Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE y2 = Ax4 +B LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE y = Ax4 + B LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE y = Ax4 + B LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - 2017 c Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Phần mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Liên phân số 1.2 Liên phân số vô hạn định lý Euler 1.3 Một số tính chất dãy Lucas 6 11 16 Phương trình Diophante y = Ax4 + B 2.1 Phương trình x2 = Dy + 2.2 Nghiệm nguyên phương trình y = Ax4 + B 2.3 Một số ứng dụng phương trình Diophante 21 21 26 37 Kết luận Tài liệu tham khảo 44 45 c LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin gửi lời biết ơn chân thành đến PGS TS Nơng Quốc Chinh hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Khi bắt đầu nhận đề tài thực cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mẻ Hơn với vốn kiến thức ỏi với kinh nghiệm làm đề tài không nhiều nên chưa thực tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù bận rộn công việc Thầy dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian thực đề tài Trong q trình tiếp cận đề tài đến q trình hồn thiện luận văn Thầy ln tận tình bảo tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành luận văn Cho đến luận văn thạc sĩ tơi hồn thành, xin cảm ơn Thầy đôn đốc nhắc nhở Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cơ tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo trường THCS Nha Trang - Tp Thái Nguyên nơi công tác tạo điều kiện giúp đỡ hồn thành cơng việc chun mơn nhà trường để tơi hồn thành chương trình học tập cao học Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người khơng ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 29 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Mỹ Hạnh c PHẦN MỞ ĐẦU Như biết phương trình Diophante có dạng Dy = Ax4 + B nghiên cứu rộng rãi với nhiều phương pháp khác Có nhiều ý tưởng phát triển để nghiên cứu dạng phương trình Một ví dụ điển hình kết Ljunggren (xem tài liệu [Lj]) Bằng phương pháp hữu hiệu Ljunggren phương trình x2 −dy = ±1 có nhiều hai nghiệm Hơn nữa, Tzanakis đưa phương pháp giải phương trình bậc hai dạng elliptic cách tổng quát hóa thuật toán elliptic Một phương pháp khác phương trình áp dụng rút gọn để nghiên cứu bậc hai số dãy lặp song tuyến tính họ phương trình Thue Trong trường hợp này, phương pháp Baker Thue-Siegel sử dụng Tương tự, có số cách tiếp cận để giải phương trình này, chẳng hạn sử dụng kí hiệu Legendre rút gọn theo mod d Tuy nhiên, hạn chế phương pháp đòi hỏi số hạng bé, thuộc tập {±1, ±2} Gần cơng trình [AD] [TVW] cách sử dụng liên phân số số hạng dãy Lucas đưa cấu trúc nghiệm phương trình có dạng y = Ax4 + B Một điểm đặc biệt kết √ [AD] giải toán với điều kiện |B| < A Mục đích luận văn trình bày lại kết [AD] [TVW] ứng dụng vào số toán sơ cấp Luận văn gồm hai chương Chương chúng tơi trình bày liên phân số tính chất tốt dãy Lucas Đặc biệt nhắc lại nội dụng Định lý Euler liên phân số dùng cho chứng minh sau Chương hai gồm ba phần Phần chúng tơi trình bày lại kết [TVW] cấu trúc nghiệm phương trình x2 = Ay + c thể Định lý 2.1.8 Phần thứ hai chúng tơi trình bày kết [AD] cấu trúc nghiệm phương trình y = Ax4 + B thể Định lý 2.2.5 2.2.9 Phần cuối chương chúng tơi trình bày lại lời giải phương trình x2 = 2y − số ứng dụng phương trình vào số tốn sơ cấp c Chương Một số kiến thức chuẩn bị Mục đích chương trình bày lại tính chất liên phân số dãy Lucas Đặc biệt chúng tơi tập trung trình bày lại Định lý Euler liên phân số vài tính chất dãy Lucas ứng dụng cho việc tìm lời giải nghiệm nguyên cho phương trình Diophante phần sau Các kết chương viết theo tài liệu [Hi], [Ho] [AD] 1.1 Liên phân số ∞ 1.1.1 Định nghĩa Cho {ai }∞ i=0 {bi }i=0 dãy số thực (i) Biểu thức có dạng a0 + b0 (1.1) b1 a1 + a2 + ∞ gọi liên phân số hai dãy số {ai }∞ i=0 {bi }i=0 (ii) Dãy biểu thức u0 = a0 , u1 = a0 + giản phân hai dãy số {ai }∞ i=0 b0 b1 a1 + a2 ∞ {bi }i=0 , , gọi (iii) Phần tử un xác định gọi giản phân thứ n ∞ hai dãy số {ai }∞ i=0 {bi }i=0 c 1.1.2 Chú ý (i) Nếu n hữu hạn b0 = b1 = = bn = ta kí hiệu liên phân số hai dãy số {ai }ni=0 {bi }ni=0 [a0 ; a1 , , an ] (ii) Nếu a0 ∈ Z a1 , , an số ngun dương ta nói [a0 ; a1 , , an ] liên phân số hữu hạn có độ dài n (iii) Một liên phân số hữu hạn số hữu tỷ ∞ ∞ Với hai dãy số thực {ai }∞ i=0 {bi }i=0 ta xét hai dãy số {pn }n=−1 {qn }∞ n=−1 sau: p−1 = 1, p0 = a0 , , pn+1 = an+1 pn + bn pn−1 q−1 = 0, q0 = 1, , qn+1 = an+1 qn + bn qn−1 Khi mối quan hệ giản phân thứ n hai dãy số {ai }∞ i=0 ∞ ∞ {bi }∞ i=0 với thương thứ n hai dãy số {pn }n=−1 {qn }n=−1 thể bổ đề sau 1.1.3 Bổ đề Với kí hiệu giả thiết ta có un = n ≥ pn với qn Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức quy nạp theo n Thật vậy, với n = n = hiển nhiên kết Giả sử pn quy nạp cho n, nghĩa ta có un = Thay an biểu thức qn bn un an + ta thu un+1 Theo định nghĩa ta có pn , qn khơng an+1 phụ thuộc vào bn an+1 nên từ công thức truy hồi pn an pn−1 + bn−1 pn−2 = qn an qn−1 + bn−1 qn−2 ta có bn )pn−1 + bn−1 pn−2 an+1 = bn (an + )qn−1 + bn−1 qn−2 an+1 (an + un+1 c (an an+1 + bn )pn−1 + an+1 bn−1 pn−2 (an an+1 + bn )qn−1 + an+1 bn−1 qn−2 an+1 (an pn−1 + bn−1 pn−2 ) + bn pn−1 = an+1 (an qn−1 + bn−1 qn−2 ) + bn qn−1 an+1 pn + bn pn−1 = an+1 qn + bn qn−1 pn+1 = qn+1 = Bổ đề 1.1.3 cho ta công thức tính giản phân qua thương dãy số Tiếp theo ta số hữu tỷ biểu diễn dạng liên phân số hữu hạn biểu diễn Trước tiên ta nhắc lại thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn hai số nguyên 1.1.4 Chú ý (i) Cho số nguyên a, b ∈ Z, b > Khi biết tìm ước chung lớn a b cách thức thuật toán Euclid sau: a = a0 b + r1 , < r1 < b b = a1 r1 + r2 , < r2 < r1 , r1 = a2 r2 + r3 , < r3 < r1 , , rn−2 = an−1 rn−1 + rn , < rn < rn−1 , rn−1 = an rn , trình phải dừng sau hữu hạn bước ta có gcd(a, b) = rn (ii) Từ thuật toán ta thu hai dãy số nguyên hữu hạn {ai }ni=0 b0 = b1 = = bn = Khi giản phân {ai }ni=0 {bi }ni=0 u0 = a0 = [a0 ], u1 = a0 + = [a0 ; a1 ], , un = = [a0 ; a1 , a2 , , an ] a1 c (iii) Từ thuật toán ta thu dãy truy hồi p0 = a0 , p1 = a1 p0 + 1, , pn = an pn−1 + pn−2 q0 = 1, q1 = a1 , , qn = an qn−1 + qn−2 Theo Bổ đề 1.1.3 ta có hệ sau: 1.1.5 Hệ Với kí hiệu giả thiết Chú ý 1.1.4 ta có pi ui = , với i = 0, 1, , n qi Từ Bổ đề Hệ ta có tính chất quan trọng số hữu tỷ thể mệnh đề sau: 1.1.6 Mệnh đề Mỗi số hữu tỷ biểu diễn dạng liên phân số hữu hạn Chứng minh Cho a/b số hữu tỷ với b > Theo thuật tốn tìm ước chung lớn công thức giản phân ta có a = a0 + b b r1 = a0 + 1 a1 + r1 r2 = a0 + a1 + a2 + a3 + an−2 + an−1 + an Vậy số hữu tỷ a/b viết thành liên phân số hữu hạn a/b = [a0 ; a1 , , an ] c ... pn−1 + bn−1 pn−2 = qn an qn−1 + bn−1 qn−2 ta có bn )pn−1 + bn−1 pn−2 an+1 = bn (an + )qn−1 + bn−1 qn−2 an+1 (an + un+1 c (an an+1 + bn )pn−1 + an+1 bn−1 pn−2 (an an+1 + bn )qn−1 + an+1 bn−1 qn−2... s) = 2ab, 5a4 + 6a2 b2 + b4 , (r, s) = 2ab, −5a4 + 6a2 b2 − b4 Nếu a b chẵn đối nhau, 2 (r, s) = ab, 5a + 6a b + b c 18 (r, s) = ab, −5a4 + 6a2 b2 − b4 a, b hai số lẻ Vậy u5 phương. .. trường hợp: P = a2 , P − Q = b2 với −2a4 + 3b2 = α2 P = a2 , P − Q = − 2b2 với a4 + 3b2 = α2 P = −a2 , P − Q = 2b2 với a4 − 3b2 = α2 P = 3a2 , P − Q = ? ?b2 với −6 a + 3b2 = α2 , (δ = ±1, ±2) δ