(Luận văn) bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THU HUỆ lu an n va p ie gh tn to BÀI TỐN VẬN TẢI DẠNG CHI PHÍ NÚT THẮT VỚI NHIỀU MỤC TIÊU d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si i Mục lục lu iii Danh sách bảng iv Mở đầu an Danh sách ký hiệu n va Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí 1.1 Nội dung tốn tính chất p ie gh tn to Phương án cực biên ban đầu Phương pháp góc tây bắc an 1.3 Điều kiện tối ưu 1.4 Thuật toán vị 1.5 Ví dụ minh họa 11 nf va z at nh oi lm ul lu 1.2.2 Phương pháp cước oa 1.2.1 d nl w 1.2 Bài toán vận tải với hai mục tiêu Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian gm @ 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Thuật toán chắn (Blocking Method) m co l 2.2 z 2.1 14 Bài toán vận tải với hai mục tiêu an Lu Mô tả toán 2.2.2 Tìm nghiệm sở hữu hiệu (MP) n va 2.2.1 14 14 16 19 19 20 ac th si ii Bài toán vận tải với ba mục tiêu 25 3.1 Nội dung toán 25 3.2 Tìm tập nghiệm sở hữu hiệu 29 3.3 Ví dụ minh họa 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh sách ký hiệu Trong luận văn ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: x thuộc tập D x 6∈ D x không thuộc tập D lu x∈D an va n |G(X)| số phần tử tập G phép hợp tập hợp gh dương vô tn to ∪ p ie +∞ P w hàm tổng gọi ước lượng biến xij τ thời hạn thời gian L danh sách ghi nghiệm hữu hiệu tìm d oa nl ∆ij nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Danh sách bảng Bảng 1.1 Bảng vận tải T Bảng 2.1 Dữ liệu tốn ví dụ 2.2 lu Bảng 2.2 Bảng vận tải theo mục tiêu thời gian an Bảng 2.3 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí va n Bảng 2.4 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 73 gh tn to Bảng 2.5 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 68 p ie Bảng 2.6 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 66 w Bảng 2.7 Các nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải hai mục tiêu oa nl Bảng 3.1 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 63 d Bảng 3.2 Nghiệm sở hữu hiệu S2 kề S1 an lu nf va Bảng 3.3 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 66 z at nh oi lm ul Bảng 3.4 Tập nghiệm sở hữu hiệu tốn Ví dụ 3.1 z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí (Cost Transportation Problem) tốn cổ điển, quen thuộc lý thuyết tối ưu ứng dụng Đó tốn tìm phương án vận chuyển hàng từ nơi cung cấp (gọi điểm phát) đến lu an nơi tiêu thụ (gọi điểm thu) cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ Bài n va toán nghiên cứu chi tiết đầy đủ, lý thuyết lẫn phương Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian hay cịn gọi tốn vận tải dạng nút ie gh tn to pháp giải p thắt (Bottleneck Transportation Problem) dạng khác tốn vận tải, oa nl w có tính đến thời gian tuyến đường có vận chuyển hàng Thay tìm cực tiểu tổng chi phí, mục tiêu hồn thành vận chuyển hàng d lu nf va an thời gian sớm Trong tốn hàm mục tiêu phi tuyến Nhiều dạng khác toán vận tải theo mục tiêu thời gian đặt lm ul nhiều thuật toán giải đề xuất z at nh oi Trong ứng dụng thực tiễn, để đánh giá hiệu hoạt động kinh tế vận tải đề định quản lý có khoa học, người ta cịn gặp mơ hình z tốn vận tải với hai hay nhiều hàm mục tiêu Chẳng hạn, toán vận tải cực @ l gm tiểu chi phí lẫn thời gian vận chuyển, gọi toán vận tải dạng chi phí - nút thắt (Bottleneck - Cost Transportation Problem) toán vận tải dạng nút thắt co m với nhiều mục tiêu, có hàm mục tiêu phân thức Đã có số phương an Lu pháp sử dụng cấu trúc đặc thù tốn tìm nghiệm hữu hiệu tốn n va vận tải hai hay nhiều mục tiêu ac th si Sau học Giải tích lồi kiến thức tốn học có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn "Bài tốn vận tải dạng chi phí - nút thắt với nhiều mục tiêu" Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày số mơ hình toán vận tải nhiều hàm mục tiêu thuật tốn tìm nghiệm hữu hiệu tốn Luận văn viết thành ba chương lu Chương "Bài tốn vận tải theo mục tiêu cước phí" trình bày kiến an thức toán vận tải theo mục tiêu cước phí: nội dung tính chất n va nghiệm toán, điều kiện tối ưu thuật toán vị giải toán gh tn to Chương "Bài toán vận tải với hai mục tiêu" đề cập tới toán vận tải theo p ie mục tiêu thời gian toán vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu cước phí lẫn thời gian vận chuyển trình bày thuật toán giải, nhờ đưa toán vận nl w d oa tải theo mục tiêu cước phí Ý tưởng thuật tốn sử dụng phương an lu pháp chắn: cấm vận chuyển hàng tuyến có thời gian vượt mức nf va sau mở rộng dần mức thời gian lm ul Chương "Bài toán vận tải với ba mục tiêu" trình bày mơ hình toán vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt, hai mục tiêu đầu tỉ số cước phí vận z at nh oi chuyển thiệt hại vận chuyển với thời gian vận chuyển Bài toán đưa dạng toán ba mục tiêu đơn giản giải thuật tốn tìm z gm @ nghiệm sở hữu hiệu số toán vận tải hai mục tiêu co l Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để m an Lu tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau n va Nhân dịp tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Trần ac th Vũ Thiệu, người tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả trân si trọng cảm ơn giảng viên Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả Vũ Thu Huệ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí Chương trình bày vắn tắt tốn vận tải theo mục tiêu cước phí, điều kiện tối ưu thuật toán vị giải toán Cuối chương, nêu ví dụ số minh họa thuật lu an tốn giải Nội dung chương cần cho chương sau tham khảo chủ va yếu từ tài liệu [1], [2] [3] n tn to Nội dung tốn tính chất p ie gh 1.1 w Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí có nội dung sau: Giả sử có m kho oa nl chứa loại hàng (xi măng chẳng hạn) K1 , , Km (gọi điểm phát), kho d i = 1, , m có > đơn vị hàng (lượng cung) Cần vận chuyển số hàng lu nf va an tới n hộ tiêu thụ H1 , , Hn (gọi điểm thu), hộ j = 1, , n cần bj > đơn vị hàng (lượng cầu) Cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát Ki lm ul tới điểm thu Hj cij ≥ Vấn đề đặt cần vận chuyển từ điểm phát tới z at nh oi điểm thu đơn vị hàng cho thỏa mãn nhu cầu điểm thu tổng chi phí vận chuyển toàn số hàng nhỏ nhất? z gm @ Ký hiệu xij lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j Khi đó, mơ hình tốn học tốn vận tải theo mục tiêu cước phí có dạng: co l cij xij → (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) (1.1) m f (x) = m X n X an Lu i=1 j=1 n va ac th si với điều kiện n X xij = , i = 1, , m (mọi điểm phát giao hết hàng), (1.2) j=1 m X xij = bj , j = 1, , n (mọi điểm thu nhận đủ hàng), (1.3) i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (lượng hàng vận chuyển không âm) (1.4) Điều kiện cần đủ để tốn (1.1) - (1.4) giải phải có điều kiện cân lu cung cầu (nghĩa tổng cung tổng cầu): an va n a1 + a2 + · · · + am = b1 + b2 + · · · + bn (1.5) gh tn to Ký hiệu A ma trận hệ số vế trái ràng buộc (1.2), (1.3), Aij véctơ cột p ie A tương ứng với biến xij Dễ thấy véctơ có hai thành phần + (ở w hàng thứ i hàng thứ m + j ), thành phần khác d oa nl Định nghĩa 1.1 Ma trận X = {xij }m×n gọi phương án toán an lu vận tải Phương án đạt cực tiểu (1.1) gọi phương án tối ưu hay lời giải nf va toán Phương án X phương án cực biên véctơ cột Aij A khơng chứa chu trình) z at nh oi lm ul tương ứng với biến xij > độc lập tuyến tính (hay tập hợp {(i, j) : xij > 0} Một phương án cực biên X = {xij }m×n tốn gọi không suy biến số phần tử tập hợp G(X) = {(i, j) : xij > 0} m + n − 1, gọi suy z gm @ biến |G(X)| < m + n − co l Với điều kiện (1.5) toán (1.1) - (1.4) có tính chất sau: Tập hợp phương án toán khác rỗng bị chặn (giới nội) m an Lu Hạng hệ ràng buộc (1.2) - (1.3) m + n − ac th giải nguyên (mọi biến xij có giá trị nguyên) n va Nếu lượng cung lượng cầu bj số ngun tốn có lời si 24 Giải tốn theo thuật toán vị (xem Mục 1.4), ta nhận phương án tối ưu X ∗ với cước phí vận chuyển nhỏ f ∗ = 381 (Lượng hàng vận lu an chuyển ghi dòng thứ ô Bảng 2.6) n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Tóm lại, chương đề cập tới toán vận tải theo mục tiêu thời gian trình bày thuật tốn chắn giải toán, nhờ đưa giải dãy toán vận tải theo z gm @ mục tiêu cước phí (dùng thuật tốn vị để giải) Sau đó, xét toán vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu chi phí lẫn thời gian vận chuyển Cuối chương trình bày l an Lu dụ tính tốn cụ thể m co cách tìm nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải hai mục tiêu với ví n va ac th si 25 Chương Bài toán vận tải với ba mục tiêu Chương đề cập tới mơ hình tốn vận tải dạng nút thắt với ba tiêu chuẩn mục tiêu trình bày thuật tốn tìm tập nghiệm sở hữu hiệu toán Nội lu an dung chương dựa chủ yếu vào tài liệu [6] n va Nội dung tốn gh tn to 3.1 p ie Xét mơ hình toán vận tải ba tiêu chuẩn mục tiêu dạng nút thắt với hai hàm nl w mục tiêu phân thức sau đây: (3.1) d oa {z1 , z2 , z3 }, max {tij : xij > 0} , z2 = i,j với điều kiện m P n P dij xij i=1 j=1 max {tij : xij > 0} z at nh oi z1 = cij xij i=1 j=1 lm ul m P n P nf va an lu , z3 = max {tij : xij > 0}, i,j i,j z n X l gm j=1 m X (3.2) @ xij = , i = 1, , m, m i=1 (3.3) co xij = bj , j = 1, , n, j=1 bj (3.5) n i=1 = n X va m X (3.4) an Lu xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n ac th si 26 cij cước vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j , dij thiệt hại (hao hụt chẳng hạn) vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j , tij thời gian từ điểm phát i tới điểm thu j , lượng cung điểm phát i, bj lượng cầu điểm thu j xij biểu thị lượng hàng chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j Ở (3.5) điều kiện cân cung cầu z1 biểu thị chi phí vận chuyển trung bình (tính đơn vị thời gian vận chuyển), z2 thiệt hại trung bình trình vận chuyển (tính đơn vị thời gian vận chuyển) z3 thời gian vận chuyển phương án X = (xij )m×n lu an Điều kiện (3.2) yêu cầu điểm phát giao hết hàng, điều kiện (3.3) đảm bảo n va điểm thu nhận đủ hàng điều kiện (3.4) đòi hỏi lượng hàng vận chuyển Các khái niệm nghiệm hữu hiệu (hữu hiệu yếu), nghiệm sở hữu hiệu ie gh tn to khơng âm p tốn vận tải với nhiều hàm mục tiêu hiểu theo nghĩa thông thường (tương oa nl w tự Định nghĩa 2.2 - 2.4) d Để giải toán (3.1) - (3.5) nhằm tìm tập nghiệm sở hữu hiệu, ta đưa m X n X dij xij , z3 = max {tij : xij > 0}} i,j i=1 j=1 n X (3.7) z xij = , i = 1, , m, gm @ j=1 m X (3.6) z at nh oi với điều kiện cij xij , z2 = m X n X lm ul i=1 j=1 nf va {z1 = an lu toán mơ hình sau (3.8) l xij = bj , j = 1, , n, co i=1 (3.9) m xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n m n X X = bj n va j=1 an Lu i=1 (3.10) ac th Định lý sau nêu quan hệ hai toán (3.1) - (3.5) (3.6) - (3.10) si 27 Định lý 3.1 Tập nghiệm sở hữu hiệu tốn (3.1) - (3.5) (3.6) - (3.10) hồn tồn trùng Chứng minh Giả sử X = (x1ij )m×n nghiệm sở hữu hiệu toán (3.1) - (3.5) t1 = max {tij : x1ij > 0} Từ định nghĩa nghiệm hữu hiệu i,j cho thấy với nghiệm chấp nhận X = (x2ij )m×n (3.1) - (3.5) t2 = max {tij : x2ij > 0}} bất đẳng thức i,j ( z1 (X ) < z1 (X ) z2 (X ) ≤ z2 (X ) (3.11) lu an n va z1 (X ) ≤ z1 (X ) z2 (X ) < z2 (X ) Giả sử X nghiệm hữu hiệu mơ hình (3.6) - (3.10) ie gh tn to ≤ t2 ≤ t1 , p Lập luận tương tự trước, từ định nghĩa nghiệm hữu hiệu suy tồn đẳng thức d oa nl w nghiệm chấp nhận X (3.6) - (3.10) t2 tương ứng cho bất z1 (X ) t2 < z1 (X ) t1 ≤ z1 (X ) t1 ≤ t2 ≤ t1 , ≤ z2 (X ) t1 (3.12) z2 (X ) t2 < z2 (X )t1 z at nh oi lm ul z1 (X ) t2 z2 (X ) t2 nf va an lu ( Nhân bất đẳng thức (3.12) với t1 đặt k = t1 /t2 ta thấy bất đẳng @ kz2 (X ) ≤ z2 (X ) (3.13) co l gm ( kz1 (X ) < z1 (X ) z thức sau m kz1 (X ) ≤ z1 (X ) kz2 (X ) < z2 (X ) an Lu ≤ t2 ≤ t1 va n Rõ ràng k ≥ 1, từ (3.13) suy nghiệm X bất đẳng ac th si 28 thức sau ( z1 (X ) < z1 (X ) z2 (X ) ≤ z2 (X ) (3.14) z1 (X ) ≤ z1 (X ) z2 (X ) < z2 (X ) ≤ t2 ≤ t1 Điều trái với (3.11) Bằng cách tương tự, chứng minh nghiệm sở hữu hiệu (3.6) - (3.10) nghiệm sở hữu hiệu (3.1) - (3.5) lu Ý tưởng mở rộng cho mơ hình toán vận tải dạng nút thắt với p an n va (p ≥ 2) hàm mục tiêu phân thức Khi đó, ta có kết luận tìm tập tn to nghiệm sở hữu hiệu tốn ban đầu cách tìm tập nghiệm sở hữu p ie gh hiệu mơ hình đơn giản hơn: {z1 = m X n X c1ij xij , , zp = i=1 j=1 m X n X cpij xij , zp+1 = max {tij : xij > 0}} i,j w i=1 j=1 oa nl (3.15) d với điều kiện (3.7) - (3.10) lu nf va an Ở đây, giá trị ckij (k = 1, , p, i = 1, , m, j = 1, , n) giải thích phù hợp với tiêu chuẩn mục tiêu tương ứng lm ul Tính đắn kết luận giống Định lý 3.1 mơ hình (3.15), z at nh oi (3.7) - (3.10) chứng minh tương tự Rõ ràng mơ hình (3.6) - (3.10) trường hợp riêng mơ hình (3.15), z l giải mơ hình (3.6) - (3.10) gm @ (3.7) - (3.10) Vì thế, dùng thuật tốn giải mơ hình (3.15), (3.7) - (3.10) để an Lu hình (3.6) - (3.10) m co Mục trình bày phương pháp tìm tập nghiệm sở hữu hiệu mơ n va ac th si 29 3.2 Tìm tập nghiệm sở hữu hiệu Theo Bổ đề 2.1, thời gian vận chuyển tối thiểu phương án tốn (3.6) - (3.10) tmin , tmin xác định theo (2.6) Ký hiệu tmax = max {tij : i = 1, , m, j = 1, , n} Có thể thấy tmin ≤ z3 ≤ tmax Ký hiệu t1 , , tq giá trị khác nhau, xếp theo thứ tự tăng dần tij ∈ [tmin , tmax ] với t1 = tmin tq = tmax lu Thuật tốn tìm tập nghiệm sở (tức tập phương án cực biên theo Định nghĩa an n va 2.2) hữu hiệu mơ hình (3.6) - (3.10) thuật tốn lặp, gồm số hữu tn to hạn vòng lặp Mỗi vịng tìm tập nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải thu p ie gh hẹp hai mục tiêu: cij xij , z2 = i=1 j=1 m X n X dij xij } (3.16) i=1 j=1 nl w {z1 = m X n X d oa với điều kiện (3.7) - (3.10) điều kiện thu hẹp dạng: lu (3.17) nf va an xij = với (i, j) mà tij > τ, q z at nh oi lm ul τ giá trị τ ∈ {t1 , t2 , , tq } Do số vòng lặp tối đa Giả sử tk số nhỏ dãy t1 , t2 , , tq cho hệ điều kiện (3.7) (3.10) (3.17) với τ = tk có nghiệm z gm @ Như biết (theo Định nghĩa 1.1 Định lý 1.1), nghiệm sở X = co l (xij )m×n hệ ràng buộc (3.7) - (3.10) tương ứng với tập gồm (m + n − 1) ô bảng vận tải (Bảng 1.1) không chứa chu trình Ký hiệu tập GX m an Lu Mỗi nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải thu hẹp (3.16), (3.17) với ac th nút thắt (3.6) - (3.10), với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , τ ) n va τ = tk , tk+1 , , tq nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải dạng si 30 Sau thuật toán thực ý tưởng phương pháp giải vừa mơ tả THUẬT TỐN Bước (Khởi sự): Tính tmin theo (2.6), tmax = max {tij : i = 1, , m, j = 1, , n} Sắp xếp giá trị khác tij ∈ [tmin , tmax ] theo thứ tự tăng dần t1 = tmin < t2 < < tq = tmax Đặt k = lu Bước Tìm nghiệm sở hữu hiệu ban đầu: Gán τ = tk an n va Lập giải toán vận tải theo mục tiêu cước phí với ma trận cước phí (các gh tn to ô (i, j) với cij = +∞ xem bị cấm) ( ie c1ij tij ≤ τ p C= (3.18) w +∞ tij > τ d oa nl a Nếu trị tối ưu +∞ quay lai thực Bước với k ← k + an lu b Trái lại, tìm tất lời giải toán vận tải theo mục tiêu cước phí nf va (nếu tốn có nhiều lời giải) Lời giải có tổng cước phí tính theo C lm ul nhỏ nghiệm sở hữu hiệu ban đầu (3.6) - (3.10), ký hiệu S1 z at nh oi Lưu giữ (ghi) S1 vào danh sách L Chuyển sang thực Bước Bước (Tìm nghiệm sở hữu hiệu kề S1 ): Các nghiệm sở hữu hiệu kề S1 tìm cách dùng ô không bị cấm (cij < +∞) phân z gm @ hàng vào (i, j) có ∆ij = tính theo C C Ghi nghiệm hữu hiệu tìm l vào danh sách L, trước chưa có L m co Bước Nếu k = q dừng thuật toán Trái lại, đặt k ← k + Sửa lại C an Lu theo (3.18) với τ = tk chuyển sang thực Bước n va Bước (Khảo sát nghiệm sở hữu hiệu ghi L): Mỗi nghiệm ac th sở hữu hiệu L xem xét để tìm nghiệm sở hữu hiệu ứng si 31 với z3 = τ Bằng cách đưa có cij = τ vào sở xét giá trị mục tiêu tương ứng Nếu giá trị không bị vượt trội giá trị mục tiêu nghiệm hữu hiệu ghi L, ta nhận nghiệm sở hữu hiệu Lưu giữ (ghi) nghiệm hữu hiệu vào danh sách L Quay lại thực Bước Tập nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải đa mục tiêu chọn từ tập nghiệm sở ràng buộc vận tải (3.7) - (3.10) Định lý 3.2 Thuật toán nêu cho tập tất nghiệm sở hữu hiệu lu an toán vận tải đa mục tiêu dạng nút thắt (3.6) - (3.10) n va Chứng minh Ký hiệu L danh sách nghiệm sở hữu hiệu mơ tn to hình (3.6) - (3.10) tìm cách áp dụng thuật tốn nêu Giả thiết tồn ie gh nghiệm sở hữu hiệu S khơng tìm thuật tốn S 6∈ L p Giả sử S tương ứng với thời gian vận chuyển τ = tk với tk thuộc oa nl w tập {t1 , , tq } Một khảo sát rộng khắp nhánh cố định dẫn tới ghi lại tất d nghiệm sở nhánh t0 Như vậy, tất nghiệm sở tương ứng với an lu thời gian t0 chứa tập Ta tách từ tập nghiệm sở nf va hữu hiệu tương ứng với thời gian t0 , ký hiệu Lt0 Rõ ràng Lt0 ⊂ L Kết lm ul S ∈ Lt0 S nghiệm sở hữu hiệu tìm thấy theo thuật tốn z at nh oi nêu, cịn S 6∈ Lt0 S khơng phải nghiệm sở khơng nghiệm sở hữu hiệu Vì vậy, S nghiệm sở, S z nằm danh sách L định lý chứng minh @ Ví dụ minh họa m 3.3 co l gm Sau ví dụ cụ thể minh họa cho thuật tốn trình bày an Lu Ví dụ 3.1 Tìm tập nghiệm sở hữu hiệu mơ hình tốn vận tải ba mục va n tiêu dạng nút thắt (3.6) - (3.10) với m = điểm phát, n = điểm thu, véctơ cung ac th si 32 a, véctơ cầu b, ma trận thời gian T hai ma trận chi phí C C cho sau đây: a = (8 19 17), b = (11    10 95 73 52 1     1 T = , C = 68 66 30 21     37 63 19 23 14 16),    7 4 4        , C = 4 5 10    6 Bước Tính tmin theo (2.6) ta lu tmin = max {10, 21, 19, 10, 63, 19, 21} = 63 an n va Sắp xếp giá trị khác tij ≥ tmin theo thứ tự tăng dần: tn to t1 = 63, t2 = 66, t3 = 68, t4 = 73, t5 = 95 (q = 5) ie gh p Đặt k = oa nl w Bước (Tìm nghiệm sở hữu hiệu ban đầu): Gán τ = tk Bài tốn vận tải d theo mục tiêu cước phí với ma trận cước phí C tính theo (3.18), cho Bảng lu nf va an 3.1: Cước phí ghi góc phải dịng thứ hai bảng (Đặt cij = +∞ với (i, j) có tij > τ trừ tơ bóng mờ) lm ul Giải toán theo thuật toán vị (xem Mục 1.4), ta nhận nghiệm z at nh oi sở tối ưu S1 với cước phí z1 (S1 ) = 176 (tính theo C ) z2 (S1 ) = 298 (tính theo C ) Lượng hàng vận chuyển ghi dịng thứ z Bảng 3.1 Do S1 nghiệm tối ưu nhất, nên S1 nghiệm sở hữu hiệu @ ` = lưu giữ (ghi) S1 vào danh sách L (Bảng 3.4) m co l gm (3.6) - (3.10) với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , z3 ) = (176, 298, 63) Gán cho S1 mức an Lu n va ac th si 33 Bước (Tìm nghiệm sở hữu hiệu kề S1 ): Nghiệm sở kề S1 tính cách đưa x14 x34 vào sở Tuy nhiên, có nghiệm kề thứ lu hai ký hiệu S2 (ghi Bảng 3.2) hữu hiệu, với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , z3 ) = an n va (187, 243, 63) Gán cho S2 mức ` = lưu giữ (ghi) S2 vào danh sách L p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va Bước Do k = < q = nên ta đặt k ← k + = ` ← ` + = lm ul Tính lại ma trận C theo (3.18) ta toán vận tải thu hẹp (Bảng 3.3) với z at nh oi ô không bị cấm (2.2) Chuyển sang thực Bước z m co l gm @ an Lu va Bước (Khảo sát nghiệm sở hữu hiệu ghi trongL): Để tìm nghiệm n sở kề S1 ta đưa x22 vào sở nhận nghiệm sở với giá trị mục ac th si 34 tiêu (z1 , z2 , z3 ) = (179, 304, 66), giá trị bị vượt trội giá trị mục tiêu S1 (xem Bảng 3.4), nghiệm khơng hữu hiệu Tiếp theo, đưa x22 vào sở S2 ta nhận nghiệm sở S3 (cho Bảng 3.3), với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , z3 ) = (193, 234, 66), giá trị không bị vượt trội giá trị mục tiêu có, S3 nghiệm sở hữu hiệu (3.6) - (3.10) Gán cho S3 mức ` = lưu giữ S3 vào danh sách L Quay lại thực Bước Tiếp tục thực bước thuật tốn, ta tìm tất 14 nghiệm sở lu an hữu hiệu (3.6) - (3.10) ghi danh sách L (xem Bảng 3.4) n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 35 Hai nghiệm sở gọi kề tập biến sở chúng khác biến Chẳng hạn, S1 , S2 kề x33 biến sở S1 , x34 biến sở S2 (S1 S2 có chung biến sở lại: x11 , x23 , x24 , x31 x32 ) lu an n va p ie gh tn to oa nl w Tóm lại, chương đề cập tới mơ hình toán vận tải ba mục tiêu dạng d lu nf va an nút thắt, hai mục tiêu đầu hàm phân tuyến tính Bài tốn đưa dạng toán ba mục tiêu đơn giản giải thuật tốn tìm tập lm ul nghiệm hữu hiệu số toán vận tải hai mục tiêu z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 Kết luận Luận văn đề cập tới số mơ hình tốn vận tải nhiều hàm mục tiêu, khái niệm nghiệm hữu hiệu mơ hình theo tối ưu Pareto thuật tốn lu tìm tập nghiệm sở hữu hiệu tốn an Luận văn trình bày số nội dung cụ thể sau: va n Các kiến thức toán vận tải theo mục tiêu cước phí: nội dung tn to tính chất nghiệm toán, điều kiện tối ưu thuật toán vị giải toán gh p ie Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian toán vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu cước phí lẫn thời gian vận chuyển Các thuật toán chắn giải toán, nl w d oa dựa ý tưởng: vận chuyển hàng tuyến có thời gian nhỏ hay an lu mức đó, sau mở rộng dần mức thời gian nf va Bài toán vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt, hai mục tiêu đầu tỉ lm ul số cước phí vận chuyển thiệt hại vận chuyển với thời gian vận chuyển toán vận tải hai mục tiêu z at nh oi Bài toán giải thuật tốn tìm tập nghiệm sở hữu hiệu số Có thể xem luận văn bước đầu tìm hiểu số mơ hình tốn vận tải z @ với nhiều hàm mục tiêu, thuật tốn tiêu biểu xử lý mơ hình khả ứng gm co l dụng chúng thức tiễn Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nhiều dạng mơ hình phương pháp giải khác m an Lu n va ac th si 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2014), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết lu an thuật toán, NXB Bách Khoa, Hà Nội n va Hà Nội p ie gh tn to [2] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia d oa nl w Tiếng Anh an lu [3] Bazaraa M J., Jarvis J and Sherali H (2010), Linear Programming and Net- nf va work Flows, fouth edtion Wiley lm ul [4] Nikoli´c I (2007), Total time minimizing transportation problem, Yugoslav z at nh oi Journal of Operations Research, 17, pp 125 - 133 [5] Pandian P., Natarajan G (2011), A new method for solving bottleneck - cost z co l 460 gm @ transportation problems, International Mathematical Forum, (10), pp 451 - m [6] Tkacenko A I (2006), The generalized algorithm for solving the fractional an Lu multiobjective transportation problem, Romai J., (1), pp 197 - 202 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THU HUỆ lu an n va p ie gh tn to BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG CHI PHÍ NÚT THẮT VỚI NHIỀU MỤC TIÊU d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu m co l gm @ an Lu Thái nguyên - 2015 n va ac th si