550 bài hình thi vào 10 NCT

CẨM NANG HÌNH ƠN THI VÀO 10 CHO 2K5 550 BÀI TỐN HÌNH ĐỀ THI VÀO 10 TRONG: ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ THI THỬ CÓ ĐÁP ÁN Gv: Nguyễn Chí Thành Tổng hợp – Biên Soạn O Bài Cho đường tròn   đường kính AB  2R  10cm Gọi C trung điểm OA , Qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ MB , H giao điểm AK MN Chứng minh: a) Tứ giác BHCK nội tiếp, AMON hình thoi b) AK AH  R tính diện tích hình quạt tao OM , OB cung MB c) Trên KN lấy I cho KI  KM , chứng minh NI  KB d) Tìm vị trí điểm K để chu vi tam giác MKB lớn Hướng dẫn a) Vì K nằm đường tròn tâm  O; OA  nên AKB  90  HKB  90( H  AK ) MN vng góc AB (gt) nên MCB  90  HCB  90( H  MN ) Mà HCB; HKB góc đối HCB  HKB  90  90  180  Tứ giác BHCK nội tiếp (dhnb) +) Xét  O  MN dây cung, AB đường kính Mà MN vng góc AB C (gt) Nên C trung điểm MN (liên hệ đường kính dây cung) Mà C trung điểm OA (gt)  Tứ giác AMON hình bình hành (dhnb) Mà MN vng góc OA (gt)  Nên AMON hình thoi (đpcm) b) Xét  AHC  ABK có: A góc chung ACH  AKB  90   AHC ∽  ABK (g-g)  AH AC   AH AK  AB AC  2R R  R (đpcm) AB AK Theo a) AMON hình thoi nên AM  MO  OA  R LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Gv: Nguyễn Chí Thành Ta có tam giác AMO  AMO  60  MOB  120 (tc kề bù) *) SMOB  Tổng hợp – Biên Soạn 120 R  R  360 Mà 2R  10cm nên R  5cm Do SMOB  25 c) Dễ dàng chứng minh MB  NB  Tam giác MNB cân (đ/n) Mà MKN  MBN  60 NMI  KMB  IMB  NMB  60 KMB  IMB  KMI  60 NMB  MAO (cùng phụ với MBA ) Mà MAO  60o (tam giác AMO đều)  Tam giác MNB (tam giác cân có góc 60 ) (1) Chứng minh tương tự ta có tam giác MKI cân Mà MKN  MBN  60 ( hai góc nội tiếp chắn cung NM ) Nên tam giác MIK đều.(2) Từ ta có: NMI  IMB  NMB  60 KMB  IMB  KMI  60 Nên ta có: NMI  KMB (cùng cộng với IMB 60 ) Xét MNI MBK có: +) MI  MK ( MIK đều) +) NMI  KMB (cmt) +) MN  MB ( NMB đều)  NI  BK (2 cạnh tương ứng) d) Chu vi MKB  MK  KB  MB Mà KB  NI ; MK  KI PMKB  MK  KB  MB  KI  NI  MB  NK  MB Mà MB cố định Nên PMKB lớn NK lớn Mà NK dây cung lớn NK đường kính Khi N , O , K thẳng hàng Vậy K điểm cung MB LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Gv: Nguyễn Chí Thành Tổng hợp – Biên Soạn O , R Bài Cho nửa đường tròn   đường kính AB Bán kính OC  AB Điểm E thuộc đoạn OC Tia AE cắt nửa đường tròn  O  M Tiếp tuyến nửa đường tròn M cắt OC D Chứng minh: a)Tứ giác OEMB nội tiếp MDE cân b)Gọi BM cắt OC K Chứng minh BM BK không đổi E di chuyển OC tìm vị trí E để MA  2MB c)Cho ABE  300 tính Squat MOB chứng minh E di chuyển OC tâm đường tròn ngoại tiếp CME thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn K a)Tứ giác OEMB nội tiếp MDE cân D * Tứ giác OEMB có: M C  EOB  EMB  180 E Mà hai góc vị trí đối  OEMB tứ giác nội tiếp 30° A O B * Vì tứ giác OEMB nội tiếp  DEM  OBM (tính chất góc ngồi tứ giác nội tiếp) Lại có: OBM  EMD (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AM)    DEM  EMD  OBM  DEM cân D (ĐPCM) b)Gọi BM cắt OC K Chứng minh BM BK không đổi E di chuyển OC tìm vị trí E để MA  2MB * có AMB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét AMB KOB có: AMB  KOB   90  ABK góc chung  AMB ∽ KOB  g  g   AB BM   BM BK  AB.BO  2R.R  2R2 (không đổi) BK BO * Với MA  2MB Vì AMB vng M nên tan MAB  MB 1 OE R   tan MAB  tan EAO     EO  MA 2 AO 2 Vậy để MA  2MB E trung điểm OC c)Cho ABE  300 tính Squat MOB chứng minh E di chuyển OC tâm đường tròn ngoại tiếp CME thuộc đường thẳng cố định LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Tổng hợp – Biên Soạn Gv: Nguyễn Chí Thành K D C I H M E 30° A O B * Ta thấy OK đường trung trực đoạn AB Mà E  OK  EA  EB  EAB cân E  EAB  EBA  30  MOB  2.EAB  60 (quan hệ góc tâm góc nội tiếp chắn cung MB) 60. R  R  Squat MOB   360 * Nối C với B; gọi H trung điểm CE, I tâm đường tròn ngoại tiếp CEM  CIE cân I Do IH đường trung tuyến nên IH đồng thời đường cao, đường phân giác  IH  CE; CIH  CIE  CME Lại có CME  CBA (hai góc nội tiếp chắn cung AC)   CIH  CBA  CME   HCI  OCB (Vì IH  CE; OB  CO)  C, I , B thẳng hàng  I chuyển động đường thẳng CB cố định (ĐPCM) Bài Cho ABC nội tiếp  O; R  kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK  AM K , BK cắt CM E , R  6cm Chứng minh: a)Tứ giác ABHK nội tiếp MBE cân b)Tứ giác BOCD hình thoi gọi BE cắt  O  N tính Squat MON c)Tìm vị trí M để chu vi MBE lớn tìm quỹ tích điểm E M di chuyển cung nhỏ AC Hướng dẫn LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Tổng hợp – Biên Soạn Gv: Nguyễn Chí Thành E A N K O B M C H D a)Tứ giác ABHK nội tiếp MBE cân * Vì AB  AC (ABC đều) OB  OC   R   AO đường trung trực đoạn BC  AO  BC H  AHB  90 Xét tứ giác AKHB có: AHB  AKB  90 Mà hai góc vị trí kề đối  ABHK tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB * Có A, M , C , B   O   AMCB tứ giác nội tiếp  AME  ABC  60 Lại có AMB  ACB  60  KME  KMB   60   MK đường phân giác đường cao MBE  MBE cân M (ĐPCM) b)Tứ giác BOCD hình thoi gọi BE cắt  O  N tính Squat MON * Có BOC  BAC  120 ( quan hệ góc tâm góc nội tiếp chắn cung) BOC cân O có OH đường cao đồng thời đường phân giác  BOH  BOC  60 Lại có BDA  BCA  60  BOD  OB  BD  OD  R Chứng minh tương tự OC  CD  OD  R Ta OB  BD  OC  CD  R  OBDC hình thoi (dấu hiệu nhận biết) * Có BKM vng K  KBM  KMB  90  KBM  60  90  KBM  30 Lại có NOM  2.NBM  2.30  60  Squat MON  60. R  R  360 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Gv: Nguyễn Chí Thành Tổng hợp – Biên Soạn c)Tìm vị trí M để chu vi MBE lớn tìm quỹ tích điểm E M di chuyển cung nhỏ AC * Gọi P chu vi MBE P  MB  ME  BE   MB  BK  * Có BKM vuông K  BK  MB.sin BMK  MB.sin 60   MB   P   MB Để P lớn MB lớn  MB đường kính  O   M điểm AC nhỏ * Nối A với E Vì AM đường trung trực đoạn BE nên AE = AB Do AB không đổi, điểm A cố định nên E thuộc đường tròn cố định (A, AB) Giới hạn: Kẻ đường thẳng qua B vng góc với AC cắt  A, AB  P Lấy điểm Q đối xứng với C qua A Khi M  C  E  P Khi M  A  E  Q Vậy M di chuyển cung nhỏ AC E di chuyển cung nhỏ PQ đường tròn  A, AB  Q E A P N K M O B C H D Bài Cho  O, R  có đường kính BC , A điểm cung BC , lấy M trung điểm BO , kẻ ME  AB E , kẻ MF  AC F Chứng minh: a)Năm điểm A, E, M , O, F thuộc đường tròn BE.BA  BO.BM b)Kẻ tiếp tuyến  O  A cắt MF K chứng minh ME  KF kẻ đường kính AD , kẻ ME cắt DC H , tia NM cắt  O  D Chứng minh MDH  FEM LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Gv: Nguyễn Chí Thành Tổng hợp – Biên Soạn c)Chứng minh M di chuyển BC MN qua điểm cố định Hướng dẫn A K F E B M C O H D a) Năm điểm A, E, M , O, F thuộc đường tròn BE.BA  BO.BM * Do AEM  AOM  AFM  90  E , O, F thuộc đường tròn đường kính AM Hay năm điểm A, E, M , O, F thuộc đường tròn đường kính AM * Xét BEM BOA có: BEM  AOB   90  ABO góc chung  BEM ∽ BOA  g  g   BE BM   BE.BA  BM BO BO BA b) Kẻ tiếp tuyến  O  A cắt MF K chứng minh ME  KF kẻ đường kính AD , kẻ ME cắt DC H Chứng minh MDH  FEM * Vì A điểm cung BC , BC đường kính  sđ AB nhỏ = sđ AC nhỏ = 90  EBM  45   EBM , FAK vuông cân  EM  EB; FA  FK KAF  45   Lại có tứ giác AEMF có ba góc vng nên hình chữ nhật  ME  FA Suy ME  KF *Chứng minh tương tự ta có: ME  DH ACD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AB CD (cùng vng góc với AC) Mà HE  AB  GT   HE  CD  MHC  90  MHCF tứ giác có ba góc vng nên hình chữ nhật Mặt khác CM tia phân giác ACD  MHCF hình vng  MF  MH * Xét MDH FEM có: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Tổng hợp – Biên Soạn Gv: Nguyễn Chí Thành ME  DH (CMT) MF  MH  CMT  FME  MHD   90   MDH  FEM  2cgv  c) Chứng minh M di chuyển BC MN ln qua điểm cố định (Đề sai) Bài Cho đoạn thẳng MP , lấy điểm N nằm M P Vẽ  O  đường kính NP Lấy H trung điểm MN Qua H kẻ đường thẳng d vng góc với MN Kẻ tiếp tuyến HQ với  O  Q Tia PQ cắt d K Chứng minh: a) Tứ giác KHNQ nội tiếp NPQ  HKN b) MKP  90 PQ.PK  PN PH c) HQ  PQ.PK  PH cho HKN  30 , R  cm Tính diện tích hình quạt NOQ d) Lấy I trung điểm KN Chứng minh chu vi đường tròn ngoại tiếp QOI không đổi N di chuyển MP Hướng dẫn d K Q I M H N O P a) Vì Q   O  đường kính NP  NQP  90  NQK  90 Xét tứ giác KHNQ có KHN KQN hai góc đối mà KHN  KQN  90  90  180 Suy tứ giác KHNQ nội tiếp (dhnb) Vì KHNQ tứ giác nội tiếp (cmt)  HKN  HQN (hai góc nội tiếp chắn cung NH ) (1) LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Gv: Nguyễn Chí Thành Xét  O  có: NPQ góc nội tiếp chắn cung NQ Tổng hợp – Biên Soạn HQN góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn NQ  NPQ  HQN (  sđ NQ ) (2) Từ (1) (2)  NPQ  HKN (đpcm) b) Xét KHM KHN có: KH chung; KHM  KHN  90 ; MH  HN (gt)  KHM  KHN (c-g-c)  HKM  HKN (hai góc tương ứng) mà HKN  NPQ (cmt)  HKM  NPQ Xét KHP vuông H  NPQ  HKP  90  HKM  HKP  90  MKP  90 Xét PQN PHK có: Chung P ; PQN  PHK  90  PQN  PHK (g-g) PQ PN (các cặp cạnh tương ứng)  PH PK  PQ.PK  PN PH (đpcm) c) Xét HQN HPQ có: Chung QHP ; HQN  HPQ (cmt)  HQN  HPQ (g-g) HQ HN (các cặp cạnh tương ứng0  HP HQ  HQ  HN HP Ta có: HQ  PQ.PK  HN HP  PN PH (cmt)  PH  HN  PN   PH Xét  O  có: NPQ góc nội tiếp chắn NQ NOQ góc tâm chắn NQ  NOQ  2.NPQ LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Gv: Nguyễn Chí Thành Tổng hợp – Biên Soạn Bài 502 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Vẽ đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt tại H ,DE cắt (O) lần lượt tại P và Q ( P thuộc cung nhỏ AB) 1/Chứng tỏ: Tứ giác BEDC nội tiếp được ,xác định tâm của nó 2/Chứng tỏ : BH.DH=HE.HC 3/Chứng tỏ : tam giác APQ cân tại A và AP  AE AB 4/Gọi S1 là diện tích tam giác APQ ,S2 là diện tích tam giác ABC Gỉa sử S1 PQ Tính BC theo R  S2 BC Bài 503 Cho tam giác ABC có góc nhọn (ABAC Gọi D là điểm đối xứng C qua A Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC và BD lần lượt tại P và Q Vẽ QM vuông góc với BP tại M , QM cắt AB tại N 1/Chứng tỏ : Các tứ giác QAMB , PANM nội tiếp 2/PN cắt (O) lần lượt tại H và K ( H thuộc cung nhỏ AC ) Chứng tỏ : AP  PH PK 3/QH cắt (O) tại G Chứng tỏ : đường thẳng BG,AK,QM đồng quy tại điểm 4/Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ Chứng tỏ : điểm P,J,O thẳng hàng Bài 508 Cho đường tròn tâm O ,đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC>AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Kẻ OH vuông góc với AC tại H ,OD cắt AC tại I , DH cắt AB tại K 1/Chứng tỏ : AC=2OH và AD  DC.DB 2/ Chứng tỏ : BDO = ADH 3/ IK cắt OH tại M Chứng tỏ : IK//AD và M là trung điểm của IK 4/ Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt tại G Chứng tỏ :3 điểm A,M,G thẳng hàng 5/ Cho ABC  300 Tính diện tích tam giác IKG theo R Bài 509 Cho tam giác ABC có góc nhọn (ABBC Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt tại D , BD cắt (O) tại E Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H 1/Chứng minh : AE=AF và BE=BF 2/ADCO là tứ giác nội tiếp 3/ DC  DE.DB 4/AF.CH=AC.EC 5/Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O) 6/Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q Chứng minh : điểm D,Q,F thẳng hàng Bài 511 Cho tam giác ABC có góc nhnọ nội tiếp (O:R) ,AB