bị chặn, giả lồi Cn , u ∈ C (D) hàm giá trị thực H(u) ma trận Hessian phức cỡ n × n u Ta biết u đa điều hòa chặt D H(u) xác định dương D Khi u đa điều hòa chặt D, u cm sinh mt metric Kăahler n X 2u g = g[u] = dz i ⊗ dz j (1) an va i,j=1 ∂zi ∂z j n gh tn to Ta nói metric g Einstein có độ cong Ricci ∂ log det[gij ] (2) ∂zk ∂z l p ie Rkl = − d oa nl w thỏa mãn phương trình: Rkl = cgkl với số c Khi c < 0, sau chuẩn hóa, ta giả sử c = −(n + 1) Cheng Yau [2] chứng minh phương trình Monge-Ampère ( det H(u) = e(n+1)u , z ∈ D (3) nf va an lu z ∈ ∂D u = +∞, z at nh oi lm ul có nghiệm đa điều hòa chặt u C (D) Hn na, metric Kăahler n X ∂ 2u g[u] = dz i ⊗ dz j (4) i,j=1 ∂zi ∂z j z cảm sinh u mt metric Kăahler-Einstein trờn D Khi D l gi lồi chặt, toán tồn nghiệm nghiệm nghiên cứu Fefferman [3] Feffermann xét phương trình dây ( det J(ρ) = 1, z ∈ D (5) , ∂ρ = ∂ρ ∂ρ , , ∂z ∂z n  (∂ρ)∗ = an Lu (∂ρ)∗ H(ρ)  m ∂ρ co J(ρ) = −det ρ # l gm @ z ∈ ∂D ρ = 0, "  ∂ρ ∂ρ , , ∂z1 ∂zn ac th n va Phương trình gọi phương trình Feffermann Fefferman tìm t si MỤC LỤC nghiệm ρ < D cho u = − log(−ρ) đa điều hòa chặt D Tác giả chứng minh tính đưa cơng thức nghiệm xấp xỉ cho (5) Nếu quan hệ ρ u cho ρ(z) = −e−u(z) , z ∈ D (6) (3) (5) trùng Hơn nữa, chứng minh (xem [8]) det H(u) = J(ρ)e(n+1)u (7) lu an n va tn to Khi D miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt, Cheng Yau [2] chứng minh ρ ∈ C n+3/2 (D) Trên thực tế, người ta có ρ ∈ C n+2− (D) với  > đủ nhỏ Điều khẳng định suy từ công thức mở rộng tiệm cận cho ρ thu Lee Melrose [6]: ! ∞ X ρ(z) = r(z) a0 (z) + aj (rn+1 log(−r))j , (8) j=1 gh ∂D p ie r ∈ C ∞ (D) hàm xác định cho D, aj ∈ C ∞ (D) a0 (z) > oa nl w Nhiều nghiên cứu [8, 9, 13, 14] chứng tỏ toán thú vị quan trọng d Bài toán 0.1 Giả sử D miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt Cn Cho ρ nghiệm phương trình Fefferman (5) cho u = −log(−ρ) đa điều hòa chặt D Vậy bổ sung điều kiện D ta có ρ đa điều hịa chặt D nf va an lu lm ul z at nh oi Bằng cách giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi báo [7], Song Ying Li đưa đặc trưng hóa cho miền D Cn cho câu trả lời toán Ngoài ra, tác giả nghiên cứu giá trị cực đại cho giá trị riêng "nhỏ nhất" ("bottom of the spectrum") miền Mục tiêu luận văn trình bày lại kêt báo nói Li Luận văn bao gồm hai chương Trong chương một, giới thiệu lại khái niệm miền giả lồi, hàm xác định, tốn tử Laplace-Beltrami Đặc biệt, chúng tơi giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi chứng minh kết xấp xỉ cho hàm xác định Kết dùng chương hai để chứng minh kết Như nói trên, chương hai tập trung vào phân tích kết Li Cụ thể, Định lý 2.2 miền siêu giả lồi lời giải Bài tốn 0.1 ln tồn Kết z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC cuối luận văn Định lý 2.1 đưa mối liên hệ khái niệm miền siêu giả lồi miền lồi Do hạn chế kiến thức nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy phản biện bạn đọc để nâng cao trau dồi kiến thức Các thảo luận góp ý trau đổi tác giả cảm ơn trân trọng lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức lu 1.1 an Miền siêu giả lồi va n 1.1.1 Hàm đa điều hòa p ie gh tn to Trong phần ta đưa số tính chất hàm đa điều hòa Trước hết ta nhắc lại vài định nghĩa định lý cho hàm đa điều hịa dưới, chứng minh định lý ta xem Kenzo Adachi ([4], phần 1.2 Đặc trưng tính giả lồi) w d oa nl Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω tập mở Cn , u : Ω → R Hàm u gọi đa điều hòa lu nf va an (i) u nửa liên tục Ω, tức với c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} tập mở z + ζω ∈ Ω} z at nh oi lm ul (ii) Với z ∈ Ω ω ∈ Cn u(z + ζω) điều hòa {ζ ∈ C : Ta ý vài tính chất hàm đa điều hòa sau Định lý 1.1 Cho Ω ⊂ Cn , u : Ω → R, u ∈ C (Ω) Khi đó, z ∂ 2u (z)ωj ω k ≥ 0, j,k=1 ∂zj ∂z k n P @ (i) u đa điều hòa ∀z ∈ Ω, m ∀z ∈ Ω, an Lu ω = (ω1 , , ωn ) ∈ Cn ∂ 2u (z)ωj ω k > 0, j,k=1 ∂zj ∂z k n P co (ii) u đa điều hòa chặt l gm ω = (ω1 , , ωn ) ∈ Cn n va ac th si Chương Kiến thức Ví dụ 1.1 Xét khơng gian phức C2 , cho u(z, ω) = |z|2 +|ω|2 v(z, ω) = |z|2 + |ω|4 với (z, ω) ∈ C2 Khi đó, u hàm đa diều hịa chặt v hàm đa điều hòa Thật vậy, u, v ! hàm trơn ma trận Hessian ! phức u v Hu (z, ω) = = I2 Hv (z, ω) = 1 Cả hai ma trận |ω|2 ma trận Hermit Ma trận Hu xác định dương chặt ma trận Hv xác định dương 1.1.2 Miền giả lồi lu Cho Ω ⊂ Cn tập mở Ta nói Ω có biên lớp C k (k ≥ 2) tồn lân cận U ∂Ω hàm r xác định lớp C k U cho an va n • Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0} gh tn to n ∂r P • dr 6= ∂Ω, ta có dr(z) = j=1 ∂xj (z)dxj với z ∈ ∂Ω ie p Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω miền bị chặn Cn (n ≥ 2), Ω có biên trơn, D biên Ω r hàm xác định D Khi D gọi miền giả lồi p ∈ ∂Ω dạng Levi d oa nl w n X ∂ 2r an lu Lp (r, ω) = i,j=1 ∂zi ∂z j (p)ωi ω j ≥ nf va lm ul với ω ∈ Tp(1,0) (∂Ω) Ω gọi miền giả lồi chặt L(r, ω) xác định dương với ω 6= z at nh oi Ví dụ 1.2 Xét khơng gian phức C2 hình cầu đơn vị B2 = {(z, ω) ∈ C2 : |z|2 + |ω|2 < 1} Khi đó, B2 miền giả lồi chặt Thật vậy, ta chọn hàm xác định ∂B2 hàm r(z, ω) = |z|2 + |ω|2 − Hàm hàm đa điều hòa chặt điểm (z, ω) ∈ ∂B2 z gm @ Toán tử Laplace-Beltrami đa tạp Kă ahler l 1.1.3 m co Gi s M đa tạp Riemann định hướng, n chiều Ωp (M ) không gian p-dạng M , đặt d : Ωp (M ) −→ Ωp+1 (M ) tốn tử vi phân thơng thường, P p ≥ Giả sử ds2 = gij dxi ⊗ dxj metric Riemann T ∗ M ⊗ T ∗ M , an Lu i,j n va ac th si Chương Kiến thức gij ma trận thực cấp n xác định dương chặt Khi ds2 chứa metric Riemann T ∗ M ⊗ T ∗ M xác định X ij ∂ dS = g i,j ∂xi ⊗ ∂ ∂xj (g ij ) ma trận nghịch đảo (gij ) L Giả sử d∗ toán tử liên hợp d np=0 Ωp (M ) tương ứng với metric P gij dxi ⊗ dxj nghĩa i,j d∗ : Ωp (M ) −→ Ωp−1 (M ) (dα, β) = (α, d∗ β) = Z hdα, βids2 lu M an α ∈ Ωp−1 M, β ∈ Ωp M , ∗ tốn tử Hogde va n Định nghĩa 1.3 Toán tử Hogde-Laplace Ωp M to gh tn 4H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) −→ Ωp (M ) p ie Toán tử Hogde-Laplace liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami sau: Với hàm trơn f ta định nghĩa gradient ∂f ∂f ∂xi ∂xj oa nl w 5f =: grad f =: g ij g = det(gij ), với trường vecto X ta có d nf va an lu hgrad f, Xi = X(f ) = df (X) Mặt khác, toán tử div tác động lên trường vecto Z = Z i lm ul ∂ √ j ( gZ ) g ∂xj z at nh oi divZ =: ∂ định nghĩa ∂xi Định nghĩa 1.4 Toán tử Laplace-Beltrami Ωp (M ) z 4f = −div(grad f ) @ ∂ f + ··· ∂xi ∂xj an Lu = −g ij m ∂ √ ij ∂f 4f = − √ gg g ∂xj ∂xi co l gm Khi đó, biết không gian hàm khả vi M ta có = −4H Dễ dàng nhận thấy   n va Vì (gij ) xác định dương nên − f toán tử elliptic ac th si Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng n X ∂ log J(r) e r log J(r) B (z) = = ∆ aij [r] 2n(n + 1) ∂zi ∂z j 2n(n + 1) (2.5) i,j=1 Do đó, với z0 ∈ ∂D, ta có ∂j B(z0 ) = −B (z0 )∂j r(z0 ), Đặt R= n X j=1 ∂ , r ∂zj j ∂j B(z0 ) = −B (z0 )∂j r(z0 ) với ≤ j ≤ n n X R= rj j=1 n X lu fr f |2 =: |∇ an va n = ∂ , ∂z j rij − i,j=1 n X ri = rij rj , (2.7) ∂i f ∂j f −r + |∂r|2r to i,j=1 rj = rij ri ! ri rj rij ∂i f ∂j f − (2.6) |Rf |2 −r + |∂r|2r tn p ie gh e r r|2 = ∂D Vì vậy, (1.21) ta có Khi đó, dễ dàng thấy |∇   −n det H(ρ1 )(z) = J(r) n+1 det H(r) − [∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r] − [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] n+1 det(In − A∗ B − B ∗ A) = |1 − hA, Bi|2 − |A|2 |B|2 d oa nl w Mặt khác, Bổ đề 3.1 [8] nói nf va an lu với A = (A1 , , An ), B = (B1 , , Bn ) Do vậy, z = z0 ∈ ∂D, ta nhận      ∂j log J(r) n 0 ij det H(ρ)(z )J(r) n+1 (z ) = det H(r) − r ∂i r − B ∂j r n+1      n X rij lm ul − |∂r|2r ∂j log J(r) ∂i log J(r) − B ∂i r n+1 z at nh oi n+1 i,j=1 − B ∂j r  R log J(r) =det H(r) − + B |∂r|2r