(Luận văn) về sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG lu an VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM va n VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN tn to p ie gh CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN lu CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH an n va to gh tn Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG 60 46 01 12 p ie Mã số: nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục ii Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu iv Danh sách hình vẽ lu Lời cam đoan an n va gh tn to p ie Mở đầu 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi hàm lồi d oa Kiến thức chuẩn bị nl an lu Bài toán cân 15 nf va 2.1 Phát biểu tốn ví dụ 15 2.2 Sự tồn nghiệm 20 z at nh oi lm ul w 25 3.1 Thuật toán với tốc độ hội tụ tuyến tính 25 3.2 Thuật tốn khơng cần điều kiện kiểu Lipschitz z Thuật toán giải toán cân đơn điệu mạnh l gm 34 m co 35 an Lu Tài liệu tham khảo @ Kết luận 28 n va ac th si ii Lời cam đoan Luận văn thạc sỹ: "Về tồn nghiệm phương pháp chiếu giải toán cân đơn điệu mạnh" thực tác giả Phạm Thị Mỹ Lương - học viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng 2014 - 2016, hướng dẫn GS.TSKH lu an Lê Dũng Mưu - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam n va Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, khơng trùng với nghiên ie gh tn to cứu khác p Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015 d oa nl w Học viên lu nf va an Phạm Thị Mỹ Lương z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn Bản luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo nghiêm khắc GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong q trình học tập, tơi nhận quan tâm giúp đỡ lu an giảng dạy nhiệt tình PGS Lê Thị Thanh Nhàn, PSG Tạ Duy Phượng, GS Trần n va Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy thày, cô giáo tham gia giảng dạy khóa tn to học 2014 - 2016, người tâm huyết giảng dạy trang bị cho nhiều kiến Xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Thu Thủy động viên, giúp đỡ p ie gh thức sở w suốt trình học tập oa nl Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường d ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho sướt trình nf va an lu học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn học viên cao học, bạn bè, đồng Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực z at nh oi làm luận văn lm ul nghiệp quan tâm, động viên, giúp đỡ trình học tập trình thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp quý báu thày, cô bạn đọc z Phạm Thị Mỹ Lương co l gm @ Thái Nguyên, 2015 m Học viên Cao học Toán K7Y, an Lu Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên n va ac th si iv Danh sách ký hiệu R không gian số thực H khơng gian Hilbert thực NC (x) nón pháp tuyến điểm x tập C lu an F ix(S) tập điểm bất động ánh xạ S n va phép chiếu trực giao điểm x tập C hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y δC (.) hàm C kxk chuẩn vectơ x p ie gh tn to PC (x) w xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x x gán y d x := y oa nl xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x lu x ∃x tồn x ∅ tập rỗng nf va an ∀x z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh sách hình vẽ 2.1 Hình vẽ minh họa 18 3.1 Hình vẽ minh họa 33 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng chuẩn k.k Giả sử C tập lồi, đóng, khác rỗng f : C × C → R cho f (x, x) = với x ∈ C Đối tượng luận văn cao học tốn cân (cịn gọi bất đẳng lu an thức Ky Fan) Bài tốn phát biểu sau: n va Tìm (EP ) tn to x∗ ∈ C : f (x∗ , y) > 0, ∀y ∈ C ie gh Bài toán (EP) toán tổng quát với ý nghĩa toán tối ưu, bất đẳng p thức biến phân, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động Kakutani, mơ hình nl w cân Nash cho trị chơi khơng hợp tác, trường hợp đặc biệt oa Khi f hàm lồi khả vi theo biến thứ tập C từ phương pháp giải d tốn tối ưu ta phát triển để giải toán (EP) lu nf va an Trong năm gần đây, phương pháp giải toán (EP) thu hút nghiên cứu Một phương pháp phổ biến phương pháp điểm gần kề Phương lm ul pháp Martinet giới thiệu cho bất đẳng thức biến phân sau z at nh oi mở rộng Rockafellar cho việc tìm kiếm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Moudafi Konnov tiếp tục mở rộng phương pháp điểm gần kề z cho toán (EP) với song hàm f đơn điệu đơn điệu yếu gm @ Một phương pháp giải khác cho toán (EP) nguyên lý toán phụ Nguyên lý l Cohen giới thiệu cho tốn tối ưu sau mở rộng cho bất m co đẳng thức biên phân Gần đây, Mastreni tiếp tục mở rộng nguyên lý toán phụ cho an Lu toán (EP) song hàm f đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz Còn Noor sử dụng nguyên lý toán phụ để phát triển thuật toán lặp giải toán n va ac th si (EP) với song hàm f đơn điệu mạnh phần Các phương pháp bó, đạo hàm mở rộng phương pháp phát triển ngành toán học, bất đẳng thức biến phân gần mở rộng cho tốn (EP) Mục đích luận văn trình bày kiến thức toán cân (EP) Đặc biệt, luận văn sâu vào trình bày tồn nghiệm phương pháp chiếu giải toán (EP) trường hợp song hàm đơn điệu mạnh Bản luận văn gồm nội dung sau: - Giới thiệu điểm toán cân bằng: lu • Phát biểu toán an n va • Các trường hợp riêng - Trình bày tồn nghiệm toán cân đơn điệu p ie gh tn to • Định lý tồn nghiệm tổng quát nl w - Giới thiệu hai thuật toán để giải toán cân đơn điệu mạnh d oa Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với trình độ an lu hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót nf va Kính mong góp ý Thầy Cô, bạn anh chị đồng nghiệp để luận z at nh oi lm ul văn hoàn chỉnh nhiều ý nghĩa Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015 Phạm Thị Mỹ Lương z Chuyên ngành Toán ứng dụng m co Email: Myluonghnue@gmail.com l Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên gm @ Học viên Cao học Tốn lớp Y, khóa 2013-2015 an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức về: không gian Hilbert; lu tập lồi, hàm lồi số ví dụ Các kiến thức chương trích từ tài an n va liệu [1 − 4] Không gian Hilbert ie gh tn to 1.1 p Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn thực gọi khơng gian tuyến tính thực X nl w với phần tử x ∈ X ta có số kxk (được gọi chuẩn x), thỏa mãn d oa điều kiện: nf va an lu i) kxk > với x 6= 0, kxk = ⇔ x = 0, ii) kx + yk kxk + kyk với x, y ∈ X, lm ul iii) kαxk |α| · kxk với x ∈ X, α ∈ R z at nh oi Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính thực H × H → R thỏa mãn điều kiện: (x,y)7→hx,yi z @ ii) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H, n va iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H an Lu iii) hλx, yi = λ hx, yi với x, y ∈ H, λ ∈ R, m co l gm i) hx, xi > với x ∈ H, hx, xi = ⇔ x = 0, ac th si 21 i) Hàm giá trị tối ưu g (x) = max {f (x, y) : y ∈ F (x)} nửa liên tục trên, ii) Ánh xạ tập nghiệm tối ưu S (x) = {y ∈ F (x) : f (x, y) = g (x)} nửa liên tục Mệnh đề 2.2.1 Cho C tập lồi, compact, khác rỗng song hàm cân lu an f : C × C → R ∪ {+∞} có tính chất: n va i) f (., y) nửa liên tục trên, với y ∈ C, to ie gh tn ii) f (x, ) lồi, nửa liên tục khả vi phân C, với x ∈ C p Khi đó, tốn (EP ) có nghiệm oa nl w Chứng minh Với x ∈ C, ta kí hiệu S(x) tập nghiệm toán d {f (x, y) : y ∈ C} (CO) an lu lm ul có nghiệm nf va Vì C tập compact f (x, ) nửa liên tục nên theo định lý Weistrass, tốn Vì C tập lồi, compact f (x, ) lồi nên S(x) lồi, compact z at nh oi Theo định lý cực đại Berge, ánh xạ S : C → 2C nửa liên tục Theo định lý điểm bất động Kakutani, tồn x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗ ) Suy z @ x∗ nghiệm toán (EP ) n va suy an Lu ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ) m co l quy hoạch lồi, ta có: gm Thật vậy, f (x, ) lồi, khả vi phân C nên theo điều kiện cần đủ tối ưu ac th si 22 = u∗ + v ∗ , với u∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) , v ∗ ∈ NC (x∗ ) Theo định nghĩa đạo hàm hàm lồi: u∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) ⇔ hu∗ , y − x∗ i + f (x∗ , x∗ ) f (x∗ , y) , ∀y hay hu∗ , y − x∗ i f (x∗ , y) , ∀y Mặt khác, u∗ + v ∗ = 0, nên u∗ = −v ∗ Thay vào ta có: lu h−v ∗ , y − x∗ i f (x∗ , y) , ∀y an n va Nhưng v ∗ ∈ NC (x∗ ) nên hv ∗ , y − x∗ i 0, ∀y ∈ C Vậy f (x∗ , y) > 0, với tn to y ∈ C hay x∗ nghiệm toán (EP ) ie gh Hệ 2.2.1 Cho C tập lồi, đóng f : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cân p thỏa mãn tính chất Mệnh đề 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa oa nl w mãn: Tồn tập compact W cho: d ∀x ∈ C\W, ∃y ∈ C : f (x, y) < an lu Khi đó, tốn (EP ) có nghiệm nf va lm ul Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3 toán cân tập compact C ∩ W với z at nh oi hàm cân f có nghiệm, nghĩa tồn x∗ ∈ C ∩ W Từ điều kiện tính lồi tập C, suy x∗ nghiệm toán (EP ) z Định lí 2.2.3 Cho f β - đơn điệu mạnh thỏa mãn: l gm @ i) f (., y) nửa liên tục dưới, với y ∈ C, m co ii) f (x, ) đóng, lồi khả vi phân C, với x ∈ C an Lu Khi đó, tốn (EP ) có nghiệm n va ac th si 23 Chứng minh Giả sử C tập khơng bị chặn Khi đó, theo Hệ 2.2.1 ta chứng minh điều kiện bức: Tồn hình cầu đóng B : ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C ∩ B : f (x, y) < (CO) Thật vậy, trái lại, với hình cầu đóng Br , tâm O, bán kính r ln tồn xr ∈ C\Br cho f (x, y) > 0, với y ∈ C ∩ Br
Cố định r0 > Khi đó, với r > r0 , tồn xr ∈ C\Br cho f x, y > 0, với y ∈ C ∩ Br Do đó, từ giả thiết f β - đơn điệu mạnh, ta có:
f y , xr + β xr − y 0, ∀r (1) lu an
Mặt khác, C tập lồi f y , lồi C, với εr = 1r , tồn x0 ∈ C cho


∂2εr f y , x0 6= ∅, ∂2εr f y , x0 εr −dưới đạo hàm hàm lồi f y , n va tn to x0 r ta có: ie gh
Lấy w∗ ∈ ∂2εr f y , x0 , theo định nghĩa εr −dưới đạo hàm, với εr = p 2

f y , xr + β xr − y + > f y , x0 + w∗ , xr − x0 + β xr − y r
> f y , x0 − kw∗ k xr − x0 + β xr − y oa nl w d Cho r → ∞, từ kxk → ∞ ta thu an lu nf va 2
f y , xr + β xr − y → ∞ Hệ 2.2.1., tốn có nghiệm z at nh oi lm ul Điều mâu thuẫn với (1) Do điều kiện (CO) Theo kết Trong trường hợp C bị chặn, mệnh đề hệ định lý Ky Fan Ta nghiệm z f (x, y) > f (y, x) > Suy f (x, y) + f (x, y) > m co l gm @ Thật vậy, giả sử tốn có hai nghiệm x, y thỏa mãn yêu cầu đề Khi ta có: n va f (x, y) + f (x, y) −β kx − yk an Lu Mà f β− đơn điệu mạnh nên ac th si 24 Do kx − yk = Vì x = y lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 25 Chương Thuật toán giải toán cân đơn điệu mạnh lu an Chương dự kiến trình bày hai thuật tốn chiếu, thuật tốn với tốc va n độ hội tụ tuyến tính thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz thuật tốn khơng cần điều tn to kiện kiểu Lipschitz Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu p ie gh [6] Thuật toán với tốc độ hội tụ tuyến tính nl w 3.1 d oa Mệnh đề 3.1.1 Giả sử f đơn điệu mạnh C với module β, với Định lí  2.2.3 điều kiện kiểu Lipschitz, dãy xk k>0 với x0 ∈ C định nghĩa k+1 := arg ρf x , y + y − xk k
 (1) z at nh oi thỏa mãn  lm ul x nf va an lu bởi: 2 [1 + 2ρ (β − L2 )] xk+1 − x∗ xk − x∗ , < ρ < 2L1 z x∗ nghiệm (EP ) (2) l gm @ Chứng minh Với k > 0, để đơn giản ta đặt (3) m co
fk (x) := ρf xk , x + x − xk an Lu Từ Định lí 2.2.3, hàm fk lồi mạnh với modul khả vi phân, (4) n va
fk xk+1 + g k , x − xk+1 + x − xk+1 fk (x) , ∀x ∈ C ac th si 26 Từ (1) sử dụng điều kiện tối ưu cho tốn lồi, ta có

∈ ∂fk xk+1 + Nc xk+1 ,
tồn −g k ∈ Nc xk+1 cho g k , x − xk+1 > 0, ∀x ∈ C Vì thế, từ (4) ta có:
fk xk+1 + x − xk+1 fk (x) , ∀x ∈ C (5) lu an Thay x = x∗ (5) (3) ta n va tn to 2

ρf xk , xk+1 + xk+1 − xk + x∗ − xk+1 ρf xk , x∗ + x∗ − xk 2 p ie gh hay d oa suy nl w 2

2ρf xk , xk+1 + xk+1 − xk + x∗ − xk+1 2ρf xk , x∗ + x∗ − xk nf va an lu k+1 2 

 x − x∗ xk − x∗ +2ρ f xk , x∗ − f xk , xk+1 − xk+1 − xk (6) Áp dụng điều kiện kiểu Lipschitz với x = xk , y = xk+1 , z = x∗ , ta thu được: lm ul suy z at nh oi 2


[f xk , xk+1 + f xk+1 , x∗ > f xk , x∗ − L1 xk − xk+1 − L2 xk+1 − x∗ z co l gm @


f xk , x∗ − f xk , xk+1 f xk+1 , x∗ 2
f xk+1 , x∗ + L1 xk − xk+1 + L2 xk+1 − x∗ (7) m
Từ việc x∗ nghiệm (EP ), f x∗ , xk+1 > Sau f đơn điệu mạnh, (8) n va 2
f xk+1 , x∗ −β xk+1 − x∗ an Lu ta có ac th si 27 Từ (7) (8), ta được: 2

f xk , x∗ − f xk , xk+1 −β xk+1 − x∗ + L1 xk − xk+1 + L2 xk+1 − x∗ 2 = − (β − L2 ) xk+1 − x∗ + L1 xk+1 − xk (9) Thế (9) vào (6) chọn ρ, ta viết lu h k+1 k ∗ ∗ x −x x −x + 2ρ − (β − L2 ) xk+1 − x∗ 2 + L1 xk+1 − xk − xk+1 − xk 2 ⇔ [1 + 2ρ (β − L2 )] xk+1 − x∗ xk − x∗ − (1 − 2ρL1 ) xk+1 − xk xk − x∗ an va n Dựa Mệnh đề 3.1.1 ta trình thuật tốn có tốc độ tuyến tính với ie gh tn to toán đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz Thông thường, ta gọi điểm x ∈ C  − nghiệm (EP ) xk − x∗ ε, x∗ nghiệm p (EP ) nl w Thuật toán 3.1.1 Chọn  > < ρ < 2L1 Lấy x0 ∈ C k = d oa Bước Giải toán tối ưu lồi mạnh n o
k k ρf x , y + y − x :x∈C an lu nf va để thu nghiệm xk+1 lm ul Bước Nếu α := √ 1+2ρ(β−L2 ) z at nh oi α xk+1 − xk ε, 1−α dừng lại đưa kết luận xk+1  − nghiệm (EP ) Nếu khơng gán k ← k + quay lại bước z gm @ Chú ý với bất đẳng thức biến phân (V I), m an Lu n va giải toán tối ưu lồi mạnh bước quy tìm  
xk+1 = PC xk − F xk ρ co l f (x, y) := hF (x) , y − xi , ac th si 28 Định lí 3.1.1 Giả sử L2 < β < ρ < 2L1  Khi dãy xk sinh thuật toán hội tụ tuyến tính tới nghiệm x∗ (EP ) ta có đánh giá: k+1 αk+1 ∗ x x1 − x0 , k > 0, −x 1−α α := √ 3.2 1+2ρ(β−L2 ) ∈ (0, 1) Thuật tốn khơng cần điều kiện kiểu Lipschitz ∞ Bổ đề 3.2.1 Giả sử {αk }0 dãy vô hạn số dương thỏa mãn: lu ∞ X an αk+1 αk + ζk , ∀k, ζk < ∞ n va Thuật toán 3.2.1 Cho x1 ∈ C, chọn ε > dãy {ρk } số dương cho: ie gh tn to Khi dãy {αk } hội tụ p ∞ X w ρk = ∞, ∞ X ρ2k < ∞ (10) nl d oa Giả sử k := nf va an lu Bước Tìm g k ∈ H cho
f xk , y + g k , xk − y > −ρk , ∀y ∈ C, (11) lm ul z at nh oi a) Nếu g k = ρk ε thuật tốn kết thúc đưa kết luận xk ε−nghiệm b) Nếu g k = ρk > ε, ta quay trở lại bước với k thay k + l gm @
Bước Tính xk+1 := PC xk − ρk g k z c) Nếu không ta thực bước n va Định lí 3.2.1 Giả sử Định lí 2.2.3 thỏa mãn, đó: an Lu b) Nếu không, ta quay lại bước với k thay k + m co a) Nếu xk+1 = xk ρk ε dừng lại kết luận xk ε−nghiệm ac th si 29 i) Nếu thuật toán kết thúc giá trị lặp k,đưa kết luận xk ε−nghiệm ii) Ta có: 2 k+1 x − x∗ (1 − 2βρk ) xk − x∗ + 2ρ2k + ρ2k g k , ∀k (12) x∗ nghiệm (EP) Hơn nữa, thuật toán chưa kết thúc,  dãy xk hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ Chứng minh i) Nếu thuật toán dừng lại bước g k = ρk ε Khi đó, (11) ta có: lu an n va
f xk , y > −ρk > −ε, ∀y ∈ C tn to Vì thế, x∗ ε−nghiệm Nếu thuật toán dừng bước 2, tương tự p ie gh ta x∗ ε−nghiệm
ii) Từ xk+1 = PC xk − ρk g k , ta có: d oa nl w k+1 2 x − x∗ xk − ρk g k − x∗ 2 = xk − x∗ − 2ρk g k , xk − x∗ + ρ2k g k (13) an lu nf va Với y = x∗ thay vào (11) ta thu z at nh oi lm ul
f xk , x∗ + g k , xk − x∗ > −ρk hay
− g k , xk − x∗ f xk , x∗ + ρk (14) z g k , xk − x∗


2ρk f xk , x∗ + ρk m co l kết hợp với (13) ta có: gm −2ρk @ suy an Lu k+1 2
x − x∗ − xk − x∗ − ρ2k g k −2ρk g k , xk − x∗

2ρk f xk , x∗ + ρk n va ac th si 30 suy 2 k+1

x − x∗ xk − x∗ + 2ρk f xk , x∗ + ρk + ρ2k g k (15)
Do x∗ nghiệm, f x∗ , xk > f β đơn điệu mạnh, ta có:
f xk , x∗ −β xk − x∗ thay vào (15) ta có: lu k+1 2 2 x − x∗ xk − x∗ − 2βρk xk − x∗ + 2ρ2k + ρ2k g k 2 = (1 − 2βρk ) xk − x∗ + 2ρ2k + ρ2k g k (16) an n va Bây giả sử thuật toán chưa dừng g k c, ∀k Khi (16) là: to p ie gh tn k+1 2
x − x∗ (1 − 2βρk ) xk − x∗ + + c2 ρ2k 2
= xk − x∗ − λk xk − x∗ + + c2 ρ2k (17) d oa nl w ∞ P λk := 2βρk Từ ρ2k < ∞ Bổ đề 3.2.1 ta kết luận dãy n o xk − x∗ hội tụ Để chứng minh giới hạn dãy 0, ta thay k = 1, 2, , j +1 an lu vào bất đẳng thức (17), sau tính tổng lại ta thu được: nf va j j X j+1 k
X ∗ ∗ ∗ 2 x −x x −x − λk x − x + 2+c ρ2k lm ul k=1 z at nh oi hay k=1 j j X j+1 k
X ∗ ∗ ∗ 2 x −x + λk x − x x −x + 2+c ρ2k k=1 ρk = ∞ (19) co k=1 λk := 2β ∞ X l ∞ X gm @ Từ λk := 2βρk ta có k=1 z k=1 (18) m ∞  P Chú ý xj đóng ρ2k < ∞ Do từ (18) (19) ta suy j x − x∗ → j → ∞ an Lu n va ac th si 31 Chú ý:
i) Nếu g k ρk đạo hàm hàm lồi f xk , xk g k thỏa mãn (11) Từ
mk := inf f xk , y > −∞, y∈C g k véc tơ thỏa mãn g k , y − xk mk + ρk := tk , ∀y ∈ C,
tức g k véc tơ tập tk -pháp tuyến NCtk xk C xk , (11) lu an n va ii) Với bất đẳng thức biến phân (VI) với f (x, y) định nghĩa to gh tn f (x, y) := hF (x) , y − xi , p ie cơng thức (11) có dạng: (20) d nghĩa
F xk , y − xk + g k , xk − y > −ρk , ∀y ∈ C oa nl w lu nf va an

g k − F xk ∈ NCρk xk , lm ul
NCρk xk tập ρk -pháp tuyến C xk , tức là: z at nh oi
 NCρk xk := wk : wk , y − xk ρk , ∀y ∈ C Ví dụ 3.2.1 Cho tập z  C = (x, y) : x2 + y , gm @ ta xét hàm l f (z, u) = hAz, u − zi + x2 + y , m co z= x  ,u =  x y 0   ,A =  0   n va y  an Lu  ac th si 32 suy f (z, u) = y (x0 − x) + x2 + y Do hàm f đơn điệu mạnh Ta chọn 1 ε = , ρk = k ∞ P k = ∞ ∞ P k2 < ∞
T Tại vịng lặp k, có z = xk , y k , ta tính: thỏa mãn: k=1 k=1 k lu an n va p ie gh tn to
2
2


g k = ∇2 f xk , y k , x0 , y , với f xk , y k , x0 , y = y k x0 − xk + xk + y k   k
y  đạo hàm xác theo biến thứ hàm f z k , z k Khi g k =    Với k = điểm xuất phát z =   ta được: Bước 1:     g =   6=   0 d oa nl w Bước 2: Tính nf va an lu
z = PC z − ρ g , lm ul  Với  −1· z at nh oi z − ρ1 g =   1   = −1   z m co
an Lu z = PC z − ρ g l gm @ z = O + t · z1,   −t  O gốc tọa độ, suy z =  t Để tính n va ac th si 33 ta giải phương trình (−t)2 + t2 = lu an va n Hình 3.1: Hình vẽ minh họa gh tn to hay ie p 2t2 = nl w suy d oa t= √ ta có z =  − √12 √1 nf va √1 , an lu Với t =    lm ul Ta thấy z 6= z nên ta quay trở lại bước với k thay k + tiếp z at nh oi tục thực trình đến thu xk − nghiệm Nếu thuật  toán chưa kết thúc, theo Định lí 3.2.1 dãy xk hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Kết luận Bài tốn cân có nhiều ứng dụng rộng rãi thực tiễn, chẳng hạn lĩnh vực vật lý, ngành kĩ thuật, giao thơng vận tải, kinh tế, Bài tốn cân toán khái quát, bao hàm toán khác: bất đẳng thức biến phân, lu an điểm bất động Kakutani, mơ hình cân Nash, n va Bản luận văn đề cập đến vấn đề sau: tn to Trình bày cách hệ thống khoa học kiến thức toán gh cân đặc biệt toán cân đơn điệu mạnh p ie Giới thiệu hai thuật tốn chiếu, thuật tốn với tốc độ hội tụ tuyến tính thỏa d oa nl w mãn điều kiện kiểu Lipschitz thuật tốn khơng cần điều kiện kiểu Lipschitz nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giải tích hàm, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, lu (2010) an n va [2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội, (2009) ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2015) ie gh tn to [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn giải tích lồi p Tiếng Anh w oa nl [4] Bigi G., Castellani M., Pappalardo M., Passacantando M , Existence and so- d lution methods for equilibria, European J Oper Res 227, 1-11 (2013) an lu nf va [5] Konnov I.V., Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 495, Springer (2001) lm ul [6] Muu L.D and Quy N V., Solution-existence and algorithms for strongly pseu- z at nh oi domonotone equilibrium, Vietnam J of Mathematics, 43, 229-238 (2015) [7] Muu L.D and Quoc T.D., Regularization algorithms for solving monotone Ky z gm @ Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model, J Optimization Theory and Applications, 142, 185-204 (2009) l co [8] Yao Y H., Noor M A and Liou Y C.,"A new hybrid iterative algorithm for m variational inequalities", Applied Mathematics and Computation, 216, 822- an Lu 829, (2010) n va ac th si