ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c ĐẠI HỌC THÁI N[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu iv Danh sách hình vẽ Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi hàm lồi Bài toán cân 15 2.1 Phát biểu toán ví dụ 15 2.2 Sự tồn nghiệm 20 Thuật toán giải toán cân đơn điệu mạnh 25 3.1 Thuật tốn với tốc độ hội tụ tuyến tính 25 3.2 Thuật tốn khơng cần điều kiện kiểu Lipschitz 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 c ii Lời cam đoan Luận văn thạc sỹ: "Về tồn nghiệm phương pháp chiếu giải toán cân đơn điệu mạnh" thực tác giả Phạm Thị Mỹ Lương - học viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng 2014 - 2016, hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, không trùng với nghiên cứu khác Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015 Học viên Phạm Thị Mỹ Lương c iii Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo nghiêm khắc GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong q trình học tập, tơi nhận quan tâm giúp đỡ giảng dạy nhiệt tình PGS Lê Thị Thanh Nhàn, PSG Tạ Duy Phượng, GS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy thày, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học 2014 - 2016, người tâm huyết giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Thu Thủy động viên, giúp đỡ suốt trình học tập Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi sướt q trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn học viên cao học, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập q trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp quý báu thày, cô bạn đọc Phạm Thị Mỹ Lương Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên c iv Danh sách ký hiệu R không gian số thực H không gian Hilbert thực NC (x) nón pháp tuyến điểm x tập C F ix(S) tập điểm bất động ánh xạ S PC (x) phép chiếu trực giao điểm x tập C hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y δC (.) hàm C kxk chuẩn vectơ x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x x := y x gán y ∀x x ∃x tồn x ∅ tập rỗng c Danh sách hình vẽ 2.1 Hình vẽ minh họa 18 3.1 Hình vẽ minh họa 33 c Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng chuẩn k.k Giả sử C tập lồi, đóng, khác rỗng f : C × C → R cho f (x, x) = với x ∈ C Đối tượng luận văn cao học tốn cân (cịn gọi bất đẳng thức Ky Fan) Bài toán phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , y) > 0, ∀y ∈ C (EP ) Bài toán (EP) toán tổng quát với ý nghĩa toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, tốn điểm bất động Kakutani, mơ hình cân Nash cho trị chơi khơng hợp tác, trường hợp đặc biệt Khi f hàm lồi khả vi theo biến thứ tập C từ phương pháp giải tốn tối ưu ta phát triển để giải tốn (EP) Trong năm gần đây, phương pháp giải toán (EP) thu hút nghiên cứu Một phương pháp phổ biến phương pháp điểm gần kề Phương pháp Martinet giới thiệu cho bất đẳng thức biến phân mở rộng Rockafellar cho việc tìm kiếm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Moudafi Konnov tiếp tục mở rộng phương pháp điểm gần kề cho toán (EP) với song hàm f đơn điệu đơn điệu yếu Một phương pháp giải khác cho toán (EP) nguyên lý toán phụ Nguyên lý Cohen giới thiệu cho tốn tối ưu sau mở rộng cho bất đẳng thức biên phân Gần đây, Mastreni tiếp tục mở rộng nguyên lý toán phụ cho toán (EP) song hàm f đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz Còn Noor sử dụng nguyên lý toán phụ để phát triển thuật toán lặp giải toán c (EP) với song hàm f đơn điệu mạnh phần Các phương pháp bó, đạo hàm mở rộng phương pháp phát triển ngành toán học, bất đẳng thức biến phân gần mở rộng cho tốn (EP) Mục đích luận văn trình bày kiến thức toán cân (EP) Đặc biệt, luận văn sâu vào trình bày tồn nghiệm phương pháp chiếu giải toán (EP) trường hợp song hàm đơn điệu mạnh Bản luận văn gồm nội dung sau: - Giới thiệu điểm tốn cân bằng: • Phát biểu tốn • Các trường hợp riêng • Định lý tồn nghiệm tổng quát - Trình bày tồn nghiệm toán cân đơn điệu - Giới thiệu hai thuật toán để giải toán cân đơn điệu mạnh Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý Thầy Cơ, bạn anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh nhiều ý nghĩa Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015 Phạm Thị Mỹ Lương Học viên Cao học Tốn lớp Y, khóa 2013-2015 Chun ngành Tốn ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: Myluonghnue@gmail.com c Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức về: không gian Hilbert; tập lồi, hàm lồi số ví dụ Các kiến thức chương trích từ tài liệu [1 − 4] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn thực gọi khơng gian tuyến tính thực X với phần tử x ∈ X ta có số kxk (được gọi chuẩn x), thỏa mãn điều kiện: i) kxk > với x 6= 0, kxk = ⇔ x = 0, ii) kx + yk kxk + kyk với x, y ∈ X, iii) kαxk |α| · kxk với x ∈ X, α ∈ R Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính thực H × H → R thỏa mãn (x,y)7→hx,yi điều kiện: i) hx, xi > với x ∈ H, hx, xi = ⇔ x = 0, ii) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H, iii) hλx, yi = λ hx, yi với x, y ∈ H, λ ∈ R, iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H c ... KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 c ii Lời cam đoan Luận văn thạc sỹ: "Về tồn nghiệm phương pháp chiếu giải toán cân đơn điệu mạnh" thực tác giả Phạm Thị Mỹ Lương - học viên lớp Cao học Toán. .. riêng • Định lý tồn nghiệm tổng quát - Trình bày tồn nghiệm toán cân đơn điệu - Giới thiệu hai thuật toán để giải toán cân đơn điệu mạnh Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với trình