(Luận văn) hệ phương trình cặp tích phân fourier của bài toán biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M INH THÀ THƒO lu an n va p ie gh tn to H› PH×ÌNG TRœNH CP TCH PH…N FOURIER CÕA B€I TON BIN HẫN HẹP ẩI VẻI DI N HầI d oa nl w lu nf va an LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n - 2020 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M INH THÀ THƒO lu H› PH×ÌNG TRœNH CP TCH PH…N FOURIER CÕA B€I TON BIN HẫN HẹP ẩI VẻI DI N HầI an n va p ie gh tn to Chuy¶n ng nh: To¡n giÊi tẵch M số: 8.46.01.02 oa nl w d LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC nf va an lu lm ul z at nh oi Ngữới hữợng dăn khoa håc TS NGUY™N THÀ NG…N z m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n - 2020 n va ac th si Líi cam oan Tỉi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thüc v  khỉng trịng l°p vỵi · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch lu dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc an ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 va n Ngữới viát luên vôn gh tn to p ie INH THÀ THƒO d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va i ac th si Líi c£m ỡn  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ giúp ù nhiằt tẳnh cừa TS Nguyạn Th NgƠn Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cổ giĂo v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi lu nhỳng iÃu cổ giĂo  dnh cho tổi an Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm  Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Quỵ ThƯy Cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc k26 (2018  n va Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Phỏng chực nông cừa Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm  to tn 2020) Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm  Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn hồc ie gh Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa p BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc nl w viản  luên vôn ny ữủc hon chnh hỡn oa Cuối xin cÊm ỡn gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, khẵch lằ tổi d thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn an lu Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn! nf va ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 lm ul TĂc giÊ z at nh oi INH THÀ THƒO z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Möc löc lu an i ii iii n va Líi cam oan Líi c£m ìn Mưc lửc M Ưu Kián thực chuân b p ie gh tn to 1.1 1.2 Bi¸n êi Fourier Khæng gian Sobolev Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng tông chêm H s (R) lm ul nf va an lu 1.3 d 1.2.2 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh oa 1.2.1 nl w H» vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh 1.3.1 Khæng gian 1.3.2 C¡c khæng gian s (Ω) , H s (Ω) Hos (Ω) , Ho,o z at nh oi 1.4 Khỉng gian Sobolev vectì 1.5 To¡n tû gi£ vi ph¥n 11 z H» phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier cừa bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi 14 Bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi co °t b i to¡n m 2.1.1 l gm @ 2.1 14 14 an Lu n va iii ac th si 2.1.2 ữa bi toĂn biản hộn hủp và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn 2.2 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 15 17 2.2.1 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 17 2.2.2 Bián ời hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch ph¥n ký dà 2.2.3 22 Bi¸n ời hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh lu an 30 31 n va Kát luên Ti liằu tham kh£o 24 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va iv ac th si Mð ¦u Phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn v hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn thữớng xuĐt hiằn cĂc bi toĂn và d têt, mổi trữớng nhữ cĂc bi toĂn và vát nựt, cĂc bi toĂn và dÊi n hỗi lu Tẵnh tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa cĂc bi toĂn ny  ữủc nhiÃu nh an phƠn vợi php bián ời Fourier ữủc mởt số nh toĂn hồc nhữ Popov.G.Ya, n va toĂn hồc quan tƠm nghiản cựu Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch to gh tn Duduchavar.R, Nguyạn Vôn Ngồc, quan tƠm nghiản cựu Tẵnh giÊi ữủc p ie cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier ữủc Nguyạn Vôn Ngồc, Nguyạn Th NgƠn nghiản cựu nl w Vợi mong muốn ữủc tẳm hiu tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp d oa tẵch phƠn vợi php bián ời Fourier xuĐt hiằn gi£i b i to¡n bi¶n hđp an lu cõa phữỡng trẳnh song iÃu hỏa trản dÊi n hỗi, tổi chồn à ti Hằ phữỡng nf va trẳnh cp tẵch phƠn Fourier cừa bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi Luên vôn ngoi phƯn M Ưu, Kát luên, Ti liằu tham khÊo, luên vôn cõ lm ul ch÷ìng nëi dung: z at nh oi Ch÷ìng trẳnh by tờng quan mởt số kián thực cỡ bÊn và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh, bián ời Fourier cừa cĂc hm cỡ bÊn, cĂc khỉng gian Sobolev, khỉng gian Sobolev vectì, to¡n tû gi£ vi phƠn z gm @ Chữỡng trẳnh by và tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi, ữa cĂc l m co hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d, ữa tiáp hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi an Lu số tuyán tẵnh n va ac th si Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny trẳnh by mởt số kát quÊ và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh lu an Ôi số tuyán tẵnh, bián ời Fourier cừa cĂc hm cỡ bÊn gi£m nhanh, bi¸n êi n va Fourier cõa c¡c h m suy rởng tông chêm, khổng gian Sobolev, khổng gian tn to Sobolev vectỡ, toĂn tỷ giÊ vi phƠn CĂc kát quÊ trẳnh by chữỡng ny ữủc tham khÊo tứ t i li»u [2, 3, 4] ie gh p 1.1 Hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh Hằ phữỡng trẳnh d oa nl w nh nghắa 1.1.1 lu an xi = ∞ X ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ) , (1.1) xi l  c¡c sè c¦n x¡c ành, lm ul â nf va k=1 ci,k v  bi l  c¡c h» sè  biát, ữủc gồi l hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh z at nh oi nh nghắa 1.1.2 Têp hủp nhỳng số x1 , x2 , ữủc gồi l nghiằm cừa hằ (1.1) náu thay êi nhúng sè â v o v¸ ph£i cõa (1.1) ta câ c¡c chuéi hëi z gm @ tö v  tĐt cÊ nhỳng ng thực ữủc thoÊ mÂn Nghiằm ữủc gồi l nghiằm chẵnh náu nõ ữủc tẳm bơng phữỡng phĂp xĐp x liản tiáp vợi giĂ tr ban Ưu l m co b¬ng khỉng an Lu n va ac th si nh nghắa 1.1.3 Hằ vổ hÔn (1.1) ữủc gồi l hằ chẵnh quy náu X |ci,k | < 1, (i = 1, 2, ) (1.2) |ci,k | ≤ − θ, < θ < 1, (i = 1, 2, ) , (1.3) k=1 Náu cõ thảm iÃu kiằn X k=1 thẳ hằ ny ữủc gồi l hon ton chẵnh quy Náu cĂc bĐt ng thực (1.2) (tữỡng ựng (1.3)) úng vợi i = N + 1, N + 2, , th¼ h» (1.1) ữủc gồi l tỹa chẵnh quy (tữỡng ựng, tỹa ho n to n ch½nh quy) lu an Ta k½ hi»u n va ρi = − ∞ X |ci,k |, (i = 1, 2, ) to k=1 ρ i > 0, h» ho n to n ch½nh quy cho ρi ≥ θ > gh tn H» ch½nh quy p ie Gi£ sû h» (1.1) l  h» ch½nh quy v  c¡c h» sè tü bi thäa m¢n i·u ki»n |bi | ≤ Kρi , (K = const > 0) (1.4) oa nl w nh lỵ 1.1.4 (Sỹ tỗn tÔi cừa nghi»m bà ch°n) N¸u c¡c h» sè tü cõa hằ d vổ hÔn chẵnh quy thoÊ mÂn iÃu kiằn (1.4) th¼ nâ câ nghi»m bà ch°n |xi| ≤ K v nghiằm ny cõ th tẳm ữủc bơng phữỡng phĂp xĐp x liản tiáp nh lỵ 1.1.5 (Sỹ "cht cửt") Nghi»m ch½nh x∗ cõa h» ch½nh quy nf va an lu ci,k xk + bi , (i = 1, 2, 3, ) , z at nh oi k=1 lm ul xi = ∞ X z cịng vỵi c¡c h» sè tü thäa m¢n i·u ki»n |bi| ≤ Kρi câ th tẳm ữủc bơng phữỡng phĂp "cht cửt", nghắa l náu xNi l nghiằm cừa hằ hỳu hÔn gm @ ci,k xk + bi , (i = 1, 2, 3, , N ) , l xi = N X k=1 m co th¼ N →∞ n va an Lu x∗i = lim xN i ac th si nh lỵ 1.1.6 Hằ chẵnh quy cõ th cõ khổng quĂ mởt nghiằm tián án khổng, nghắa l lim xi = i→∞ 1.2 Bi¸n êi Fourier 1.2.1 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh Khỉng gian S cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh ành ngh¾a 1.2.1 lu f ∈ C ∞ (R) K½ hi»u S = S (R) l  tªp hđp cõa c¡c h m kh£ vi vổ hÔn thoÊ mÂn iÃu kiằn an p X õ C1 l mởt hơng số dữỡng Cuối cũng, ma thuởc vo lợp P o (R), P→ − α A (t) ∈ n¸u nâ l  x¡c nh dữỡng cho hƯu hát mồi (R) t R Bê · 1.5.6 Gi£ sû ma trªn A (t) = A+ (t) thc v o lỵp P →−+α (R) Khi â tẵch vổ hữợng v chuân H /2 (R) ÷đc x¡c ành bði cỉng thùc − (u, v)A+ ,→ α /2 Z+∞ F [vT ] (t)A+ (t) F [u] (t) dt, = (1.21) −∞ lu − kukA+ ,→ α /2  +∞ 1/2 Z =  F [uT ] (t)A+ (t) F [u] (t) dt (1.22) an −∞ n va Bê · 1.5.7 Gi£ sû A (t) ∈ P (R) Khi õ toĂn tỷ tẵch phƠn Fourier Au ie gh tn to ÷đc x¡c ành bði cỉng thùc F −1 [A (t) ub (t)] (x) l  to¡n tỷ tuyán tẵnh v b chn tứ H /2 (R) v o H−→−α /2 (R) p Bê · 1.5.8 Gi£ sû Ω l  mët tªp c¡c kho£ng bà ch°n R Khi d oa nl w − â ph²p nhóng H→−s (Ω) v o H→−s −→−ε (Ω) l  ho n to n li¶n tưc, â → ε = (ε, ε) > v  ch¿ ε > nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 13 ac th si Chữỡng Hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier cừa bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi lu an n va Trong chữỡng ny trẳnh by mởt số kát quÊ và tẵnh giÊi ữủc hằ phữỡng to gh tn trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi ữa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh ie p tẵch phƠn ký d, sau õ ữa tiáp hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và hằ vổ nl w hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh CĂc kát quÊ trẳnh by chữỡng [1, 4, 5, 6] d oa n y ÷đc tham kh£o tø t i li»u lm ul 2.1.1 °t b i to¡n nf va an lu 2.1 B i toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi z at nh oi Phữỡng trẳnh cƠn bơng ối vợi mởt mổi trữớng ng hữợng n hỗi ữủc thọa mÂn náu cĂc Ôi lữủng chuyn v y (x, y) , xy (x, y) u (x, y) , v (x, y) v  Ôi lữủng ựng suĐt ữủc biu diạn theo cĂc hm i·u háa Φ (x, y) v  Ψ (x, y) z @ x¡c ành bði c¡c cỉng thùc sau: µ l  modun bián dÔng rưn v (à > 0, < ν < 1/2) n va 14 l  t¿ sè Poisson an Lu â m co l gm 2µu = −Φx − yΨx , 2µv = (3 − 4ν)Ψ − Φy − yΨy , σy = 2(1 − ν)Ψy + Φxx + yΨxx , τxy = (1 − 2ν)Ψx − Φxy − yΨxy , ac th si X²t bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi: T¼m h m i·u háa ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + = 0, + = 0, (−∞ < x < ∞, < y < h) ∂x2 ∂y x2 y (2.1) vợi cĂc iÃu kiằn biản τxy (x, h) = τ0 (x) , σy (x, h) = σ0 (x) , −∞ < x < ∞,  τxy (x, 0) = σy (x, 0) = 0, x ∈ (a, b) , u (x, 0) = v (x, 0) = 0, x ∈ R\ (a, b) , â c¡c h m τ0 (x) , σ0 (x) (2.2) (2.3) l cĂc hm cho trữợc lu an n va 2.1.2 ữa bi toĂn biản hộn hủp và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn tn to Chúng ta s giÊi bi toĂn (2.1) - (2.3) bơng phữỡng phĂp bián ời Fourier v bián ời và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Bơng cĂch Ăp dửng bián ời gh x cho cĂc phữỡng trẳnh (2.1), thu ữủc p ie Fourier èi vỵi b (t, y) b (t, y) d2 Φ d2 Ψ 2b b (t, y) = 0, − t Φ (t, y) = 0, − t2 Ψ 2 dy dy d oa nl w (2.4) lu b (t, y) = Fx [Φ (x, y)] (t) v  Ψ b (t, y) = Fx [Ψ (x, y)] (t) l  c¡c bi¸n êi Φ nf va an â (−∞ < t < ∞, < y < h) , Fourier èi vỵi x cõa h m Φ (x, y) v  (x, y) Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.4) vợi t 6= lm ul ữủc tẳm dữợi dÔng â A (t), B (t), C (t) v  z at nh oi b (t, y) = A (t) cosh (|t| y) + B (t) sinh (|t| y) , Φ b (t, y) = C (t) cosh (|t| y) + D (t) sinh (|t| y) , Ψ D (t) l  cĂc hm số cƯn tẳm Ta cõ z @ m co l gm b y (t, y) = |t| A (t) sinh (|t| y) + |t| B (t) cosh (|t| y) , Φ b y (t, y) = |t| C (t) sinh (|t| y) + |t| D (t) cosh (|t| y) , Ψ b + ity Ψ, b b (t, y) = itΦ 2µu b −Φ b y − yΨ b y, 2µυb (t, y) = (3 − 4ν) Ψ b y − t2 Φ b − yt2 Ψ, b by (t, y) = (1 − ν) Ψ σ b + itΦ b y + ity Ψ b y τbxy (t, y) = (1 − 2ν) (−it) Ψ an Lu n va 15 ac th si Ta °t b1 (t) = 2µu b (t, 0) , u Khi â D (t) b2 (t) = 2µvb (t, 0) u b1 (t) , u b2 (t) l  c¡c h m cƯn tẳm Biu diạn cĂc hm A (t) , B (t) , C (t) , u theo b1 (t) , u b2 (t) u B i to¡n (2.1) - (2.3) ữủc bián ời và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier  b (t)] (x) = f (x) , x ∈ Ω), F −1 [|t| A0 (t) u −1 b F [u (t)] (x) = 0, x ∈ Ω0 = R\Ω, (2.5) Ω = (a, b) u1 (x) = 2µu (x, 0) , u2 (x) = 2µv (x, 0) , b (t) = F [u (x)] (t) , u (x) = (u1 (x) ,) u2 (x)T , â u f (x) = (ϕ1 (x) , ϕ2 (x))T , " τˆ0 (t) (1 − ν) {−2 (1 − ν)} cosh (|t| h) + |t| h sinh (|t| h) ϕ1 (x) = F −1 − |t|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|t| h) vỵi lu an n va p ie gh tn to  d oa nl w σ ˆ0 (t) it {|t| h cosh (|t| h) − (1 − 2ν) sinh (|t| h)}  n o (x) , (2.6) 2 2 |t| |t| h + 4(1 − ν) + (3 − 4ν) sinh (|t| h)  τˆ0 (t) (1 − ν) |t| {−2 (1 − ν)} sinh (|t| h) + |t| h cosh (|t| h) n o ϕ2 (x) = F −1  2 2 it |t| h + 4(1 − ν) + (3 − 4ν) sinh (|t| h) − nf va an lu lm ul + # σ ˆ0 (t) (1 − ν) {|t| h sinh (|t| h) + (1 − ν) cosh (|t| h)} (x) , |t|2 h2 + 4(1 − ν)2 + (3 − 4ν) sinh2 (|t| h) z at nh oi σ ˆ0 (t) = F [σ0 ] (t) , τˆ0 (t) = F [τ0 ] (t) , (2.8) z i.sign (t) a12 (t) @ a11 (t) a22 (t) (1 − ν) [cosh (|t| h) sinh (|t| h) + |t| h] , 4(1 − ν)2 + |t|2 h2 + (3 − 4ν) sinh2 (|t| h) (2.9) an Lu a11 (t) = m co vỵi , l −i.sign (t) a21 (t) ! gm A0 (t) = (2.7) n va 16 ac th si (1 − 2ν) sinh2 (|t| h) + |t|2 h2 a21 (t) = a12 (t) = , 4(1 − ν)2 + |t|2 h2 + (3 − 4ν) sinh2 (|t| h) a22 (t) = (2.10) (1 − ν) [cosh (|t| h) sinh (|t| h) − |t| h] 4(1 − ν)2 + |t|2 h2 + (3 − 4ν) sinh2 (|t| h) (2.11) 2.2 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 2.2.1 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier lu Ta biu diạn hằ (2.5) dữợi dÔng sau: an  n va tn to â b (t)] (x) = f (x) , x ∈ Ω, pF −1 [|t| A0 (t) u −1 b p F [u (t)] (x) = 0, x ∈ Ω0 := R\Ω, (2.12) gh b (t) = F [u] = (u b1 (t) , u b2 (t))T , F −1 f (x) = (ϕ1 (x) , ϕ2 (x))T , u ÷đc p ie x¡c ành bði cỉng thùc (1.18) v  a11 (t) −i.sign (t) a21 (t) a22 (t) d oa nl a11 (t), a21 (t), a12 (t), a22 (t) ÷đc x¡c ành bði c¡c cỉng thùc (2.9), (2.10), Ta cõ p v p0 lƯn lữủt l cĂc toĂn tỷ hÔn chá tữỡng ựng trản nf va (2.11), an lu vỵi ! , w A0 (t) = i.sign (t) a12 (t) P→ − α → |t| Ao (t) ∈ ,− α = (1, 1) lim|t|→∞ aij (t) = γij , v  R\Ω â lm ul (1 − ν) − 2ν , γ12 = γ21 = − 4ν − 4ν Ta câ k¸t qu£ sau: z at nh oi γ11 = γ22 = v  Ω z
aij (t) − γij = |t|−∞ , |t| → ∞ @ l gm Bê · 2.2.1 Ma trªn Ao (t) l  x¡c nh dữỡng vợi mồi t 6= m co Chựng minh Ta ph£i chùng minh n va 17 an Lu a11 a22 − a12 a21 > 0, ∀t 6= ac th si Tùc l  ph£i chùng minh h i 2 2 ∆ = 4(1 − ν) cosh (|t| h) sinh (|t| h) − |t| h h i2 2 − (1 − 2ν) sinh (|t| h) + |t| h >0 vỵi måi t 6= ξ = |t| h, ta câ


∆ = − 8ν + 4ν sinh4 ξ + sinh2 ξ − ξ − − 4ν + 4ν sinh4 ξ −2 (1 − 2ν) ξ sinh2 ξ − ξ
= (3 − 4ν) sinh4 ξ + 4(1 − ν)2
sinh2 ξ − ξ −
(2 − 4ν) ξ sinh2 ξ − ξ
= (2 − 4ν) sinhh4 ξ − ξ sinh2 ξ + sinh4 ξ − ξ + 4(1 − v)2i sinh2 ξ − ξ
= sinh2 ξ − ξ (2 − 4ν) sinh2 ξ + sinh2 ξ + ξ + 4(1 − ν)2 Thªt vªy, °t lu an n va >0 vợi mồi tn to Hin nhiản l > gh Tø Bê · (2.2.1), ta suy Bê · ÷đc chùng minh A (t) := |t| A0 (t) ∈ − P→ α − , → α = (1, 1) p ie nh lỵ 2.2.2 (Sỹ nh§t nghi»m) Gi£ sû f ∈ H →−α /2 (Ω) Khi õ nghiằm () cừa hằ phữỡng trẳnh (2.12) náu tỗn tÔi, l nhĐt nl w u H0 → − α /2 d oa Chùng minh º chựng minh nh lẵ, ta chựng minh hằ phữỡng trẳnh thuƯn lu  () hằ trản viát lÔi z at nh oi → − α /2 u ∈ H0 b (t)] (x) = f (x) , x ∈ Ω, pF −1 [|t| A0 (t) u −1 b p F [u (t)] (x) = 0, x ∈ Ω0 := R\Ω lm ul Tứ nf va an nhĐt cừa hằ phữỡng trẳnh (2.12) ch cõ nghiằm tƯm thữớng (Au) (x) = 0, x ∈ Ω, (2.13) z @ â gm l b (t)] (x) (Au)(x) = pF −1 [A(t)u  1/2  → − α /2 − −→ α /2 Au ∈ H (Ω) ' H0 (Ω) , tø (2.14) ta câ (2.14) an Lu n va 18 m co V¼ ac th si Z+∞  b T (t) F lpF −1 [Au b ] (t) dt u [Au, u] = Vẳ tẵch phƠn trản khổng phử thuởc v o c¡ch chån b ], lpF −1 [Au ta câ th viát thĂc trin dÔng sau b ] = F −1 [Au b] lpF −1 [Au Tø ¥y ta câ thº Z+∞ b T (t)A (t) u b (t) dt, [Au, u] = u (2.15) lu −∞ an n va â tø (2.13) v  (2.14) ta câ to Z∞ gh tn [Au, u] = b T (t)A (t) u b (t) dt = 0, u p ie −∞ v¼ d suy oa nl w n o T b (t) A (t) u b (t) ≥ 0, Re u nf va an lu b (t) = 0, u (x) = u Do â h» ph÷ìng trẳnh thuƯn nhĐt ch cõ nghiằm tƯm thữớng Vêy hằ phữỡng lm ul trẳnh cp tẵch phƠn (2.12) cõ nghiằm nhĐt nh lẵ ữủc chựng minh z at nh oi K½ hi»u b (t)] (x) (Au)(x) = pF −1 [A(t)u (2.16) z @ x ∈ Ω l (Au) (x) = f (x) , gm Ta biºu di¹n h» (2.5) dữợi dÔng (2.17) m co an Lu Ta thiát lêp sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa hằ (2.17) khổng gian → − α = (1, 1)T (Ω), n va 19 → − α /2 H0 ac th si Ta °t A+ (t) = |t| coth (|t| h) α iβ.signt −iβ.signt α ! , B (t) = |t| A0 (t) − A+ (t) ! a11 (t) − α coth (|t| h) i.signt (a12 (t) − β coth (|t| h)) = |t| , −i.signt (a12 (t) − β coth (|t| h)) a22 (t) − α coth (|t| h) â (1 − ν) − 2ν , β= , α−β = − 4ν − 4ν − 4ν → − − Ta câ A+ (t) ∈ P+α , → α = (1, 1) α= nh lỵ 2.2.3 lu Chựng minh GiÊ sỷ an va a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R n b1 = a1 + ib1 , u b2 = a2 + ib2 , u tn to gh Ta câ p ie b1 |2 = a21 + b21 , |u b2 |2 = a22 + b22 , |u v  w d oa nl 
 T 2 2 b = t coth (th) b A+ u α a + b + a + b − 2βsign (t) (a b − a b ) u 2 1 h i p
2 2 2 2 2 ≥ t coth (th) α a1 + b1 + a2 + b2 − 2β (a1 + b1 ) (a2 + b2 )
2 2 + b + a + b ≥ (α − β) t coth (th) a i 1 h 2 b1 | + |u b2 | − |u b1 | |u b2 | ≥ ⇔ βt coth (th) |u nf va an lu  2   t coth (t) h  2 b2 | b1 | + |u = |u − 4ν z at nh oi T lm ul Do â b A+ u b ≥ (α − β) t coth (th) |u b1 | + |u b2 | u t coth (th) ∈ σ+ (R), z Sû döng Bê · (1.5.3) ta câ thº ch¿ rơng (2.18) l gm @ nghắa tỗn tÔi mởt hơng số C dữỡng cho iÃu õ cõ (2.19) minh n va 20 nh lẵ ữủc chựng an Lu Tø (2.18) v  m co t coth (th) ≥ C (1 + |t|) , ∀t ∈ R − P→ α → − (2.20) k²o theo A+ (t) ∈ + , α = (1, 1) ac th si Ta câ k¸t qu£ sau: B (ξ) ∈ X → − −β → − , β = (β, β) , β > nh lỵ 2.2.4 (Sỹ tỗn tÔi nghiằm) GiÊ sỷ (x) v  σ0 (x) cho h m f (x) − x¡c ành thuëc v o H−→−α /2 (Ω), → α = (1, 1) Khi õ hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn (2.12) cõ mởt nghiằm nhĐt u = F −1 [ub] ∈ Hoα /2 (Ω) , tùc l  → − → − u (x, 0) ∈ Hoα /2 (Ω) , v (x, 0) ∈ Hoα /2 (Ω) , â u (x, 0) v  v (x, 0) l  nhúng chuyºn tr¶n trưc y = lu Chựng minh Biu diạn toĂn tỷ A ữủc xĂc nh bi hm (2.16) dÔng an vợi n va A = A+ + B, (2.20) gh tn to b ] , u = [F u] , b ] , B+ u = pF −1 [B+ u A+ u = pF −1 [A+ u p ie v  sau â x²t h» phữỡng trẳnh A+ u (x) = g (x) , u (x) ∈ Hoα /2 (Ω) , nl w (2.21) − −→ α /2 (Ω) d g (x) Ho oa vợi l mởt hm vectỡ  cho lu an Tø nf va [ ld j ϕj (t) uj (t)dt, lm ul [f , u] := Z∞ X j=1 −∞ Z∞ F [vT ] (t)A+ (t) F [u] (t) dt, z − (u, v)A+ ,→ α /2 = z at nh oi v  @ −∞ − F [vT ] (t)A+ (t) F (u) (t) dt = (u, v)A+ ,→ α /2 m [A+ u, v] = co Z∞ l gm ta câ an Lu −∞ n va 21 ac th si cho u v  v l hm vectỡ tũy ỵ thuởc /2 Ho (Ω) Do â, n¸u → − α /2 u Ho () thọa mÂn (2.21) thẳ α /2 − (u, v)A+ ,→ (Ω) , α /2 = [g, v] , ∀v ∈ Ho v¼ (2.22) → /2 [g, v] l mởt hm tuyán tẵnh liản tửc trản khổng gian Hilbert Ho tẵnh chĐt cừa nh lẵ Riesz, cõ mởt nghiằm nhĐt uo (Ω) bði → − α /2 Ho (Ω) cho → − α /2 − [u, v] = (uo , v)A+ ,→ (Ω) , α /2 , v ∈ Ho (2.23) u = uo hìn núa − = A−1 g A+ ,→ ≤ CkgkH−→ , − α /2 α /2 (Ω) tø (2.22) v  (2.23) k²o theo lu − kuo kA+ ,→ α /2 an n va C l  mët hơng số dữỡng Do õ toĂn tỷ A1 l b chn Khi õ, hằ (2.12) viát tn to dữợi dÔng ie gh A+ u + Bu = f , p ta thu ÷đc oa nl w −1 u + A−1 + Bu = A+ f d Theo Bê · (1.5.8) to¡n tû lu − −→ α /2 an → − α /2 töc tø Ho (Ω) v o H Bu (Ω) (2.24) ÷đc x¡c ành bði (2.20) l  ho n to n li¶n Do â to¡n tû A−1 + B l  ho n to n li¶n tưc nf va Theo â h» (2.24) l hằ phữỡng trẳnh Fredholm Do õ hằ ny cõ nghi»m → − α /2 u ∈ Ho (Ω) lm ul nhĐt nghiằm z at nh oi 2.2.2 Bián ời hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d p nh nghắa 2.2.5 ρ (x) = (x − a) (b − x) (a < x < b) @ l  khæng gian Hilbert cõa cĂc hm tẵch vổ hữợng v chuân ữủc l gm L2ρ±1 (Ω) Ta gåi z Gi£ sû x¡c ành bði cæng thùc ρ a n va 22 an Lu ρ±1 (x) u (x) v (x)dx, m (u, v)L2±1 = co Zb ac th si kukL2±1 = ρ q (u, v)L2±1 < +∞ ρ Bê · 2.2.6 Gi£ sû ϕ ∈ L2ρ (Ω) K½ hi»u ϕo l  th¡c triºn - khỉng cõa h m tr¶n R Khi â ϕo ∈ Ho−1/2 (Ω) ϕ L2ρ±1 (Ω) Trong khæng gian ta x²t toĂn tỷ tẵch phƠn kẳ d S [] (x) = πi Zb ϕ (ξ) dξ, x−ξ x ∈ Ω, a õ tẵch phƠn ữủc hiu theo nghắa giĂ tr chẵnh Cauchy lu Hằ (2.5) cõ th ữủc viát lÔi dữợi dÔng an  n va b1 (t) + i |t| sign (t) a12 (t) u b2 (t)] (x) F −1 [|t| a11 (t) u = ϕ1 (x) , x ∈ (Ω) , −1 b1 (t) + |t| a22 (t) u b2 (t)] (x) = ϕ2 (x) , F [(−i) |t| sign (t) a21 (t) u tn to (2.25) gh â a11 (t), a21 (t), a12 (t), a22 (t) p ie (2.10), (2.11) Nghi»m ÷đc x¡c ành bði c¡c cæng thùc (2.9), b1 ] (x) u1 (x) = F −1 [u v  b2 ] (x) u2 (x) = F −1 [u cõa h» nl w ph÷ìng trẳnh cp tẵch phƠn (2.5) ữủc biu diạn dữợi dÔng Zb d oa um (x) = −1/2 nf va vm ∈ L2ρ (Ω) ⊂ Ho (Ω) ngh¾a l  lm ul Zb (2.26) a an lu vỵi i·u ki»n vm (ξ)sign (x − ξ) dξ, vm (x) dx = 0, (2.27) z at nh oi a (m = 1, 2) Sû dưng bi¸n êi Fourier, bi¸n êi h» (2.26) ta ÷đc vbm (t) , (m = 1, 2) (−it) m co Th¸ (2.28) v o (2.25) ta thu ữủc hằ phữỡng trẳnh l a  (2.28) gm vm (ξ) eitξ dξ = @ Zb z bm (t) = u (−it) F −1 [i.sign (t) a11 (t) vb1 (t) − a12 (t) vb2 (t)] (x) = ϕ1 (x) , x ∈ (Ω) F −1 [a21 (t) vb1 (t) + i.sign (t) a22 (t) vb2 (t)] (x) = ϕ2 (x) , an Lu (2.29) n va 23 ac th si Sû dưng cỉng thùc F −1 [sign (t) F [v]] (x) = πi Zb v (ξ) dξ , v ∈ L2ρ±1 (Ω) x−ξ a Ta bián ời vá trĂi cĂc phữỡng trẳnh cừa hằ phữỡng trẳnh (2.29) ta ữủc hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn k¼ dà lu an n va  Zb Zb Zb   α v1 (ξ) dξ    + v1 (ξ) m11 (x − ξ) dξ − v2 (ξ) m12 (x − ξ) dξ − βv2 (x)   π x − ξ    a a  a = ϕ1 (x) , x ∈ (Ω) , b b b Z Z Z   α v2 (ξ) dξ    + v1 (ξ) m21 (x − ξ) dξ + v2 (ξ) m22 (x − ξ) dξ + βv1 (x)   π x − ξ    a a  a = ϕ2 (x) , x ∈ (Ω) , to gh tn (2.30) p ie â d oa nl w m11 (x) = π π nf va an lu m22 (x) = Z∞ Z∞ (a11 (t) − α) sin txdt, (a22 (t) − α) sin txdt, Z∞ (a12 (t) − β) cos txdt z at nh oi lm ul m12 (x) = m21 (x) = π z 2.2.3 Bián ời hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh nh lỵ 2.2.7 ToĂn tỷ tẵch phƠn S b ch°n khæng gian L2ρ (Ω): @ kSΩ [ϕ]kL2±1 (Ω) ≤ CkϕkL2±1 (Ω) ρ ρ m co l gm ±1 an Lu n va 24 ac th si Gi£ sû Tk (x) v  Uk (x) l  c¡c a thực Chebyshev loÔi mởt v loÔi hai, tữỡng ựng Ta câ c¡c mèi quan h» sau ¥y: Tn (cos θ) = cos nθ, sin (n + 1) θ Un (cos θ) = , sin θ Zb Tk [η (x)]Tj [η (x)] dx = αk δkj , ρ (x) (2.31) (2.32) a Zb Uk [η (x)] Uj [η (x)] ρ (x) dx = βδkj , (2.33) Tk [η (y)] dy −2π = Uk−1 [η (x)] , k = 0, 1, , (x − y) ρ (y) b − a (2.34) π (b − a) ρ (y) Uk−1 [η (y)] dy = Tk [η (x)] , k = 1, 2, , x−y (2.35) lu a an Zb n va Zb ie gh tn to a p a l  Kronecker v  k½ hi»u d δkj oa nl w â an lu ( nf va αk = π, π , k = 0, k = 1, 2, , lm ul z at nh oi π(b − a)2 β= , 2x − (a + b) η (x) = b−a z ψm (ξ) ∈ L2ρ−1 (Ω), ψm (ξ) , ρ () ta thu ữủc hằ phữỡng trẳnh sau: m co l â vm (ξ) = gm @ Trong hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn (2.30) thay cĂc hm an Lu n va 25 ac th si  Zb Zb Zb   α ψ (ξ) dξ ψ (ξ) ψ2 (ξ) 1   + m (x − ξ) dξ − m12 (x − ξ) dξ  11   π ρ (ξ) (x − ξ) ρ (ξ) ρ (ξ)   a a a    ψ (x)   = ϕ1 (x) , x ∈ (Ω) , −β  ρ (x) Zb Zb Zb   α ψ (ξ) dξ ψ (ξ) ψ2 (ξ)    + m (x − ξ) dξ + m22 (x − ξ) dξ 21   π ρ (ξ) (x − ξ) ρ (ξ) ρ (ξ)    a a a   ψ (x)    +β = ϕ2 (x) , x ∈ (Ω) ρ (x) (2.36) lu ψ1 (ξ) an Biºu di¹n c¡c h m v  h m va n ψ1 (ξ) = X () dữợi dÔng cĂc chuội sau Ơy: to A1j Tj [η (ξ)] , (2.37) A2j Tj [η (ξ)] , (2.38) ie gh tn j=1 p ψ2 (ξ) = v A2j l cĂc hơng số chữa biát, ngo i ta cán câ oa nl A1j j=1 w â ∞ X  Am j ∞ j=1 ∈ l2 d Th¸ (2.37) v  (2.38) v o (2.36), thay ời thự tỹ cừa tẵch phƠn v tờng ta thu lu nf va an ữủc hằ phữỡng trẳnh sau: z at nh oi lm ul  Zb Zb  ∞ ∞  X X  T [η (ξ)] Tj [η (ξ)] α j  1  + m11 (x − ξ) dξ A A  j j  π ρ (ξ) (x − ξ) ρ (ξ)   j=1 j=1  a a   b  Z ∞ ∞  X X  Tj [η (ξ)] Tj [η (ξ)]   − Aj m12 (x − ξ) dξ − β A2j = ϕ1 (x),    ρ (ξ) ρ (ξ) j=1 j=1 z a (2.39) Zb  ∞ ∞  X X α T [η (ξ)] Tj [η (ξ)]  j   A2j + A1j m21 (x − ξ) dξ   π ρ (ξ) (x − ξ) ρ (ξ)   j=1 j=1  a a   b  Z ∞ ∞  X X  T j [η (ξ)]  Tj [η (ξ)]  + A m (x − ξ) + β A = ϕ2 (x)  22 j j  ρ (ξ) ρ (ξ)  j=1 j=1 m co l gm @ Zb an Lu a n va 26 ac th si Theo ành L½ (2.2.7), sau mët số bián ời hằ (2.39), ta thu ữủc hằ sau ữủc gồi l hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh   X (b − a) π (1) (1) (11) (2) (12)   An+1 + Aj Cnj − Aj Cnj = Fn(1) ,     j=1 ∞   X −α (b − a) π (2) (1) (21) (2) (22)  An+1 + Aj Cnj + Aj Cnj = Fn(2) ,     j=1   n = 0, 1, 2, (2.40) Trong â Zb (22) Zb lu Cnj = an va n (11) ρ (x) Un [η (x)] dx a a Zb Zb tn to Cnj = a gh  (12) e  C nj + Tj [η (ξ)] m11 (x − ξ) dξ, ρ (ξ) a β(b−a)(n+1) , (n+1) −j (n = 0, 2, 4, ; j = 2, 4, 6, = or n = 1, 3, 5, ; j = 1, 3, 5, ),   e (12) Cnj , (n = 0, 2, 4, ; j = 1, 3, 5, or n = 1, 3, 5, ; j = 2, 4, 6, ) ,  (21) β(b−a)(n+1) e  C nj + (n+1)2 −j , (n = 0, 2, 4, ; j = 2, 4, 6, = or n = 1, 3, 5, ; j = 1, 3, 5, ),   e (21) Cnj , (n = 0, 2, 4, ; j = 1, 3, 5, or n = 1, 3, 5, ; j = 2, 4, 6, ) , p ie d (21) Zb = ρ (x) Un [η (x)] dx a Tj [η (ξ)] m21 (x − ξ) dξ, ρ (ξ) a z at nh oi e (12) = C nj Zb lm ul e (21) C nj nf va an lu Cnj oa nl w (12) Cnj ρ (x) Un [η (x)] dx Tj [η (ξ)] m22 (x − ξ) dξ, ρ (ξ) Zb Zb ρ (x) Un [η (x)] dx a Tj [η (ξ)] m12 (x − ξ) dξ, ρ (ξ) a z @ ρ (x) Un [η (x)] ϕ1 (x) dx, l gm Fn(1) = Zb a a n va 27 an Lu ρ (x) Un [η (x)] ϕ2 (x) dx m co Fn(2) = Zb ac th si