Ch ng 4 ươ PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1ƯƠ Ấ 1 Đ nh nghĩa ị Ph ng trình vi phân c p 1 t ng quát có d ng ươ ấ ổ ạ F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) • Nghi m t ng quátệ ổ c a ph ng trình vi phân c p ủ ươ ấ 1[.]
Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp tổng qt có dạng F(x, y, y’) = Ở đây: hay y’ = f(x,y) x biến độc lập, y(x) hàm chưa biết y’(x) đạo hàm • Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hàm y=φ(x,c) • Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho số c giá trị cụ thể gọi nghiệm riêng • Nghiệm phương trình vi phân cấp nghiệm khơng nhận từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy giá trị gọi nghiệm kỳ dị VD: Xét phương trình vi phân cấp y' = − y dy y' = = − y dx Ta có: dy ⇒ = dx 1− y ⇒∫ (*) ( ĐK :y ≠ ± 1) dy = x + c ⇒ arcsin y = x + c 1− y ⇒ y = sin( x + c) Trường hợp: y=±1 Đây nghiệm tổng quát thỏa phương trình (*) nên nghiệm phương trình vi phân chúng khơng nhận từ nghiệm tổng quát nên nghiệm kỳ dị Bài tốn Cauchy Bài tốn Cauchy tốn tìm nghiệm phương trình vi phân cấp kiện ban đầu y(xo) = yo y’=f(x,y) thỏa điều VD: Xét tốn Cauchy dy y Ta có: y ' = = dx x dy dx ⇒ = y x y y' = x thỏa y(1) = ĐK :y ≠ dy dx ⇒∫ =∫ ⇒ ln y = ln x + ln c , c ≠ y x ⇒ y = c x, c ≠ Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải c=2 Vậy nghiệm toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 y=2.x Ta có: ∂P = y cos x ; ∂Q = y cos x − ∂y ∂x y Vậy khơng phải phương trình vi phân tồn phần ∂P − ∂Q ∂ y ∂ x Nhận xét: =1 P y Do thừa số tích phân H ( x) = e − ∫ dy y =1 y ⇒ ( y cos x + 1)dx + ( y sin x − x )dy = y y y phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình ta nghiệm tổng quát là: y sin x + x = c y ... Nghiệm phương trình vi phân cấp nghiệm không nhận từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy giá trị gọi nghiệm kỳ dị VD: Xét phương trình vi phân cấp y'' = − y dy y'' = = − y dx Ta có: dy ⇒ = dx 1? ?? y ⇒∫... 1? ?? y ⇒∫ (*) ( ĐK :y ≠ ± 1) dy = x + c ⇒ arcsin y = x + c 1? ?? y ⇒ y = sin( x + c) Trường hợp: y=? ?1 Đây nghiệm tổng quát thỏa phương trình (*) nên nghiệm phương trình vi phân chúng không nhận từ... ∂ x Nhận xét: =1 P y Do thừa số tích phân H ( x) = e − ∫ dy y =1 y ⇒ ( y cos x + 1) dx + ( y sin x − x )dy = y y y phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình ta nghiệm tổng quát là: y sin