(Luận văn) tính kì dị chung của một số hệ ẩn của phương trình vi phân câp 1 trên mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— HÀ THỊ CHÚC lu an n va p ie gh tn to TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN d oa nl w CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TRÊN MẶT PHẲNG nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên – 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— HÀ THỊ CHÚC lu an va n TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN p ie gh tn to CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TRÊN MẶT PHẲNG oa nl w d Chuyên ngành: GIẢI TÍCH nf va an lu Mã số: 60.46.01.02 lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z @ Người hướng dẫn khoa học m co l gm TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH an Lu Thái Nguyên – 2016 n va ac th si Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn lu an n va p ie gh tn to Hà Thị Chúc d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Cơ, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn lu hồn thành luận văn an Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo trường va n Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy, tn to khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập gh p ie Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, nl w d oa giúp đỡ suốt thời gian học tập an lu Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, nf va ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn lm ul Thái Nguyên, tháng năm 2016 z at nh oi Người viết luận văn z m co l gm @ Hà Thị Chúc an Lu n va ac th i si Mục lục i Lời cảm ơn i Mở đầu 1 Một số kiến thức gh ie Một số khái niệm 1.2 Các điểm kì dị đơn giản lu Lời cam đoan an n va tn to 1.1 p w Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm oa nl 1.2.1 d yên ngựa an lu 1.2.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm nf va điểm lm ul 1.2.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) z at nh oi 1.3 Phơi điểm kì dị 1.4 Các dạng chuẩn tắc z không ổn định gm @ 10 Các ánh xạ đối hợp tốt 11 1.4.2 Các điểm kì dị chuẩn tắc 15 1.4.3 Các điểm kì dị gấp lùi 17 1.4.4 Các tính kì dị gấp chuẩn tắc 18 m co l 1.4.1 an Lu n va ac th ii si Phân loại tính kì dị 2.1 20 Các phương trình dạng Clairaut lý thuyết kì dị Legendre 20 2.1.1 Legendrian không gấp 20 2.1.2 Tính tổng quát 21 2.2 Các tính kì dị trường hợp tổng quát 26 2.3 Phân loại trường hợp tổng quát 29 2.4 Phân loại trường hợp Clairaut 34 43 Tài liệu tham khảo 44 lu Kết luận an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Tính kì dị số hệ ẩn đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình vi phân cấp mặt phẳng Đối với hệ ẩn phương trình vi phân cấp thông thường mặt phẳng, phân loại địa phương tính kì dị chung họ đường cong pha trình bày đầy đủ lên quỹ đạo trơn tương tương Bên cạnh đó, ngồi tính kì dị biết trường vectơ tổng qt mặt phẳng tính kì dị mơ tả phương trình vi phân ẩn cấp tổng quát, tồn tính kì dị mơ tả phương trình ẩn cấp cho bề mặt ô Whitney nhúng đến không gian hướng mặt phẳng Luận văn nghiên cứu tính kì dị điểm họ đường cong pha cho phôi bề mặt hệ giới thiệu tính kì dị chung mặt phẳng lên quỹ đạo trơn tương đương Đối với hệ đủ tổng quát, bề mặt hệ đa tạp n chiều trơn đóng không gian chùm tiếp xúc theo Định lý đường hồnh Thom, gấp hệ ánh xạ liên tục đa tạp n chiều Ngoài ra, gấp hệ đủ tổng quát có tất tính kì dị chung ánh xạ đa tạp n chiều Trong thực tế hạch phép chiếu chùm n chiều theo Định lí Goryonov (xem [11]), số chiều hạch thừa nhận tất tính kì dị chung ánh xạ đa tạp n chiều Một hệ đủ tổng quát gần điểm quy gấp hệ giải cách lấy đạo hàm Trong trường hợp gần điểm vậy, lý thuyết kì dị họ nghiệm hệ ẩn nhận lý thuyết họ đường cong pha trường vectơ trơn tổng quát đa tạp n chiều (xem [2]) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu Đối với hệ đủ tổng quát, vận tốc không triệt tiêu điểm kì dị gấp hệ Một lần Định lý Goryunov 1−gấp hệ đủ tổng quát có tất tính kì dị ánh xạ tổng quát từ đa tạp n chiều đến đa tạp (2n − 1) chiều Đặc biệt trường hợp chiều, 1−gấp hệ đủ tổng qt có điểm quy điểm kì dị cho kì dị Whitney Đó phân loại điểm kì dị họ đường cong pha hệ ẩn tổng quát (xem Định lý 2.3.1, 2.3.4) Bên cạnh tính kì dị biết trường vectơ tổng quát mặt phẳng tính kì dị mơ tả phương trình vi phân ẩn cấp tổng qt, có tính kì dị cho phương trình vi phân ẩn kì dị Whitney nhúng đến không gian hướng mặt phẳng (Hình 1, 3) Lên quỹ đạo trơn tương đương, họ tương ứng đường cong pha họ nghiệm hệ ẩn an n va to gh tn x˙ = ±1, (y) ˙ = x(x − y)2 p ie gần gốc d oa nl w nf va an lu lm ul Hình 1: Điểm khơng kì dị, n ngựa, nút gấp, tiêu điểm z at nh oi z an Lu m co l gm @ Hình 2: Yên gấp, nút gấp, tiêu điểm gấp Họ nghiệm phương trình ẩn (dy/dx) = x(x − y)2 nhận n va ac th si nghiên cứu Arnol’d V I.(xem [3],[7]) Tuy nhiên, trường hợp cuối trường hợp nghiên cứu luận văn khác Ở điểm thứ nhất, mặt phương trình khơng gian hướng mặt phẳng trơn theo lý thuyết phương trình kiểu giảm dư, có tính kì dị Whitney trường hợp hệ ẩn Ở điểm thứ hai, lu an Hình 3: Điểm gấp chuẩn tắc, điểm kì dị xếp li điểm Whitney n va p ie gh tn to phân bố mặt phẳng khơng gian hướng mặt phẳng có tính kì dị khơng có cấu trúc tiếp xúc định lý phương trình kiểm giảm dư, cấu trúc tiếp xúc trường hợp hệ ẩn Tuy nhiên, đặt vào phép tương ứng đến phương trình kiểu giảm dư x˙ = εf (x, y, z) , y˙ = εg (x, y, z) , z˙ = h (x, y, z) + εr (x, y, z) oa nl w d (trong f, g, h, r hàm số ε tham số bé tùy ý), mặt x˙ − f (x, y, z) = 0, y˙ − g (x, y, z) = 0, h (x, y, z) = nên hạn chế phép chiếu (x, y, z, x, ˙ y) ˙ 7→ (x, y, x˙ : y) ˙ đến mặt tương tự −gấp Trong trường hợp tổng quát, hạn chế xác định gần điểm tới hạn gấp, hạn chế phép chiếu (x, y, z) 7→ (x, y) đến mặt h = Quy trường hợp Arnol’d đến trường hợp xét (Hình 4) Nội dung chủ yếu luận văn trình bày lại kết báo [8] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia thành chương: Chương Một số kiến thức Trong chương đưa số khái niệm, ví dụ minh họa tính chất liên quan đến vấn đề nghiên cứu Chương Chương Phân loại tính kì dị Ở Chương 2, trình bày dạng chuẩn tắc trường hợp tổng quát nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Hình 4: Điểm gấp Clairaut, điểm lùi Clairaut điểm mũ chéo Clairaut trường hợp Clairaut tổng quát Các chứng minh trình bày rõ ràng, đầy đủ sử dụng lý thuyết sơ đồ tích phân (xem [13]) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ví dụ 1.3.5 Tập hợp y = x2 − mặt phẳng có điểm kì dị điểm (−1, 0) (1, 0) trùng với điểm kì dị tập hợp y = |x| O (Hình 1.5) lu an n va p ie gh tn to nl w d oa Hình 1.5: nf va an lu Định nghĩa 1.3.6 Hai biến dạng phơi phương trình ẩn (hoặc phơi phép vi đồng phôi trơn) gọi tương đương trơn hai biến dạng tạo thành phép vi đồng phôi trơn khác lm ul z at nh oi Định nghĩa 1.3.7 Sự biến dạng phôi phương trình vi phân ẩn gọi quy nạp từ phơi khác phôi thứ từ phôi nhận ánh xạ trơn phôi sở phôi sở thứ hai z Các dạng chuẩn tắc gm @ 1.4 m co l Ở trình bày định lý sở dạng chuẩn Trừ đặt điều kiện khác, xét đối tượng trơn (nghĩa lớp C ∞ ) an Lu n va ac th 10 si 1.4.1 Các ánh xạ đối hợp tốt Một trường hướng mặt gọi trơn lân cận điểm mặt, trường hướng phương trình vi phân trơn a (u, w) du + b (u, w) dw = 0, lu an n va p ie gh tn to u w tọa độ địa phương Các điểm mà hệ số a b đồng thời triệt tiêu gọi điểm kì dị trường hướng Một điểm kì dị trường hướng gọi không suy biến hàm số a b chọn cho giá trị riêng tuyến tính hóa trường véctơ (−b, a) điểm khác tỉ số giá trị riêng khác ±1 Các hướng véctơ riêng tương ứng gọi hướng riêng trường hướng Cho v trường hướng có điểm kì dị khơng suy biến O Tại ánh xạ đối hợp có đường điểm cố định qua O gọi tương thích với trường v đường thẳng hướng trường ảnh ánh xạ đối hợp trùng d oa nl w Định nghĩa 1.4.1 Một ánh xạ đối hợp tương ứng với trường v gọi v−tốt hướng riêng trường v đạo hàm ánh xạ đối hợp O riêng biệt đơi lu nf va an Ví dụ 1.4.2 Giả sử coi x p tọa độ mặt phương trình 2y = p2 + χx2 , 6= χ 6= 1/4 O điểm kì dị khơng suy biến trường hướng v phương trình Ánh xạ đối hợp (x, p) 7→ (x, −p) mặt v−tốt z at nh oi lm ul z Hai đối tượng (các phôi phép đối hợp hay đường cong, hướng điểm ) gọi tương đương dọc trường v v−tương đương chúng biến đổi thành đối tượng khác phép C∞ −vi đồng phôi mặt phẳng cho đường cong tích phân trường ánh xạ vào co l gm @ m Bổ đề 1.4.3 Trường véctơ h trường biến dạng vi phân phép đối hợp σ σ∗ h = −h an Lu n va ac th 11 si Bổ đề 1.4.4 Nếu g biến dạng phép biến đổi đồng với vận tốc h phép đối hợp biến dạng với vận tốc h − σ∗ h (nếu phép vi đồng phôi g đối hợp σ đến phép đối hợp ghg −1 ) Bổ đề 1.4.5 Các phôi hai phép đối hợp v−tốt O với đường điểm cố định v−tương đương Chứng minh Cho σ1 σ2 đối hợp v−tốt có đường điểm cố định Lấy hàm số trơn ϕ, ϕ(0) = 0, có đạo hàm khác khơng O theo hướng từ hướng riêng đối hợp σ1 O, địa phương lân cận O, tọa độ x = ϕ + σ1∗ ϕ, y = ϕ − σ1∗ ϕ phép đối hợp σ1 σ2 có dạng lu σ1 : (x, y) 7→ (x, −y), an n va σ2 : (x, y) 7→ (x + y r(x, y), −y + y s(x, y)), p ie gh tn to với r s hàm số trơn, phép đối hợp σ1 σ2 có đường điểm cố định, đạo hàm đối hợp giống đường điểm cố định x y nhỏ, hai phép đối hợp σ1 σ2 v− tốt Do đó, tồn tọa độ ξ = x + y R(x, y) η = y + y S(x, y), với R S hàm số trơn mà phép đối hợp có dạng σ2 : (ξ, η) 7→ (ξ, −η) Xét biến dạng trơn γt : (ξt , ηt ) 7→ (ξt , −ηt ) địa phương lân cận O đối hợp σ1 σ2 với ξt = x + ty R(x, y), ηt = y + ty S(x, y) Ta có γ0 = σ1 , γ1 = σ2 Ký hiệu Vt vận tốc biến dạng Lấy trường véctơ trơn v˜, cho trường v˜ trường hướng có điểm kì dị khơng suy biến O Bổ đề 1.4.5 chứng minh địa phương lân cận đoạn [0, 1] trục t, vận tốc biến dạng cần tìm biểu diễn dạng d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Vt = ft v˜ − (γt∗ ft )γt ∗ v˜, z (1.6) gm @ m co l với ft hàm số trơn phụ thuộc t biến x, y Chỉ rằng, biểu diễn thực xảy Thật vậy, giải phương trình đồng điều (1.6) ft xây dựng trường v˜, ảnh trường phép đối hợp γt không cộng tuyến đường điểm cố định an Lu n va ac th 12 si Vận tốc biến dạng V (chỉ số t bỏ đi), ta thấy có O đường cong y = 0(η = 0) Do Bổ đề 1.4.3, ta có γ∗ V = −V nên V (ξ, η) = η p(ξ, η ) ∂ ∂ + η q(ξ, η ) , ∂ξ ∂η (1.7) với p q hàm số trơn Trên đường điểm cố định với phép đối hợp γ ta có γ∗ v˜ = −˜ v Do đó, ∂ ∂ v˜(ξ, η) = ηl(ξ, η) + m(ξ, η) , (1.8) ∂ξ ∂η lu an n va ie gh tn to với l m hàm số trơn Giả sử f tổng hàm chẵn không lẻ theo η cho f (ξ, η ) = u(ξ, η ) + ηω(ξ, η ), với u ω hàm số trơn Đây giả thiết phép f biểu thức (1.7) (1.8) phương trình (1.6) dẫn tới hệ sau u ω:  uη(l(ξ, η) + l(ξ, −η)) + ωη (l(ξ, η) − l(ξ, −η)) = η p(ξ, η ); u(m(ξ, η) + m(ξ, −η)) + ωη(m(ξ, η) − m(ξ, −η)) = η q(ξ, η ) p Chia hai vế phương trình thứ hệ cho η, nhận hệ tuyến tính u, ω Định thức hệ có dạng η (4l(0, 0)mη (0, 0)+ H(ξ, η )), với H hàm số trơn Có m(0, 0) = 0; l(0, 0)mη (0, 0) 6= 0, điểm kì dị khơng suy biến Tiếp theo, xét tới vế phải hệ sau chia cho η , nhận địa phương lân cận đoạn [0, 1] trục t tồn nghiệm trơn u, ω hệ Bổ đề 1.4.5 chứng minh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Bổ đề 1.4.6 Các phôi O hai đường cong trơn nhúng được, tiếp xúc O v−tương đương đường cong trơn trường v theo hướng riêng không tiếp xúc với đường cong O z Chứng minh Cho v trường véctơ, với trường hướng v có điểm kì dị suy biến O Ký hiệu g t ánh xạ luồng pha trường thời gian t Tồn trình σ với trung tâm O Hai đường cong biểu diễn hai đường cong trơn, qua điểm đường hoành đến cặp phép chiếu trực tiếp dính vào Trường véctơ kéo dài điểm quy tiếp tuyến dính trực tiếp Do đó, thời gian chuyển động khỏi từ đường cong xét đến đường m co l gm @ an Lu n va ac th 13 si cong khác hàm số trơn τ đường cong thứ v−tương đương cần tìm có ánh xạ g T (.) (.), với T kéo dài trơn hàm số τ mặt phẳng Bổ đề 1.4.6 chứng minh lu an n va to gh tn Hình 1.6: p ie Bổ đề 1.4.7 Hai hướng O v−tương đương khác chúng nối (trong khơng gian hướng O) đường cong liên tục, không qua hướng riêng trường v O oa nl w d Chứng minh Phép vi đồng phôi chuyển dịch đường cong tích phân trường v, chuyển dịch hình quạt mở từ hình quạt mở, hình quạt mà khơng gian hướng C (đây không gian phép chiếu chiều) phân chia hướng riêng trường v O Ngược lại, hai hướng từ hình quạt trường v˜ = Ax + (với z = (x, y) ba chấm nghĩa phần tử lũy thừa cấp cao theo z) có điểm kì dị khơng suy biến O, đến ánh xạ ánh xạ khác eAt t thích hợp (Hình 1.6) Do đó, dẫn đến phép chiếu luồng pha trường v Bổ đề 1.4.7 chứng minh nf va an lu z at nh oi lm ul z l gm @ Cố định trường hướng v với điểm kì dị khơng suy biến O co m Định lý 1.4.8 Các phôi O hai ánh xạ đối hợp v−tốt v−tương đương tiếp tuyến O đến đường thẳng cố định phép đối hợp nối khơng gian hướng an Lu n va ac th 14 si O với đường cong liên tục không qua hướng riêng trường v O lu an n va gh tn to Chứng minh Cho tiếp tuyến O qua đường điểm kì dị hai phép đối hợp v−tốt, kết hợp không gian hướng đường cong liên tục O không qua trường v theo hướng riêng O Khi v−tương đương thuộc tiếp tuyến theo Bổ đề 1.4.7 Suy ra, phôi đường điểm cố định O đối hợp v−tương đương theo Bổ đề 1.4.6 Từ nhận phơi O hai đối hợp v− tương đương theo Bổ đề 1.4.5 Ngược lại, phôi O hai đối hợp v−tốt v−tương đương, phơi O đường điểm cố định hướng tiếp tuyến tới đường điểm cố định O v−tương đương Theo Bổ đề 1.4.6 trường kết hợp khơng gian hướng O với đường cong liên tục, không qua trường hướng v O p ie Định lý 1.4.9 Số v−lớp tương đương phôi O ánh xạ đối hợp v−tốt (tương ứng 1) O yên ngựa điểm nút (tương ứng tiêu điểm) trường cố định v nl w d oa Nhận xét 1.4.10 Tập ánh xạ đối hợp v−tốt mở tôpô C1 trù mật hầu khắp nơi tôpô C∞ không gian phép đối hợp tương thích với trường v nf va an lu Các điểm kì dị chuẩn tắc lm ul 1.4.2 z at nh oi Số mũ điểm kì dị không suy biến trường hướng xác định tỷ số giá trị riêng với môđun cực đại tuyến tính trường vectơ tương ứng giá trị riêng với môđun cực tiểu yên ngựa điểm nút Các môđun tỷ số phần ảo giá trị riêng phần thực tiêu điểm; Các số mũ bảo tồn phép vi đồng phôi Một điểm kì dị khơng suy biến trường hướng gọi Ck −chuẩn tắc phôi điểm họ đường cong tích phân trường phép Ck −phép vi đồng phôi đến phôi O họ quỹ đạo pha z m co l gm @ an Lu n va ac th 15 si trường vectơ tuyến tính v2 , v2 v3 yên ngựa, điểm nút tiêu điểm Trong ! ! x v2 (x, y) = , (1.9) α y ! ! −α x v3 (x, y) = , (1.10) α y với α số mũ điểm kì dị Các kí hiệu v2 v3 sử dụng để kí hiệu trường hướng xác định phương trình vi phân với trường vectơ Phép đối hợp lu an θ1 : (x, y) 7→ (((α + 1) x − 2αy) / (α − 1) , (2x − (α + 1) y) / (α − 1)) n va tn to v2 −tốt phép đối hợp θ2 : (x, y) 7→ (x − 2αy/α, −y) v3 −tốt Cho O điểm kì dị C∞ −chuẩn tắc trường v với số mũ α p ie gh Định lý 1.4.11 Các phôi O trường hướng v họ đường cong tích phân ánh xạ đối hợp v−tốt đồng thời rút gọn phép C∞ −vi đồng phôi mặt phẳng tới phôi O trường hướng v2 (v3 ) họ đường cong tích phân ánh xạ đối hợp θ1 (θ2 ) yên ngựa, điểm nút (tương ứng tiêu điểm) d oa nl w nf va an lu Nhận xét 1.4.12 Các điều kiện C ∞ −chuẩn tắc yêu cầu Định lý 1.4.11 thỏa mãn Nghĩa là: Theo Định lý Siegel, yên ngựa C∞ −chuẩn tắc (1, α) điểm dạng (M, v) (nghĩa z at nh oi lm ul {|1 − m1 − m2 α|} , |1 − m1 − m2 α| ≥ M/|m|v z tất vectơ tích phân m = (m1 , m2 ) với số mũ không âm, m1 + m2 ≥ 2) Độ đo tập hợp điểm mà không điểm dạng (M, v) với M > v > Một điểm nút C∞ −chuẩn tắc số mũ khơng số tự nhiên Đối với trường vectơ trơn mặt phẳng thuộc tập không gian trường (trong tôpô mịn Whitney), tập mở tôpô C1 trù mật hầu khắp nơi tôpô C∞ , điều kiện thực điểm nút trường m co l gm @ an Lu n va ac th 16 si Các tiêu điểm không suy biến C∞ −chuẩn tắc Sử dụng phép đồng phôi (hoặc phépC0 −vi đồng phôi) "khử bỏ" số mũ α điểm kì dị không yêu cầu C∞ − chuẩn tắc điểm Giả sử O điểm kì dị khơng suy biến trường v Định lý 1.4.13 Các phôi O trường hướng v họ đường cong tích phân ánh xạ đối hợp v−tốt đồng thời rút gọn phép đồng phôi mặt phẳng thành phôi O trường hướng v2 (v2 v3 ) họ đường cong tích phân phép đối hợp θ1 (θ1 θ2 ) với α = −2 (α = 2, α = 1) yên ngựa (tương ứng điểm nút tiêu điểm) lu an 1.4.3 Các điểm kì dị gấp lùi n va p ie gh tn to Các ánh xạ gấp phương trình F (x, y, p) = xác định phép đối hợp gấp phương trình lân cận điểm tới hạn gấp Whitney Trên mặt phương trình, phép đối hợp hốn đổi vị trí điểm mà ảnh ánh xạ gấp phương trình trùng Một điểm kì dị khơng quy phương trình F (x, y, p) = gấp phương trình có điểm tới hạn gấp Whitney gọi yên ngựa gấp, nút gấp tiêu điểm gấp thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: Trường hướng v phương trình có điểm yên ngựa không suy biến, điểm nút không suy biến, tiêu điểm không suy biến tương ứng điểm Phép đối hợp gấp phương trình xác định lân cận điểm kì dị v−tốt Các điểm kì dị ba dạng gọi điểm kì dị gấp Ở Ví dụ 1.4.2 có d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ 1 ⇒ y2 − =0 4χ 4χ l gm 2y = p2 + χx2 ⇒ 2y = y + 4χy ⇒ y = m co có yên ngựa gấp với χ < , nút gấp với < χ < 1/4 tiêu điểm gấp với O tương ứng 1/4 < χ Phôi phép đối hợp gấp điểm kì dị gấp phương trình F (x, y, p) = tốt trường hướng phương trình Điều an Lu n va ac th 17 si ngược lại Định lý 1.4.14 Cho trường hướng v có điểm kì dị khơng suy biến O phép đối hợp v−tốt Khi đó, phơi O v v−tốt phép C∞ −vi đồng phôi tới phơi điểm kì dị gấp trường hướng phép đối hợp gấp phương trình F (x, y, p) = lu Một điểm kì dị khơng quy phương trình F (x, y, p) = xếp li Whitney phương trình gấp gọi điểm kì dị lùi tính kì dị điểm lùi phương trình Phơi mặt phương trình F (x, y, p) = điểm kì dị lùi phương trình trùng với phơi O mặt x = pf (x, p), f hàm trơn, f (0, 0) = fp (0, 0) = < fpp (0, 0), hệ tọa độ chọn thích hợp mặt phẳng (x, y) Điểm kì dị lùi gọi elliptic (hoặc hyperbolic) fy (0, 0) < (tương ứng fy (0, 0) > 0) Eliptic hyperbolic điểm kì dị lùi khơng phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ an n va tn to Các tính kì dị gấp chuẩn tắc ie gh 1.4.4 p Điểm kì dị gấp phương trình F (x, y, p) = gọi C∞ −chuẩn tắc điểm kì dị C∞ −chuẩn tắc trường hướng phương trình d oa nl w nf va an lu Định lý 1.4.15 Ảnh phôi họ đường cong tích phân phương trình F (x, y, p) = điểm kì dị gấp C∞ −chuẩn tắc yên ngựa, điểm nút tiêu điểm ánh xạ gấp phương trình phép C∞ −vi đồng phôi tới phôi O họ đường cong lm ul  −α y| x √  ± y = c, c ∈ R, α (1.11)  √  √ ± y = c ∪ (x ± y = 0), c ∈ R, (1.12) @ α y| x z |x˙ ± √ −α z at nh oi |x ± √ gm m co l  ±α√y = R sin(α ln R + c) , ≤ c ≤ 2π, (1.13) x ± √yR cos(α ln R + c) q √
2 x ± y + α2 y, α số mũ điểm kì dị (tỉ số R = đường cong nghịch ảnh ảnh đồng nhất) an Lu n va ac th 18 si Tại điểm mặt phương trình, phơi phương trình F = gọi phép Ck −vi đồng phơi tới phơi phương trình F1 = mặt phương trình cuối tồn phép Ck −vi đồng phôi lân cận phép chiếu quỹ đạo điểm mặt phẳng (x, y), mà biến đổi phôi họ quỹ đạo pha phương trình thành phơi khác (0 ≤ k; k = ta nói phôi tương đương tôpô) Dạng chuẩn tắc trơn p2 = x phơi (trong trường hợp giải tích) phương trình điển hình F (x, y, p) = điểm kì dị quy tìm thấy Cibrario trình bày lại Bruce I W Dara L Trong Bruce I W sử dụng dạng p2 = xE (x, y), với E hàm trơn nhận Thom lu an n va gh tn to Định lý 1.4.16 Phơi phương trình F (x, y, p) = điểm kì dị gấp C∞ −chuẩn tắc phép C∞ −vi đồng phôi tới phôi O phương trình

(p + kx)2 = y với k = α(α + 1)−2 /2 k = + α2 /8 , α số mũ điểm kì dị yên ngựa, điểm nút (tương ứng tiêu điểm) p ie Nhận xét 1.4.17 Trong hai mục trước ta thấy điều kiện Định lý 1.4.15 Định lý 1.4.16 thực Ví dụ như, tất nút gấp tiêu điểm gấp phương trình điển hình F (x, y, p) = C∞ −chuẩn tắc
Sự thay đổi biến số x˜ = x, y˜ = y + kx2 /2 quy dạng chuẩn
tắc (p + kx)2 = y đến dạng chuẩn tắc Dara y = p2 + χx2 /2 với χ = 2k, k < 0, < k < 1/8 1/8 < k tương ứng yên ngựa, điểm nút, tiêu điểm Phương trình vi phân họ đường cong Định lý 1.4.15 quy dạng chuẩn tắc Định lý 1.4.16 kéo
−2 căng x˜ = ax, y˜ = ay với a = 4(α + 1)2 α−2 (tương ứng, a = 16 + α2 ) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Định lý 1.4.18 Các phơi phương trình F (x, y, p) = điểm kì dị gấp phương trình tương đương tôpô tới phôi phương trình (p − x)2 = y yên ngựa, (p + x/9)2 = y điểm nút (p + x/4)2 = y tiêu điểm m co l gm @ an Lu n va ac th 19 si Chương Phân loại tính kì dị lu Trong chương này, trình bày tính kì dị điểm hệ ẩn cấp đa tạp chiều lên quỹ đạo trơn tương đương cho trường hợp tổng quát trường hợp Clairaut tổng quát Từ đó, phân loại địa phương đưa đến hệ mặt phẳng R2 an n va ie gh tn to Các phương trình dạng Clairaut lý thuyết kì dị Legendre p 2.1 w Legendrian không gấp oa nl 2.1.1 d Xét chùm −tia J (R × R, R) −dạng tắc Θ khơng gian Giả sử (t, x) tọa độ tắc R × R (t, x, y, q, p) tọa độ tương ứng J (R × R, R) Khi đó, −dạng tắc cho Θ = dy − pdx − qdt = θ − qdt Phép chiếu tự nhiên nf va an lu lm ul z at nh oi Π : J (R × R, R) → R × R × R z xác định Π (t, x, y, q, p) = (t, x, y) Gọi chùm −tia chùm −tia khơng gấp Cho (µ, f ) phương trình với tích phân
đầy đủ Khi đó, tồn phôi hàm h : R2 , → R cho f ∗ θ = hdµ Xác định phơi ánh xạ
`(µ,f ) : R2 , → J (R × R, R) m co l gm @ an Lu `(µ,f ) (u) = (µ (u) , x ◦ f (u) , y ◦ f (u) , h (u) , p ◦ f (u)) n va ac th 20 si Khi đó, (µ, f ) phương trình dạng Clairaut, `(µ,f ) phơi nhúng chìm Legendrian Gọi `(µ,f ) Legendrian khơng gấp đầy đủ liên kết với (µ, f )
Mệnh đề 2.1.1 Cho (µ, f ) : R2 , → R × J (R, R) ⊂ P T ∗ R2 phương trình với tích phân đầy đủ Khi `(µ,f ) phương trình dạng Clairaut `(µ,f ) phơi nhúng chìm Legendrian khơng kì dị Legendrian Legendrian khơng gấp đầy đủ `(µ,f ) liên kết với (µ, f ) gọi Legendrian khơng gấp dạng Clairaut `(µ,f ) phương trình dạng Clairaut lu 2.1.2 Tính tổng qt an n va p ie gh tn to Quay trở lại nghiên cứu phương trình có tích phân đầy đủ, xây dựng khái niệm tích phân tổng quát sau:
Định nghĩa 2.1.2 Cho U ⊂ R2 tập mở, gọi Int U, R × J (R, R) tập hệ có tích phân y (à, f ) : U R ì J (R × R) Khi đó,
L U, J (R × R, R) tập Legendrian khơng gấp đầy đủ `(µ,f ) : U → J (R × R, R) nl w d oa Các tập không gian Tôpô trang bị Tôpô Whitney C ∞ Một tập khơng gian gọi tổng qt tập mở trù mật khơng gian Tính chất tổng quát phôi định nghĩa sau: Giả sử P tính chất phơi phương trình với tích phân
đầy đủ (µ, f ) : R2 , → R × J (R, R) (tương ứng, Legendrian khơng
gấp `(µ,f ) : R2 , → J (R × R, R)) Với tập mở U ⊂ R2 , kí hiệu
P (U ) tập (à, f ) Int U, R ì J (R, R) (tương ứng, `(µ,f ) ∈
L U, J (R × R, R) cho phơi x có biểu diễn cho (µ, f ) (tương ứng, `(µ,f ) ) có tính chất P với x ∈ U nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l Định nghĩa 2.1.3 Tính chất P gọi tổng quát với lân
cận U R2 , tập P (U ) tập Int U, R × J (R, R) Ánh xạ liên tục an Lu

(Π1 )∗ : L U, J (R × R, R) → Int U, R × J (R, R) n va ac th 21 si