2 Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng
Từ bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của hệ (2.1), áp dụng các phương pháp như của phần một phương trình, ta có các định lý kiểu Fredholm về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng.
Định lý 2.1. Cho hệ (2.1) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4) và (2.5) trên miền Ω bị chặn. Khi đó có hai khả năng
i) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡0, fi≡0 (i= 1, . . . , n), và điều kiện biên
ϕ≡0 có nghiệm khơng tầm thường u6= 0.
ii) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡0, fi≡0 (i= 1, . . . , n), và điều kiện biên
ϕ≡0chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường u≡0.Khi đó, với mọi hàm f, fi, ϕ
trong W1,2(Ω), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ W1,2(Ω) của bài toán (2.1), (2.3).
Chứng minh. Ta đưa vào W01,2(Ω) một tích vơ hướng mới
[v, w] =
Z
Ω
aijvxiwxj +B−vwdx.
Theo điều kiện elliptic (2.2) và c1(q) + 4λ ≤0, nếu v ∈W01,2(Ω) thì [v, v]≥λ Z Ω |∇v|2≥λ1||v||2W1,2(Ω), (2.46) với λ1= λ c2 0mesn2(Ω)+1. Mặt khác, từ điều kiện (2.2) và (2.3) ta có [v, v]≤ Z Ω µ|∇v|2dx+||B−||Lq 2(Ω)||v||L 2q q−2 (Ω),
Chương 2. Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
kết hợp với (2.15) ta có
[v, v]≤c1||v||2W1,2(Ω). (2.47) Từ (2.46) và (2.47) rút ra
λ1||v||2W1,2(Ω)≤[v, v]≤c1||v||2W1,2(Ω).
Khi đó, chuẩn trong tích vơ hướng mới tương đương với chuẩn trong W01,2(Ω). Thay vì tìm nghiệm u của bài tốn (2.1), (2.3), ta chỉ cần tìm hàmv =u−ϕ từ (2.8), (2.9). Ta viết đồng nhất thức (2.8) dưới dạng
[v, η] +
Z
Ω
aijvηxi −bivxiη−B+vηdx=l(η), (2.48)
với l(η) được xác định như trong (2.10). Đặt
l1(v, η) =
Z
Ω
aijvηxi−bivxiη−B+vηdx.
Do giả thiết (2.15), ta nhận được
|l1(v, η)| ≤µh||v||L 2q q−2 (Ω)||∇η||L2(Ω)+ +||∇v||L2(Ω)||η||L 2q q−2 (Ω)+||v||L 2q q−2 (Ω)||η||L 2q q−2 (Ω) i , (2.49) và theo (2.17), dẫn tới bất đẳng thức |l1(v, η)| ≤c2(q)||v||W1,2(Ω)||η||W1,2(Ω), (2.50) với c2(q) =µc(q)[2 +c(q)].
Từ đó, suy ra |l1(v, η)| là một phiếm hàm tuyến tính của η trong W01,2(Ω) khi cố định một phần tử tùy ý v(x)∈W01,2(Ω). Theo định lý Riesz, phiếm hàm |l1(v, η)| được biểu diễn dưới dạng
|l1(v, η)|= [Av, η],∀η∈W01,2(Ω), (2.51) ở đó A là một tốn tử bị chặn trong W01,2(Ω). Từ (2.46) và (2.50), ||Av||2W1,2(Ω)≤ 1 λ1[Av, Av] = 1 λ1l1(v, Av)≤ ≤ c2(q) λ1 ||v||W1,2(Ω)||Av||W1,2(Ω).
Chương 2. Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Suy ra
||Av||W1,2(Ω)≤ c2(q)
λ1 ||v||W1,2(Ω). (2.52) Bây giờ, ta chứng minh A là một tốn tử hồn tồn liên tục trong khơng gian
W01,2(Ω). Thật vậy, giả sử {vm(x)}, m= 1,2, . . . là một dãy hội tụ trong W01,2(Ω) sao cho
||vm||W1,2(Ω) ≤c, m= 1,2, . . . .
Do toán tử A bị chặn nên {Avm}, m = 1,2, . . . , thuộc W01,2(Ω). Ngoài ra, do
W01,2(Ω) được nhúng vào Lp(Ω) với p < n−22n , là hoàn toàn liên tục, nên các dãy con {vm},{Avm} hội tụ tới các phần tử v(x) và Au(x) trong W1,2(Ω) và L 2q
q−2(Ω) tương ứng. Ta có
[Avl−Avm, Avl−Avm] =l1(vl−vm, Avl−Avm). (2.53) Áp dụng (2.49) vào vế phải (2.53) ta có
[Avl−Avm, Avl−Avm]≤c ||vl−vm||L 2q q−2(Ω)+||Avl−Avm||L 2q q−2(Ω) .
Do đó, {Avm} hội tụ trong W01,2(Ω). Từ đó, suy ra A là tốn tử hồn tồn liên tục trong W01,2(Ω).
Với các giả thiết của ϕ, f, f thì vế phải của (2.48) là hàm tuyến tính trong
W01,2(Ω). Do đó, với mọi F ∈W01,2(Ω) và η thì
l(η) = [F, η]. (2.54) Áp dụng (2.51) và (2.54) vào đẳng thức (2.48) ta có
[v+Av, η] = [F, η]. (2.55)
Với η∈W01,2(Ω) bất kỳ, (2.55) tương úng với phương trình tốn tử
v+Av=F (2.56)
trong W01,2(Ω).
Do A là tốn tử tuyến tính compact trong W01,2(Ω), nên theo định lý Fredholm, phương trình (2.56) có nghiệm duy nhất v với F ∈ W01,2(Ω) bất kỳ nếu phương trình thuần nhất
w+Aw = 0 (2.57)
có nghiệm duy nhất w≡0.
Chương 2. Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Định lý 2.2. Tồn tại một số đếm được các giá trị λ=λ1, . . . , trong mặt phẳng phức λ sao cho bài tốn
∂
∂xi(aijuxj +Aiu) +Biuxi +Bu =λu, u|S = 0,
có nghiệm khác không trong W1,2(Ω). Tập hợp tất cả các giá trị riêng {λk} tạo thành phổ của bài toán (2.1), (2.3). Mỗi giá trị λ có bội hữu hạn và |λk| → ∞
khi k → ∞.
2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng2.3.1 Đánh giá max