(Luận văn) các định lý hội tụ của dãy số, dãy hàm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ CÔNG HUÂN lu an n va gh tn to CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ, DÃY HÀM p ie VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ CÔNG HUÂN lu CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ, DÃY HÀM an n va VÀ ỨNG DỤNG ie gh tn to p Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Mở đầu 1 Đại cương dãy số dãy hàm lu an Dãy số 1.2 Dãy hàm n va 1.1 gh tn to Các định lý hội tụ dãy số dãy hàm 2.1 Các định lý hội tụ dãy số p ie 2.2 Các định lý hội tụ dãy hàm 20 w 27 oa nl Một số ứng dụng Dãy cấp số cộng số ứng dụng thực tế 3.2 Dãy cấp số nhân số ứng dụng thực tế 32 3.3 Một số toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi 37 d 3.1 nf va lm ul 44 z at nh oi Tài liệu tham khảo an lu Kết luận 27 45 z m co l gm @ an Lu n va i ac th si Mở đầu Dãy số dãy hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết dãy số, dãm hàm người ta quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng lu an n va tn to Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các định lý hội tụ dãy số, dãy hàm ứng dụng quan trọng chúng Ngoài luận văn giới thiệu số toán nâng cao dãy số, dãy hàm phù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông p ie gh Luận văn chia thành ba chương Chương trình bày số khái niệm kết quan trọng dãy số dãy hàm Chương trình bày cách chi tiết có hệ thống định lý liên quan đến hội tụ dãy số hội tụ điểm, hội tụ dãy hàm Cuối chương giới thiệu số ứng dụng dãy cấp số cộng, dãy cấp số nhân số toán nâng cao phù hợp với chương trình tốn bậc phổ thơng d oa nl w lu nf va an Luận văn hoàn thành Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tơi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học đại học năm học thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối tơi xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi z at nh oi lm ul z m co l gm @ Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện an Lu n va ac th si Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Võ Công Huân lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Đại cương dãy số dãy hàm lu an Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dãy số, dãy hàm, ví dụ tính chất dãy số, dãy hàm n va Dãy số gh tn to 1.1 p ie Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N Đ R cho n ÞĐ apnq : an Dãy số thường ký hiệu tan u, pan q, a1 , a2 , , an , Trong luận văn ta dùng ký hiệu pan q Số hạng an gọi số hạng tổng quát dãy pan q oa nl w d Dãy số thường cho công thức số hạng tổng quát cho công thức truy hồi (hay quy nạp) Ta xét số ví dụ sau an lu nf va Ví dụ 1.2 Cho dãy số pan q xác định π an n2 sin , n ¥ n lm ul z at nh oi Với cách định nghĩa ta hoàn toàn xác định số hạng dãy, chẳng hạn cho n 100 số hạng thứ 100 dãy π a100 1002 sin 100 Xét dãy panq xác định d, n ¥ z Ví dụ 1.3 Cho trước hai số thực q, d với q @ gm q an Nếu ta xét hàm số bậc f pxq qx d dãy viết lại an f pan q, n ¥ an m co l an Lu Dãy định nghĩa gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau n va ac th si • Cho q 1, dãy panq có dạng an an n ¥ d, Dãy pan q gọi dãy cấp số cộng (hay gọi tắt cấp số cộng) với cơng sai d • Cho d 0, dãy pan q có dạng an q an, n ¥ Dãy pan q gọi dãy cấp số nhân (hay gọi tắt cấp số nhân) với công bội q lu Định nghĩa 1.4 Dãy số pan q gọi an va n • bị chặn tồn số thực M (không phụ thuộc vào n) cho tn to an Ô M @n P N; ie gh p • bị chặn tồn số thực L (khơng phụ thuộc vào n) cho ¥ L @n P N; oa nl w an d • bị chặn bị chặn bị chặn dưới, hay tồn số thực P (không phụ thuộc vo n) cho |an| Ô P @n P N nf va an lu Ô an (an Ơ an 1) với n P N; z at nh oi • tăng (giảm) an lm ul Định nghĩa 1.5 Dãy số pan q gọi • tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) an an (an ¡ an 1) với n P N z Ta gọi chung dãy tăng, tăng nghiêm ngặt, giảm giảm nghiêm ngặt dãy đơn điệu gm @ Dãy pan q dãy an Lu Dãy pa2n q dãy dãy pan q m Ví dụ 1.7 co l Định nghĩa 1.6 Cho dãy số pan q pmn q dãy tăng nghiêm ngặt số tự nhiên Khi dãy pamn q gọi dãy dãy pan q Ta viết pamn q pan q n va ac th si Dãy a1 , a1 , a2 , a3 , a3 , không dãy dãy pan q ¥ n với n Nếu pam q pak q pak q pan q pam q pan q Định nghĩa 1.9 ([3]) Ta gọi số thực L giới hạn dãy pan q, kí hiệu lim an L an Ñ L, với ε ¡ 0, tồn N P N cho với n ¥ N ta có Nhận xét 1.8 Nếu pamn q pan q mn n kn n kn |an L| ε Khi ta nói dãy pan q hội tụ Trong trường hợp ngược lại ta nói dãy tan u phân kỳ lu Định nghĩa 1.10 ([3]) Ta nói dãy pan q phân kỳ đến 8, kí hiệu lim an an Ñ 8, với M ¡ 0, tồn N P N cho với n ¥ N ta có an n va an ¡ M ie gh tn to Ta nói dãy pan q phân kỳ đến 8, kí hiệu lim an 8 an M 0, tồn N P N cho với n ¥ N ta có p an Ñ 8, với M nl w Định lý 1.1 ([3]) Mỗi dãy số có nhiều giới hạn d oa Chứng minh Giả sử phản chứng tồn dãy pan q có hai giới hạn L1 L2 Đặt L1 L2 ε Vì dãy pan q hội tụ đến L1 nên tồn N1 P N cho nf va an lu lm ul n ¥ N1 đ |an L1| ε z at nh oi Vì dãy pan q hội tụ đến L2 nên tồn N2 n ¥ N2 P N cho đ |an L2| ε z max tN1, N 2u giả sử n ¥ N Khi gm @ Đặt N m co l |L1 L2| |pL1 anq pan L2q| Ô |an L1| |an L2| ε ε 2ε 32 |L1 L2| |L1 L2| an Lu Điều vơ lý Vậy dãy khơng thể có nhiều giới hạn n va ac th si Định nghĩa 1.11 (Dãy Cauchy, [3]) Dãy số pan q gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với ε ¡ 0, tồn N N pεq P N cho với m ¥ n ¥ N ta có |am an| ε Định lý 1.2 (Tính chất dãy Cauchy) Cho pan q dãy Cauchy Khi Nếu pamn q pan q lim amn Ñ8 n a nlim a a; Đ8 n Dãy pan q bị chặn Chứng minh Cố định ε ¡ Vì lim amn a nên tồn n1 n1pεq P N cho Ñ8 n lu |am a| ε{2 @n ¡ n1 n an va Vì tan u dãy Cauchy nên tồn n2 n2pεq P N cho n |am an| ε{2 @m, n ¥ n2 ie gh tn to ¥ n nên với n ¥ n0 maxtn1, n2u, ta có Khi đó, mn p |an a| Ô |an am | |am a| ε n n nl w Vậy dãy tan u hội tụ đến a d oa Vì tan u dãy Cauchy nên với ε tồn số tự nhiên n0 cố định cho nf va an lu | an an | @ n ¥ n Vì |an | |an0 | Ô |an an0 | nờn lm ul |an| |an | M @ n ¥ n0 maxt|a1|, , |an 1|, |an | 0 1u z Khi z at nh oi Đặt co l gm @ Vậy dóy pan q b chn |an| Ô M @n P N m Định nghĩa 1.12 Dãy đoạn ran , bn s R gọi thắt lại , bn an Lu r an n va s ran, bns với số tự nhiên n nlim pb anq Ñ8 n ac th si Định lý 1.3 (Nguyên lý Cantor dãy đoạn thắt lại, [1]) Mọi dãy đoạn thắt lại có điểm chung Chứng minh Giả sử tran , bn su thắt lại Khi dãy tan u tăng bị chặn b1 dãy tbn u giảm bị chặn a1 Vì dãy tan u tbn u hội tụ Vì lim pbn an q nên tồn ξ cho lim an ξ lim bn Vì dãy tan u tăng dãy Ñ8 Ñ8 Ñ8 tbnu giảm nên ξ P ran, bns với n P N Giả sử tồn ξ P ran, bns với n Khi ú | 1| Ô bn an vi n Do nlim pb anq ta suy ξ ξ Ñ8 n n n 1.2 n Dãy hàm lu an Định nghĩa 1.13 (Dãy hàm) Giả sử va n F ( f :AÑR gh tn to họ tất hàm số xác định A R Ta gọi ánh xạ n ÞĐ fn pxq p ie f : N Đ F, oa nl w dãy hàm xác định A Dãy hàm thường ký hiệu tfn pxqu f1 pxq, f2 pxq, ,fn pxq, d Với x0 P A tfn px0 qu dãy số Nếu dãy số tfn px0 qu hội tụ (tương ứng, phân kỳ) điểm x0 gọi điểm hội tụ (tương ứng, điểm phân kỳ) dãy hàm tfnpxqu nf va an lu z at nh oi lm ul Tập A0 gồm điểm hội tụ dãy hàm tfn pxqu gọi miền hội tụ dãy hàm Tập A1 AzA0 gồm điểm phân kỳ dãy hàm tfn pxqu gọi miền phân kỳ dãy hàm z Định nghĩa 1.14 (Hội tụ điểm, [3]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A R gọi hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với x P A ε ¡ 0, tồn N N px, εq P N cho với n ¥ N ta có p q f pxq ε x P A m fn pxq Ñ f pxq, co l Ký hiệu: gm @ fn x an Lu n va ac th si 31 Lời giải Theo giả thiết toán với k, n, m P Z ta có: $ ' ' a ' & a1 ' ' ' % a1 kd 25 $ & n ñ% nd 43 md 25 Mặt khác 2005 70 p kqd 18 ñ pm n2n kqd pm nqd 27 9.215 a1 215pm 2n md a1 p216m 430n a1 ld, k qd 215k qd lu với l 216m 430n 215k, l P Z Vậy 2005 hạng tử dãy cho an n va Ta xét ứng dụng cấp số cộng ví dụ thực tế sau: p ie gh tn to Ví dụ 3.8 ([2]) Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với kỹ sư tuyển dụng Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là: Phương án 1: người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm Phương án 2: người lao động nhận nhận triệu đồng cho quí kể từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng quí Nếu bạn người lao động bạn chọn phương án nào? d oa nl w an lu nf va Lời giải Vấn đề đặt ra: Chọn hai phương án để nhận lương Ta thấy việc người lao động chọn hai phương án nhận lương phải vào số tiền mà họ đuợc nhận 10 năm Phương án giải quyết: Ta nhận thấy hai phương án số tiền nhận sau năm (một quí) tuân theo quy luật định : Phương án 1: cấp số cộng với số hạng đầu u1 36 triệu công sai d triệu Phương án 2: cấp số cộng với số hạng đầu u1 triệu công sai d 0, triệu Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận là: z at nh oi lm ul z 9.3q.5 195ptriệuq m co p72 l gm @ S10 S10 p14 39.0, 5q.20 670ptriệuq an Lu Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận là: n va ac th si 32 Vậy nguời lao động chọn phương án để nhận lương sau 10 năm số tiền lương cao 3.2 Dãy cấp số nhân số ứng dụng thực tế Xét tốn phổ thơng có ứng dụng cấp số nhân Ví dụ 3.9 ([2]) Viết lại số thập phân vơ hạn tuần hồn sau thành phân số: a) 0.3333 ; lu an b) 0.7777 ; va c) 0.454545 ; n gh tn to d) 1.227027027 p ie Lời giải Mỗi số thập phân vơ hạn tuần hồn viết dạng tổng nhiều số thập phân viết dạng cấp số nhân oa nl w 0, 333 d 1000 31 10n nf va an lu Tương tự 3 10 100 10 10 7 7 n 10 100 1000 10 45 45 45 0, 4545 45 100 10000 100 100 11 z at nh oi lm ul 0, 777 z Với số 1.227027027 , ta nhận thấy có 027 lặp vơ hạn nên ta phân tích sau: 12 27 27 1.227027027 10 1000 1000000 681 27 65 1000 555 1000 m co l gm @ an Lu Ví dụ 3.10 ([2]) Dãy tan u cấp số cộng với số hạng thứ 1, thứ 20 thứ 58 số hạng liên tiếp cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân n va ac th si 33 Lời giải Giả sử a1 , a20 , a58 số hạng cấp số cộng với a1 số hạng d cơng sai Khi ta có a1 a1 a1 a58 a1 a20 19d 57d Vì a1 , a20 , a58 hạng tử liên tiếp cấp số nhân nên ta có cơng bội q aa20 aa58 a1 Suy 20 pa1 19dq2 19d a1 aa1 57d 19d a1pa1 57dq lu an Biến đổi rút gọn ta thu kết quả: n va 19dpa1 19dq a20 a58 d nên a1 19d ie gh tn to Vì a1 p Từ kêt vừa thu ta có a1 oa nl w q d Vậy công bội cấp số nhân q 19d a1 19d19d19d lu a3n nf va an Ví dụ 3.11 ([2], ASHME) Cho dãy số thực a1 , a2 , a3 với a1 99a3n với n ¥ Tìm a100 lm ul Lời giải Vì nên 99a3n z at nh oi a3n an an ? 99 z ? 99 số hạng đầu l gm @ Do dãy số thực cho cấp số nhân với công bội q tiên a1 ? Vậy a100 1.p 99q99 9933 co Ví dụ 3.12 ([2], Rivkin) Các nghiệm phương trình x3 7x2 hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng Tính nghiệm 14x m a an Lu n va ac th si 34 Lời giải Vì x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình cho, nên theo định lý Viet ta có x1 x2 x3 a x1 x2 x1 x2 x3 7 x2 x3 x3 x1 14 Vì nghiệm hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng nên x31 r3 x1 a x1 r x21 r (3.1) 7 x31 r 14 x1 r x21 r (3.2) (3.3) lu Chia vế theo vế (3.3) cho (3.2) ta an n va x1 2r vào (3.3) ta có 2r2 5r gh tn to Thay x1 2r 20 p ie Phương trình có nghiệm r1 21 r2 Vì dãy cần tìm dãy tăng nên chọn r 2, w Và 1, x2 2, x3 d oa nl x1 8 nf va an lu a x31 r3 lm ul z at nh oi Ví dụ 3.13 Các số 100, 101 102 có phải số hạng (khơng cần liên tiếp) cấp số nhân? Lời giải Giả sử 100, 101, 102 số hạng cấp số nhân Khi đó: z 100 a1ri1 aj 101 a1 rj 1 ak 102 a1 rk1 m an Lu r k j co r j i l 101 100 102 101 gm @ Do n va ac th si 35 Suy 102 j i kj p 101 q rpj j qpkj q p q 100 101 Rút gọn biểu thức ta thu kết 101ki 102ji.100kj Vì i j k nên vế trái số lẻ vế phải số chẵn Do biểu thức vơ lí Vậy 100, 101, 102 hạng tử cấp số nhân Ví dụ 3.14 ([2]) Đồng vị phóng xạ Iot, 131 I, sử dụng y học hạt nhân cho thủ tục chẩn đoán để xác định rối loạn tuyến giáp xạ hình Tốc độ phân rã không đổi k 131 I 9, 93.107 s1 Phương trình phân rã 131 lu e I Đ131 Xe an n va Tình chu kì bán rã 131 I ngày Tính thời gian cần thiết để chất phóng xạ 131 I giảm 30% lượng phóng xạ ban đầu ie gh tn to Ta tìm hiểu ứng dụng cấp số nhân thơng qua ví dụ thực tế tốn phóng xạ tốn lãi suất p Lời giải Gọi x0 lượng chất phóng xạ ban đầu, x lượng chất phóng xạ cịn lại sau thời gian t, k số phóng xạ Ta có phương trình phân rã sau nl w t t ta rút công thức sau: nf va an x0 (3.4) lu Nếu x d oa x x0 ekt k lnt lnt lm ul (3.5) Thay (3.5) vào (3.4) ta thu công thức t t1 z at nh oi x x0 ekt x0peln q x0p 12 q t t1 (3.6) Theo giả thiết tốn cơng thức (3.5) chu kì bán rã @ ln 9, 93.10 7 698033, 41pgiâyq 8, 079pngàyq z t1 ekt với k m co l gm Sử dụng công thức (3.4), thay x 0, 3x0 ta phương trình 0, 9, 93.1067s1 Khi ln 10 t 1212460pgiâyq 14pngàyq 9, 93.107 an Lu Vậy chu kì bán rã ngày thời gian để lượng phóng xạ lại 30% 14 ngày n va ac th si 36 Ta tìm hiểu cách tính giá trị lãi tương lai cho khoản tiền cố định Tiền gửi vào tài khoản trả lãi, cộng gộp theo định kỳ Nhưng không nhiều người gửi khoản tiền lớn tiền thời điểm tài khoản Hầu hết người tiết kiệm đầu tư tiền cách gửi tiền số lượng nhỏ thời điểm khác Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 3.15 ([2]) Giả sử 100 triệu (Việt Nam đồng) số tiền gửi vào ngân hàng vào ngày tháng năm từ 2015 đến 2020, với lãi suất năm 5% Tính giá trị tài khoản sau năm sau lần gửi cuối lu an n va p ie gh tn to Lời giải Ta kiểm tra tài khoản vào ngày tháng năm 2021 Vào ngày tháng năm 2015, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100p1 0.05q6 134 triệu Tuy nhiên, ta gửi thêm 100 triệu vào môi ngày tháng năm, nên ta tình riêng khoản gửi thêm Vào ngày tháng năm 2016, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100p1 0.05q5 triệu Tương tự khoản vào năm 2017, 2018, 2019 2020 d oa nl w nf va an lu 100p1 0.05q4 100p1 0.05q3 100p1 0.05q1 100p1 0.05q2 lm ul S 100p1 0.05q5 0.05q2 105.1, 052 100p1 0.05q4 0.05q1 105.1, 053 l gm 105.1, 055 100p1 @ 105.1, 054 100p1 z 100p1 0.05q6 100p1 0.05q3 105 105.1, 05 z at nh oi Vậy tổng số tiền gốc lẫn lãi vào ngày tháng năm 2021 là: 105 m co Ta nhận xét số hạng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u1 công bội q 1, 05 Suy 105p1, 056 1q 714, 42 S6 1, 05 an Lu n va ac th si 37 Vậy vào ngày tháng năm 2021, ta có số tiền 714 triệu tài khoản hiển nhiên số tiền lớn tổng 600 triệu không gửi ngân hàng 3.3 Một số toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Ta xét toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi có ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân lu Ví dụ 3.16 ([2]) Cho số a, b, c z Ba số hạng đầu lập thành cấp số cộng, ba số hạng cuối lập thành cấp số nhân Tổng số hạng bên 4, tổng số hạng bên Tìm số an va n Lời giải Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên theo tính chất trung bình cộng ta có to a c gh tn b p ie Mặt khác ta có b b c z oa nl w a d z c 2b vào (3.7) ta (3.7) nf va an lu Thay a c 2b 4 c a Suy ña 3b z ñ z 3b lm ul Vì b, c, z lập thành cấp số nhân nên theo tính chất trung bình nhân ta có z at nh oi c2 bz Thay c b vào phương trình ta có z Rút gọn phương trình ta m co 2b2 5b l gm @ p2 bq2 bp6 3bq an Lu Phương trình có nghiệm b b 0, Với nghiệm b khác nhau, ta nhận trường hợp giá trị a, b, c, z n va ac th si 38 1) b z 3b a 3b c2b0 2) b 0, z 4, a 0, c 1, Vậy pa, b, c, z q tp4, 2, 0, 0q, p0, 5; 0, 5; 1, 5; 4, 5qu lu Ví dụ 3.17 ([2]) Dãy a1 , a2 , a3 có a1 19, a9 bình cộng n số hạng đàu tiên Tìm a2 99 với n ¥ 3, an trung an va n Lời giải Ta xét số hạng thứ n1 gh tn to an1 a1 a2 p ie Suy w a1 nl Xét số hạng thứ n an2 a2 n2 an2 pn 2qan1 a1 a2 n a1n2 ñ anpn 1q pn 2qan1 ñ anpn 1q pn 1qan1 đ an an1, @n ¥ d oa an an1 nf va an lu an1 lm ul a3 19 a2 a2 2.99 179 co l gm 179 99 @ Vậy a2 a1 a2 z ñ ñ 99 Tức z at nh oi Vậy từ số hạng thứ trở đi, tất số hạng dãy a9 a3 99 Áp dụng tính chất trung bình cộng cấp số cộng ta có m Ví dụ 3.18 ([2], MGU Entrance exam 2008) Các số nguyên x, y, z số hạng cấp só nhân 7x 3, y , 5z số hạng cấp số cộng Tìm x, y, z an Lu n va ac th si 39 Lời giải Theo giả thiết tốn ta có xz 7x 5z y2 y2 Suy 7x 25z 2xz 7x 5z xp2z 7q 5z 5z x p2z 7q 10z 18 2x p2z 7q 17 2x p2z 7q xz ñ ñ ñ lu ñ an n va đ ie gh tn to Vì 17 số nguyên tố nên 2x số nguyên p2z 7q ước 17 Do p2z 7q nhận giá trị: 1; 17 Lần lượt xét trường hợp p 1) p2z 7q ñ z w 11; y ?11.4 ?44 4; x p5.4 2.4 7q 3; x 6; xz 18 (vô nghiệm) d oa nl 2) p2z 7q 1 đ z (vơ nghiệm) lu 12; x 3; y y 6 5; x 2; xz 1 (vô nghiệm) Vậy px; y; z q tp3; 6; 12q, p3; 6; 12qu Ví dụ 3.19 ([2]) Có cặp thứ tự px, y q số ngun khơng âm để trung bình z at nh oi lm ul 4) p2z 7q 17 ñ z (vô nghiệm) nf va an 3) p2z 7q 17 ñ z cộng x y lớn trung bình nhân x y đơn vị z y m co l gm ?xy 2 ? x y xy px y 4q2 4xy x2 2xy y 8px y 2q px yqpx yq 2.2.2.px y 2q x an Lu ñ ñ ñ ñ @ Lời giải n va ac th si 40 Vì x; y số ngun khơng âm nên ta chia trường hợp sau 1) 2) 3) $ &x $ &x y 8 %x y x y2 ñ% $ &x 9 y1 $ &x y 4 %x y 2.px ñ% y 2q $ ' x ' ' & $ &x y 2 %x y 4.px 49 ñ' y 2q ' ' %y lu an va n 4) 4 y0 41 $ ' x ' ' & $ &x ñ' y 2q ' ' %y 169 gh tn to y 1 %x y 8.px 25 16 p ie Trường hợp nghiệm không số nguyên nên loại Vậy ta có cặp nghiệm px; yq tp9; 1q, p4; 0qu nl w Ví dụ 3.20 ([2]) Tính giới hạn sau oa xn xÑ x n d lim lu nf va an Lời giải Giới hạn khơng thể tính trực tiếp x mẫu số Ta sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân cho tử mẫu x x2 lm ul x x2 Khi ta tính giới hạn sau n x x 1 xn xn1 x1 xn x x2 xn qpx 1q lim p1 x x2 xn1qpx 1q pn n.11q.1 pn n 1q , @n P N n n an Lu xn xÑ x n lim m Vậy co l gm @ p1 z xn lim xÑ x n z at nh oi n va ac th si 41 Ví dụ 3.21 ([2], Rivkin) Cho a P R số tự nhiên n, k thoả mãn a2 a an p1 aqp1 a2 qp1 a4 q p1 a2 q k Tìm mối liên hệ n k Lời giải lu ñ ñ ñ a2 a an p1 an p1 aqp1 a1 an pa 1qp1 an 1a an n va Vì a 0; 1 nên n Vậy n 2k 2k aqp1 a2 qp1 aqp1 a2 qp1 a4 q p1 a2 qp1 a4 q p1 k a2 k a2 q q a4 q p1 k a2 q 2k p ie gh tn to Ví dụ 3.22 ([2]) Có tồn hay khơng cấp số cộng gồm số ngun dương mà khơng có số hạng từ dãy biểu diễn dạng tổng hiệu số nguyên tố? Nếu có, cấp số cộng oa nl w Lời giải Ta xét vài dãy với số hạng tổng quát sau 1) 6; 10; 14; 18; ; 4n 2; d an lu 3; lm ul 3) 47; 89; 131; 173; ; 42n nf va 2) 11; 19; 27; 35; ; 8n 5; z at nh oi z Dãy số thứ bao gồm số chẵn, nhiều hạng tử tổng hiệu số nguyên tố Ví dụ 10 14 17 Bất kì số chẵn tổng hiệu số chẵn số lẻ, mà đa phần số nguyên tố số lẻ (trừ số 2), tồn nhiều số chẵn viết dạng tổng hiệu số nguyên tố Vì ta dãy gồm số lẻ Dãy số thứ gồm số hạng lẻ, ta dễ dàng 19 17 27 19 Vậy để tồn dãy u cầu tón tất hạng tử dãy phải số lẻ Và số hạng dãy viết tổng hiệu số nguyên tố m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 hai số nguyên tố phải số nguyên tố chẵn Xét dãy thứ 3, giả sử hạng tử dãy viết dạng tổng số nguyên tố p1 , p2 : 42n ñ ñ ñ 42n 42n p2 p1 p2 52 p2 3p14n p2 1q Suy p2 số nguyên tố (mâu thuẫn với điều ta giả sử) Tương tự ta xét hạng tử dãy viết dạng hiệu số nguyên tố p1 , p2 : 42n lu ñ ñ ñ an 42n n va 42n p1 p p2 p1 p1 7p6n 1q tn to 42n phân tích thành p ie gh Do p1 khơng phải số ngun tố Vậy khơng có hạng tử dãy cấp số cộng an tổng hiệu số nguyên tố d oa nl w Ví dụ 3.23 ([2]) Tìm tất tam giác vuông mà độ dài cạnh lập thành cấp số cộng nf va an lu Lời giải Giả sử tồn tam giác thỏa yêu cầu, gọi độ dài cạnh a; a d; a 2d, với d P N Theo định lí Pythagoras ta có: l gm @ đ 2dq2 z ñ dq2 z at nh oi ñ ñ pa lm ul pa a2 3ad d2 pa dq2 p2dq2 a d 2d a d 2d ad a d a2 m co Vì a độ dài cạnh d ¡ nên ta nhận nghiệm a d Suy b 4d; c 5d, d P N Do có vơ số các giác vng thỏa u cầu tốn Ví dụ tam giác có có độ dài cạnh là: p3; 4; 5q, p6; 8; 10q, p9; 12; 15q an Lu n va ac th si 43 Ví dụ 3.24 ([2]) Cho dãy số với u1 2, u2 8, u3 30, , un 4upn 1q upn 2q, Chứng minh u2n up n n 3, 4, 5, 1q.up n 1q Lời giải Theo tính chất giao hốn với phép tốn nhân ta có: un1.4un ñ unpun un2q un1pun un1q ñ u2n unun2 un1un u2n1 ñ u2n un1un u2n1 unun2 u2n2 unun3 u22 u3u1 82 30.2 un 4un1 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Kết luận lu Luận văn đưa điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm Trong luận văn này, tác giả đạt số kết sau: an n va gh tn to • Đọc, hiểu, tổng hợp trình bày lại cách có hệ thống điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm p ie • Chứng minh chi tiết số ví dụ, tốn áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân trình bày vắn tắt tài liệu tham khảo tiếng Anh oa nl w • Chỉ số ứng dụng thực tế cấp số cộng, cấp số nhân vào sống d • Sưu tầm đưa lời giải chi tiết cho số tốn kì thi học sinh giỏi, olympic toán học, nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 44 ac th si Tài liệu tham khảo [1] Thái Thuần Quang (chủ biên), Nguyễn Dư Vi Nhân, Mai Thành Tấn, Nguyễn Ngọc Quốc Thương, Giải tích - Phép tính vi phân tích phân hàm biến, NXB ĐHQG Hà Nội (2020) lu an [2] E Grigorieva, Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhăauser (2016) n va [4] J Stewart, Calculus, Cengage Learning (2016) p ie gh tn to [3] J S Petrovic, Advanced Calculus: Theory and Practice, Taylor & Francis (2014) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 45 ac th si

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	380,22 KB