Hsg hh8 chuyên đề tổng hợp những bài hình qua đề hsg và toán chuyên (205 trang)

1 HH8-CHUYÊN ĐỀ.TỔNG HỢP NHỮNG BÀI HÌNH QUA ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Bài 1: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E, F , G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA M giao điểm CE DF a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng b) Chứng minh DF  CE MAD cân c) Tính diện tích MDC theo a Bài 2:Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N 1) 2) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC  2EF 3) Chứng minh : 1   2 AD AM AN Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngồi hai tam giác ABE; ACF , lại dựng hình bình hành AEPF Chứng minh PBC tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC có BC  15cm, AC  20cm, AB  25cm a) b) Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC Gọi CD đường phân giác ACH Chứng minh BCD cân c) Chứng minh: BC  CD  BD  3CH  2BH  DH 2 2 2 Bài 5:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M,N thứ tự trung điểm BC AC.Các đường trung trực BC AC cắt O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN ,  AHB đồng dạng với tam giác nào? b) Gọi G trọng tâm  ABC , chứng minh  AHG đồng dạng với  MOG ? c) Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ? Bài 6:Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB BC a) Tính diện tích tứ giác AMND b) Phân giác góc CDM cắt BC E Chứng minh DM  AM  CE Bài 7:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD, CE hai đường cao tam giác cắt điểm H Chứng minh rằng: a) HD.HB  HE.HC b) HDE c) BH BD  CH CE  BC HCB Bài 8:Cho tam giác ABC Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ đường thẳng song song với cạnh AB BC cắt BC E AB F Hãy xác định vị trí M AC cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn Bài 9:Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD  CE  BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB  CK Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, cho M khác A C Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE  CM a) Gọi O trung điểm cạnh BC Chứng minh OEM vuông cân b) Đường thẳng qua A song song với ME , cắt tia BM N Chứng minh : CN  AC c) Gọi H giao điểm OM AN Chứng minh tích AH AN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AC Bài 11:Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H HD HE HF   AD BE CF a) Tính tổng b) Chứng minh : BH BE  CH CF  BC c) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF d) Trên đoạn HB, HC lấy điểm M , N tùy ý cho HM  CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Bài 12: Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB  AC.BD b) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC  CM c) Từ M kẻ MH vng góc AB I Chứng minh BC qua trung điểm MH Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC  DH DA b) Chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M , N , P, Q, I , K trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB , HD HE HF    AD BE CF EF , FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Bài 14: Cho tam giác ABC cân A có AB  AC  b; BC  a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b   b a  a  b 2 Bài 15: Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: EF / / AB a) AB2  EF CD b) Gọi S1 , S2 , S3 S theo thứ tự diện tích tam giác OAB, OCD, OAD OBC Chứng minh S1.S2  S3.S4 Bài 16: Cho tam giác ABC (cân A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm cặp tam giác vng đồng dạng ? Giải thích ? b) Cho AH  10cm, BK  12cm Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC c) Gọi I giao điểm AH BK, tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác BCI tam giác ? Bài 17: Cho hình vng ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA E, tia Cx vng góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho tứ giác ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 18: Hình vng ABCD có E F thuộc tia đối CB DC cho DF  BE Từ E kẻ đường song song với AF từ F kẻ đường song song với AE Hai đường giao I Tứ giác AFIE hình ? Bài 19: 19.1: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G Chứng minh: a) Tứ giác EGFK hình thoi b) AF2 = FK.FC c) Chu vi tam giác EKC không đổi E thay đổi BC 19.2: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b đường phân giác góc A AD = d Chứng minh rằng: 1   b c d Bài 20: Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao Gọi M, N giao điểm ba đường phân giác tam giác AHB AHC MN cắt AB, AH, AC I, E, K a) Chứng minh : BM vng góc với AN b) Chứng minh : ME.NK  MI NE c) Biết diện tích tam giác ABC S Tính diện tích lớn tam giác AIK theo S Bài 21: Cho tam giác ABC cân A, có A  20 Trên AB lấy điểm D cho AD  BC Tính số đo BDC ? Bài 22: Cho tam giác ABC cân A, có BC  a khơng đổi Gọi I trung điểm BC Lấy P  AB Q  AC cho PIQ  ABC Vẽ IK  AC  K  AC  a) Chứng minh tích BP.CQ khơng đổi b) Chứng minh PI tia phân giác góc BPQ , QI tia phân giác PQC c) Gọi chu vi tam giác APQ b, chứng minh b  AK Tính b theo a BAC  600 Bài 23: a) Cho tam giác ABC , gọi M, N trung diểm BC , AC Gọi O, G, H giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến tam giác ABC Tính tỉ số GH : GO b) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB  2a, CD  a Hãy dựng điểm M đường thẳng CD cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc ABC  60 Hai đường chéo cắt O, E thuộc tia BC cho BE ba phần tư BC , AE cắt CD F Trên đoạn thẳng AB CD lấy hai điểm G H cho CG song song với FH a) Chứng minh : BG.DH  b) Tính số đo góc GOH BC Bài 25: Cho tam giác ABC , ba điểm M , N , P thuộc cạnh BC, CA, AB cho BM CN AP BM   &  Chứng minh hai tam giác ABC MNP có BC CA AB BC Bài 26: Tứ giác ABCD có B  D  180 CB  CD Chứng minh AC tia phân giác góc A Bài 27: Một tam giác có đường cao đường trung tuyến chia góc đỉnh thành ba phần Tính góc tam giác Bài 28: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Gọi M , N trung điểm AB, BC Gọi P giao điểm AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM tam giác vng b) Tính diện tích tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD tam giác cân Bài 29: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC , vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB AC E F a) Chứng minh DE  DF  AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF Ký hiệu S X diện tích hình X Chứng minh S FDC  16S AMC S FNA Bài 30: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’ Bài 31: Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vng góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’ Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác a) Chứng minh: HA ' HB ' HC '   1; AA' BB ' CC ' b) Chứng minh: AA ' BB ' CC '   9; HA' HB ' HC ' Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E t y ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E Bài 34: Cho hình vuông ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh DE = CF; DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH  AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD, N trung điểm BH a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; b) Tính góc BMK Bài 36: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F.Chứng minh S DEF  S ABC Với vị trí hai điểm E F S DEF đạt giá trị lớn nhất? Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân; b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE // BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, A  900 Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA E Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC;  BC b) BD.BE  CACE c) ADE  450 Bài 40: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F.Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi; b) AKF CAF , AF  FK FC ; c) Khi E thay đổi BC, chứng minh: EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Chứng minh rằng: BKC  BAC  BDC Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Cmr: a) MA MB  ; ND NC b) MA MB  NC ND c) MA  MB, NC  ND Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự E F Tính độ dài EF, biết DE = 10 Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I điểm cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K Đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D, E Chứng minh DE =BK Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm CD,CB Gọi O giao điểm AE DF ; OA = 4OE; OD  OF Chứng minh ABCD hình bình hành Bài 46: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Cmr: IA KB  ID KC Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với hai cạnh Chúng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự H, K Cmr: a)Tổng AH AK  không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC AB AC b)Xét trường hợp tương tự M chạy đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC Bài 48: Cho tam giác ABC cạnh a, M điểm tam giác ABC Chứng minh rằng: MA  MB  MC  a Bài 49: Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Cmr: a) Tứ giác ANFM hình vuông; b) Điểm F nằm tia phân giác MCN ACF  900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) Bài 50: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D cạnh BC cho BD = 2DC Cmr: BM vng góc với AD Bài 51: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh : AE = AB ; b) Gọi M trung điểm BE Tính AHM Bài 52: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh: BD.CE.BC  AH ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vng cân Bài 53: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, cạnh BH lấy điểm M đoạn CH lấy điểm N cho AMC  ANB  900 Chứng minh rằng: AM = AN Bài 54: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD ACF vuông cân B C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Cmr: a) AH =AK b) AH  BH CK ; Bài 55: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh BC, AC theo thứ tự D E cắt cạnh BA F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F song song với BC cắt AH I Cmr: FI = DC Bài 56: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD đường trung tuyến AM Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vng góc với AC Gọi N giao điểm HK AM Cmr : NI vng góc với BC Bài 57: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt cạnh AB, AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Cmr: HM vuông góc với PQ Bài 58: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi E điểm thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Cmr: MN tia phân giác góc KNE Bài 59: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC M cắt cạnh đáy AB K Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD I cắt cạnh AB F Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC P Cmr: a) MP / / AB b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng c) DC  AB.MI Bài 60: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt đường thẳng BC, DC theo thứ tự K, G CMR: a) AE  EK EG ; b) 1   AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi Bài 61: Cho tam giác ABC đều, điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho AD = BE Gọi M điểm thuộc cạnh BC Vẽ MH // CD, MK //BE (H  AB; K  AC) Cmr: Khi M chuyển động cạnh BC tổng MH + MK có giá trị khơng đổi Bài 62: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a) Chứng minh: tam giác ADI cân b) Chứng minh: AD.BD  BI DC c) Từ D kẻ DK vng góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều Bài 63: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo c ng tỉ số Cmr: AE = DF; AE  DF Bài 64: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, AB  CD Gọi E,F theo thứ tự trung điểm AB,CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Tính diện tích tứ giác EMFN theo S Bài 65: Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Điểm N cạnh CD cho CN =2 ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Cmr: S APQ  S AMN Bài 66: Cho góc xOy điểm M cố định thuộc miền góc Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự A,B Gọi S1 , S2 theo thứ tự diện tích tam giác MOA, MOB Cmr: 1  không đổi S1 S2 Bài 67: Cho tam giác ABC Các điểm D,E,F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2 Các điểm I, K theo thứ tự chia cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2 Chứng minh: IK //BC Bài 68: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK// AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự E, F Cmr: EI =IK = KF Bài 69: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên tia HC lấy điểm K cho AH = HK Vẽ KE  BC  E  AC  a) Gọi M trung điểm BE Tính BHM b) Gọi G giao điểm AM vói BC Chứng minh: GB AH  BC HK  HC Bài 70: Cho tam giác ABC, A  900 , đường cao AH, đường trung tuyến BM cắt AH I Giả sử BH = AC Chứng minh: CI tia phân giac ACB Bài 71: a) Cho tam giác ABC có A  1200 , AB  3cm, AC  6cm Tính độ dài đường phân giác AD b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn 1   Tính BAC AD AB AC Bài 72: Cho tam giác ABC có AB  6cm, AC  8cm , đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài BC 10 Bài 73: Cho hình vng ABCD Trên tia BC lấy điểm M nằm đoạn BC tia CD lấy điểm N nằm đoạn CD cho BM = DN Đường vng góc với MA M đường vng góc với NA N cắt F Chứng minh: a) AMFN hình vng; b) CF vng góc với CA Bài 74: Cho hình vng ABCD có giao điểm đường chéo O Kẻ đường thẳng d qua O Chứng minh rằng: Tổng bình phương khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng d số không đổi Bài 75: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm O tam giác vẽ OD  BC  D  BC  , OE  CA  E  CA , OF  AB  F  AB  Tìm vị trí điểm O để tổng OD2  OE  OF đạt giá trị nhỏ Bài 76: Cho hình thang vng ABCD có A  D  900 , AB  7cm, DC  13cm, BC  10cm Đường trung trực BC cắt đường thẳng AD N Gọi M trung điểm BC Tính MN Bài 77: Cho tam giác ABC vuông A Dựng AD vng góc với BC D Đường phân giác BE cắt AD F Chứng minh: FD EA  FA EC Bài 78: Cho tam giác ABC Kẻ phân giác ngồi góc B cắt AC I D ( theo thứ tự A, I, C, D ) Từ I D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB M N a) Tính AB MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI E cắt BD F Chứng minh: BI IC  AI IE CE  CF Bài 79: Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA = CK ; BA = BL b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh IHJ tam giác vuông cân Bài 80: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành đoạn thẳng BD = 2cm, DC = 4cm Đường trung trực AD cắt đường thẳng BC K Tính độ dài KD Bài 81: Cho tam giác ABC có AM đường trung tuyến, AD đường phân giác Biết AC = 9cm, AB = 6cm, diện tích tam giác ABC 24cm2 Tính diện tích tam giác ADM Bài 82: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB AC theo thứ tự E F 191   BEC =  ADC ( cặp góc tương ứng) (1) Lại có: HA = HD (gt)   AHD vng cân H   ADH = 450   ADC = 1350 (2) Từ (1) (2)   BEC = 1350 c) Ta có :  BEC = 1350 (cm ý b) Mà  BEC +  BEA =1800   BEA = 450   ABE vu«ng cân A M M l trung im ca BE nên tia AM tia phân giác góc BAC Suy ra: GB AB (t/c đường phân giác tam giác) (3)  GC AC Mà  ABC đồng dạng với  DEC (cm ý a)  AB ED  AC DC (4) Lại có ED // AH (C ng vng góc với BC)  AH ED (hệ định lí Talet)  HC DC Mặt khác AH = HD (gt)  AH ED HD = (5)  HC DC HC Từ (3), (4) (5)  GB HD GB HD GB HD      GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC Bài 195: Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ), kẻ đường cao AH đường trung tuyến AM ( H , M  BC ) Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng: a) DE  BH HC b) AH  AD.DB  AE EC c) DE vng góc với AM Giả sử diện tích tam giác ABC lần diện tích tứ giác ADHE Chứng minh tam giác ABC vuông cân Lời giải 192 A E O D B H C M a) Chứng minh: DE  BH HC Xét AHB CHA Có AHB  AHC  900 , B  CAH (vì c ng phụ với BAH  AHB  CHA (g-g)  AH HB   AH  BH CH CH HA Lại có AH  BC, HE  AC, HD  AB nên D  H  E  900  Tứ giác ADHE hình chữ nhật  DE  AH  DE  DH CH b Chứng minh: AH  AD.DB  AE EC Chứng minh HDB  ADH  HD2  AD.DB Chứng minh AHE  ACH  HE  AE.EB Mà tứ giác ADHE hình chữ nhật nên DH  AE Do HD2  HE  AE  HE = AH = AD.DB  AE.EC ( Định lý Pytago áp dụng vào tam giác vuông AEH ) c) Chứng minh: DE  AM Gọi O giao điểm AH DE , Tứ giác ADHE hình chữ nhật nên OA  OE  OAE cân O  HAE  AED ABC vuông A , có M trung điểm BC nên MA  MB  MC  MAC cân M  MAC  MCA  AED  MAC  HAE  MCA  900  DE  AM Theo giả thiết S ABC  2S ADHE  4S ADE hay S AED  S ABC (1) 193 Ta có  S AED AE AD ( AE AC ).( AD AB) AH    S ABC AB AC ( AB AC )2 ( AB AC )2 AH AH AM    (2) ( AH BC )2 BC BC Từ (1) (2)  AH AM   AH  AM  H  M nên ABC vuông cân A BC BC Bài 196: Cho hình chữ nhật ABCD,AB  2AD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm P cho AM  CP Kẻ BH vng góc với AC H Gọi Q trung điểm CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC N a) b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vng góc với NP c) Đường thẳng AP cắt DC điểm F Chứng minh 1   2 AB AP 4AF2 Lời giải A M B N K E H D a) Q P C Chứng minh DH / /BK(1) Chứng minh AHD  CKB  DH  BK (2) Từ (1) (2) suy tứ giác MNPQ hình bình hành b) Gọi E trung điểm BK, chứng minh QE đường trung bình KBC nên 1 BC  AD 2 Chứng minh AM  QE AM / /QE  AMQE hình hành QE / /BC  QE  AB (vì BC  AB) QE  Chứng minh AE / /NP / /MQ   Xét AQB có BK QE hai đường cao tam giác nên E trực tâm tam giác nên AE đường cao thứ ba tam giác AE  BQ  BQ  NP 194 c) A B P G D C F Vẽ tia Ax vng góc với AF Gọi giao Ax với CD G Chứng minh GAD  BAP (cùng phụ với PAD)  ABP  g.g   AP AB    AG  AP AG AD Ta có: AGF vng A có AD  GF nên AG.AF  AD.GF   2S AGF   AG2 AF2  AD2 GF2 1 Ta chia hai vế (1) cho AD2 AG2 AF2 mà AG2  AF2  GF2 (đl Pytago) 1 1 1      2 2 2 AD AG AF 1  1  AF  AB   AP      4 1 1       2 2 AB AP AF AB AP 4AF2  Bài 197: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh : EA.EB  ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD  CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH  BC  H  BC  Gọi P,Q trung điểm đoạn thẳng BH,CH Chứng minh CQ  PD Lời giải 195 E A D M Q B P I H C d) Chứng minh EBD ECA  g  g   EB ED   EA.EB  ED.EC EC EA e) Kẻ MI  BC  I  BC  Ta có : BIM BDC  g.g   BM BI   BM.BD  BI.BC BC BD Tương tự: ACB ICM  g  g   (1) CM CI   CM.CA  CI.BC (2) BC CA Từ (1) (2) suy BM.BD  CM.CA  BI.BC  CI.BC  BC  BI  CI   BC2 (Không đổi) f)  BHD DHC(g.g) BH BD 2BP BD BP BD      DH DC 2DQ DC DQ DC Chứng minh được: DPB CQD  g.g   BDP  DCQ Mà BDP  PDC  900  DCQ  PDC  900  CQ  PD Bài 198: Cho tam giác ABC vng A có AM phân giác  M  BC  Đường thẳng qua M vng góc với BC cắt đường thẳng AB N Chứng minh MN  MC Lời giải 196 N A K H C B M Kẻ MH  AB H , MK  AC K  AHMK hình vng  MH  MK (1) Ta có: MCA  MNA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (2) Từ (1) (2)  MHN  MKC  ch  cgv   MN  MC Bài 199: Cho hình vng ABCD có cạnh 20cm Trên cạnh CD lấy điểm M Đường thẳng vng góc với BM M cắt AD N a) Cho MC  15cm Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí M cạnh CD để ND có độ dài lớn Lời giải A B N D a) M Hai tam giác vng BCM MDN có: CBM  DMN (c ng phụ với BMC) C 197 ND MD  (*) MC BC MC.MD 15  20  15   ND    3,75  cm  BC 20  AN  AD  ND  20  3,75  16, 25  cm   BCM MDN  Ta có: SBMN  SABCD  SBCM  SDMN  SABN 1  202  20.15  5.3,75  20.16, 25  78,125(cm ) 2 b) Đặt MC  x   x  20   x  10   MC.MD x  20  x  20x  x2    5 Từ  *   ND  BC 20 20 20  Độ dài ND lớn ND  5cm x  10 hay M trung điểm CD Vậy để độ dài ND lớn vị trí M trung điểm CD Bài 200: Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC  M  B,C  Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE  CM a) Chứng minh : OEM vuông cân b) Chứng minh: ME / /BN c) Từ C kẻ CH  BN  H  BN  Chứng minh ba điểm O,M,H thẳng hàng Lời giải E A B O M H D a) Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có: OB=OC C N 198 Và B1  C1  450 , BE  CM(gt)  OEB  OMC  c.g.c   OE  OM O1  O3 Lại có: O2  O3  BOC  900 tứ giác ABCD hình vng  O2  O1  EOM  900 kết hợp với OE  OM  OEM vuông cân O Từ giả thiết tứ giác ABCD hình vuông  AB / /CD AB = CD b) +) AB / /CD  AB / /CN  AM BM  (định lý Ta let) (*) MN MC Mà BE  CM(gt) AB  Cd  AE  BM thay vào  *  Ta có: AM AE   ME / /BN (Ta let đảo) MN EB c) Gọi H' giao điểm OM BN Từ ME / /BN  OME  OH'E (cặp góc so le trong) Mà OME  450 OEM vng cân O  MH' B  450  C1  OMC  BMH'(g.g) OM MH'  , kết hợp OMB  CMH' (hai góc đối đỉnh) OB MC  OMB CMH'(c.g.c)  OBM  MH'C  450 Vậy BH'C  BH'M MH'C 90 CH' BN Mà CH  BN  H  BN   H  H' hay điểm O,M,H thẳng hàng (đpcm) Bài 201: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE, BF,CG cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB,AC I K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC  ND,HI  HK c) Chứng minh AH BH CH   6 HE HF HG Lời giải 199 A F K G H I B E M C N D a) Ta có AEC BFC(g.g)  Xét ABC EFC có CE CA  CF CB CE CA  , CF CB C chung  ABC EFC(cgc) b) Vì CN / /IK,HM  IK  HM  CN  M trực tâm HNC  MN  CH mà CH  AD (H trực tâm ABC)  MN / /AD Do M trung điểm BC  NC  ND IH AH  (Vi IH / /DN) DN AN  IH  IK c) Ta có: AH S AHC S ABH S AHC  S ABH S AHC  S ABH     HE SCHE S BHE SCHE  S BHE S BHC Tương tự ta có:  HK AH  (Vi KH / /CN) CN AN BH S BHC  S BHA  ; HF S AHC CH S BHC  S AHC  HG S BHA AH BH CH S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC         6 HE HF HG S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA Dấu "  " xảy ABC mà theo gt AB  AC nên không xảy dấu Bài 202: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', H trực tâm a) HA ' HB ' HC '   AA ' BB ' CC ' Tính tổng 200 b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM , IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI CM  BN IC.AM c) Chứng minh rằng:  AB  BC  CA AA '2  BB '2  CC '2 4 Lời giải x A B' C' M N C B A' I S HAB HA '.BC HA ' a)   S ABC AA '.BC AA ' S HC ' S HAC HB ' Tương tự: HAB  ;  S ABC CC ' S ABC BB ' HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC       1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI , AIC : BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC    1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI AN CM  BN IC AM c) Vẽ Cx  CC ' Gọi D điểm đối xứng A qua Cx Chứng minh góc BAD vng, CD  AC, AD  2.CC ' Xét điểm B, C , D ta có : BD  BC  CD BAD vuông A nên : AB2  AD2  BD2 D 201  AB  AD   BC  CD  AB  4CC '2   BC  AC  2 4CC '2   BC  AC   AB 2 Tương tự: AA '2   AB  AC   BC 2 BB '2   AB  BC   AC 2  Chứng minh được: AA '  BB '  CC '   AB  BC  AC  2    AB  BC  AC  2 4 AA '2  BB '2  CC '2 Đẳng thức xảy  BC  AC, AC  AB, AB  BC  AB  AC  BC  ABC Bài 203: 1) Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E.Đường thẳng AH cắt DC F d) e) Chứng minh BM  ND Tứ giác EMFN hình f) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC 2) Cho tam giác ABC có BAC  90 , ABC  20 Các điểm E F nằm cạnh 0 AC, AB cho ABE  10 ACF  30 Tính CFE 0 Lời giải 202 A B d E M O N D C F H 4.1 a) Do ABCD hình vng nên  A1  MAD  90 (1) mà AMHN hình vng  A2  MAD  90 (2) Từ 1 ;   suy A1  A2 Do đó, AND  AMB  c.g.c   B  D1  90 BM  ND b) Do ABCD hình vng  D2  90  NDC  D1  D2  900  900  1800  N , D, C thẳng hàng Gọi O giao điểm hai đường chéo AH , MN hình vng AMHN  O tâm đối xứng hình vng AMHN  AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F  AH  EN  EM FM  FN  (3)  EOM  FON OM  ON ; N1  M  O1  O2  EM  FN (4) 203 Từ  3 ;    EM  NE  NF  FM  MEMF hình thoi (5) c) Từ (5) suy FM  FN  FD  DN Mà DN  MB  MF  DF  BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng a Ta có: P  MC  CF  MF  MC  CF  BM  DF (Vì MF  DF  MB)   MC  MB    CF  FD   BC  CD  a  a  2a Do đó, chu vi tam giác MCF khơng đổi M thay đổi BC 4.2 Xét ABC có BAC  90 , ABC  20  ACB  70 0 ACF có CAF  900 , ACF  300  FC  AF Gọi D trung điểm BC G điểm AB cho GD  BC Khi đó, ABC DBG  BD BA  BG BC GCB  GBC  200  GCF  200 Do CG BE tia phân giác BCF ABC nên: FC BC BA AE  ;  FG BG BC EC 1 FC BC BD BA AE AF AF AE        Do đó, FG FG BG BG BC EC FG EC Từ suy CG / / EF (Định lý Talet đảo)  CFE  GCF  20 Bài 204: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  có AD tia phân giác BAC Gọi M N hình chiếu D AB AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN 1) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF / / BC 2) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA H trực tâm AEF 204 3) Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, giao điểm BK AD I Chứng minh : BI AO DM   9 KI KO KM Lời giải A N M H E B 1) LF K OD C *Chứng minh tứ giác AMDN hình vng +) Chứng minh AMD  90 ; AND  90 ; MAN  90 Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật 0 +)Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vng *Chứng minh EF // BC FM DB  (1) FC DC DB MB Chứng minh:  (2) DC MA MB MB Chứng minh AM  DN   (3) MA DN MB EM Chứng minh  (4) DN ED EM FM Từ 1 ,   ,  3 ,   suy   EF / / BC ED FC 2) Chứng minh ANB NFA AN DN  (5) Chứng minh AN  DN suy AB AB DN CN  (6) Chứng minh AB CA +) Chứng minh : 205 Chứng minh CN FN  CA AM (7) FN FN  (8) AM AN AN FN Từ (5) (6) (7) (8) suy   ANB NFA  c.g.c  AB AN Chứng minh AM  AN Suy *chứng minh H trực tâm tam giác AEF NFA nên NBA  FAN 0 Mà BAF  FAN  90  NBA  BAF  90 Suy EH  AF , Tương tự: FH  AE , suy H trực tâm AEF 3) Đặt S AKD  a, S BKD  b, S AKB  c Khi đó: Vì ANB S ABD S ABD S ABD a  b  c a  b  c a  b  c      S AKD S BDK S AKB a b c b a a c  b c  3       a b c a c b b a Theo định lý AM-GM ta có:   a b a c b c Tương tự :   ;  2 c a c b BI AO DM Suy   9 KI KO KM Dấu "  " xảy ABD tam giác đều, suy trái với giả thiết