(Luận văn) phương pháp lượng giác trong ước lượng đa thức và dãy số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HỒNG KHUYÊN lu an n va p ie gh tn to PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC TRONG ƢỚC LƢỢNG ĐA THỨC VÀ DÃY SỐ d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HỒNG KHUYÊN lu an n va PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC TRONG ƢỚC LƢỢNG ĐA THỨC VÀ DÃY SỐ p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số ll u nf va : 60 46 01 13 oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si i Mục lục MỞ ĐẦU lu MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ an n va Một số tính chất hàm lượng giác 1.2 Đa thức lượng giác 1.3 Đa thức Chebyshev gh tn to 1.1 ie PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN p QUAN ĐẾN ĐA THỨC Một số lớp phương trình hàm sinh hàm lượng giác 2.2 Bài toán ước lượng đa thức lượng giác 17 2.3 Một số toán cực trị đa thức lượng giác 24 d oa nl w 2.1 an lu PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC KHẢO SÁT MỘT SỐ DẠNG nf va 28 3.1 Phương pháp lượng giác để xác định số hạng tổng quát dãy số 28 3.2 Phương pháp lượng giác để ước lượng dãy số 31 3.3 Phương pháp lượng giác để tìm giới hạn dãy số 33 z at nh oi lm ul TOÁN VỀ DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN z 45 @ LIÊN QUAN Sử dụng hệ thức lượng giác để thiết lập đẳng thức đại số 45 4.2 Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại số 53 4.3 Phương pháp lượng giác khảo sát phương trình hệ phương m co l gm 4.1 61 Phương pháp lượng giác toán cực trị 70 an Lu 4.4 trình n va ac th si ii KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Chuyên đề lượng giác phần quan trọng chương trình toán THPT Các học sinh học lượng giác thường chưa cặn kẽ tư tưởng phương pháp lu tiếp cận đặc biệt khâu vận dụng kiến thức vào giải toán đại số, an giải tích hình học Trong hoạt động thực tiễn, có nhiều toán cần can n va thiệp lượng giác để đo đạc, tính tốn mơ Vì vậy, chun đề lượng tn to giác có vị trí đặc biệt tốn học, khơng đối tượng cần nghiên cứu mà cơng cụ đắc lực đại số giải tích hình học gh ie Trong kì thi THPT quốc gia, kì thi học sinh giỏi, Olimpic khu vực quốc p tế tốn liên quan đến phép tính lượng giác thường ẩn hình thức nl w cơng cụ giải tốn Nhiều tốn liên quan đến ước lượng tính tốn tổng, oa tích tốn cực trị thường có mối quan hệ nhiều đến lượng giác d Lượng giác toán liên quan đề cập hầu hết giáo trình lượng lu an giác Tuy nhiên, việc dạy toán lượng giác THPT chưa chi tiết, có nhiều kiến nf va thức chưa cập nhật cách hệ thống Các tài liệu phương pháp lượng giác chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh chưa có nhiều (xem lm ul [1]-[6]) z at nh oi Với mong muốn nâng cao trình độ chun mơn đáp ứng nhu cầu học sinh giỏi nên em chọn đề tài “Một số phương pháp lượng giác ước lượng đa thức dãy số” để làm đề tài luận văn thạc sĩ z Chuyên đề lượng giác với mảng kiến thức "phương pháp lượng giác ước @ liên quan đến lượng giác thêm yêu toán học l gm lượng đa thức dãy số" giúp em học sinh tự tin giải tốt toán m co Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Giáo sư, Tiến sĩ khoa học Nguyễn an Lu Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy n va ac th si hướng dẫn khoa học mình, thầy dành nhiều thời gian, tâm huyết hướng dẫn, truyền đạt tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán -Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K8B (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm gia đình tạo điều kiện tốt lu cho tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác an Thái Nguyên, tháng năm 2016 va n Tác giả luận văn p ie gh tn to w d oa nl Trần Thị Hồng Khuyên nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ lu an Một số tính chất hàm lượng giác n va 1.1 tn to Trong phần ta xét số tính chất hàm lượng giác trục gh thực p ie Ta có nl w sin x; cos x ∈ [−1; 1]; sin2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈ R d oa sin(x + k2π) = sin x; cos(x + k2π) = cos x, ∀x ∈ R π tan(x + kπ) = tan : x, ∀x 6= + kπ; cot(x + kπ) = cot x, ∀x 6= kπ nf va an lu Cơng thức góc nhân đơi z at nh oi Cơng thức góc nhân ba lm ul cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α cos 3α = cos3 α − cos α, sin 3α = sin α − sin3 α z gm @ Cơng thức góc nhân năm cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α, sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α m co l Về sau, ta sử dụng hệ thức √ an Lu sin x+cos x = n va √ √ √ √ √ π π π π sin(x+ ) = cos(x− ), − ≤ sin(x+ ) cos(x− ) ≤ 4 4 ac th si Ta có sin x − cos x = √ 2≤ √ √ sin(x − sin(x − √ π π ) = cos(x + ) 4 √ π √ π ); cos(x + ) ≤ 4 p p + Nếu C := α sin x + β cos x − α2 + β ≤ C ≤ α2 + β , ∀x ∈ R + Nếu D := cosn x + sinn x ta có −1 ≤ D ≤ 1, ∀x ∈ R lu 1.2 an Đa thức lượng giác va Định nghĩa 1.2.1 (xem[6]) Hàm số dạng n to gh tn An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx, p ie an bn khơng đồng thời không (tức a2n + b2n > 0), ; bj ∈ R với i = 0, 1, , n j = 1, 2, , n, gọi đa thức lượng giác bậc n (n ∈ N) d oa sin nl w Khi tất bj = với j = 1, 2, , n, ta nhận biểu thức không chứa hàm nf va an lu Định nghĩa 1.2.2 Hàm số dạng Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx lm ul gọi đa thức lượng giác bậc n theo cosin chứa hàm cosin Định nghĩa 1.2.3 Hàm số dạng z at nh oi Tương tự, tất = với i = 1, 2, , n, ta nhận biểu thức không z @ gọi đa thức bậc n theo sin co l gm Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + an sin nx m Sau đây, ta liệt kê tính chất đơn giản đa thức lượng giác an Lu Tính chất 1.2.4 Tổng hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc nhỏ max {m; n} n va ac th si Tính chất 1.2.5 Tích hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc n + m Tính chất 1.2.6 Nếu đa thức lượng giác An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx đồng với x ∈ R, tất hệ số 0, tức a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = Tính chất 1.2.7 Đối với đa thức lượng giác dạng lu an An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx n va ln tìm đa thức đại số Pn (t); Qn−1 (t) cho to gh tn An (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x) p ie Tính chất 1.2.8 Đối với đa thức lượng giác bậc n (n ≥ 1) dạng nl w Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + an sin nx d oa tồn đa thức đại số Qn−1 (t), cho nf va an lu Sn (x) = b0 + sin xQn−1 (cos x) Tính chất 1.2.9 Đối với đa thức lượng giác bậc n (n ≥ 1) theo cosin lm ul Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx z at nh oi tồn đa thức đại số Pn (t) với hệ số cao an 2n−1 cho Cn (x) = pn (cos x) z Ngược lại, với đa thức đại số Pn (t) với hệ số bậc cao 1, qua phép @ Đa thức Chebyshev m co 1.3 l gm đặt ẩn phụ t = cos x biến đổi dạng Cn (x) với an = 21−n an Lu Trong phần ta xét số tính chất đa thức Chebyshev loại loại (xem [6]) n va ac th si Định nghĩa 1.3.1 (Đa thức Chebyshev loại 1) Các đa thức Tn (x) xác định ( T0 (x) = 1; T1 (x) = x Tn+1 (x) = 2x.Tn (x) − Tn−1 (x) , n ≥ gọi đa thức Chebyshev loại Định(nghĩa 1.3.2 (Đa thức Chebyshev loại 2) Các đa thức Un (x) xác định U0 (x) = 1; U1 (x) = 2x bởi: Un+1 (x) = 2x.Un (x) − Un−1 (x) , n ≥ gọi đa thức Chebyshev loại Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta dễ dàng chứng minh lu an Tn (cos α) = cos nα, ∀α ∈ R, ∀k ∈ Z; va n Un (cos α) = to sin (n + 1) α , ∀α 6= kπ, ∀k ∈ Z sin α gh tn Tính chất 1.3.3 Ta có p ie Tn (x) = cos (narccosx) , ∀x ∈ [−1; 1] nl w sin (narccosx) √ , ∀x ∈ (−1; 1) − x2 d oa Un (x) = an lu Tính chất 1.3.4 Đa thức Tn (x) , Un (x) ∈ Z [x] có bậc n hệ số cao tương ứng 2n−1 2n nf va hàm số lẻ n lẻ z at nh oi lm ul Tính chất 1.3.5 Các đa thức Tn (x) , Un (x) hàm số chẵn n chẵn Tính chất 1.3.6 Các đa thức Tn (x) Un (x) có n nghiệm thực phân biệt tương ứng là: z (2k + 1) π kπ , k = 0; n − cos , k = 1, n 2n n+1 gm @ cos l ⇔ cos nα = ⇔ α = an Lu Tn (x) = ⇔ Tn (cos α) = m co Chứng minh Do x ∈ [−1; 1] nên ta đặt x = cos α với α ∈ [0; π] n va π k + π, k ∈ Z, n ∈ N∗ 2n n ac th si P (x) |Pn (cos α)| ≤ n suy − x n ≤ lu n an n va to Áp dụng kết toán 2.2.9 ta thu kết Pn (x) ≤ n suy ra|Pn0 (x)| ≤ n2 ∀x ∈ [−1; 1] Một số toán cực trị đa thức lượng giác p 2.3 ie gh tn n oa nl w Trong mục ta xét số toán cực trị đa thức lượng giác Bài tốn 2.3.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số d Lời giải Ta có 1 cos 2x + cos 3x nf va an lu y = + cos x + lm ul 1 cos 2x + cos 3x 1 = + cos x + (2 cos2 x − 1) + (4 cos3 x − cos x) = cos3 x + cos2 x + y = + cos x + z at nh oi z @ an Lu n va Ta có y = 4t2 + 2t Suy y = t = 0, t = − m y = t3 + t2 + trong[−1, 1] co l nhỏ hàm số gm Đặt t = cos x, |t| ≤ Khi y = t3 + t2 + Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn ac th si 25 −1 17 = ; y(0) = ; y(1) = y(−1) = ; y − 12 17 Suy ymax = t=1suy x = k2π, k ∈ Z ymin = t = -1suy x = π + k2π, k ∈ Z   Bài toán 2.3.2 Cho x, y ∈ R thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ y Tìm giá trị lớn biểu thức f (x, y) = x cos y − y cos x + (x − y)( xy − 1) Lời giải Trước hết nhận xét rằng: lu i) Nếu g(t) hàm liên tục đồng biến [0, y], với x cho an ≤ x ≤ y, ta có Zy va Zx g(t)dt ≤ x n y to (2.19) g(t)dt tn gh ii) Nếu g(t) hàm liên tục nghịch biến [0, y], với x cho ie ≤ x ≤ y, ta có p g(t)dt ≥ x y w (2.20) g(t)dt d oa nl Thật Zy Zx an lu i) Xét trường hợp g(t) hàm liên tục đồng biến [0, y] nf va - Với x = y x = (2.19) hiển nhiên - Với < x < y, ta xét hàm số lm ul Rx g(t)dt z at nh oi F (x) = có x Rx z xg(x) − gm F (x) = g(t)dt @ x Zx g(x)dt = xg(x) an Lu g(t)dt ≤ m Zx co l Do hàm số g(t) đồng biến [0, y] nên với t ∈ (0, x) ⊂ (0, y), ta có n va ac th si 26 Vậy F (x) ≥ với < x < y , tức F (x) đồng biến (0, y) Do Rx Ry g(t)dt ≤ x g(t)dt y Từ dễ dàng suy (2.19) ii) Đối với trường hợp g(t) liên tục nghịch biến [0, y] với t ∈ (0, x) ⊂ (0, y), ta có Zx Zx g(t)dt ≥ g(x)dt = xg(x) lu Vậy F (x) ≤ với < x < y , tức F (x) nghịch biến (0, y) Do an va Rx Ry g(t)dt n ≥ y tn to x g(t)dt ie gh Từ dễ dàng suy (2.20) p Xét hàm số g(t) = sin t + t Ta thấy g(t) hàm liên tục đồng biến [0, y], w nên theo (2.19) với x cho ≤ x ≤ y , ta có Zy oa nl Zx (sint + t)dt ≤ x d y an lu (sin t + t)dt nf va x2 y2 ⇔ y(− cos x + + 1) ≤ x(− cos y + + 1) 2 x2 y xy ⇔ −y cos x + + y) ≤ −x cos y + + x) 2 z at nh oi lm ul hay x cos y − y cos x + x2 y xy − − x + y ≤ 2 z Suy gm @ x cos y − y cos x + (x − y)( xy − 1) ≤ m Bài toán 2.3.3 Cho đa thức lượng giác co l Vậy giá trị lớn f (x, y) ứng với x = 0, y ≥ tùy ý x = y an Lu f (x) = b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx n va ac th si 27 thỏa mãn điều kiện |f (x)| ≤ | sin x|, ∀x ∈ R, bi ∈ R, i = 1, 2, , n Tìm giá trị lớn biểu thức S = |b1 + 2b2 + · · · + nbn | Lời giải Ta có f (x) = b1 cos x + 2b2 cos 2x + 3b3 cos 3x + · · · + nbn cos nx lu Vậy nên an f (0) = b1 = 2b2 + 3b3 + · · · + nbn n va Theo định nghĩa đạo hàm điểm x = to f (x) − f (0) f (x) = lim x→0 x→0 x x Suy p ie gh tn f (0) = lim nl w f (x) f (x) sin x | ≤ lim | | ≤ lim | |=1 x→0 x x→0 x→0 x x |f (0)| = | lim oa Vậy d S = |b1 + 2b2 + · · · + nbn | ≤ =00 xảy x = nf va an 00 lu Dấu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 28 Chương PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC lu KHẢO SÁT MỘT SỐ DẠNG TOÁN an n va VỀ DÃY SỐ gh tn to p ie Phần dãy số có nhiều tốn hay khó chương trình tốn THPT, đặc biệt kì thi học sinh giỏi Chúng ta thường gặp nhiều dạng toán nl w dãy số mà cách giải thông thường sử dụng phương pháp lượng giác Trong oa phần ta xét số phương pháp lượng giác để xác định số hạng tổng quát d dãy số, ước lượng dãy số để tìm giới hạn dãy số nf va an lu 3.1 Phương pháp lượng giác để xác định số hạng tổng lm ul quát dãy số z at nh oi z Bài toán 3.1.1 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định bởi:   x1 = y = √ ;     xn xn+1 = @ gm − 4xn+1 l Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số (xn ), (yn ) sin(3ϕn+1 ) = sin ϕn sin ϕn nên 4cos2 ϕn+1 − an Lu π m co Lời giải Do |xn | , |yn | ≤ ∃ϕn ∈ [0; 2π] để xn = sin ϕn yn = cos ϕn Trong x1 = y1 = √ ϕ1 = Có sin ϕn+1 = ; 4yn+1 −1   y  n  yn+1 = (3.1) n va ac th si 29 Tương tự cos ϕn+1 = cos ϕn nên − 4sin2 ϕn+1 (3.2) cos(3ϕn+1 ) = cos ϕn Từ (3.1) (3.2) 3ϕn+1 = ϕn ϕn+1 = ϕn (ϕn ) cấp số nhân 3  n−1    n−1   n−1 π  n−1 π π ϕn = ϕ1 = xn = sin yn = cos 4 Bài toán 3.1.2 Cho a0 = 2; b0 = Lập hai dãy số (an ), (bn ) với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau an+1 = p 2an bn ; bn+1 = an+1 bn an + b n lu Tìm số hạng tổng quát dãy số (an ), (bn ) an n va Nhận xét 3.1.3 Dãy (an ) dãy trung bình điều hịa, dãy (bn ) dãy trung bình to nhân.Trong trường hợp phương pháp lượng giác tỏ tối ưu 1 = π , b0 = 1 cos 2 2a0 b0 = a1 = = = π π 1 a0 + b cos + cos2 + a0 b √ b = a1 b = π cos p ie gh tn Lời giải Ta có a0 = = d oa nl w π π π π cos cos n−1 cos2 n )−1 2.3 3 nf va an lu Từ phương pháp chứng minh quy nạp, ta chứng minh rằng: an = (cos lm ul π π π π cos cos n−1 cos n )−1 2.3 3 π sin π π π π Lưu ý rằng: cos cos cos n−1 cos n = π với n ≥ 2.3 3 n sin n π π n n sin n sin n , b = Vậy ta có an = n π π π sin cos n sin 3 bn = (cos z at nh oi z co l gm @ m Bài toán 3.1.4 ( Olympic 30/04/2003) Cho dãy (un ) xácđịnh  un+1 an Lu Tính un  √  u1 = 3; √ un + − √ = + (1 − 2)un n va ac th si