(Luận văn) phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng hai cấp

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M lu Dữỡng Vôn Thi an n va ie gh tn to p PH×ÌNG PHP CHI˜U GIƒI B€I TON C…N BŒNG HAI C‡P d oa nl w oi lm ul nf va an lu LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh z m co l gm @ an Lu ThĂi Nguyản, nôm 2016 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M lu Dữỡng Vôn Thi an n va gh tn to p ie PH×ÌNG PHP CHI˜U GIƒI B€I TON C…N BŒNG HAI C‡P d oa nl w oi lm ul nf va an lu Chuyản ngnh: GiÊi Tẵch M số: 60.46.01.02 z at nh LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z gm @ l Ngữới hữợng dăn khoa hồc: m co GS.TSKH NGUYN XUN TN an Lu ThĂi Nguyản, nôm 2016 n va ac th si Líi cam oan Tỉi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc, khổng trũng lp vợi cĂc à ti khĂc v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc lu an ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 n va Ngữới viát luên vôn gh tn to p ie Dữỡng Vôn Thi d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va i ac th si Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh khõa 22 o tÔo ThÔc sắ cừa trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TS Nguyạn XuƠn TĐn, Viằn ToĂn hồc Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi thƯy lu hữợng dăn, ngữới  tÔo cho tổi mởt phữỡng phĂp nghiản cựu khoa hồc, an n va tinh thƯn lm viằc nghiảm túc v  dnh nhiÃu thới gian, cổng sực hữợng Tổi cụng xin by tọ lỏng cÊm ỡn sƠu sưc tợi cĂc thƯy cổ giĂo cừa trữớng ie gh tn to dăn tổi hon thnh luên vôn p Ôi hồc ThĂi Nguyản, Viằn ToĂn hồc, nhỳng ngữới  tên tẳnh giÊng dÔy, oa nl w khẵch lằ, ởng viản tổi vữủt qua nhỳng khõ khôn hồc têp d Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Khoa Sau Ôi hồc, Trữớng Ôi lu va an hồc Sữ phÔm  Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo måi i·u ki»n thuªn lđi, gióp ul nf ï tỉi st thíi gian tỉi håc tªp oi lm Ci cũng, tổi xin cÊm ỡn gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  ởng viản, z at nh ừng hở tæi º tæi câ thº ho n th nh tèt khâa håc v luên vôn cừa mẳnh z ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2016 m co l gm @ Ngữới viát luên vôn an Lu Dữỡng Vôn Thi n va ii ac th si Möc löc lu an n va i Líi c£m ìn ii tn to Líi cam oan iii v w Mởt số kỵ hiằu viát tưt nl p ie gh Möc löc d oa lu Mð Ưu 4 1.1.1 KhĂi niằm và têp lỗi v hm lỗi 1.1.2 Ôo hm v dữợi vi phƠn cừa hm lỗi Bi toĂn cƠn bơng v cĂc trữớng hủp riảng 11 1.2.1 B i to¡n tèi ÷u 12 1.2.2 Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 12 1.2.3 B i to¡n iºm b§t ëng 14 1.2.4 Bi toĂn cƠn bơng Nash trá chìi khỉng hđp t¡c 15 oi lm z at nh z m co l gm @ 1.2 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n cừa giÊi tẵch lỗi ul 1.1 nf va an Mởt số kián thực chuân bà an Lu n va iii ac th si 1.2.5 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng 16 1.3 B i to¡n cƠn bơng tữỡng ữỡng 19 1.4 Bi toĂn cƠn bơng hai cĐp 21 1.4.1 B i toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp 22 1.4.2 B i to¡n b§t ¯ng thực bián phƠn trản têp nghiằm cừa bi toĂn cƠn b¬ng 22 lu Phữỡng phĂp chiáu giÊi bi toĂn cƠn bơng an va n 2.1 24 Thuêt toĂn chiáu cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn giÊ Thuêt toĂn chiáu giÊi bi toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu 31 2.3 p döng gi£i mët sè b i to¡n hai c§p 42 gh tn 24 ie to ìn i»u 2.2 p w T¼m cüc tiºu cõa hm chuân Euclide trản têp nghiằm oa nl 2.3.1 42 d cừa bi toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu an lu GiÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản tªp nghi»m nf va 2.3.2 53 70 z m co l gm @ T i li»u tham kh£o 69 z at nh Kát luên oi lm ul cừa bi toĂn cƠn bơng an Lu n va iv ac th si Mởt số kỵ hiằu viát tưt an n va N têp số tỹ nhi¶n H khỉng gian Hilbert thüc Rn khỉng gian Euclide n chi·u hx, yi = xT y p kxk = hx, xi tẵch vổ hữợng cừa hai vctỡ x v y domf mi·n húu hi»u cõa h m f miÃn Ênh cừa Ănh xÔ F gh tn to têp số thỹc ie lu R p imF trản ỗ th cừa hm f nl w epif chuân cừa vctỡ x d oa (x) = 5(x) Ôo hm cừa tÔi x Ôo hm theo hữợng d cừa tÔi x va an lu (x; d) dữợi vi phƠn cừa tÔi x 5x f (x, y) Ôo hm cừa hm f (., y) tÔi x 5y f (x, y) Ôo hm cừa hm f (x, ) tÔi y f (x, x) dữợi vi phƠn cừa f (x, ) tÔi x intC phƯn cừa têp C riC phƯn tữỡng ối cừa têp C xk x dÂy xk hởi tử tợi x PC (x) hẳnh chiáu cừa x lản têp C oi lm ul nf ∂ϕ(x) z at nh z m co l gm @ an Lu n va v ac th si lu an nân ph¡p tuy¸n ngo i cừa C tÔi x B[a, r] quÊ cƯu õng tƠm a bĂn kẵnh r C bao õng cừa têp C lim = lim inf giợi hÔn dữợi lim = lim sup giợi hÔn trản EP (C, f ) bi toĂn cƠn bơng V IP (C, f ) bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (ỡn tr) Sf têp nghiằm cõa b i to¡n EP (C, f ) SF tªp nghi»m cõa b i to¡n V IP (C, F ) n va NC (x) gh tn to bi toĂn cƠn bơng hai cĐp BEP (C, f, g) p ie bi toĂn tẳm cỹc tiu cừa hm chuân trản têp Sf w M N EP (C, f ) oa nl V IEP (C, f, F ) b i to¡n V IP (Sf , F ) d BV IP (C, F, G) b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va vi ac th si M Ưu lu Lỵ chồn · t i an n va B i to¡n tèi ÷u: (1) to f (x), gh tn x∈D p ie vỵi D ⊂ Rn l  b i to¡n âng vai trá quan trång vi»c ùng döng to¡n nl w håc vo cuởc sống Khi f cõ Ôo hm (1) liản quan tỵi: (2) d oa hf (x), x − xi ≥ 0, ∀x ∈ D va an lu N«m 1960 Stampacchia ÷a b i to¡n têng qu¡t Cho F : D → Rn oi lm ul nf T¼m x ∈ D cho hF (x), x − xi ≥ 0, ∀x ∈ D B i to¡n n y ÷đc gåi l  bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn Cho D l tªp z X²t b i to¡n: z at nh kh¡c réng cõa khỉng gian X , f : D × D R l song hm cƠn bơng @ l gm T¼m x ∈ D cho f (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ D m co B i to¡n ny ữủc gồi l bi toĂn cƠn bơng Chẵnh xĂc, bi toĂn cƠn bơng an Lu ữủc ữa lƯn Ưu bi H Nikaido v K Isoda nôm 1955 têng qu¡t n va hâa b i to¡n c¥n Nash trá chìi khỉng hđp t¡c v  ÷đc Ky Fan giợi ac th si thiằu nôm 1972 (thữớng ữủc gồi l bĐt ng thực Ky Fan) Bi toĂn cƠn bơng bao hm nhiÃu lợp bi toĂn quen thuởc nhữ bi toĂn tối ữu, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn im bĐt ởng, bi toĂn cƠn bơng Nash lỵ thuyát trỏ chỡi khổng hủp tĂc Vẳ vêy, cĂc kát quÊ thu ữủc và bi toĂn cƠn bơng ữủc Ăp dửng trỹc tiáp cho cĂc bi toĂn c biằt cừa nõ CĂc hữợng nghiản cựu bi toĂn cƠn bơng rĐt a dÔng, õ viằc nghiản lu cựu xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi  ữa toĂn hồc vo giÊi quyát nhiÃu an n va vĐn à t thỹc tá tn to PhƯn trồng tƠm cừa luên vôn ny l trẳnh by mởt phữỡng phĂp chiáu ie gh giÊi bi toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu v Ăp dửng vo lợp bi toĂn cƠn bơng p hai cĐp CĐu trúc luên vôn gỗm chữỡng: oa nl w Chữỡng 1: Nhưc lÔi cĂc kián thực cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi ữủc sỷ dửng d chữỡng sau Tiáp theo i giợi thiằu bi toĂn cƠn bơng, bi toĂn cƠn lu va an bơng tữỡng ữỡng v bi toĂn cƠn bơng hai cĐp ul nf Chữỡng 2: Trẳnh by thuêt toĂn chiáu giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián z gm @ Mửc ẵch nghiản cựu z at nh cƠn bơng hai cĐp oi lm phƠn giÊ ỡn iằu, bi toĂn cƠn bơng gi£ ìn i»u v  ¡p dưng gi£i b i to¡n m co l Mửc ẵch cừa luên vôn l xƠy dỹng phữỡng phĂp giÊi bi toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu v Ăp dửng vo mởt lợp bi toĂn cƠn bơng hai cĐp an Lu n va ac th si Chùng minh Ta câ kxk+1 − x∗ k = kPC (uk − λk G(uk )) − PC (x∗ )k ≤ kuk − λk G(uk ) − x∗ k
= k uk − λk G(uk ) − (x∗ − λk G(x∗ )) k + λk kG(x∗ )k = k(1 − L2 λβk )(uk − x∗ ) − L2 λβk [( Lβ2 G − I)uk − ( Lβ2 G − I)x∗ ]k + λk kG(x∗ )k ≤ (1 − L2 λk λk )kuk − x∗ k + L2 Tk + λk kG(x∗ )k, β β (2.48) lu an vỵi Tk = k( Lβ2 G − I)uk − ( Lβ2 G − I)x∗ k va n Do to¡n tû G l  Lipchitz vợi hằ số L v ỡn iằu mÔnh vợi h» sè β n¶n ta gh tn to câ ie β β k G − I)u − ( G − I)x∗ k2 2 L L β β = kG(uk ) − G(x∗ )k2 − 2 hG(uk ) − G(x∗ ), uk − x∗ i + kuk − x∗ k2 L L 2 β β ≤ kuk − x∗ k2 − 2 kuk − x∗ k2 + kuk − x∗ k2 L L β ≤ (1 − )kuk − x∗ k2 , L q â Tk ≤ − Lβ kuk x k Kát hủp vợi (2.48), ta câ p Tk2 = k( d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z r λ β2 k kxk+1 − x∗ k ≤ (1 − L2 (1 − − ))kuk − x∗ k + λk kG(x∗ )k β L λk ≤ (1 − L2 γ)kuk − x∗ k + λk kG(x∗ )k (2.49) β β = (1 − γk )kuk − x∗ k + γk kG(x∗ )k, Lγ q vỵi γ = − − Lβ v  γk = L2 λβk γ ∈ (0; 1) m co l gm @ an Lu n va 57 ac th si Tø (2.46) v  (2.49) ta suy kxk+1 − x∗ k ≤ (1 − γk ) kxk − x∗ k + γk β kG(x∗ )k Lγ B¬ng quy nÔp ta nhên ữủc   k ∗ kx − x k ≤ max kx − x k, kG(x )k ≤ ≤ Lγ   β ∗ ∗ max kx − x k, kG(x )k Lγ  k  Tø ¥y suy d¢y x bà ch°n, tø (2.46) ta câ d¢y uk công bà ch°n ∗ k+1 lu an n va   Tỗn tÔi mởt dÂy xki xk hëi tö v· mët iºm    x ∈ C , hìn núa c¡c d¢y y ki , z ki v  ω ki ·u bà ch°n ie gh tn to Bê · 2.3.10 p  Chùng minh Theo Bê à 2.3.9 ta cõ dÂy xk b chn, vẳ C l têp õng nản   tỗn tÔi dÂy xki ⊂ xk hëi tö v· mët iºm x ∈ C Ta s ch tỗn nl w d oa tÔi hơng số M > cho kxki − y ki k ≤ M vỵi måi ch¿ số i ừ lợn lu va an Thêt vêy, tứ tẵnh lỗi mÔnh cừa hm oi lm ul nf fki (.) = ρf (xki , ) + h(.) − h(xki ) h5h(xki ), xki i, nản vợi méi s(xki ) ∈ ∂fki (xki ) v  s(y ki ) ∈ ∂fki (y ki ) ta câ z at nh hs(xki ) − s(y ki ), xki − y ki i ≥ δkxki − y ki k2 , z gm @ suy (2.50) m co l hs(xki ), xki − y ki i ≥ hs(y ki ), xki − y ki i + δkxki − y ki k2 n 58 va ∈ ∂fki (y ki ) + NC (y ki ), an Lu Theo ành ngh¾a cõa y ki , y ki = argmin {fki (y) : y ∈ C} , n¶n ta câ ac th si tùc l  s(y ki ) ∈ −NC (y ki ), iÃu ny tữỡng ữỡng vợi hs(y ki ), y − y ki i ≥ 0, ∀y ∈ C, °c bi»t hs(y ki ), xki − y ki i Kát hủp iÃu ny vợi (2.50) ta ữủc lu hs(xki ), xki − y ki i ≥ δkxki − y ki k2 an va n Tø ¥y suy to (2.51) p ie gh tn kxki − y ki k ≤ √ ks(xki )k, ∀s(xki ) ∈ ∂fki (xki ) δ nl w Bði v¼ xki → x v  d¢y {fki } hëi tư iºm trản C và hm f vợi d oa f (y) = ρf (x, y) + h(y) − h(x) − h5h(x), y xi, lu va an nản theo nh lỵ 1.1.14 ta suy tỗn tÔi số nguyản io > 0, õ lỵn cho (2.52) oi lm ul nf ∂fki (xki ) ⊂ ∂f (x) + B[0; 1], ∀i > io , vợi B[0; 1] l hẳnh cƯu ỡn v õng cõ tƠm tÔi v bĂn kẵnh bơng z at nh khæng gian Rn z M°t kh¡c ta câ gm @ m co l ∂fki (xki ) = ρ∂2 f (xki , y ki ), ∀i v  ∂2 f (x) = ρ∂2 f (x, x), n¶n (2.52) trð th nh an Lu n 59 (2.53) va ∂2 f (xki , y ki ) ⊂ ∂2 f (x, x) + B[0; 1], ∀i > io ρ ac th si Do tªp ∂2 f (x, x) b chn, kát hủp vợi (2.51) v (2.53) ta suy d¢y sè  k   kx i − y ki k bà ch°n M  d¢y xki bà chn nản suy dÂy y ki b chn  Theo ành ngh¾a cõa z ki , z ki = (1 − ηki ) xki + ηki y ki , nản dÂy z ki cụng b chn Khổng mĐt tẵnh têng qu¡t , ta gi£ sû z ki hëi tö v· iºm z n o â  Bði v¼ ω ki ∈ ∂2 f (z ki , z ki ) n¶n Ăp dửng nh lỵ 1.1.14 ta suy dÂy ki bà ch°n lu Bê · 2.3.11 an   Náu dÂy xki xk hởi tử và mởt iºm x n o â v  va n kxki − y ki k4 ( (2.54) tn to ηki ) → i → ∞, kω ki k ie gh th¼ x ∈ Sf p Chùng minh Ta x²t hai trữớng hủp phƠn biằt w d oa nl Tr÷íng hđp lim inf i→∞ kωkkii k > Tø (2.54) ta suy lu lim kxki − y ki k = 0, va an i→∞ oi lm Theo ành ngh¾a y ki ta câ ul nf â y ki → x v  z ki → x i → ∞ z at nh  1 h(y) − h(xki ) − h5h(xki ), y − xki i ≥ ρ  1 ≥ f (xki , y ki ) + h(y ki ) − h(xki ) − h5h(xki ), y ki − xki i , ∀y ∈ C ρ f (xki , y) + z gm @ l Do f, h, 5h liản tửc, chuyn qua giợi hÔn bĐt ng thực trản i ta m co ÷đc [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ 0, ∀y ∈ C, ρ an Lu f (x, y) + n va 60 ac th si i·u n y câ ngh¾a l  x ∈ Sf  η Tr÷íng hđp lim inf i→∞ kωkkii k = Trong trữớng hủp ny dÂy ki b ch°n ta ÷đc lim ηki = 0, i→∞ â z ki = (1 − ηki ) xki + y ki ηki → x i → ∞ Khæng gi£m tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ rơng ki ω ∈ ∂2 f (x, x) v  y ki → y lu i → ∞ Ta câ   f (xki , y) + ρ1 h(y) − h(xki ) − h5h(xki ), y − xki i ≥ an n va to gh tn ≥ f (xki , y ki ) +   ki h(y ) − h(xki ) − h5h(xki ), y ki − xki i , ∀y ∈ C ρ p ie Cho i → ∞ ta thu ÷đc oa nl w f (x, y) + ρ1 [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ d ≥ f (x, y) + an lu [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ 0, ∀y ∈ C ρ va M°t kh¡c theo quy t­c tẳm kiám theo tia Armijo (2.43), vợi số mki 1, tỗn h ki ,mki , xki y ki i < oi lm ul nf tÔi ki ,mki −1 ∈ ∂2 f (z ki ,mki −1 , z ki ,mki −1 ) cho (2.55) z at nh   ki h(y ) − h(xki ) − h5h(xki ), y ki − xki i ρ Chuyn qua giợi hÔn i v kát hđp vỵi z ki ,mki −1 → x, ω ki ,mki −1 → z gm [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] , ρ m co l hω, x − yi ≤ @ ω ∈ ∂2 f (x, x), tø (2.55) ta thu ÷đc ≤ hω, x − yi + an Lu â n 61 va [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ac th si iÃu ny dăn án f (x, y) + [h(y) − h(x) − h5h(x), y xi] Vẳ vêy f (x, y) + [h(y) − h(x) − h5h(x), y − xi] ≥ 0, ∀y ∈ C ρ Tùc l  x ∈ Sf lu nh lỵ 2.3.12 an GiÊ sỷ têp nghiằm Sf cừa bi toĂn cƠn bơng EP (C, f ) l  n va gh tn to kh¡c réng, h m h(.) l lỗi mÔnh v khÊ vi liản tửc trản Ω, d¢y {λk } l  P P∞ mët d¢y sè d÷ìng cho ∞ k=0 λk = ∞ v  k=0 λk < ∞ Song h m f thäa p ie m¢n c¡c i·u ki»n (1),(2),(3), to¡n tû G l  L−Lipchitz v ỡn iằu mÔnh w trản C Khi õ dÂy {xk } sinh bi Thuêt toĂn 2.5 hởi tư v· nghi»m nh§t d oa nl x∗ cõa b i to¡n V IEP (C, f, G) k+1 k ∗ k k  − x k − kx − x k − ku − x k + ηk δ ρkω k k 2 kxk − y k k4 oi lm ul nf kx ∗ va an lu Chùng minh Theo Bê · 2.3.8 ta câ ≤ −2λk huk − x∗ , G(uk )i + λ2k kG(uk )k2 , ∀k (2.56) z at nh z   Tø Bê · 2.3.9 v  t½nh Lipchitz cõa to¡n tû G, ta suy c¡c d¢y xk , uk  v  G(uk ) b chn, õ tỗn tÔi cĂc hơng sè d÷ìng A,B cho gm @ k hu − x∗ , G(uk )i ≤ A, kG(uk )k2 ≤ B, ∀k l m co °t ak = kxk − x k2 , kát hủp vợi bĐt ng thực trản, (2.56) trð th nh   ηk δ k ak+1 − ak + kx − y k k4 ≤ 2λk A + λ2k B (2.57) k ρkω k an Lu n va 62 ac th si Ta x²t hai tr÷íng hủp phƠn biằt  Trữớng hủp Tỗn tÔi số ko cho d¢y ak l  d¢y gi£m k ≥ ko Khi â, ak ≥ 0, ∀k nản tỗn tÔi giợi hÔn limk ak = a, lĐy giợi hÔn hai vá cừa (2.57) ta nhên ữủc  lim k→∞ ηk δ ρkω k k 2 (2.58) kxk − y k k4 = Th¶m v o â lu an n va
kxk+1 − uk k2 = kPC uk − λk G(uk ) − PC (uk )k2 (2.59) tn to ≤ kuk − λk G(uk ) − uk k2 p ie gh = λk kG(uk )k → k → ∞ d oa nl w Tø ¥y suy limk→∞ kuk − x∗ k2 = limk→∞ kxk+1 − x∗ k2 = a    Do uk b chn, nản tỗn tÔi dÂy uki uk cho uki → u ∈ C an lu v  lim infhuk − x∗ , G(u∗ )i = limk→∞ huki − x∗ , G(u∗ )i oi lm ul nf va Kát hủp iÃu ny vợi (2.58),(2.59) ta thu ữủc  2 ηki +1 δ ki +1 x → u v  ρkωki +1 k kxki +1 − y ki +1 k4 → i → ∞ z at nh Theo Bê · 2.3.11, ta câ u ∈ Sf Do â k→∞ gm @ k→∞ z lim inf huk − x∗ , G(u∗ )i = lim huki − x∗ , G(u∗ )i = hu − x∗ , G(u∗ )i ≥ Bði v¼ G l  β - ìn i»u mÔnh, nản m co l huk x , G(uk )i = huk − x∗ , G(uk ) − G(u∗ )i + huk − x∗ , G(u∗ )i an Lu ≥ βkuk − x∗ k2 + huk − x∗ , G(u∗ )i n va 63 ac th si Chuyºn qua giợi hÔn k v vẳ limk kuk − x∗ k2 = a, ta thu ÷đc lim inf huk − x∗ , G(u∗ )i ≥ βa (2.60) k Náu a > 0, bơng cĂch chồn  = 12 a, thẳ tứ (2.60) ta suy tỗn tÔi ko > cho huk − x∗ , G(u∗ )i ≥ βa, ∀k ≥ ko lu Do (2.56), ta câ an n va ak+1 − ak ≤ −λk βa + λ2k B, ∀k ≥ ko ie gh tn to LĐy tờng liản tiáp tứ ko án k ta thu ữủc p ak+1 ako − k X λj βa + B j=ko w P∞ oa nl M°t kh¡c, v¼ k=0 λk = ∞ v  k X λ2j j=ko P∞ k=0 λk < ∞ n¶n ta suy lim inf k→∞ ak d = Ta gp mƠu thuăn vẳ ak 0, ∀k Vªy a = 0, tùc l , limk→∞ kxk − nf va an lu x∗ k = oi lm ul Trữớng hủp Tỗn tÔi dÂy {aki }i≥0 ⊂ {ak }k≥0 cho aki < aki +1 vợi mồi i Trong trữớng hủp ny, ta xt dÂy ch số {(k)} ữủc xĂc nh z at nh nh÷ Bê · 2.3.7 Khi â ta câ aσ(k)+1 − aσ(k) ≥ 0, k¸t hđp i·u n y vỵi z 2 gm kxσ(k) − y σ(k) k4 ≤ 2λσ(k) A + λ2σ(k) B m co l ησ(k) k (k) k @ (2.57) dăn án  Do â lim k→∞ ησ(k) δ ρkω σ(k) k 2 an Lu  kxσ(k) − y σ(k) k4 = n va 64 ac th si  Tø t½nh bà ch°n cõa xσ(k) , khỉng gi£m t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû xσ(k) → x Theo Bê · 2.3.11 ta nhªn ÷đc x ∈ Sf M°t kh¡c, uσ(k) = PC∩Hσ(k) (x(k) ) = PC(k) (x(k) ), nản kát hủp vợi (2.46) ta suy kuσ(k) − xk ≤ kxσ(k) − xk → k → ∞, â limk→∞ uσ(k) = x lu an Tø (2.56) ta câ va σ(k) n 2λσ(k) hu ∗ σ(k) − x , G(u  )i ≤ aσ(k) − aσ(k)+1 − tn to ησ(k) δ ρkω σ(k) k 2 kxσ(k) − y σ(k) k4 ie gh + λ2σ(k) kG(uσ(k) )k2 p ≤ λ2σ(k) B d oa nl w Tùc l  λσ(k) B (2.61) va an lu huσ(k) − x∗ , G(uσ(k) )i ≤ oi lm ul nf V¼ G l  β−ìn i»u mÔnh, nản ku(k) x k2 hu(k) x , G(uσ(k) ) − G(x∗ )i z at nh = huσ(k) − x∗ , G(uσ(k) )i − huσ(k) − x∗ , G(x )i z Kát hủp iÃu ny vợi (2.61), ta suy   λσ(k) σ(k) ∗ σ(k) ∗ σ(k) B − hu − x , G(u )i ku −x k ≤ β m co l gm @ Bði vªy lim huσ(k) − x∗ , G(uσ(k) )i ≤ β k→∞ n 65 va k→∞ an Lu lim kuσ(k) − x∗ k2 ≤ − ac th si Tø ¥y suy lim kuσ(k) − x∗ k = (2.62) k→∞ Th¶m v o â kxσ(k)+1 − uσ(k) k = kPC (uσ(k) − λσ(k) G(uσ(k) )) − PC (uσ(k) )k ≤ λσ(k) kG(uσ(k) )k, lu an k va n Kát hủp vợi (2.62), ta suy limk→∞ xσ(k) = x∗ , tùc l  limk→∞ aσ(k)+1 = gh tn to Theo Bê · 2.3.7, ta câ p ie ≤ ak ≤ aσ(k)+1 → k → ∞ oa nl w  Do â xk hëi tư tỵi nghi»m nh§t x∗ cõa b i to¡n V IEP (C, f, G) d Ta xt mởt trữớng hủp riảng quan trồng cừa b i to¡n V IEP (C, f, G) l  lu nf va an bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp BV IP (C, F, G) sau: Tẳm im x ∈ SF cho hG(x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ SF oi lm ul (2.63) z at nh ð â, SF l  tªp nghi»m cõa b i toĂn cƠn bơng : (2.64) z Tẳm im u C cho hF (u), y − ui ≥ 0, ∀y ∈ C, @ l gm â F : Ω −→ Rn l  to¡n tû x¡c ành tr¶n Ω Trong tr÷íng hđp n y, m co °t f (x, y) = hF (x), y − xi th¼ b i to¡n BV IP (C, F, G) trð th nh b i to¡n an Lu V IEP (C, f, G), h m f l  gi£ ỡn iằn theo têp S trản C v ch to¡n tû F l  gi£ ìn i»u theo S trản C n va 66 ac th si Bơng c¡ch chån h m h(x) = kxk2 v  ¡p dưng Thuªt to¡n 2.5 cho b i to¡n BV IP (C, F, G) ta nhên ữủc Thuêt toĂn 2.6 sau: Thuêt toĂn 2.6 Bữợc tÔo Chồn x0 C v cĂc tham số (0, 1), > Bữợc lp thù k (k=0,1,2, ) Câ xk ta thüc hi»n c¡c bữợc sau: Bữợc Tẵnh y k = PC (xk − ρ2 F (xk )) N¸u xk = y k lĐy uk = xk v chuyn lu sang Bữợc Ngữủc lÔi, thỹc hiằn Bữợc an n va Bữợc 2.(quy tưc tẳm kiám theo tia Armijo) Tẳm số nguyản dữỡng mk nhọ gh tn to nhĐt cĂc số nguyản dữỡng m thọa mÂn z k,m = (1 − η m )xk + η m y k , p ie (2.65) nl w   hF (z k,m ), xk − y k i ≥ ky k − xk k2 ρ d oa °t ηk = η mk , z k = z k,mk , va an lu Bữợc LĐy uk = PCk (xk ), vỵi (2.66) oi lm ul nf  Ck = x ∈ C : hF (z k ), x z k i Bữợc °t xk+1 = PC (uk − λk G(uk )) v  chuyn và bữợc lp thự k vợi k z at nh ÷đc thay bði k + z p dưng nh lỵ 2.3.12 v Thuêt toĂn 2.6 ta cõ hằ qu£ sau : @ Gi£ sû tªp nghi»m SF cõa bi toĂn bĐt ng thực bián l gm Hằ qu£ 2.3.13 m co ph¥n V IP (C, F ) kh¡c réng, to¡n tû F li¶n tưc tr¶n Ω, gi£ ỡn iằu theo an Lu têp SF trản C , toĂn tỷ G l LLipchitz v ỡn iằu mÔnh trản C , d¢y P P∞ {λk } l  mët dÂy số dữỡng cho = v k k=0 k=0 λk < ∞ Khi â, n va 67 ac th si