(Luận văn) tính chất số học của dãy các số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THU NGA lu an n va to p ie gh tn TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY CÁC SỐ NGUYÊN d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THU NGA lu an n va p ie gh tn to TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY CÁC SỐ NGUYÊN oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d Mã số: 46 01 13 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si LỜI CẢM ƠN lu an n va Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K11, bạn học viên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! ie gh tn to p Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả d oa nl w lu nf va an Bùi Thu Nga z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục MỞ ĐẦU lu an n va Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ NGUYÊN 1.1 Lớp hàm số học cổ điển dãy số liên quan 1.1.1 Phi hàm Euler 1.1.2 Hàm tổng ước 1.1.3 Hm s Măobius 1.1.4 Hàm đếm ước số 1.1.5 Một số đẳng thức hàm số học 1.2 Một số dạng toán số học dãy số nguyên 1.2.1 Các dạng toán số phương dãy số 1.2.2 Các dạng tốn tính chia hết đồng dư dãy số 1.3 Một số dạng toán dãy số nguyên qua kỳ Olympic 1.3.1 Một số dạng tốn số phương dãy số 1.3.2 Đồng dư chia hết dãy số p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu 2 10 12 14 18 18 32 34 34 46 80 z KẾT LUẬN z at nh oi lm ul Chương CÁC DÃY SỐ LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC NGUYÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 59 2.1 Sử dụng đa thức nguyên giải toán đồng dư dãy số 59 2.2 Thiết lập phương trình để khảo sát tính chất số học dãy số 73 gm @ TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 m co l an Lu n va ac th iii si Mở đầu lu an n va Trong kì thi học sinh giỏi toán cấp, toán liên quan tới tính chất số học dãy số nguyên thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức chun đề khơng nằm chương trình thức giáo trình số học bậc trung học phổ thơng Chun đề nằm chương trình bồi dưỡng HSG lớp THCS phục vụ kỳ thi HSG quốc gia khu vực Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề dãy số nguyên, chọn đề tài luận văn ”Tính chất số học dãy số nguyên” Tiếp theo, khảo sát số lớp toán từ đề thi HSG Quốc gia tỉnh thành nước năm gần Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Một số tính chất số học dãy số nguyên Chương Các dãy số liên quan đến đa thức nguyên phương trình đa thức Tiếp theo, cuối chương trình bày tập áp dụng giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ NGUYÊN lu an n va Trong lý thuyết số, hàm số học có vai trò quan trọng Trong chương này, ta xét số hàm số học cổ điển (Phi hàm Euler, hàm M˝obuis, hàm đếm ước hàm tổng) xét tính chất số học dãy sinh chúng Ta chủ yếu khảo sát lớp hàm số học nhận giá trị nguyên Những trường hợp đặc biệt xét riêng có giải chi tiết Phần lý thuyết phần lựa chọn từ tài liệu [1]-[4] tn to Lớp hàm số học cổ điển dãy số liên quan p ie gh 1.1 oa nl w Định nghĩa 1.1 (xem [1],[4]) Hàm số học hàm số có miền xác định tập số nguyên dương miền giá trị tập số thực phức d Định nghĩa 1.2 (Hàm nhân tính) Một hàm số học f gọi hàm nhân tính với cặp số m, n nguyên tố nhau, ta có f (nm) = f (n)f (m) Trong trường hợp đẳng thức với m, n nguyên dương (không thiết nguyên tố nhau) hàm f gọi hàm nhân tính mạnh nf va an lu lm ul Định lý 1.1 (Tính chất hàm nhân tính) Nếu f hàm nhân tính z at nh oi f ([m, n])f ((m, n)) = f (m)f (n) z với số nguyên dương m n Chứng minh Cho p1 , p2 , , pr số nguyên tố chia hết m n Khi m co i=1 l pki i gm @ n= r Y m= r Y plii ac th n với k1 , , kr , l1 , , lr số nguyên không âm va i=1 an Lu si Suy [m, n] = r Y max(ki ,li ) pi i=1 (m, n) = r Y min(ki ,li ) pi i=1 Do {max(ki , li ), min(ki , li )} = {ki , li } f hàm nhân tính, ta thu f ([m, n])f ((m, n)) = lu an va = r Y i=1 r Y max(ki ,li ) f (pi ) r Y min(ki ,li ) f (pi ) i=1 f (pki i ) r Y n i=1 f (plii ) i=1 gh tn to = f (m)f (n) Vậy, ta thu điều phải chứng minh p ie oa nl w Hệ 1.1 Xét dãy số {un } với un = f (n), f hàm số học nhân tính Khi đó, n hợp số có dạng tắc d n= lu pαk k k=1 nf va an m Y lm ul un = m Y f (pαk k ) k=1 z at nh oi Vì vậy, sau, ta quan tâm nhiều đến số nguyên tố dãy số nguyên tố Định nghĩa 1.3 Dãy số nguyên tố dãy z gm @ P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, , pk , } co l với pk số nguyên tố m Ngoài dãy số nguyên tố, cịn có dãy tạo lũy thừa số nguyên tố P Tính chất 1.1 Nếu f hàm nhân tính hàm F (n) = f (d) an Lu n va d|n ac th hàm nhân tính si Chứng minh Ta rằng, m, n số nguyên dương (m, n) = F (m.n) = F (m)F (n) Giả sử (m, n) = 1, ta có X F (mn) = f (d) d|mn Vì (m, n) = 1, ước số mn viết dạng tích ước d1 m, d2 n d1 , d2 nguyên tố nhau, đồng thời cặp ước nguyên tố d1 m, d2 n tương ứng với d = d1 d2 mn Do đó, ta viết X F (mn) = f (d1 d2 ) d1 |m d2 |n lu an n va Vì f hàm có tính chất nhân tính (d1 , d2 ) = 1, nên X X X f (d1 )f (d2 ) = f (d1 ) f (d2 ) = F (m)F (n) F (mn) = d2 |n Phi hàm Euler p ie 1.1.1 d1 |m gh tn to d1 |m d2 |n Tiếp theo, ta xét số hàm số học nl w d oa Định nghĩa 1.4 (Phi hàm Euler ϕ(n)) Cho số tự nhiên n ≥ Ta ký hiệu ϕ(n) số số tự nhiên bé n nguyên tố với n Quy ước ϕ(1) = an lu Định lý 1.2 (xem [4]) Hàm ϕ(n) hàm nhân tính nf va z at nh oi lm ul Chứng minh Ta giả thiết a > 1, b > Các số nguyên dương không vượt ab liệt kê sau: a a+1 a+2 2a 2a + 2a + 3a z m co l gm @ ka + ka + (k + 1)a (b − 1)a + (b − 1)a + ba Các số thành bảng có dạng ax + y , ≤ x ≤ b − 1, ≤ y ≤ a Xét số cột thứ y Ta có (ax + y, a) = (y, a) Vì số nguyên tố với ab nguyên tố với a b, số phải nằm cột thứ y mà (y, a) = Có ϕ(a) cột Xét cột thứ y , với (y, a) = Các số cột an Lu n ac th va y, a + y, 2a + y, , (b − 1)a + y si Giả sử rx số dư chia ax + y cho b Như (ax + y, b) = (rx , b) Dễ dàng thấy (a, b) = nên rx1 6= rx2 với x1 6= x2 Như ta có đẳng thức tập hợp r0 , r1 , , rb−1 = 0, 1, , b − Vậy số x mà (ax + y, b) = số x mà (rx , b) = tức ϕ(b) Vậy có ϕ(a)ϕ(b) số nguyên tố với a ngun tố với b Đó số nguyên tố với ab Nói cách khác ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) Từ định lý ta suy công thức tính ϕ(n) sau lu Định lý 1.3 (xem [20, 30 - 33]) Giả sử n = pα1 pαk k phân tích tắc n > Khi   1  1 ϕ(n) = n − 1− − p1 p2 pk an n va Chứng minh Theo Định lý 1.2, ta có ϕ(n) = ϕ(pα1 ) ϕ(pαk k ) Định lý chứng minh ta chứng tỏ ứng với p số nguyên tố ϕ(pα ) = pα (1 − ) Thật vậy, p nguyên tố nên với k ≤ pα p (k, p) = k p h pα i α Số số k ≤ p bội p = pα−1 p Vậy ϕ(pα ) = pα − pα−1 = pα (1 − ) p p ie gh tn to d oa nl w lu nf va an Bài tốn 1.1 Tính ϕ(360) z at nh oi lm ul Lời giải Với n = 360 = 23 32    1 ϕ(360) = 360 − 1− 1− = 96 z Bài toán 1.2 Cho n số nguyên dương Chứng minh X ϕ(d) = n gm @ d|n l m co Lời giải Tổng lấy theo ước số n Ta phân chia tập hợp số tự nhiên từ đến n thành lớp theo cách sau Lớp Cd gồm số nguyên m, ≤ m < n, mà (m, n) = d Như m thuộc Cd d ước chung m, n (m|d, n|d) = Như vậy, số phần tử Cd số số nguyên dương không vượt n|d nguyên tố an Lu n va ac th si với n|d; tức Cd gồm ϕ(n|d) phần tử Vì số nguyên m từ đến n thuộc lớp Cd (d = (m, n)) nên n tổng số thành phần lớp Cd , d ước n Ta có X n ϕ n= d d|n Mặt khác, d chạy qua ước n n|d chạy qua ước n, nên từ suy X ϕ(d) n= d|n lu Nhận xét 1.1 Tầm quan trọng hàm ϕ(n) số học thể Định lý Euler Sau dạng mở rộng Định lý Euler an n va Định lý 1.4 (Định lý Euler mở rộng) Cho a m hai số tự nhiên Khi (mod m) gh tn to am ≡ am−ϕ(m) Chứng minh Ta phải chứng minh p ie w A = am − am−ϕ(m) = am−ϕ(m) (aϕ(m) − 1) d oa nl chia hết cho m Giả sử m có phân tích tắc nf va an lu m = q1α1 q2α2 qkαk z at nh oi lm ul Ta chứng minh (a, qi ) = (aϕ(m) − 1) q αi , cịn a q am−ϕ(m) q αi , A m Thật vậy, (a, qi ) = theo Định lý Euler αi (aϕ(qi ) − 1) qiαi z an Lu n va ac th m ước ϕ(m) (suy từ cơng thức tính ϕ(m)) Do αi (aϕ(m) − 1) (aϕ(qi ) − 1) q αi Nếu a qi am−ϕ(m) q m−ϕ(m) co l ) qi gm ϕ(qiαi ) = qiαi (1 − @ Mặt khác, si
(a1 + a2 + · · · + an ) ak1 + ak2 + · · · + akn , ∀k ∈ N∗ Nhận xét rằng, cách xét P (t) = tk−n (t − a1 ) (t − a2 ) (t − an ), ta chứng minh (a1 + a2 + · · · + an ) |n (n − 1) Thật vậy, đặt lu an a1 + a2 + · · · + an = pα1 pα2 pαl l , n va với pi ∈ ℘, αi ∈ N Xét số nguyên tố pi (i ∈ {1, 2, , l}) Khi đó, - Nếu (aj , pi ) = 1, ∀j ∈ {1, 2, , n}, thi   α ϕ(pαi i ) ϕ(pi i ) (a1 + a2 + · · · + an ) a1 + · · · + an ≡n ie gh tn to p (mod pαi i ) w d oa nl nên n pαi i - Nếu tồn j ∈ {1, 2, , l} cho (aj , pi ) > (am , pi ) = 1, ∀m 6= j, suy   α ϕ(pαi i ) ϕ(pi i ) (a1 + a2 + · · · + an ) a1 + · · · + an ≡ n − (mod pαi i ), nf va an lu lm ul z at nh oi nên (n − 1) pαi i Nhận xét chứng minh Nếu a1 + a2 + · · · + an 6= n (n − 1) n (n − 1) (i) z a1 + a2 + · · · + an ≤ @ n (n + 1) n (n − 1) > 2 (ii) m co a1 + a2 + · · · + an ≥ + + · · · + n = l gm Mặt khác, an Lu Ta thấy (i) (ii) mâu thuẫn Vậy a1 + a2 + · · · + an = n (n − 1) nên n ≥ - Nếu n = a1 + a2 + a3 = nên a1 = 1, a2 = 2, a3 = Suy
(a1 + a2 + a3 ) a21 + a22 + a23 ⇔ |14 , vô lý n va ac th 62 si - Nếu n = a1 + a2 + a3 + a4 = 12 Suy
a21 + a22 + a23 + a24 12, nên tồn i (i ∈ {1, 2, 3, 4}) cho số sô chẵn số chẵn nên a1 + a2 + a3 + a4 > 12, vô lý - Nếu n = a1 + · · · + a5 = 20 Suy a1 = 1, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 5, a5 = 7, nên P i=1 P