Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VASIA VAYINGTUVUE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI HẠCH LOGARITHMIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên Năm 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VASIA VAYINGTUVUE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI HẠCH LOGARITHMIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VASIA VAYINGTUVUE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI HẠCH LOGARITHMIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Ngân Thái Nguyên - 2020 c LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Vasia VAYINGTUVUE i c Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Cô tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Một lần tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm khoa Tốn thầy tổ Bộ mơn Giải tích - Tốn ứng dụng tạo điều kiện cho làm luận văn, quan tâm đơn đốc tơi q trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Vasia VAYINGTUVUE ii c Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 1.1.1 1.2 Khái niệm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 1.1.2 Các định lý so sánh 1.1.3 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính quy, hồn tồn quy, tựa quy Phương trình tích phân 15 1.2.1 Khái niệm phương trình tích phân 15 1.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị 16 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarthmic 2.1 18 Phương pháp đa thức trực giao 18 Π - hạch phương pháp đa thức trực giao 2.1.2 Không gian hàm 2.1.3 Phương trình đặc trưng 2.1.4 Phương trình đầy đủ 2.2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.1 Đa thức Chebyshev 2.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.3 Đưa phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 2.2.4 Trường hợp riêng 18 2.1.1 iii c 21 21 25 29 29 30 32 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iv c Mở đầu Lý chọn luận văn Phương trình tích phân xuất cách tự nhiên nghiên cứu tốn biên vật lí tốn Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị xây dựng phát triển mạnh mẽ Thế kỷ 19 Việc tìm nghiệm phương trình tích phân đưa hướng nghiên cứu đưa giá trị kỳ dị hạch vào phương trình tích phân, vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, Noether, Muskhelishvili, Gakhov, B.N Mandal, A Chakrabarti, Với mong muốn nghiên cứu cách giải phương trình tích phân kỳ dị, tơi lựa chọn đề tài “Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic" làm luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn Nghiên cứu cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao để biến đổi phương trình tích phân kỳ dị hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Nội dung luận văn Tổng quan số kết hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, phương pháp đa thức trực giao Nghiên cứu ứng dụng hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính giải phương trình tích phân với hạch logarithmic Luận văn ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, có chương nội dung - Chương 1: Trình bày tổng quan hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính quy, hồn tồn quy, tựa quy, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị c - Chương 2: Trong chương 2, trình bày phương pháp đa thức trực giao, phương pháp hữu hiệu để giải phương trình tích phân kỳ dị Trình bày cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao đưa phương trình tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Mục 2.2.4 trình bày trường hợp riêng để nhận nghiệm tường minh phương trình tích phân kỳ dị xét Mục 2.2.3 c Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Trong chương trình bày kết hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, bao gồm định lý tồn tại, tính nghiệm sở lý luận việc tìm nghiệm phương pháp xấp xỉ liên tiếp, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị Nội dung chủ yếu chương tham khảo từ tài liệu [2, 4, 6] 1.1.1 Khái niệm hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Xét hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính sau đây: xi = ∞ X ci,k xk + bi (i = 1, 2, ), (1.1) k=1 xi số cần xác định, ci,k bi số biết Định nghĩa 1.1 Tập hợp số x1 , x2 , gọi nghiệm hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (1.1) thay số vào vế phải (1.1) ta có chuỗi hội tụ tất đẳng thức thỏa mãn c 1.1.2 Các định lý so sánh Định nghĩa 1.2 Hệ ∞ X Xi = Ci,k Xk + Bi , (i = 1, 2, ), (1.2) k=1 gọi hệ trội hệ phương trình (1.1) |c | C , (i = 1, 2, ; k = 1, 2, ), i,k i,k |b | B , (i = 1, 2, ) i (1.3) i Định lý 1.1 (Về tồn nghiệm) Nếu hệ trội (1.2) có nghiệm khơng âm Xi0 ≥ hệ phương trình (1.1) có nghiệm x∗i , nghiệm tìm phương pháp xấp xỉ liên tiếp: (n+1) xi = ∞ X (n) ci,k xk + bi (i = 1, 2, ; n = 0, 1, 2, ), k=1 (0) (n) xi = 0, lim xi n→+∞ = x∗i , |x∗i | Xi0 Chứng minh Trước hết áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp hệ (0) (n) (1.2), với xi = 0, Xi (n+1) Xi = ∞ X xác định theo công thức lặp: (n) Ci,k Xk + Bi (i = 1, 2, ) (1.4) k=1 (1) Ta có Xi (0) (n) = Bi ≥ = Xi Nếu Xi (n+1) Xi = ∞ X (n) Ci,k Xk + Bi ≥ k=1 (n−1) ≥ Xi ∞ X từ (1.4) ta có: (n−1) Ci,k Xk (n) + Bi = Xi k=1 (n+1) (n) ≥ Xi (0) (n) Mặt khác, Xi = Xi0 Giả sử Xi Xi0 , từ (1.4) Xi0 thỏa mãn hệ (1.2), ta có Như vậy, với n, i ta có Xi (n+1) Xi = ∞ X (n) Ci,k Xk + Bi k=1 ∞ X k=1 c Ci,k Xk0 + Bi = Xi0 , ∞ X X (n+1) (n) (n) (n−1) − xi = ci,k xk + bi − ci,k xk + bi = xi k=1 k=1 ... giải phương trình tích phân kỳ dị, tơi lựa chọn đề tài ? ?Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic" làm luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn Nghiên cứu cách giải phương trình tích phân. .. Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.1 Đa thức Chebyshev 2.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.3 Đưa phương trình tích phân kỳ dị. .. Phương trình tích phân 15 1.2.1 Khái niệm phương trình tích phân 15 1.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị 16 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch