(Luận văn) phương pháp lưới giải bài toán song điều hòa trong miền tròn và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG HẢI lu PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI BÀI TOÁN an n va SONG ĐIỀU HÒA TRONG MIỀN TRÒN VÀ ỨNG DỤNG gh tn to p ie Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Vinh Quang z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si i MỤC LỤC Trang Mục lục i Danh mục bảng ii Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức lu an n va p ie gh tn to 1.1 Lý thuyết sai phân 1.2 Công thức Taylor 1.3 Các phương pháp sai phân đạo hàm 1.4 Phương trình song điều hịa 10 1.4.1 Dạng tổng quát 10 1.4.2 Phương pháp phân rã 11 1.5 Hệ tọa độ cực 12 1.5.1 Một số khái niệm 12 1.5.2 Biểu diễn toán biên chiều hệ tọa độ cực 13 1.6 Phương pháp truy đuổi đường chéo 14 1.6.1 Hệ truy đuổi đường chéo 14 1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải 15 1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái 16 Chương 2: Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều nl w hịa miền hình tròn 20 d oa 2.1 Đặt vấn đề 20 2.2 Giới thiệu phương pháp 22 2.2.1 Công thức khai triển Fourier chặt cụt 23 2.2.2 Phương pháp sai phân 24 2.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 27 2.4 Thuật toán 30 2.5 Một số kết thực nghiệm 31 ll u nf va an lu oi m z at nh Chương 3: Một số kết mở rộng cho phương trình Navier – Stokes miền tròn 34 z 3.1 Dạng toán tổng quát 34 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian 36 3.3 Hệ sai phân theo không gian 37 3.4 Kết thực nghiệm 38 Kết luận 40 m co l gm @ Tài liệu tham khảo 41 an Lu Phần phụ lục 42 n va ac th si ii DANH MỤC CÁC BẢNG STT Trang Tên bảng Bảng 1: Kết kiểm tra RC0000.m Bảng 2: Kết kiểm tra RC0002.m Bảng 3: Kết thực nghiệm hàm nghiệm 30 lu u * (r, )  (er  1)sin , N  64 an n va Bảng 4: Kết thực nghiệm hàm nghiệm 30 u * (r ,  )  sinr sin , N  64 Bảng 5: Kết thực nghiệm hàm nghiệm p ie gh tn to 30 oa nl w u * (r ,  ) r cos , N  64 d Bảng 6: Kết thực nghiệm hàm nghiệm lu  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y 35 ll u nf va an oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Một số toán học môi trường liên tục nghiên cứu đàn hồi qua mơ hình hóa đưa tốn biên cho phương trình song điều hịa phương trình cấp bốn dạng đặc biệt với hệ điều kiện biên khác Trong trường hợp điều kiện biên bình thường (đủ điều kiện biên với hàm đạo hàm cấp hai) đồng thời miền xét miền chữ nhật, sử dụng phương pháp phân rã phương trình cấp bốn phương trình cấp hai, người ta xác định nghiệm tốn thơng qua phương lu pháp sai phân truyền thống Trong trường hợp thiếu điều kiện biên với an n va đạo hàm cấp hai, kết hợp với phương pháp toán tử biên miền, tn to xây dựng phương pháp lặp để xác định nghiệm gần toán Tuy nhiên trường hợp miền xét tốn miền trịn gh p ie hệ điều kiện biên thiếu biểu thức đạo hàm cấp phương nl w pháp không thực oa Trong tài liệu [8], tác giả Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu đưa d phương pháp sai phân toán song điều hòa miền tròn cách sử lu (r, ) để chuyển tốn song điều hịa toán cấp va an dụng hệ tọa độ cực ll u nf hai, từ xây dựng thuật tốn lưới tìm nghiệm xấp xỉ tốn gốc oi m Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm z at nh hiểu mơ hình tốn học tốn song điều hòa, phương pháp phân rã đặc biệt nghiên cứu phương pháp sai phân tốn miền trịn z @ sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng thuật toán giải hệ phương trình l gm sai phân thơng qua thuật tốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính, xây dựng chương trình thực nghiệm mơi trường Matlab Kiểm tra m co tính xác thuật tốn qua ví dụ thực tế an Lu n va ac th si Trong thời gian nghiên cứu thực luận văn tác giả nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ góp ý nhiều tập thể, cá nhân Trước hết tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Vũ Vinh Quang – Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tâm bảo, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành sâu sắc tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái lu Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập an thực luận văn va n Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tận tình giảng dạy, dẫn cho Xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn bè khóa chuyên ngành p ie gh tn to tri thức, kinh nghiệm, học quý báu nl w Toán ứng dụng chia sẻ tinh thần tình cảm cho tơi suốt khóa học d oa Mặc dù cố gắng trình học tập, nghiên cứu đọc tài an lu liệu để hoàn thành luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến dẫn quý thầy, cô, hội đồng chấm luận va oi m hoàn thiện với hiệu cao ll u nf văn ý kiến đóng góp chân thành đồng nghiệp để luận văn z at nh Thái Nguyên, ngày 30 tháng năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN z m co l gm @ Nguyễn Quang Hải an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức Nội dung chương trình bày kiến thức phương pháp sai phân, kết xây dựng chương trình giải số tốn biên miền hình chữ nhật qua phương pháp sai phân, phương trình song điều hịa phép biến đổi tọa độ cực áp dụng phương trình song điều hịa, thuật toán truy đuổi đường chéo Đây kiến thức bản, làm tảng lu để nghiên cứu kết trình bày chương luận văn Các an n va kiến thức trình bày tham khảo tài liệu [1, 2, 3, 8, 9] Phương pháp lưới hay gọi phương pháp sai phân áp dụng ie gh tn to 1.1 Lý thuyết sai phân p rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung đưa nl w tốn vi phân xét giải hệ phương trình sai phân (tức hệ thức oa hệ thức liên hệ giá trị hàm số thời điểm khác nhau) d phương pháp đại số an lu u nf va 1.2 Công thức Taylor A/ Trường hợp hàm biến số ll m oi Giả sử u x  hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m1 z at nh khoảng  ,   chứa x x h , h đại lượng đủ nhỏ có z thể dương hay âm Khi giải tích tốn học, có cơng thức khai triển Taylor sau m 1 m m! h  x   u m  x   m  1! u m 1 c (1.1) an Lu h   2! m co  l  u x  h  u x   hu ' x  gm @ h  u ''  n va ac th si Trong c điểm khoảng từ x đến x  h ; để diễn tả điều ta viết c  x   x với    Ta giả thiết thêm: u m 1 x   M  const, x  (,  ) Khi số hạng cuối (1.1) vô bé h  công thức Taylor (2.3) viết gọn hơn: h  u '' x  u x  h   u x   hu ' x    2! h  u   x o(h )   m! lu an (1.2) m n va m m tn to gh Nhận xét: Về mặt ý nghĩa tốn học tính tốn cơng thức Taylor, giá p ie trị hàm số điểm x  h tính qua giá trị hàm đạo hàm w cấp điểm x Nếu giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m kết d oa nl tính tốn đảm bảo sai số xấp xỉ đại lượng vô bé o(h m ) an lu B/ Trường hợp hàm biến số u nf va Giả sử u x , y  hàm số xác định có đạo hàm riêng theo ll biến đến cấp m1 miền   R chứa điểm (x , y ) oi m (x  h, y  k ) , h , k đại lượng đủ nhỏ dương hay âm Khi z at nh tương tự hàm biến số, có cơng thức khai triển Taylor sau u u k  x y 2  2u  2u  u [h  hk  k ]   o(h m  k m ) 2 2! x x y y   z u x  h, y  k  u x , y   h gm @ (1.3) m co l an Lu Nhận xét: Về mặt ý nghĩa tốn học tính tốn cơng thức Taylor, giá trị hàm số điểm (x  h , y  k ) tính qua giá trị hàm n va ac th si đạo hàm riêng cấp điểm (x , y ) Nếu giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m kết tính tốn đảm bảo sai số xấp xỉ đại lượng vô bé o(h m ) Sau luận văn đưa số kết xây dựng phương pháp sai phân dựa công thức Taylor 1.3 Các phương pháp sai phân đạo hàm A/ Trường hợp chiều  Phát biểu toán Cho khoảng x , X  Tìm hàm u  u  x  xác định x , X  thỏa mãn: lu an u '  f x, u  x0  x  X (1.4) va n ux    (1.5) tn to Giả sử tốn (1.4), (1.5) có nghiệm u  u  x  đủ trơn, nghĩa có p ie gh Trong f x, u  hàm số cho trước  số cho trước oa nl w đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần d  Lưới sai phân lu va an Ta chia đoạn x , X  thành N đoạn nhau, đoạn dài x i (i  N ), x i  x  ih Tập điểm xi gọi ll u nf h  b  a  N điểm oi m lưới sai phân x , X , ký hiệu h , điểm x i gọi nút z  Hàm lưới z at nh lưới, h gọi bước lưới @ l gm Đó hàm số xác định nút lưới h Một số hàm u x  an Lu u i  u x i  m co xác định x  a, b tạo hàm lưới u có giá trị nút x i n va ac th si  Đạo hàm lưới Xuất phát từ công thức Taylor trường hợp biến số, có cơng thức tính xấp xỉ đạo hàm lưới với độ xác cấp sau: Công thức đạo hàm tiến: ux'  Công thức đạo hàm lùi ux'  ui 1  ui h i i Công thức đạo hàm cấp hai: ui  ''  o(h ) ui  ui 1  o(h ) h lu an (ui 1  2ui  ui1 )  o(h ) h va n Ta thấy h bé đạo hàm lưới “xấp xỉ” đạo hàm B/ Trường hợp chiều p ie gh tn to thường w  Lưới sai phân d oa nl Xét toán u  f , x  ,    u  g, x    va an lu (1.6) ll u nf   (x , y )  R2 , a  x  b, c  y  d  , chọn số nguyên N > oi m M  , đặt h = (b - a)/N gọi bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi bước z at nh lưới theo y Đặt x i  a  ih, y j  c  jk , i  N , j  M Mỗi điểm z ( xi , y j ) gọi nút lưới ký hiệu nút (i, j ); tập tất nút ký @ l gm hiệu hk ; nút biên  gọi nút biên; tập tất nút biên ký hiệu an Lu  Hàm lưới: m co hk , tập hk = hk  hk gọi lưới sai phân  n va ac th si Mỗi hàm số xác định nút lưới gọi hàm lưới, giá trị hàm lưới u(x,y) nút lưới (i, j ) viết tắt ui , j Mỗi hàm ui , j xác định ( x, y )   tạo hàm lưới u xác định ui , j  Bài toán sai phân: Sử dụng công thức Taylor trường hợp biến số, thu công thức tính gần giá trị đạo hàm nút lưới (i, j ) sau lu an n va p ie gh tn to u x  (u  ui, j )  o(h) (i , j ) h i 1, j u y  (u  ui, j )  o(h) (i , j ) k i, j 1  (i , j )  2u y  (i , j ) d oa nl w  2u x ui 1, j  2ui , j  ui 1, j h2 ui , j 1  2ui , j  ui , j 1  o(k ) an lu k  o(h ) h  ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 k oi m (1.7) z at nh Khi chứng tỏ: ui 1, j  2ui , j  ui 1, j ll hk u  u nf va Đặt  kh u =  u  o (h  k ) z @ gm 2 Số hạng o(h  k ) vô bé bậc hai Ta nói tốn tử  kh xấp sai phân: m co l xỉ toán tử  , điều cho phép thay phương trình vi phân phương trình n va tức là: an Lu hk u  fij , fij  f ( xi ,y j ), ( xi ,y j ) hk ac th si 31 O  By    ; Bz   F  phương pháp xác định ma trận nghịch đảo B 1 sử dụng thuật toán truy đuổi đường chéo Bước Xác định nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính ban đầu T y công thức x  y  z Trong Bước 2, độ phức tạp tính tốn  T z lu O(MN) Từ xác định vectơ an va Ui  uk (ri ), i  1,2, , M  1, n Vi  vk (ri ), i  1,2, , M  tn to Sử dụng khai triển Fourier (2.9),(2.10) ta thu nghiệm số p ie gh Bước oa nl w toán lưới điểm (ri , j ), i  1,2, , M  1; j   N N , ,  2 d Trong bước này, độ phức tạp tính tốn (M N LogN) lu va an Có thể thấy độ phức tạp tính tốn tồn thuật tốn đánh giá ll u nf O(M N LogN) với lưới M N điểm oi m 2.5 Một số kết thực nghiệm z at nh Chúng sử dụng phương pháp phân rã đưa tốn song điều hịa miền trịn tốn cấp hai sau sử dụng phương pháp sai phân với z lưới xuyên tâm đưa toán cấp hai hệ phương trình đại số với @ gm vectơ nghiệm U, V dạng (2.19)-(2.20) sau sử dụng bước thuật m co l toán để xác định nghiệm hệ phương trình sai phân từ xác định nghiệm xấp xỉ toán miền trịn Để kiểm tra độ xác thuật an Lu * tốn, chúng tơi cho trước nghiệm u (r, ) từ xác định giá trị vế n va ac th si 32 phải f (r, ) giá trị điều kiện biên g(), h() Sai số tính tốn xác định   u * (ri , j )  u(ri , j )  toàn lưới điểm M N Các chương trình lập trình ngơn ngữ Matlab thực máy tính PC, phần chương trình chi tiết trình bày đầy đủ phần phụ lục luận văn Bảng 3: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r, )  (er  1)sin , N  64 lu an Sai số Số điểm lưới M Sai số 0.001 128 6.0686e-6 16 3.6757e-4 256 1.5231e-6 32 9.4797e-5 512 3.8153e-7 64 2.4085e-5 1024 1.0234e-7 n va Số điểm lưới M p ie gh tn to nl w d oa Bảng 4: Kết thực nghiệm hàm nghiệm Sai số Số điểm lưới M Sai số 128 1.9748e-6 4.5189e-4 16 1.1982e-5 256 4.9563e-7 32 3.0876e-5 512 1.2415e-7 64 7.1385e-6 1024 7.2341e-8 ll m u nf va an lu Số điểm lưới M u * (r ,  )  sinr sin , N  64 oi z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 Bảng 5: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  ) r cos , N  64 Số điểm lưới M Sai số Số điểm lưới M Sai số 0.0121 128 5.3257e-5 16 0.0032 256 1.3367e-5 32 8.3231e-4 512 3.3348e-6 64 2.1137e-4 1024 1.2345e-6 lu Nhận xét an + Qua kết thực nghiệm máy tính điện tử chứng tỏ thuật va n toán giải trực tiếp nhanh tốn song điều hịa miền trịn đảm bảo tìm gh tn to nghiệm xấp xỉ tốn với độ xác cấp hai O(h  k ) Tốc độ tính p ie toán nhanh w + Thuật toán áp dụng tốn song điều hịa miền oa nl tròn với hàm vế phải điều kiện biên tùy ý d Kết luận lu va an Nội dung chương trình bày thuật tốn giải trực tiếp nhanh tốn song điều hịa miền tròn kết kiểm tra độ xác u nf ll thuật tốn máy tính điện tử Các kết ứng dụng oi m chương luận văn z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Chương Một số kết mở rộng cho phương trình Navier – Stokes miền trịn Nội dung chương đưa số kết nghiên cứu phương pháp giải trực tiếp nhanh áp dụng cho phương trình Navier-Stokes mơi trường dịng chảy khơng nén, kết tham khảo tài liệu [5, 8] lu 3.1 Dạng toán tổng quát an va Các phương trình Navier-Stokes dịng chảy khơng nén có n dạng tổng quát to p ie gh tn u  u.u  p  u, t Re (3.1) u  (3.2) oa nl w kí hiệu u(x,t) đặc trưng cho vận tốc dịng xoáy, p(x, t ) đặc trưng d cho áp suất Re số Reynolds lu va an Phương trình thứ (3.1) mơ tả định luật bảo tồn động lượng u nf phương trình thứ hai (3.2) mơ tả định luật bảo tồn khối lượng Trong khơng ll gian chiều, thấy phương trình Navier-Stokes (3.1)-(3.2) m oi thường gọi hệ phương trình xác định hàm tính vận tốc dịng chảy z at nh mơi trường chất lỏng khơng nén Lấy tích phân phương trình (3.2) để loại trừ số hạng građient áp suất, thu z gm @   J ,    t Re l  thành phần xốy khác khơng theo thành phần z,  kí hiệu m co ( 3.3)   an Lu hàm dòng định nghĩa u = u  ez   , J ,  kí hiệu định n va ac th si 35 thức Jacobian phép biến đổi Chú ý hàm xoáy u tự động thỏa mãn  , ta có mối quan ràng buộc khơng nén (3.2) Sử dụng định nghĩa hệ   cho    (3.4) Như phương trình Navier-Stokes khơng gian chiều ban đầu (3.1)-(3.2) với ba biến số thỏa mãn phương trình (3.3)-(3.4) với hai biến số chưa biết Chúng ta tập trung nghiêm cứu tìm nghiệm xấp xỉ phương trình lu (3.3)-(3.4) miền trịn   0  r  1,0    2  ; Sử dụng phương an pháp biến đổi hệ tọa độ cực, định thức Jacobian phép biến đổi va n xác định dạng: to (3.5) p ie gh tn        J ,     r  r   r  w Và toán tử Laplace  biểu diễn dạng: d oa nl 2  2    r r r  r (3.6) lu ll u nf dịng cơng thức: va an Vận tốc xuyên tâm vận tốc góc phương vị xác định từ hàm   , u  r  r (3.7) oi m ur   z at nh Hàm xốy viết lại sau u  u r  u  r  (3.8) gm @ r  z  l Chúng ta hạn chế xét dòng chảy bên miền tròn đơn vị với m co vận tốc riêng đặc trưng biên thỏa mãn ur  u  h () an Lu r  (Điều kiện tương ứng với điều kiện biên ứng với điều kiện dòng chuẩn) Khi hệ điều kiện biên tốn trở thành n va ac th si 36  1,    0,  1,   h   r (3.9) Như thu hệ phương trình (3.6)-(3.7) điều kiện biên (3.9) Nhận xét: Có thể thấy có hai điều kiện biên cho hàm dịng  khơng có điều kiện biên cho hàm xốy  Điều hồn tồn tương tự với trường hợp giải hệ phương trình phân rã phương trình song điều hịa (2.2)- lu (2.3) an n va 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian tn to Chúng ta sử dụng sơ đồ sai phân đạo hàm với độ xác cấp hai, gh ta có kết quả: 3 n 1  4 n   n 1   2J  n , n  J ( n 1, n 1    n 1 (3.10)   R 2t e p ie  nl w  d oa  n 1   n 1 lu n 1 1,    0, r 1,    h   (3.12) va an  n 1 (3.11) oi m Nhận xét ll u nf t kí hiệu bước lưới thời gian O(t ) z at nh + Có thể nhận thấy sơ đồ sai phân theo thời gian có sai số cấp hai z gm @ + Ta thấy rằng, bước thời gian, cần giải hệ phân rã tốn Poisson phương trình (2.2) – (2.3) Do phương l áp dụng mà khơng cần có nhiều phép biến đổi m co pháp giải trực tiếp tốn song điều hịa đưa phần trước an Lu n va ac th si 37 3.3 Hệ sai phân theo không gian Để sai phân theo không gian, cần phải tính đạo hàm   Sử dụng công thức sai phân trung tâm bậc hai Chúng ta sử dụng lưới M N tương tự tốn song điều hịa    ri , j   (i  2)r, j, r  (3.13) lu 2 ;   2M  N an Giả sử giá trị rời rạc hàm vơ hướng  kí hiệu n va tn to i, j   ri , j  ,các đạo hàm cấp theo r  tính cơng ie gh thức xấp xỉ với độ xác cấp hai p       r  w   i 1, j d oa nl an lu  i 1, j (3.14) 2r i, j           i , j 1  i , j 1 (3.15) 2 u nf va i, j Sự rời rạc không gian tương tự áp dụng vào tính hàm xốy ll oi m Ta cần xác định giá trị biên: z at nh + Giá trị  0, j xác định công thức gần  0, j    hj (3.16) giá trị chưa biết nằm bên ngồi miền tính tốn Do vậy, xác định gần theo cơng thức an Lu M 2 j Mj m co n 1 n 1 l M 2 j  gm n 1 2r  @  N z + Tại rM 1  ta có 1, j  n va ac th si 38  Thế giá trị  n 1 M 2 j n1 = M 2 j  n 1 Mj  2rh j sử dụng điều kiện  n 1 M 1 j (3.17)  với j, tính giá trị xốy biên công thức:  n 1 M 1, j   n 1 M 1, j  2 n 1 M 1, j  2rhj (r )2  hj (3.18) 3.4 Kết thực nghiệm Trong phần này, luận văn đưa kết kiểm tra tính xác lu sơ đồ tính tốn việc giải lược đồ sai phân cho phương an trình Navier-Stokes miền hình trịn Để kiểm tra, cho trước va n nghiệm thỏa mãn phương trình Navier-Stokes, sau sử dụng gh tn to thuật tốn phân rã giải hệ phương trình sai phân chương 2, từ so sánh sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ lưới điểm xuyên tâm p ie Trong bảng kết quả, kí hiệu * oa nl w 1 ()   * (ri , j )  (ri , j )  , 2 ()   * (ri , j )  (ri , j )  , * d  (r, ),  (r, ) nghiệm tương ứng với hàm dòng hàm an lu va xoáy (r, ), (r, ) nghiệm xấp xỉ xác định từ thuật toán, ll u nf kết tính tốn thực với lưới chia M N tùy chọn M m oi lưới điểm theo tia N lưới điểm theo góc, số Reynolds chọn tham khảo tài liệu [8] z at nh Re  20, bước thời gian chọn t = 0,01 Các kết tính tốn z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 Bảng 6: Kết thực nghiệm hàm nghiệm  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y MxN Sai số 1 ( ) Sai số 2 () 16 x 32 1.6555e-03 3.2481e-04 32 x 64 6.0361e-04 8.3609e-05 64 x 128 1.7393e-04 2.1269e-05 128 x 256 4.1738e-05 5.3372e-06 lu an n va Nhận xét: tn to + Các kết luôn đảm bảo với độ xác cấp 2, phù hợp với lược đồ sai phân cấp hai sử dụng p ie gh + Lược đồ sai phân đảm bảo tìm nghiệm gần d oa nl w phương trình Navier-Stokes miền trịn với hệ điều kiện biên tùy ý ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 KẾT LUẬN Nội dung luận văn đề cập đến phương pháp giải trực tiếp nhanh dạng phương trình song điều hịa miền hình trịn ứng dụng phương trình Navier-Stokes Các kết luận văn gồm có: Trình bày kiến thức liên quan đến phương pháp sai phân, phương trình song điều hịa, thuật tốn truy đuổi đường chéo, thư viện số giải toán song điều hịa miền hình chữ nhật lu Trên sở tài liệu [5, 6, 8], luận văn đưa sở lý thuyết xây an dựng thuật tốn giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hịa va n miền hình trịn Mơ tả chi tiết bước cần tiến hành thuật tốn to gh tn Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab version 7.0 tiến hành xây dựng chi tiết thuật tốn, kiểm tra độ xác thuật tốn máy tính điện tử p ie Ứng dụng thuật tốn nghiên cứu phương trình Navier-Stokes nl w mơi trường dịng chảy khơng nén d oa Hướng phát triển luận văn mở rộng ứng dụng thuật toán giải trức ll u nf va an lu tiếp nhanh số toán thực tế phức tạp oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Vũ Vinh Quang, Trần Thị Xuân (2010), “Kết xây dựng phần mềm Q_X_2010 tìm nghiệm số tốn biên hỗn hợp”, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):72-77 [3] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), “Xây dựng chương trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số lu an hằng”,Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56-63 va n Tài liệu tiếng Anh to tn [4] A Karageorghis and T Tang (1996), A spectral domain ie gh decomposition apptoach for steady Navier-Stokes problems in circular p geometries, Com-put Fluids, 25, 541-549 nl w [5] M.-C Lai (2002), A simple compact fourth-order Poisson solver on d oa polar geometry, J Comput Phys., 182.337-345 an lu [6] M.-C Lai (2002), Fourth- order finite difference scheme for the va incompressible Navier-Stokes equations in a disk, Int J Numer Methods ll u nf Partial Differential Eq., 18, 56-68 z at nh Springer, New York oi m [7] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, [8] Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu, Fast direct solver for the biharmonic z equation on a disk and its application to incompressible flows Corresponding @ gm author Department of Applied Mathematics, National Chiao Tung mclai@math.nctu.edu.tw m co l University, 101, Ta Hsueh Road, Hsinchu 300, TAIWAN E-mail: n va Equations, vol 2, Birkhauser, basel an Lu [9] Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical methods for Grid ac th si 42 PHẦN PHỤ LỤC Thuật toán truy đuổi đường chéo lu an n va p ie gh tn to function u=truyduoi(a,b,c,f,n) alpha(1)=-b(1)/c(1);beta(1)=f(1)/c(1); %Buoc xuoi for k=2:n-1; alpha(k)=-b(k)/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); beta(k)=(f(k)-a(k)*beta(k-1))/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); end; %Buoc nguoc u(n)=(f(n)-a(n)*beta(n-1))/(a(n)*alpha(n-1)+c(n)); for k=(n-1):-1:1; u(k)=alpha(k)*u(k+1)+beta(k); end; %%%%% % chuong trinh test he truy duoi clear; clc; a(1)=0;a(2)=4;a(3)=1; c(1)=100;c(2)=18;c(3)=25; b(1)=-4;b(2)=4;b(3)=0; f(1)=7;f(2)=23;f(3)=39; x=truyduoi(a,b,c,f,3) f f1=c(1)*x(1)+b(1)*x(2) f2=a(2)*x(1)+c(2)*x(2)+b(2)*x(3) f3=a(3)*x(2)+c(3)*x(3) Thuật toán giải trực tiếp nhanh giải hệ phương trình sai phân miền trịn d oa nl w an lu ll u nf va function nghiem_tdcuc = nghiem_tdcuc(m) clc; M=2^m; deltar=2/(2*M+1); k=1;gk=g(1);hk=h(1); D=zeros(M,M);E=D;T=D;O=D; F=zeros(2*M,1);alpha=F;beta=F; for i=1:M ri=(i-1/2)*deltar; d(i)=-2-k^2/(i-1/2)^2; s(i)=1+1/(2*(i-1/2)); l(i)=1-1/(2*(i-1/2)); F(i+M)=f(ri)*deltar^2; end; alpha(2*M)=2*s(M)/deltar^2; beta(M)=1; F(M)=-s(M)*gk; F(2*M)=F(2*M)-s(M)*((-2/deltar^2-k^2)*gk+(2/deltar+1)*hk); for i=2:M-1 oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 43 lu an n va p ie gh tn to T(i,i)=d(i);T(i,i+1)=s(i);T(i,i-1)=l(i); D(i,i)=-deltar^2; end; T(1,1)=d(1);T(1,2)=s(1);T(M,M-1)=l(M);T(M,M)=d(M);D(1,1)=-deltar^2; D(M,M)=-deltar^2; E(M,M)=2*s(M)/deltar^2; B=[T D;O T]; y=inv(B)*F; z=inv(B)*alpha; x=y-(beta'*y/(1+beta'*z))*z; for i=1:M uk(i)=x(i); end; saiso=0; for i=1:M ri=(i-1/2)*deltar; if abs(u(ri)-uk(i))>saiso saiso=abs(u(ri)-uk(i)); end; end; saiso function u=u(r) %u=r^4; %u=sin(r); u=exp(r)-1; function du=du(r); %du=4*r^3; %du=cos(r); du=exp(r); function v=v(r) k=1; %v=(16-k^2)*r^2; %v=-sin(r)+cos(r)/r-k^2*sin(r)/r^2; v=(1+1/r-k^2/r^2)*exp(r)+k^2/r^2; function dv=dv(r) k=1; %dv=2*(16-k^2)*r; %dv=(-1-(1+k^2)/r^2)*cos(r)+(-1/r+2*k^2/r^3)*sin(r); dv=(-1/r^2+2*k^2/r^3+1+1/r-k^2/r^2)*exp(r)-2*k^2/r^3; function d2v=d2v(r) k=1; %d2v=2*(16-k^2); %d2v=2*(1+k^2)/r^3*cos(r)-(-1-(1+k^2)/r^2)*sin(r)+(1/r^2-6*k^2/r^4)*sin(r) +(-1/r+2*k^2/r^3)*cos(r); d2v=(2/r^3-6*k^2/r^4-1/r^2+2*k^2/r^3-1/r^2+2*k^2/r^3+1 +1/r-k^2/r^2)*exp(r)+6*k^2/r^4; function f=f(r) k=1; f=d2v(r)+1/r*dv(r)-k^2/r^2*v(r); d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 44 function g=g(r) g=u(r); function h=h(r) h=du(r); Thuật toán giải trực tiếp nhanh tốn song điều hịa miền tròn lu an n va p ie gh tn to function nghiem_tdcuc_1 = nghiem_tdcuc_1(m) clc; M=2^m;N=M; for k=1:N for j=1:M; utong(k,j)=0; end; end; deltar=2/(2*M+1);gk=1;hk=4; for k=-N/2:N/2-1; teta=2*pi/N; D=zeros(M,M);E=D;T=D;O=D; F=zeros(2*M,1);alpha=F;beta=F; for t=1:M rt=(t-1/2)*deltar; d(t)=-2-k^2/(t-1/2)^2; s(t)=1+1/(2*(t-1/2)); l(t)=1-1/(2*(t-1/2)); F(t+M)=f(rt,teta)*deltar^2; end; alpha(2*M)=2*s(M)/deltar^2; beta(M)=1; F(M)=-s(M)*gk; F(2*M)=F(2*M)-s(M)*((-2/deltar^2-k^2)*gk+(2/deltar+1)*hk); for t=2:M-1 T(t,t)=d(t);T(t,t+1)=s(t);T(t,t-1)=l(t); D(t,t)=-deltar^2; end; T(1,1)=d(1);T(1,2)=s(1);T(M,M-1)=l(M);T(M,M)=d(M);D(1,1)=deltar^2;D(M,M)=-deltar^2; E(M,M)=2*s(M)/deltar^2; B=[T D;O T]; y=inv(B)*F; z=inv(B)*alpha; x=y-(beta'*y/(1+beta'*z))*z; for t=1:M uk(t)=x(t)*exp(i*k*teta); end; uk %utong(k,:)=uk; end; saiso=0; for t=1:M for j=1:N d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 45 rt=(t-1/2)*deltar; tetaj=2*j*pi/N; if abs(u(rt,tetaj)-utong(t,j))>saiso saiso=abs(u(rt,tetaj)-utong(t,j)); end; end; end; saiso function u=u(r,teta) u=r^4; function du=du(r,teta) du=4*r^3; function f=f(ri,teta) k=1; f=(4-k^2)*(16-k^2); lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si