(LUẬN văn THẠC sĩ) hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Không gian Sobolev

Không gian L p (Ω) , 1 ≤ p < +∞

Định nghĩa 1.1 L p (Ω) là không gian Banach gồm các hàm đo được uxác định trên Ω và p - khả tích sao cho

Chuẩn của L p (Ω) được định nghĩa bởi

, trong đó |u(x)| là trị tuyệt đối hoặc mô đun của u(x).

Khi p = +∞, L ∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn

|u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi trong Ω}

Khi p = 2, L 2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

(f, g là các hàm bình phương khả tích).

Không gian W l,p (Ω) ( 1 ≤ p < +∞; l ∈ N )

Định nghĩa 1.2 Với ∀l ∈N ; 1 ≤ p < +∞, ta có

D α u = D α 1 1 D α 2 2 D n α n ; D j = ∂x ∂ j Khi đó, chuẩn của u(x) ∈ W l,p (Ω) được định nghĩa bởi

Một chuẩn tương đương là

Nhận xét 1.2 Giả sử Ω ⊂R n ; l ∈ N ; 1 ≤ p < +∞ thìW l,p (Ω) là một không gian Banach.

W 1,2 (Ω) = u ∈ L 2 (Ω); D 1 u ∈ L 2 (Ω) Không gian W 1,2 (Ω) được trang bị tích vô hướng

Khi đó W 1,2 (Ω) là không gian Hilbert.

Không gian W 0 l,p (Ω) ( 1 ≤ p < +∞; l ∈ N )

C 0 ∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω}. b) Không gian W 0 l,p (Ω) Định nghĩa 1.3 Không gian W 0 l,p (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C 0 ∞ (Ω) trong chuẩn của không gian W l,p (Ω).

Nhận xét 1.4 i) Đối với các hàm u(x) ∈ W 0 1,p (Ω), v(x) ∈ W 1,p 0 (Ω) ta có

Ω uv x i dx, trong đó 1 p + p 1 0 = 1. ii) Hai chuẩn tương đương trong W 1,p (Ω)

Hai chuẩn là tương đương, nếu tồn tại c 1 , c 2 ∈R ∗ + sao cho c 1 ||u|| ≤ |||u||| ≤ c 2 ||u||. iii) Hai chuẩn sau là tương đương trênW 0 l,p (Ω)

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị iv) Khi l = 1, p = 2

Chuẩn của W 0 1,2 (Ω) xác định bởi

2 (Ω) Chuẩn mới tương đương là

X i,j=1 a ij (x)u x i u x j dx, trong đó a ij = a ji , c 1 |ξ| 2 ≤ n

Không gian Holder

Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω)

Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn

Định nghĩa không gian C 0,α (Ω)

Định nghĩa 1.5 C 0,α (Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω với |u| (α),Ω xác định

Chuẩn của C 0,α (Ω) được định nghĩa bởi

Định nghĩa không gian C l,α (Ω)

Các định lý nhúng

Định nghĩa phép nhúng

Cho B 1 , B 2 là hai không gian Banach.

Ta nói rằng B 1 nhúng vào B 2 và kí hiệu B 1 → B 2, nếu với u ∈ B 1 thì u ∈ B 2 Định nghĩa 1.8 (Phép nhúng liên tục)

Một không gian Banach \( B_1 \) được coi là nhúng liên tục trong không gian Banach \( B_2 \), ký hiệu \( B_1 \rightarrow B_2 \), nếu \( B_1 \) nhúng vào \( B_2 \) và thỏa mãn điều kiện \( ||u||_{B_2} \leq c||u||_{B_1} \), trong đó \( c \) là hằng số không phụ thuộc vào \( u \in B_1 \) Đây là định nghĩa về phép nhúng hoàn toàn liên tục.

Một không gian BanachB 1 được gọi là nhúng hoàn toàn liên tục trong không gian Banach B 2 , nếu một tập bị chặn trong B 1 là một tập tiền compact trong

Định lý nhúng vào L p (Ω)

Định lý 1.1 Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤ p < q < +∞.

Khi đó, L q (Ω) ⊂ L p (Ω) và ánh xạ nhúng j : L q (Ω) 7→ L p (Ω) là liên tục.

Ta cần chứng minh u ∈ L p (Ω) hay R

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có

Vì Ω bị chặn và u ∈ L q (Ω) nên

Từ công thức (1.1) ta suy ra

Từ (1.2) chứng tỏ ánh xạ j : L q (Ω) 7→ L p (Ω) là liên tục và

Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω)

Định lý 1.2 Cho Ω ⊂R n là tập bị chặn.

Khi đó, ta có các khẳng định sau

Với q ≤ n−pl np , thì W l,p (Ω) nhúng liên tục vào L q (Ω),

Với q < n−pl np , thì W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào L q (Ω).

Với β ≤ pl−n p , thì W l,p (Ω) nhúng liên tục vào C β (Ω),

Với β < pl−n p , thì W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào C β (Ω).

Một số bất đẳng thức

Bất đẳng thức Young

Ta có bất đẳng thức Young

|ab| ≤ |a| p p + |b| q q , (1.3) trong đó p, q ∈ R; p > 0; q > 0 thỏa mãn 1 p + 1 q = 1.

Nhận xét 1.5 i) Khi p = q = 2, bất đẳng thức (1.3) chính là bất đẳng thức Cauchy. ii) Thay a bởi ε p 1 a, b bởi ε − 1 p b, với ε > 0 Khi đó (1.3) trở thành

Bất đẳng thức Holder

Với u ∈ L p (Ω); v ∈ L q (Ω) và 1 p + 1 q = 1, ta có bất đẳng thức Holder

Nhận xét 1.6 i) Khi p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Schwarz

2 (Ω) ii) Trong trường hợp tổng quát với m là hàm u 1 , u 2 , , u m nằm trong không gian L p 1 (Ω), L p 2 (Ω), , L p m (Ω), bất đẳng thức Holder có dạng

Bất đẳng thức Poincare

Giả sử Ω là miền bị chặn và p ≥ 1 Khi đó, tồn tại số c = c(Ω) > 0 sao cho

Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính

Định nghĩa ánh xạ compact

Ánh xạ T: V1 → V2 được định nghĩa là compact nếu nó chuyển đổi các tập bị chặn trong không gian tuyến tính định chuẩn V1 thành các tập tiền compact trong không gian V2.

Định nghĩa ánh xạ liên hợp

Định nghĩa 1.11 Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

H Khi đó, ánh xạ liên hợp T ∗ cũng là tuyến tính bị chặn trong H , được xác định bởi

||x|| Nhận xét 1.7 Nếu T compact thì T ∗ cũng compact.

Định lý Fredholm trong không gian Banach

Định lý 1.3 Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.

T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.

Khi đó, nếu phương trình x − T x = 0 duy nhất nghiệm, thì với mọi y ∈ V , phương trình x − T x = y có nghiệm duy nhất và toán tử (I − T ) −1 là toán tử bị chặn.

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Định lý 1.4 Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.

T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.

Tập hợp các giá trị riêng của nó là đếm được, và ngoài λ = 0, không tồn tại điểm tụ nào Mỗi giá trị riêng khác không đều có bội hữu hạn.

Định lý Fredholm trong không gian Hilbert

Định lý 1.5 khẳng định rằng trong không gian Hilbert H, nếu T là ánh xạ compact, thì tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R với vô hạn phần tử khác 0 Đối với mọi λ khác 0 và không thuộc Λ, các phương trình λx − T x = y và λx − T ∗ x = y đều có nghiệm duy nhất cho x ∈ H với mọi y ∈ H Hơn nữa, các ánh xạ ngược (λI − T ) −1 và (λI − T ∗ ) −1 đều bị chặn.

Nếu λ thuộc tập hợp Λ, không gian rỗng của ánh xạ λI − T và λI − T ∗ có chiều dương xác định Phương trình (1.4) có nghiệm khi và chỉ khi y trực giao với không gian rỗng của λI − T ∗ trong trường hợp đầu tiên, và với λI − T trong các trường hợp khác.

Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet

Với x ∈ Ω ⊂R n , xét hệ phương trình dạng bảo toàn

∂ x i + f, (2.1) ở đây, u, f i và f là các hàm vecto N phần tử u =

 ; a ij (x) là hàm vô hướng : a ij (x).u x j = a ij (x).E.u x j ;

A i (x), B i (x), B (x) là các ma trận vuông cấp N.

Giả sử rằng các hệ số a ij của hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức λ n

Khi đó hệ (2.1) là hệ phương trình elliptic. b) Bài toán Dirichlet

Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình (2.1) là bài toán tìm hàm vecto

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic u(x) trong Ω của hệ phương trình (2.1) và thỏa mãn điều kiện biên u| S = ϕ| S , (2.3) với ϕ(x) ∈ W 1,2 (Ω).

Ta giả sử thêm điều kiện

2 (Ω) < à; q > n (2.4) Với mọi hàm f i (x), f(x) và ϕ(x) thỏa mãn

Các giả thiếtf i , f, ϕlà cần thiết đối với sự tồn tại của nghiệm suy rộng thuộc

Nghiệm suy rộng

1 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình elliptic

Hàm vectou(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của hệ(2.1)nếu với mọi hàm vecto η(x) ∈ W 0 1,2 (Ω), thỏa mãn đẳng thức tích phân

2 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

Hàmu(x) ∈ W 1,2 (Ω)được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu u(x)là nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) vàu(x) − ϕ(x) ∈ W 0 1,2 (Ω).

Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm

Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất

Xét bài toán (2.1), (2.3) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4), (2.5) Do hàm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1), nên

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic hay,

L(u, η) = (f i , η x i ) − (f, η), (2.7) với η(x) ∈ W 0 1,2 (Ω) và thỏa mãn u(x) − ϕ(x) ∈ W 0 1,2 (Ω). Đặt v (x) = u(x) − ϕ(x).

Với hàm này, từ đẳng thức (2.7) ta thu được

Hàm L(v, η) được định nghĩa là L(v, η) = −L(ϕ, η) + (f i , η x i ) − (f, η), và từ điều kiện v| S = 0, với v thuộc W 0 1,2 (Ω), chúng ta chuyển từ việc xét hàm u sang việc tìm hàm v thuộc W 0 1,2 (Ω) thỏa mãn đẳng thức (2.8) Kết quả này dẫn đến việc suy ra hàm u = v + ϕ là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.3).

Xét l(η) = −L(ϕ, η) + (f i , η x i ) − (f, η) (2.10) là phiếm hàm tuyến tính trên W 1,2 (Ω).

Với u ∈ W 1,2 (Ω), η ∈ W 0 1,2 (Ω) bất kì, ˆ c(q, Ω) và c(q, Ω) là các hằng số thì

Mặt khác, theo bất đẳng thức Holder ta có

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

+à||ϕ|| L 2q q−2 (Ω) ||η|| L 2q q−2 (Ω) (2.14) Áp dụng (2.12) vào (2.14) ta được

≡ c(q, Ω, ϕ, f , f)||∇η|| L 2 (Ω) (2.16) Bước 2 Chứng minh bất đẳng thức cơ bản thứ nhất với các toán tử elliptic. Với hàm v(x) ∈ W 0 1,2 (Ω) bất kì, ta có bất đẳng thức

Xét hệ số B(x) có dạng

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic và

Trước hết, ta đi xét bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4) thỏa mãn Khi đó, với hàm v ∈ W 0 1,2 (Ω) bất kỳ thì

2 (Ω) , (2.19) ở đây c 1 (q) = hM (2λ+1)n λ 2 q 2c 2 (q) i q−n q q−n n Chứng minh Theo điều kiện elliptic (2.2) ta có

) dx, (2.20) ở đây, ε là số dương tùy ý. Áp dụng bất đẳng thức Holder cho hai phần tử cuối trong tích phân vế phải bất đẳng thức (2.20) ta được

Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức (2.20) ta rút ra

(Ω) (2.21) Đặt ε = λ 2 , bất đẳng thức (2.21) trở thành

Kết hợp (2.17) và (2.22), rút ra

2 (Ω) Đặt ε = 2M (2λ+1)c λ 2 q 2 (q)n , bất phương trình trên trở thành

2 (q) λ 2 λ 2 q 2M (2λ+1)c 2 (q)n q−n −n Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.

Ta cần sử dụng bất đẳng thức (2.19) để đánh giá nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet (2.1), (2.3).

Rút gọn hai vế của bất đẳng thức trên ta được

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (2.23) với 2, ta được

2 (Ω) (2.24) Đến đây, ta có thể triệt tiêu được phần tử ||v|| 2 L

2 (Ω) ở vế phải bất đẳng thức (2.24). a) Thật vậy, vì v ∈ W 0 1,2 (Ω) nên

Mà B − (x) = −B 0 Từ hai điều này, (2.22) trở thành

2c 1 (q) + 8 λ B 0 i c 2 0 mes n 2 Ω < 1, ta rút ra được

(1 − δ)λ 2 c 2 (q, Ω, ϕ, f, f ) (2.27) b) Trường hợp ϕ ≡ 0, thì v ≡ u là nghiệm của (2.1).

Khi đó (2.24) và (2.27) tương ứng trở thành

Khi đó,u = v +ϕlà nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.3) thì (2.22) và (2.25) trở thành

Trong các bất đẳng thức đã nêu, hằng số c(q, Ω, ϕ, f, f) được xác định bởi (2.16) và c1(q) được mô tả bởi (2.19) Bất đẳng thức (2.30) là bất đẳng thức cơ bản cho nghiệm của bài toán (2.1), (2.3), trong khi bất đẳng thức (2.28) trở thành bất đẳng thức cơ bản thứ nhất khi ϕ ≡ 0 Khi điều kiện δ < 1, các bất đẳng thức (2.29) và (2.31) có thể được áp dụng Đặc biệt, với n ≥ 3, trường hợp q = n vẫn giữ lại một số dạng cơ bản của bài toán Dirichlet.

Thật vậy, giả sử điều kiện (2.2) được thỏa mãn và n

A + (x) = c 0 (x) + c 00 (x) (2.33) với c 0 i (x), c 0 (x) là các hàm bị chặn vàc 00 i (x), c 00 (x) tương ứng thuộcL n (Ω) và L n

Trong trường hợp tổng quát, M ε 0 không bị chặn khi ε 0 tiến đến 0, và M ε 0 được xác định bởi các yếu tố trong (2.32) và toán tử L Với toán tử L, chúng ta có bất đẳng thức tương tự như (2.19) Việc suy ra bất đẳng thức này tương tự như việc rút ra bất đẳng thức (2.19), cụ thể là cần đánh giá các phần tử ở vế phải của bất đẳng thức (2.20) bằng cách áp dụng các phương trình (2.33).

2 (Ω) + λ + 1 λ ε 0 ||v|| 2 L 2n n−2 (Ω) Đặt ε = λ 2 , bất đẳng thức trên trở thành

Mà v ∈ W 0 2,1 (Ω) nên theo bất đẳng thức (2.12) ta có

Ta chọn ε 0 sao cho ε 0 2(λ + 1) λ 2 c 2 (n) ≤ δ 1 < 1 (2.37) Kết hợp (2.36) và (2.37) ta có

2 (Ω) (2.39) Đặt v = u − ϕ, bất đẳng thức trên trở thành

Thay (2.16) vào bất đẳng thức (2.40) ta được

2 (Ω) (2.41) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào (2.41) ta rút ra

2 (Ω) Đặt ε = 1 − δ 1 , đồng thời rút gọn hai vế bất phương trình trên ta thu được kết quả

Vậy (2.42) chính là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) trong W 0 1,2 (Ω)

Hệ quả 2.1 Nếu ϕ ≡ 0 thì v ≡ u là nghiệm của phương trình (2.1).

Từ đây, ta thấy sự tương ứng của bất đẳng thức trên với nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) của bất đẳng thức (2.30).

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic giữ lại một số thành phần của (2.1) với Ω 1 ⊂ Ω, từ (2.43) ta được

Đối với nghiệm suy rộng v của phương trình (2.1) trong không gian W 0 1,2 (Ω), phương trình (2.45) tương tự như (2.26) và thỏa mãn trong hai trường hợp: (i) khi miền Ω 1 có độ đo đủ nhỏ hoặc (ii) khi toán tử Lu − λu với λ ≥ λ 0 đủ lớn Tuy nhiên, độ đo đủ nhỏ của Ω 1 và giá trị lớn của λ 0 không chỉ phụ thuộc vào a mà còn phụ thuộc vào ε 0 và M ε 0.

Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng

Bằng cách áp dụng bất đẳng thức cơ bản thứ nhất cho nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) và các phương pháp tương tự như trong phần một, ta có thể thiết lập các định lý Fredholm về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng Định lý 2.1 chỉ ra rằng, với các điều kiện (2.2), (2.4) và (2.5) trên miền Ω bị chặn, có hai khả năng xảy ra: i) Hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0 và f i ≡ 0 (i = 1, , n) cùng điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u ≠ 0; ii) Hoặc hệ này chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0 Do đó, với mọi hàm f, f i và ϕ trong W 1,2 (Ω), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) cho bài toán (2.1) và (2.3).

Chứng minh Ta đưa vào W 0 1,2 (Ω) một tích vô hướng mới

Theo điều kiện elliptic (2.2) và c 1 (q) + 4 λ ≤ 0, nếu v ∈ W 0 1,2 (Ω) thì

|∇v | 2 ≥ λ 1 ||v|| 2 W 1,2 (Ω) , (2.46) với λ 1 = λ c 2 0 mes n 2 (Ω)+1 Mặt khác, từ điều kiện (2.2) và (2.3) ta có

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic kết hợp với (2.15) ta có

Trong bối cảnh này, chuẩn trong tích vô hướng tương đương với chuẩn trong W 0 1,2 (Ω) Thay vì tìm nghiệm u cho bài toán (2.1) và (2.3), chúng ta chỉ cần xác định hàm v = u − ϕ từ các phương trình (2.8) và (2.9) Chúng ta có thể viết lại đồng nhất thức (2.8) theo một cách khác.

Ω a ij vη x i − b i v x i η − B + vη dx = l(η), (2.48) với l(η) được xác định như trong (2.10) Đặt l 1 (v, η) =

Do giả thiết (2.15), ta nhận được

, (2.49) và theo (2.17), dẫn tới bất đẳng thức

Từ đó, có thể kết luận rằng |l 1 (v, η)| là một phiếm hàm tuyến tính của η trong W 0 1,2 (Ω) khi v(x) ∈ W 0 1,2 (Ω) được cố định Theo định lý Riesz, phiếm hàm |l 1 (v, η)| có thể được biểu diễn dưới dạng cụ thể.

|l 1 (v, η)| = [Av, η], ∀η ∈ W 0 1,2 (Ω), (2.51) ở đó A là một toán tử bị chặn trong W 0 1,2 (Ω).

||Av|| W 1,2 (Ω) ≤ c 2 (q) λ 1 ||v|| W 1,2 (Ω) (2.52) Bây giờ, ta chứng minh A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian

W 0 1,2 (Ω) Thật vậy, giả sử {v m (x)}, m = 1, 2, là một dãy hội tụ trong W 0 1,2 (Ω) sao cho

Do toán tử A bị chặn nên {Av m }, m = 1, 2, , thuộc W 0 1,2 (Ω) Ngoài ra, do

W 0 1,2 (Ω) được nhúng vào L p (Ω) với p < n−2 2n , là hoàn toàn liên tục, nên các dãy con {v m }, {Av m } hội tụ tới các phần tử v(x) và Au(x) trong W 1,2 (Ω) và L 2q q−2 (Ω) tương ứng Ta có

[Av l − Av m , Av l − Av m ] = l 1 (v l − v m , Av l − Av m ) (2.53) Áp dụng (2.49) vào vế phải (2.53) ta có

Do đó, {Av m } hội tụ trong W 0 1,2 (Ω) Từ đó, suy ra A là toán tử hoàn toàn liên tục trong W 0 1,2 (Ω).

Với các giả thiết của ϕ, f, f thì vế phải của (2.48) là hàm tuyến tính trong

W 0 1,2 (Ω) Do đó, với mọi F ∈ W 0 1,2 (Ω) và η thì l(η) = [F, η ] (2.54) Áp dụng (2.51) và (2.54) vào đẳng thức (2.48) ta có

Với η ∈ W 0 1,2 (Ω) bất kỳ, (2.55) tương úng với phương trình toán tử v + Av = F (2.56) trong W 0 1,2 (Ω).

Toán tử Do A là một toán tử tuyến tính compact trong không gian W 0 1,2 (Ω) Theo định lý Fredholm, phương trình (2.56) sẽ có nghiệm duy nhất v với mọi F thuộc W 0 1,2 (Ω) nếu như phương trình thuần nhất w + Aw = 0 (2.57) chỉ có nghiệm duy nhất w ≡ 0.

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.2 Tồn tại một số đếm được các giá trị λ = λ 1 , , trong mặt phẳng phức λ sao cho bài toán

Phương trình ∂x i (a ij u x j + A i u) + B i u x i + Bu = λu, với điều kiện biên u| S = 0, có nghiệm khác không trong không gian W 1,2 (Ω) Tập hợp tất cả các giá trị riêng {λ k } tạo thành phổ của bài toán (2.1), (2.3) Mỗi giá trị λ đều có bội hữu hạn và |λ k | tiến tới vô cùng khi k tiến tới vô cùng.

Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng

Đánh giá |u| α,Ω

Ta có định lý sau

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.4 Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), (2.58) thỏa mãn hệ phương trình (2.1) Khi đó, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) bất kì của hệ (2.1) cũng đánh giá được trên không gian C 0,α (Ω) với α > 0 Ở đây, |u| α,Ω được đánh giá bằng một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và à trong (2.2), (2.4), (2.58), trờn

Ω |u|, và khoảng cách từ Ω 0 đến S.

Chứng minh Muốn đánh giá |u| α,Ω , ta cần chỉ ra rằng nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) của hệ (2.1) thuộc lớp hàm B( ¯ Ω, ).

Ω |u| < ∞. Để đơn giản, giả sử rằng 0 ≤ u l (x) ≤ 1 với l = 1, , N.

Ta có thể thay u l (x) trong hệ (2.1) bằng hàm bu l = u l + M

Giả sử φ(x) là hàm bị chặn trong W 0 1,2 (Ω) và e i là vecto đơn vị có độ dài l Với η = 5N φ(x)e i , đồng nhất thức (2.6) trở thành

Với η = uφ(x), đẳng thức (2.6) trở thành

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được

−(B i u x i + Bu − f )(uφ + 5N φe i )]dx = 0. Đặt w = 10uN e i Ta rút ra, w j = 10N u x j e i

Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình \((B i u x i + Bu − f )(uφ + 5N φe i )]dx = 0\) với \(\phi(x) \in W 0 1,2 (Ω)\) Đặt \(\phi = \max\{2(w − k)ζ^2 ; 0\}\), trong đó \(k\) là một số bất kỳ và \(\zeta(x)\) là hàm trơn có giá trị compact trong khoảng [0; 1] trong hình cầu \(K_ρ \subset Ω\) Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho phương trình trên, chúng ta thu được kết quả λ.

(w − k) 2 |∇ζ| 2 + (D 2 + E)(w 2 + 1)ζ 2 dx, (2.73) Đặt w = |u| 2 , biến đổi (2.73) ta thu được λ

Theo điều kiện (2.4) và (2.5), ta thấy ||D(x)|| L q (Ω) và ||E(x)|| L q

(A k,ρ ) + c(2k 2 + 1)mes 1− 2 q A k,ρ (2.75) Đặt ε = λ 2 , kết hợp với bất đẳng thức (2.75) , bất đẳng thức (2.74) trở thành 2ε

 , (2.76) với c 1 là hằng số. Áp dụng bất đẳng thức

Từ (2.77), bất đẳng thức (2.76) trở thành

Với mọi giá trị của ρ thỏa mãn c 1 c 2 ρ 2( n 1 − 1 q ) ≤ 1

2 , (2.79) bất đẳng thức (2.78) có dạng

Khi đó, ta thu được bất đẳng thức

 , (2.80) với w = w l + , l = 1, , N, k bất kỳ sao cho K ρ ⊂ Ω.ở đây, γ là hằng số phụ thuộc vào n, q, λ, à trong (2.2), (2.4), (2.58) và M.

Chứng minh tương tự, ta cũng thu được bất đẳng thức (2.70) hoặc w = w − l , l =

1, , N Từ đây, ta thấy u(x) thuộc lớp hàm

B 2N 2 (Ω, M 1 , δ 1 , δ 2 , δ 3 , γ, ∞, 1 q ), mà đã được đưa vào trong [1] Khi đó, theo Định lí 8.1, Chương 2, [1], ta đánh giỏ được |u| α,Ω 0 với Ω 0 ⊂ Ω bằng một hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ và à trong

Ω |u| và khoảng cách từ Ω 0 tới S Vậy, định lí được chứng minh xong.

Đánh giá |u| 1,α,Ω 0 và ||u|| W 2,2 (Ω)

Để đánh giá |u| 1,α,Ω 0 trong Ω 0 ⊂ Ω bất kỳ, ta giả thiết rằng nghiệm suy rộng u ∈ W 1,2 (Ω) của hệ (2.1) có đạo hàm suy rộng cấp hai và tích phân

# dx là hữu hạn Giả sử rằng các hệ số a ij , a mi i , và f i i là các hàm khả vi thỏa mãn bất đẳng thức

Ta cũng giả sử điều kiện elliptic (2.2) thỏa mãn và a im i , b im i , f i i , f i

L q (Ω) ≤ à, q > n (2.82) Lấy vi phân hệ (2.1) theo x k và viết dưới dạng

∂x i h a ij (x)u ik x j + a ik;mj i u mj + f i ik i

= 0 (2.83) Ở đây, a ik;mj i = δ i k b im j + a im i δ k j + ∂a ij

Các phương trình (2.83) với chỉ số l = 1, , N và k = 1, , n có cấu trúc tương tự như hệ (2.1) với các hàm u ik Các hệ số a ij (x), a ik;mj i u mj (x) và f i ik (x) đều đáp ứng giả thiết của Định lý 2.3 và 2.4 Do đó, các nghiệm u ik cũng thỏa mãn các tính chất được nêu trong Định lý 2.3 và 2.4.

Ta đi xét định lý sau

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.5 Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.82) và (2.83) thỏa mãn Cho u(x) ∈ W 2,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) với tích phân sau

Khi đó, |u| l,α,Ω 0 với α > 0, Ω 0 ⊂ Ω bất kì, bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n, N, M, q, λ, và à trong (2.2), (2.82) và (2.83), phụ thuộc vào đại lượng

|∇u| 4 dx, và theo khoảng cách từ Ω 0 đến S.

Chứng minh Ta cần tìm các đánh giá đối với ||u|| W 2,2 (Ω) và ||∇u|| L 4 (Ω) , giả thiết rằng điều kiện elliptic (2.2)thỏa mãn và các hệ số của hệ (2.1) bị chặn Khi đó

(2.84) Để đơn giản, ta giả thiết điều kiện biên u| S = 0 (2.85)

Ta coi hệ (2.1) là tập hợp các phương trình có dạng

Theo Bổ đề 8.1 Chương 3, [1], trong từng phương trình (2.86), hàmu l , l = 1, , N khả vi liên tục thì

Lấy tổng tất cả các bất đẳng thức này theo l = 1, , N ta có

, (2.87) với c là hằng số phụ thuộc vào hàm cong trơn từng mảnh S, phụ thuộc vào các hằng số λ, à trong (2.2) và đại lượng

Muốn đánh giá ||u|| W 2,2 (Ω) , trước hết ta đánh giá ||F || L 2 (Ω)

Theo bất đẳng thức Holder thì

Chứng minh tương tự ta được

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic và c là hằng số phụ thuộc vào à và q trong (2.84).

Mặt khác, với u ∈ W 0 2,2 (Ω), ta có

2 (Ω) + c ε ||u|| L 2 (Ω) , (2.89) với ε đủ nhỏ và c ε là hằng số phụ thuộc vào ε và Ω.

, (2.90) với c là hằng số phụ thuộc vào n, N, q, λ, à trong (2.2) và (2.72) trờn S.

Nhân hai vế của phương trình trên với −u l |∇u| 2 ta được

Lấy tổng hai vế với l = 1, , n ta được

∂x i a ij (x)u x j u|∇u| 2 = −F (x)u|∇u| 2 (2.91) Lấy tích phân hai vế (2.91) trên Ω ta được

Tích phân từng phần vế trái đẳng thức (2.92), ta có

F (x)u|∇u| 2 dx (2.93) Theo điều kiện (2.2), từ (2.93) ta rút ra λ

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic với ε > 0. Đặt ε = λ 4 , thì

Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω) 45 2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α (Ω) 47

Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn

Lu ≡ a ij (x)u x i x j + B j u x j + B(x)u = f (x), (2.95) ở đây u, f là các hàm vecto N phần tử; a ij (x) là các hàm vô hướng a ij (x)u x i x j = a ij (x).E.u x i x j ;

B j (x), B(x) là các ma trận vuông cấp N.

Ta cũng giả thiết rằng các hệ số a ij (x) của hệ (2.95) cũng thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) λ n

Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic với mọi x ∈ Ω; ε i ∈R n Đối với hệ (2.95) ta giả thiết thêm điều kiện

Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Holder C l,α (Ω) với l ≥ 2 của hệ (2.95), được chứng minh tương tự như trong phần một phương trình.

Ta đưa ra đánh giá tiên nghiệm cho |u| l,β,Ω của hệ (2.95). Định lý 2.6 Giả sử hệ (2.95) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) Khi đó, với u ∈ C l,α ( ¯ Ω), 1 ≥ 2 ta có đánh giá

Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức (2.97) với điều kiện l ≥ 2, trong đó c(l) được xác định bởi l và λ theo phương trình (2.2) cùng với các hệ số từ hệ (2.95) Giá trị của a trong bất đẳng thức (2.96) cũng được xác định bởi biên S trong không gian C l,β.

Chứng minh Do điều kiện (2.96), ta viết hệ (2.95) dưới dạng bảo toàn

(a ij u k x j ) = ˜ f k , k = 1, , N, (2.98) Với mỗi u k ∈ C l,α (Ω) của phương trình (2.98) ta có

Nếu ta mở rộng biểu thức| f ˜ k | l−2,β,Ω trong bất đẳng thức này bằng việc áp dụng các tính chất của chuẩn C l,β

(2.100) và kết hợp với giả thiết (2.96) ta thu được

Mặt khác, với u ∈ C l,β ta có bất đẳng thức

Ω |u|, (2.102) với ε là số dương bất kì và c(ε, l) → ∞ khi ε → ∞, u ∈ C l,β (Ω).

Lấy tổng các kết quả trên với k = 1, , N và chọn ε đủ nhỏ, ta thu được

2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian

Trong phần này, chúng ta giả định rằng các hệ số của hệ (2.95) thỏa mãn bất đẳng thức (2.96) theo Định lý 2.7 Giả sử biên S ∈ C l,β với l ≥ 2 và thỏa mãn các điều kiện (2.2) và (2.96) Có hai khả năng xảy ra: i) Hệ phương trình (2.95) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u ≠ 0; ii) Hệ phương trình (2.95) chỉ có nghiệm duy nhất tầm thường u ≡ 0 Trong trường hợp này, với mọi f ∈ C l−2,β (Ω) và ϕ ∈ C l,β (S), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ C l,α (Ω) cho bài toán (2.1), (2.3) Định lý 2.8 chỉ ra rằng tồn tại một số đếm được các giá trị λ = λ 1 , λ 2 , trên mặt phẳng phức λ, sao cho bài toán a ij u x i x j + B i u x j + Bu = λu, u| S = 0 có nghiệm khác không trong C l,β (Ω) Tập hợp các giá trị {λ k } tạo thành phổ của bài toán (2.1), (2.3), với mỗi λ k có bội hữu hạn và |λ k | → ∞ khi k → ∞.

Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây

- Các không gian Sobolev, Holder, định lý nhúng, định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach và không gian Hilbert.

Nghiệm suy rộng đối với hệ phương trình elliptic cấp hai dạng bảo toàn là một khái niệm quan trọng trong phân tích toán học Bài toán Dirichlet liên quan đến tính giải được Fredholm, cho phép xác định các điều kiện cần thiết để tồn tại nghiệm Ngoài ra, các tính chất định tính về độ trơn của nghiệm cũng đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về hành vi của hệ phương trình này.

Đối với lớp hệ phương trình không bảo toàn, bài viết trình bày về lớp nghiệm cổ điển trong không gian Holder Nó cũng đề cập đến các đánh giá tiên nghiệm và phát biểu, chứng minh định lý về tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian Holder.

Tiêu đề	Hệ Phương Trình Elliptic Tuyến Tính Cấp Hai
Tác giả	Phạm Lan Phương
Người hướng dẫn	PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Trường học	Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Giải Tích
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2015
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	462,61 KB