Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si iii Mục lục Mở đầu lu Bảng ký hiệu danh sách viết tắt an n va p ie gh tn to Chương Bài toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1 Bài tốn điểm bất động tách khơng gian Hilbert 1.1.1 Ánh xạ không giãn phép chiếu mêtric 1.1.2 Bài toán điểm bất động 1.1.3 Bài toán điểm bất động tách 10 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 11 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu 11 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 13 1.2.3 Mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 14 d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng phân với ràng buộc điểm bất động tách 2.1 Bài toán phương pháp 2.1.1 Bài toán 2.1.2 Phương pháp 2.2 Sự hội tụ 2.2.1 Định lý hội tụ 2.2.2 Một số hệ 2.2.3 Ví dụ minh họa z m co l gm @ an Lu thức biến 17 17 17 19 20 20 30 33 n va ac th si iv Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu danh sách viết tắt lu an n va không gian Hilbert thực tập tập H phép chiếu mêtric lên tập C tập điểm bất động ánh xạ T toán bất đẳng thức biến phân toán chấp nhận tách toán điểm bất động tách p ie gh tn to H 2H PC Fix(T ) VIP SFP SFPP d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va tn to Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng h., i chuẩn k.k, C tập lồi, đóng khác rỗng H, F ánh xạ từ tập H chứa C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C , ký hiệu VIP(F ,C ), phát biểu sau: (1) ie gh Tìm x∗ ∈ C cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C p Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia công bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu tốn lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đến nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, toán bất đẳng thức biến phân tách, toán bất đẳng thức biến phân véc-tơ, toán bất đẳng thức biến phân ẩn Bài toán bất đẳng thức biến phân thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhà tốn học mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng lĩnh vực khác toán ứng dụng lý thuyết tối ưu, toán bù, toán điểm bất động, lý thuyết trị chơi, cân mạng giao thơng Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân xây dựng phương pháp giải Trong phương pháp giải tốn bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu đóng vai trị quan trọng đơn giản thuận lợi q trình tính tốn Mục tiêu đề tài luận văn đọc hiểu trình bày lại phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách báo [3] cơng bố năm 2017 Bài tốn trình bày cụ thể sau: Cho C Q tập lồi đóng d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si không gian Hilbert H1 H2 , F : C → H1 ánh xạ đơn điệu mạnh, A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn, T : C → C , S : Q → Q ánh xạ khơng giãn Bài tốn bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách VIP(F, Ω) tốn Tìm x∗ ∈ Ω cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ Ω, (2) Ω tập nghiệm toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), ký hiệu SFPP: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) cho Ax∗ ∈ Fix(S), (3) lu an n va p ie gh tn to Fix(T ), Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ T ánh xạ S Nội dung đề tài luận văn viết hai chương Chương 1: Bài toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chương trình bày khái niệm ánh xạ khơng giãn, phép chiếu mêtric, toán điểm bất động tách, toán bất đẳng thức biến phân, mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động không gian Hilbert thực H Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1, 2, 5, 7, 8, 13] Chương Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương trình bày phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách không gian Hilbert Nội dung chương viết dựa báo [3] công bố năm 2017 d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z Luận văn hoàn thành Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu để em hoàn thành luận văn Em bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới q thầy giáo Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học m co l gm @ an Lu n va ac th si Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Ân Thi, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả luận văn lu Nguyễn Thị Mỵ an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bài toán điểm bất động tách lu toán bất đẳng thức biến phân an n va ie gh tn to khơng gian Hilbert p Chương trình bày số kiến thức liên quan đến toán điểm bất nl w động, toán điểm bất động tách tốn bất đẳng thức biến phân oa khơng gian Hilbert thực Mục 1.1 giới thiệu toán điểm bất động, d toán điểm bất động tách, trình bày số tính chất phép chiếu mêtric lu va an tính chất tập nghiệm toán điểm bất động Mục 1.2 giới thiệu nf toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu trình bày mối liên hệ tốn oi lm ul bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động không gian Hilbert thực Kiến thức chương viết sở tài liệu [1, 2, 4] z at nh 1.1 Bài toán điểm bất động tách không gian Hilbert z gm @ Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i chuẩn k.k, l tương ứng Cho {xn } dãy không gian H Ta ký hiệu xn * x nghĩa m co dãy {xn } hội tụ yếu đến x xn → x nghĩa dãy {xn } hội tụ mạnh đến x an Lu n va ac th si 1.1.1 Ánh xạ không giãn phép chiếu mêtric Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H (i) Ánh xạ T : C → H gọi ánh xạ L–liên tục Lipschitz C tồn số L ≥ cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C (1.1) lu (ii) Trong (1.1), L ∈ [0, 1) T gọi ánh xạ co; L = T an gọi ánh xạ khơng giãn va n Sau ta xét hình chiếu phần tử x ∈ H lên C tn to Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng gh p ie không gian Hilbert thực H Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần w tử PC (x) ∈ C xác định (1.2) oa nl kx − PC (x)k ≤ kx − yk với y ∈ C d gọi toán tử chiếu (hay phép chiếu mêtric) chiếu H lên C an lu va Định lý 1.1.3 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng oi lm cho (1.2) thỏa mãn ul nf gian Hilbert thực H Với x ∈ H, tồn phần tử PC (x) ∈ C z at nh Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kx − uk Khi đó, tồn {un } ⊂ C u∈C z cho kx − un k −→ d, n −→ ∞ Từ ta có kun − um k2 = (x − un ) − (x − um )
2 2 u + u n m = 2
x − un + 2
x − um − 4
x − 2 ≤ x − un + x − um − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ m co l gm @ an Lu Do {un } dãy Cauchy không gian Hilbert thực H Suy tồn n→∞ n va u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử tồn ac th si 24 Sử dụng tính chất khơng giãn phép chiếu PC , ta k+1 y − yk
2 = PC xk+1 + δA∗ Suk+1 − Axk+1 − PC xk + δA∗ Suk − Axk
2 ≤ xk+1 + δA∗ Suk+1 − Axk+1 − xk − δA∗ Suk − Axk
2 = xk+1 − xk + δA∗ Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1
2 = xk+1 − xk + δ A∗ Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 +2δ xk+1 − xk , A∗ Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 (2.12) lu an n va tn to Vì A∗ tốn tử tuyến tính bị chặn nên ∗ A Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 2 ≤ kA∗ k2 Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 = kAk2 Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 p Đặt ie gh (2.13) nl w Θk := 2δhxk+1 − xk , A∗ (Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 )i d oa sử dụng tính chất khơng giãn ánh xạ S PQ , ta Θk = 2δ A xk+1 − xk , Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 = 2δ Axk+1 − Axk , Suk+1 − Suk − 2δ Axk+1 − Axk h k+1 i k+1 k k k+1 k = δ Su − Su − Ax − Ax − Su − Su − δ Axk+1 − Axk h
2
2 ≤ δ PQ Axk+1 − PQ Axk − Axk+1 − Axk − Suk+1 − Suk −kAxk+1 − Axk k2
2 ≤ −δ Axk+1 − Axk − Suk+1 − Suk (2.14) oi lm ul nf va an lu z at nh z gm @ m co l Kết hợp (2.13), (2.14) với (2.12), ta k+1 2 y − y k ≤ xk+1 − xk −δ − δkAk2 Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 k→∞ n lim xk − T y k = va k→∞ an Lu Bước 4: Chứng minh lim xk+1 − xk = 0, (2.15) ac th si 25 , ta kAk2 + k+1 y − y k ≤ xk+1 − xk Từ (2.11) < δ < ∀k ∈ N (2.16) Đặt tk = T (z k ) Từ tính khơng giãn ánh xạ T , PC , (2.16) Bổ đề lu an n va p ie gh tn to 2.1.2, ta k+1 t − tk = T z k+1 − T z k ≤ z k+1 − z k = PC y k+1 − λk+1 µF y k+1 − PC y k − λk µF y k ≤ y k+1 − λk+1 µF y k+1 − y k + λk µF y k = y k+1 − λk µF y k+1 − y k − λk µF y k + µ (λk − λk+1 ) F y k+1 ≤ (1 − λk τ ) y k+1 − y k + µ|λk − λk+1 F y k+1 ≤ (1 − λk τ ) xk+1 − xk + µ|λk − λk+1 F y k+1 d oa nl w Hay k+1 t − tk − xk+1 − xk ≤ −λk τ xk+1 − xk + µ|λk − λk+1 F y k+1 lu Vì dãy {xk }, {F (y k )} bị chặn lim λk = 0, ta va an k→∞ oi lm Do đó, theo Bổ đề 2.1.3 ul k→∞ nf
lim sup tk+1 − tk − xk+1 − xk ≤ k→∞ Vì z at nh lim tk − xk = z m co l gm @ k+1 x − xk = (1 − αk ) tk − xk ≤ tk − xk an Lu n va ac th si 26 k x − T y k ≤ xk − tk + tk − T y k = xk − tk + T z k − T y k ≤ xk − tk + z k − y k = xk − tk + PC y k − λk µF y k − PC y k ≤ xk − tk + y k − λk µF y k − y k = xk − tk + λk µ F y k lu nên từ lim ktk − xk k = 0, lim λk = tính bị chặn dãy {F (y k )}, ta suy an k→∞ k→∞ lim xk+1 − xk = 0, n va k→∞ tn to k−→∞ lim xk − T y k = p ie gh Bước 5: Chứng minh lim y k − T y k = 0, k→∞ lim uk − Suk = (2.17) k→∞ d oa nl w Kết hợp tính khơng giãn ánh xạ T với T (x∗ ) = x∗ , ta có k+1
2 x − x∗ = αk xk − x∗ + (1 − αk ) T z k − x∗ 2 ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) T z k − x∗ 2 = αk xk − x∗ + (1 − αk ) T z k − T (x∗ )
2 ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) z k − x∗ oi lm ul nf va an lu (2.18) z at nh Từ bất đẳng thức (2.9) (2.3), ta suy k z − x∗ 2 ≤ (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k = (1 − λk τ )2 y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k h k i k k ∗ 2 k k ≤ (1 − λk τ ) x −x − δ − δkAk Su − Ax − δ u − Ax +λk µ kF (x∗ )k2 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k h k k i k ∗ 2 k k ≤ x −x − δ (1 − λk τ ) − δkAk Su − Ax + u − Ax +λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k (2.19) z m co l gm @ an Lu n va ac th si 27 Thay (2.19) vào (2.18), ta kxk+1 − x∗ k2 ≤ kx2 − x∗ k h k i k 2 k k −δ (1 − αk ) (1 − λk τ ) − δkAk Su − Ax + u − Ax + (1 − αk ) λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k (2.20) Đặt νk := δ (1 − αk ) (1 − λk τ )2 lu Ψk := (1 − αk ) λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k an n va Từ (2.20), ta có − δkAk2 kSuk − Axk + uk − Axk k2 k+1 k ∗ ∗ ≤ x −x − x −x + Ψk ≤ xk − x∗ + xk+1 − x∗ xk+1 − xk + Ψk p ie gh tn to νk (2.21) k→∞ nl w Vì lim kxk+1 − xk k = 0, dãy {xk } {y k } bị chặn, lim λk = k→∞ oa d limk→∞ αk = α ∈ (0, 1) nên vế phải (2.21) tiến tới k → ∞ Chú nên − δkAk2 > lim νk = δ(1 − α) > 0, ta ý rằng, δ ∈ 0, k→∞ kAk + lim Suk − Axk = 0, lim uk − Axk = (2.22) ul nf va an lu k→∞ k→∞ oi lm z at nh Sử dụng tính chất khơng giãn phép chiếu PC {xk } ⊂ C , ta k y − xk = PC xk + δA∗ Suk − Axk − PC xk ≤ xk + δA∗ Suk − Axk − xk = δA∗ Suk − Axk ≤ δ kA∗ k Suk − Axk = δkAk Suk − Axk z m co l gm @ Kết hợp với (2.22), ta suy k→∞ an Lu lim y k − xk = (2.23) n va ac th si 28 Theo bất đẳng thức tam giác k y − T y k ≤ xk − y k + xk − T y k k u − Suk ≤ uk − Axk + Suk − Axk từ đó, theo (2.23), (2.15) (2.22), ta có lim ky k − T (y k )k = 0, lim kuk − Suk k = k→∞ (2.24) k→∞ Bước 6: Chứng minh lu lim suphF (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k )i ≤ an k→∞ n va Lấy dãy {y ki } dãy {y k } cho to tn lim suphF (x∗ ), x∗ − y k i = lim hF (x∗ ), x∗ − y k1 i i→∞ gh k→∞ p ie Vì dãy {y ki } bị chặn nên ta giả sử y ki * y Do i→∞ k→∞ = hF (x∗ ), x∗ − yi d oa nl w lim suphF (x∗ ), x∗ − y k i = lim hF (x∗ ), x∗ − y k1 i lu an Vì tập C lồi đóng nên đóng yếu Do từ {y ki } ⊂ C y ki * y, ta suy nf va y ∈ C Ta chứng minh y ∈ Fix(T ) oi lm ul / Fix(T ), tức y 6= T (y) Vì y ki * y T ánh xạ Giả sử trái lại y ∈∈ không giãn nên từ (2.17) Bổ đề 2.1.4, ta z at nh @ i→∞ z lim inf ky ki − yk < lim inf ky ki − T (y)k i→∞ i→∞ ≤ lim inf ky ki − T (y ki )k + kT (y ki ) − T (y)k i→∞ i→∞ m co ≤ lim inf ky ki − yk l gm = lim inf kT (y ki ) − T (y)k k→∞ ki ki x * y Do Ax * Ay Kết hợp với (2.22), ta có n va uki * Ay an Lu Điều vô lý Vậy y ∈ Fix(T ) Vì y ki * y lim ky k − xk k = 0, ta (2.25) ac th si 29 Vì {uki } ⊂ Q Q đóng yếu nên từ (2.25) ta có Ay ∈ Q Ta chứng minh Ay ∈ Fix(S) Giả sử trái lại S(Ay) 6= Ay, từ Bổ đề 2.1.4 (2.24), ta có lim inf kuki − Ayk < lim inf kuki − S(Ay)k i→∞ i→∞ = lim inf kuki − Suki + Suki − S(Ay)k i→∞ ≤ lim inf (kuki − Suki k + kSuki − S(Ay)k) i→∞ = lim inf kSuki − S(Ay)k lu i→∞ an ≤ lim inf kuki − Ayk n va i→∞ to Điều vơ lý Do Ay ∈ Fix(S) Từ y ∈ Fix(T ) Ay ∈ Fix(S), ta có gh tn y ∈ Ω Do đó, x∗ ∈ ΩF nên p ie hF (x∗ ), y − x∗ i ≥ w Kết hợp hF (x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, lim λk = tính bị chặn dãy {F (y k )}, ta d oa nl có k→∞ ul k→∞ nf va an lu lim suphF (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k ) k→∞ = lim sup hF (x∗ ), x∗ − y k i + λk µhF (x∗ ), F (y k ) k→∞ ∗ oi lm = lim suphF (x∗ ), x∗ − y k i z at nh = hF (x ), x∗ − yi ≤ z Bước 7: Chứng minh dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ @ gm Kết hợp tính chất khơng giãn phép chiếu PC , bất đẳng thức m co l kx − yk2 ≤ kxk2 − 2hy, x − yi ∀x, y ∈ H1 , an Lu n va ac th si 30 Bổ đề 2.1.2 (2.8), ta kz k − x∗ k2 = kPC (y k − λk µF (xk )) − PC (x∗ )k2 ≤ ky k − λk µF (y k ) − x∗ k2 = ky k − λk µF (y k ) − [x∗ − λk µF (y k )] − λk µF (y k )k2 ≤ ky k − λk µF (y k ) − [x∗ − λk µF (y k )]k2 − λk µhF (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ i ≤ (1 − λk τ )2 ky k − x∗ k2 − 2λk µhF (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ i lu ≤ (1 − λk τ )ky k − x∗ k2 − 2λk µhF (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ i an n va Thế bất đẳng thức vào (2.18), ta có ≤ αk kxk − x∗ k2 + (1 − αk )(1 − λk τ )kxk − x∗ k2 ie gh tn to kxk+1 − x∗ k2 ≤ αk kxk − x∗ k2 + (1 − αk )kz k − x∗ k2 p − 2λk µ(1 − αk )hF (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ i (2.26) oa nl w = [1 − λk (1 − αk )τ ]kxk − x∗ k2 + λk (1 − αk )τ θk , d an lu θk = nf va Vì 2µ hF (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (xk )i τ nên oi lm k→∞ ul lim suphF (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (xk )i ≤ 0, z at nh lim sup θk ≤ k→∞ m co l Một số hệ gm k=0 @ λk (1 − αk )τ = ∞ nên áp dụng Bổ đề 2.1.1 vào (2.26), ta xk → x∗ Định lý 2.2.1 chứng minh 2.2.2 z Do đó, ∞ X an Lu Trước hết ta trình bày áp dụng cho tốn bất đẳng thức biến phân n va tách ac th si 31 Định nghĩa 2.2.2 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , F : C → H1 ánh xạ β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz C , F1 : C → H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược C F2 : Q → H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Bài toán bất đẳng thức biến phân tách tốn Tìm x∗ ∈ ΩF1 C cho Ax∗ ∈ ΩF2 Q , (2.27) ΩF1 C ΩF2 Q tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân lu an (2.28) Tìm y ∗ ∈ Q cho hF2 (y ∗ ), y − y ∗ i ≥ ∀y ∈ Q (2.29) n va Tìm x∗ ∈ C cho hF1 (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C p ie gh tn to Nhận xét 2.2.3 Xét ánh xạ F1 : C → H1 η1 -đơn điệu mạnh ngược nl w C F2 : Q → H2 η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Theo Bổ đề 1.2.8, với d oa ≤ ξ1 ≤ 2η1 < ξ2 ≤ 2η2 , ánh xạ T : C → C, S : Q → Q cho an lu T (x) = PC (x − ξ1 F1 (x)) ∀x ∈ C, ul nf va S(y) = PQ (y − ξ2 F2 (y)) ∀y ∈ Q oi lm ánh xạ không giãn Fix(T ) = ΩF1 C , Fix(S) = ΩF2 Q Theo Định lý 2.2.1, ta có hệ sau z at nh Hệ 2.2.4 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng z khơng gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính @ gm bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ Giả sử F : C → H1 β -đơn điệu mạnh l L-liên tục Lipschitz C, F1 : C → H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược m co C F2 : Q → H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Với x0 ∈ C an Lu n va ac th si 32 bất kỳ, xét dãy {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } sau uk = PQ (Axk ), v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )), y k = PC (xk + δA∗ (v k − Axk )), z k = PC (y k − λk µF (y k )), tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )), xk+1 = αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, lu an 2β δ ∈ 0, , < ξ1 ≤ 2η1 , < ξ2 ≤ 2η2 , µ ∈ 0, , {λk } kAk2 + L {αk } hai dãy số khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời điều kiện n va to gh tn (C2)–(C4) Định lý 2.2.1 Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm ie VIP(F, Ω) với điều kiện tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ ΩF1 C : Ax∗ ∈ ΩF2 Q } p toán bất đẳng thức biến phân tách (2.27)–(2.29) khác rỗng w oa nl Sau áp dụng cho tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ d Nhận xét 2.2.5 Ta xét trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.4 F (x) = x lu an với x ∈ C Dễ thấy F β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz C nf va với β = L = Khi tốn bất đẳng thức biến phân VIP(F, Ω) hệ đẳng thức biến phân tách oi lm ul trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn bất z at nh Từ Hệ 2.2.4 chọn tham số µ = 1, ta có hệ sau Hệ 2.2.6 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác z gm @ rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ , F1 : C → H1 ánh xạ η1 -đơn điệu l m co mạnh ngược C F2 : Q → H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ ΩF1 C ; Ax∗ ∈ ΩF2 Q } toán bất đẳng an Lu thức biến phân tách (2.27)–(2.29) khác rỗng Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy n va ac th si 33 {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } sau uk = PQ (Axk ), v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )), y k = PC (xk + δA∗ (v k − Axk )), z k = PC (y k − λk y k ), tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )), xk+1 = αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, lu 2β δ ∈ 0, , < ξ1 ≤ 2η1 , < ξ2 ≤ 2η2 , µ ∈ 0, , {λk } kAk2 + L {αk } hai dãy số khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời điều kiện an n va to tn (C2)–(C4) Định lý 2.2.1 Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, p ie gh kx∗ k = min{kxk : x ∈ Ω} Hệ 2.2.6 cho ta thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn Ví dụ minh họa an lu 2.2.3 d oa nl w bất đẳng thức biến phân tách, ánh xạ F1 , F2 đơn điệu mạnh ngược va Trong mục ta trình bày ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.1 Xét ul nf H1 = R3 với chuẩn kxk = (x21 + x22 + x23 ) với x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 z at nh Xét A : R3 → R2 cho oi lm H2 = R2 với chuẩn kyk = (y12 + y22 ) với y = (y1 , y2 )T ∈ R2 A(x) = (x1 + x3 , x2 + x3 )T z an Lu B(y) = (y1 , y2 , y1 + y2 )T m co Xét B : R2 → R3 cho l gm @ với x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 Khi đó, A tốn tử tuyến tính bị chặn từ R3 √ vào R2 với chuẩn kAk = n va với y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Khi đó, B tốn tử tuyến tính bị chặn từ R2 vào √ R3 với chuẩn kBk = ac th si 34 Với x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 y = (y1 , y2 )T ∈ R2 , ta có hA(x), yi = hx, B(y)i Do B = A∗ toán tử liên hợp A Xét C = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x1 + x2 − x3 ≥ 1} ánh xạ T : C → C xác định T (x) = PK1 (x) với x ∈ C tập K1 cho K1 = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 1} Vì tốn lu tử chiếu ánh xạ không giãn nên T ánh xạ không giãn Tập điểm bất động an T cho va n Fix(T ) = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 1} tn to Đặt gh p ie Q = {(y1 , y2 )T ∈ R2 : y1 − y2 ≥ 4} xét ánh xạ S : Q → Q cho S(y) = PK2 (y) với y ∈ Q tập oa nl w K2 cho K2 = {(y1 , y2 )T ∈ R2 : y1 − y2 = 4} Do S ánh xạ không giãn tập điểm bất động S cho d va an lu Fix(S) = {(y1 , y2 )T ∈ R2 : y1 − y2 = 4} ul nf Tập nghiệm Ω2 toán điểm bất động tách (SFPP) oi lm Ω2 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Fix(T ) : A(x) = A(x1 , x2 , x3 ) ∈ Fix(S)} z at nh = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 1, x1 − x2 = 4} = {(t + 4, t, 2t + 3)T : t ∈ R} z −5 −1 T , , Nghiệm có chuẩn nhỏ tốn điểm bất động tách x = 3 Chọn điểm xuất phát x0 = (4, 3, −6)T ∈ C bất kỳ, δ = 0, 2, λk = , k+2 k+1 αk = Ta thấy {λk } {αk } hai dãy số khoảng (0, 1) thỏa 2(k + 3) mãn đồng thời điều kiện ∗ m co l gm @ lim αk = k→∞ ∈ (0, 1) n k=0 va k→∞ λk (1 − αk ) = ∞ an Lu lim λk = 0, ∞ X ac th si 35 Sử dụng tiêu chuẩn dừng kxk+1 − xk k < ε = 10−6 ta có kết tính tốn Bảng 2.1 Bảng 2.1: Ví dụ số minh họa cho Định lý 2.2.1 xk1 xk2 xk3 4.00000 3.00000 −6.00000 0.93056 0.09722 −1.97222 0.60625 −0.33542 −1.22917 0.63155 −0.46645 −0.98490 0.71990 −0.54125 −0.87135 ··· ··· ··· ··· 7390 2.32615 −1.67115 −0.34500 7391 2.32615 −1.67115 −0.34500 7392 2.32615 −1.67115 −0.34500 7393 2.32615 −1.67115 −0.34500 7394 2.32615 −1.67115 −0.34500 lu Số bước lặp k an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu Nghiệm xấp xỉ sau 7394 bước lặp x7394 = (2.32615, −1.67115, −0.34500)T −5 −1 T ∗ xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ x = , , 3 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 Kết luận Đề tài luận văn trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức lu biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách an Cụ thể: n va (1) Trình bày mối quan hệ tốn bất đẳng thức biến phân, toán gh tn to điểm bất động; giới thiệu toán điểm bất động tách, toán bất đẳng thức biến phân tách p ie (2) Trình bày phương pháp lặp giải tốn bất đẳng thức biến phân với ràng nl w buộc điểm bất động tách sở phương pháp chiếu giải toán bất d oa đẳng thức biến phân kỹ thuật lặp Krasnoselskii–Mann tìm điểm bất an lu động ánh xạ khơng giãn nf va (3) Trình bày hệ phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân với oi lm ul tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách, tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán bất đẳng thức biến z at nh phân tách z m co l gm @ an Lu n va ac th si 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu [1] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà an n va Nội gh tn to Tiếng Anh p ie [2] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R (2009), Fixed point theory for nl w lipschitzian-type mappings with applications, Springer oa [3] T.V Anh, L.D Muu (2016), "A projection-fixed point method for a class d of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Opti- lu va an mization, 65(6), 1229-1243 ul nf [4] Byrne C (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the oi lm split feasibility problem", Inverse Problems, 18(2), 441–453 [5] Byrne C., Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "The split common null z at nh point problem", J Nonlinear Convex Anal., 13(4), 759–775 z [6] Censor Y., Elfving T (1994), "A multi projection algorithm using Bregman @ l gm projections in a product space", Numer Algorithms, 8(2-4), 221–239 [7] Ceng L.C., Ansari Q.H., Yao J.C (2012), "Relaxed extragradient meth- m co ods for finding minimum-norm solutions of the split feasibility problem", an Lu Nonlinear Anal., 75(4), 2116–2125 n inequality problem", Numer Algorithms, 59(2), 301–323 va [8] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "Algorithms for the split variational ac th si 38 [9] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontractive mappings", Inverse Problems, 26(5), ID: 055007 [10] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl., 150(2), 275–283 [11] Suzuki T (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequence for one–parameter nonexpansive semigroup without Bochner integrals", J Math Anal Appl., 305(1), 227–239 lu [12] Xu H.K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London an Math Soc 66(1), 240–256 n va [13] Xu H.K (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in gh tn to infinitedimensional Hilbert spaces", Inverse Problems, 26(10), ID: 105018 p ie [14] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive nl w mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Par- d oa allel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, oi lm ul nf va an lu Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 24/07/2023, 09:26
Xem thêm:
