Phuong trinh vi phan cap 1

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp tổng qt có dạng F(x, y, y’) = Ở đây: hay y’ = f(x,y) x biến độc lập, y(x) hàm chưa biết y’(x) đạo hàm  Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hàm y=φ(x,c))  Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho số c) giá trị cụ thể gọi nghiệm riêng  Nghiệm phương trình vi phân cấp nghiệm khơng nhận từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy giá trị gọi nghiệm kỳ dị VD: Xét phương trình vi phân cấp Ta có: y'   y dy y'    y dx dy  dx 1 y   (*) ( ĐK :y 1) dy x  c)  arcsin y  x  c) 1 y  y sin( x  c)) Trường hợp: y=±1 Đây nghiệm tổng quát thỏa phương trình (*) nên nghiệm phương trình vi phân chúng không nhận từ nghiệm tổng quát nên nghiệm kỳ dị Bài toán Cauchy Bài tốn Cauchy tốn tìm nghiệm phương trình vi phân cấp kiện ban đầu y(xo) = yo y’=f(x,y) thỏa điều VD: Xét toán Cauchy dy y Ta có: y '   dx x dy dx   y x y y'  x thỏa y(1) = ĐK :y 0 dy dx     ln y ln x  ln c) , c) 0 y x  y c) x, c) 0 Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải c)=2 Vậy nghiệm toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 y=2.x Nhận xét: Nghiệm toán Cauchy nghiệm riêng Các loại phương trình vi phân cấp 3.1 Phương trình tách biến a Dạng: f(x)dx + g(y)dy = b Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta nghiệm tổng quát phương trình là: f ( x)dx  g ( y)dy c) VD: Giải phương trình vi phân xdx  ydy 0 Ta có: xdx  ydy c) y x   c) 2 2  x  y 2c) nghiệm phương trình c Một số phương trình vi phân cấp đưa dạng tách biến  Phương trình dạng: y’=f(y) • Nếu f(y) ≠ phương trình đưa dạng tách biến: dy dx f ( y) • Nếu f(y) = có nghiệm y=b nghiệm riêng phương trình y=b VD: Tìm nghiệm phương trình  1 y y'  y thỏa điều kiện 1 y( )  2 1 y dy Ta có: y '   dx y y   dy dx ( ĐK : y 1) 1 y y   dy dx 1 y   y  x  c) Từ điều kiện đầu ta giải c) = y( )  2 Vậy nghiệm toán Trường hợp: y 1 nên ta loại nghiệm  y x không thỏa điều kiện đầu ... 0 Vì 2 (1  x ). (1  y ) 0 chia vế phương trình cho 2 (1  x ). (1  y ) ta phương trình tách biến: x dx  y dy 0 2 1? ?? x 1? ?? y y x   dx   dy c) 1? ?? x 1? ?? y 2 1  ln (1  x )  ln (1  y ) c)... *  (1  x ). (1  y ) e c) VD2: Tìm nghiệm phương trình: xy dy  ( y  1) dx Nếu (*) x.( y  1) 0 , chia vế phương trình cho y x.( y  1) ta dy  dx 0 y ? ?1 x y   dy  ? ?1 dx c) y ? ?1 x y... trình y=b VD: Tìm nghiệm phương trình  1? ?? y y''  y thỏa điều kiện 1 y( )  2 1? ?? y dy Ta có: y ''   dx y y   dy dx ( ĐK : y ? ?1) 1? ?? y y   dy dx 1? ?? y   y  x  c) Từ điều kiện đầu ta