Đang tải... (xem toàn văn)
��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M �INH THÀ TH�O H� PH×ÌNG TR�NH C�P T�CH PH�N FOURIER CÕA B�I TO�N BI�N HÉN HÑP �ÈI VÎI D�I ��N HÇI LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n 2020 c ��I HÅC TH�I N[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM INH THÀ THO H PH×ÌNG TRNH CP TCH PH N FOURIER CÕA BI TON BIN HẫN HẹP ẩI VẻI DI N HầI LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM INH THÀ THO H PH×ÌNG TRNH CP TCH PH N FOURIER CÕA BI TON BIN HÉN HĐP ÈI VỴI DI N HầI Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS NGUYN THÀ NG N Th¡i Nguy¶n - 2020 c Líi cam oan Tổi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trịng l°p vỵi · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới viát luên vôn INH TH THO i c Lới cÊm ỡn hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ giúp ù nhiằt tẳnh cừa TS Nguyạn Th NgƠn Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cổ giĂo v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhúng i·u cỉ gi¡o ¢ d nh cho tỉi Tỉi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Phỏng chực nông cừa Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Quỵ ThƯy Cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc k26 (2018 2020) Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản luên vôn ny ữủc hon chnh hỡn Cuối xin cÊm ỡn gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, khẵch lằ tổi thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 TĂc giÊ INH THÀ THO ii c Mưc lưc Líi cam oan Líi cÊm ỡn Mửc lửc M Ưu Kián thực chuân b i ii iii 1.1 Hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh 1.2 Bi¸n êi Fourier 1.2.1 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh 1.2.2 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rởng tông chêm Khổng gian Sobolev 1.3 H s (R) 1.3.1 Khæng gian 1.3.2 C¡c khæng gian s (Ω) , H s (Ω) Hos (Ω) , Ho,o 1.4 Khæng gian Sobolev vectì 1.5 To¡n tû gi£ vi ph¥n 11 Hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier cừa bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi 14 2.1 Bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi 2.1.1 14 °t b i to¡n 14 iii c 2.1.2 ữa bi toĂn biản hộn hủp và hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn 2.2 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 15 17 2.2.1 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 17 2.2.2 Bián ời hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d 2.2.3 22 Bián ời hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh Kát luên Ti liằu tham khÊo 24 30 31 iv c M Ưu Phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn v hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn thữớng xuĐt hiằn cĂc bi toĂn và d têt, mổi trữớng nhữ cĂc bi toĂn và vát nựt, cĂc bi toĂn và dÊi n hỗi Tẵnh tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa cĂc bi toĂn ny  ữủc nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm nghiản cựu Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn vợi php bián ời Fourier ữủc mởt số nh toĂn hồc nhữ Popov.G.Ya, Duduchavar.R, Nguyạn Vôn Ngồc, quan tƠm nghiản cựu Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier ữủc Nguyạn Vôn Ngồc, Nguyạn Th NgƠn nghiản cựu Vợi mong muốn ữủc tẳm hiu tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn vợi php bián ời Fourier xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp cừa phữỡng trẳnh song iÃu hỏa trản dÊi n hỗi, tổi chồn à ti Hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier cừa bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi Luên vôn ngoi phƯn M Ưu, Kát luên, Ti liằu tham khÊo, luên vôn cõ chữỡng nởi dung: Chữỡng trẳnh by tờng quan mởt số kián thực cỡ bÊn và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh, bián ời Fourier cừa cĂc h m cì b£n, c¡c khỉng gian Sobolev, khỉng gian Sobolev vectỡ, toĂn tỷ giÊ vi phƠn Chữỡng trẳnh by và tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi, ữa cĂc hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d, ữa tiáp hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh c Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny trẳnh by mởt số kát quÊ và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh, bián ời Fourier cừa cĂc hm cỡ bÊn giÊm nhanh, bián ời Fourier cừa cĂc hm suy rởng tông chªm, khỉng gian Sobolev, khỉng gian Sobolev vectì, to¡n tû giÊ vi phƠn CĂc kát quÊ trẳnh by chữỡng n y ÷đc tham kh£o tø t i li»u [2, 3, 4] 1.1 Hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh nh nghắa 1.1.1 Hằ phữỡng trẳnh xi = ∞ X ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ) , (1.1) k=1 â xi l c¡c sè c¦n x¡c ành, ci,k v bi l c¡c h» số  biát, ữủc gồi l hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh nh nghắa 1.1.2 Têp hđp nhúng sè x1 , x2 , ÷đc gåi l nghi»m cõa h» (1.1) n¸u thay êi nhúng sè â v o v¸ ph£i cõa (1.1) ta câ c¡c chuội hởi tử v tĐt cÊ nhỳng ng thực ữủc thoÊ mÂn Nghiằm ữủc gồi l nghiằm chẵnh náu nõ ữủc tẳm bơng phữỡng phĂp xĐp x liản tiáp vợi giĂ tr ban Ưu bơng khổng c nh nghắa 1.1.3 Hằ vổ hÔn (1.1) ữủc gồi l hằ chẵnh quy n¸u ∞ X |ci,k | < 1, (i = 1, 2, ) (1.2) |ci,k | ≤ − θ, < θ < 1, (i = 1, 2, ) , (1.3) k=1 Náu cõ thảm iÃu kiằn X k=1 thẳ hằ ny ữủc gồi l hon ton chẵnh quy Náu cĂc bĐt ng thực (1.2) (tữỡng ựng (1.3)) óng vỵi i = N + 1, N + 2, , thẳ hằ (1.1) ữủc gồi l tỹa chẵnh quy (tữỡng ựng, tỹa hon ton chẵnh quy) Ta kẵ hi»u ρi = − ∞ X |ci,k |, (i = 1, 2, ) k=1 H» ch½nh quy ρ i > 0, h» ho n to n ch½nh quy cho ρi ≥ θ > Gi£ sû h» (1.1) l h» ch½nh quy v c¡c h» sè tü bi thäa m¢n i·u ki»n |bi | ≤ Kρi , (K = const > 0) (1.4) nh lỵ 1.1.4 (Sỹ tỗn tÔi cõa nghi»m bà ch°n) N¸u c¡c h» sè tü cừa hằ vổ hÔn chẵnh quy thoÊ mÂn iÃu kiằn (1.4) th¼ nâ câ nghi»m bà ch°n |xi| ≤ K v nghiằm ny cõ th tẳm ữủc bơng phữỡng phĂp xĐp x liản tiáp nh lỵ 1.1.5 (Sỹ "cht cửt") Nghi»m ch½nh x∗ cõa h» ch½nh quy xi = ∞ X ci,k xk + bi , (i = 1, 2, 3, ) , k=1 cịng vỵi c¡c h» sè tü thäa m¢n i·u ki»n |bi| ≤ Kρi câ thº tẳm ữủc bơng phữỡng phĂp "cht cửt", nghắa l náu xNi l nghiằm cừa hằ hỳu hÔn xi = N X ci,k xk + bi , (i = 1, 2, 3, , N ) , k=1 th¼ x∗i = lim xN i N c nh lỵ 1.1.6 H» ch½nh quy câ thº câ khỉng qu¡ mët nghi»m tián án khổng, nghắa l lim xi = i 1.2 Bi¸n êi Fourier 1.2.1 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh Khỉng gian S cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh ành ngh¾a 1.2.1 f ∈ C ∞ (R) K½ hi»u S = S (R) l têp hủp cừa cĂc hm khÊ vi vổ hÔn thoÊ m¢n i·u ki»n p X â C1 l mët hơng số dữỡng Cuối cũng, ma thuởc vo lợp P→ − α o (R), P→ − α A (t) náu nõ l xĂc nh dữỡng cho hƯu hát måi (R) t ∈ R Bê · 1.5.6 Gi£ sû ma A (t) = A+ (t) thuởc vo lợp P + (R) Khi õ tẵch vổ hữợng v chuân H →−α /2 (R) ÷đc x¡c ành bði cỉng thùc − (u, v)A+ ,→ α /2 Z+∞ F [vT ] (t)A+ (t) F [u] (t) dt, = (1.21) −∞ − kukA+ ,→ α /2 +∞ 1/2 Z = F [uT ] (t)A+ (t) F [u] (t) dt (1.22) −∞ Bê · 1.5.7 Gi£ sû A (t) P (R) Khi õ toĂn tỷ tẵch phƠn Fourier Au ÷đc x¡c ành bði cỉng thùc F −1 [A (t) ub (t)] (x) l toĂn tỷ tuyán tẵnh v bà ch°n tø H→−α /2 (R) v o H−→−α /2 (R) Bê · 1.5.8 Gi£ sû Ω l mët tªp c¡c kho£ng bà ch°n R Khi − â ph²p nhóng H→−s (Ω) v o H→−s −→−ε (Ω) l ho n to n li¶n tưc, â → ε = (ε, ε) > v ch¿ ε > 13 c Chữỡng Hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier cừa bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi Trong chữỡng ny trẳnh by mởt số kát quÊ và tẵnh giÊi ữủc hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi ữa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d, sau õ ữa tiáp hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d và hằ vổ hÔn cĂc phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh CĂc kát quÊ trẳnh by chữỡng n y ÷đc tham kh£o tø t i li»u [1, 4, 5, 6] 2.1 Bi toĂn biản hộn hủp ối vợi dÊi n hỗi 2.1.1 t bi toĂn Phữỡng trẳnh cƠn bơng ối vợi mởt mổi trữớng ng hữợng n hỗi ữủc thọa mÂn náu cĂc Ôi lữủng chuyn v y (x, y) , τxy (x, y) u (x, y) , v (x, y) v Ôi lữủng ựng suĐt ữủc biu di¹n theo c¡c h m i·u háa Φ (x, y) v Ψ (x, y) x¡c ành bði c¡c cæng thùc sau: 2µu = −Φx − yΨx , 2µv = (3 − 4ν)Ψ − Φy − yΨy , σy = 2(1 − ν)Ψy + Φxx + yΨxx , τxy = (1 − 2ν)Ψx − Φxy − yΨxy , â µ l modun bián dÔng rưn v 14 c l t sè Poisson (µ > 0, < ν < 1/2) ... trẳnh Ôi số tuyán tẵnh 1.2 Bi¸n êi Fourier 1.2.1 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh 1.2.2 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng tông chêm Khổng... cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 15 17 2.2.1 Tẵnh giÊi ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 17 2.2.2 Bián ời hằ phữỡng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phữỡng trẳnh tẵch phƠn... (1.9) (x) CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bián ời Fourier S Tẵnh chĐt Ôo hm cừa bián ời Fourier D F [] = F [(ix)α ϕ] , ϕ ∈ S T½nh chĐt (1.10) Bián ời Fourier cừa Ôo hm F [Dα ϕ] = (−it)α F [ϕ] ,