(Luận văn) nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu an NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG n va p ie gh tn to d oa nl w NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ oi lm ul nf va an lu z at nh z LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN, 5/2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG lu an n va p ie gh tn to NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ d oa nl w oi lm ul nf va an lu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY an Lu n va THÁI NGUYÊN, 5/2017 ac th si iii Mục lục v Bảng ký hiệu Mở đầu lu Lời cảm ơn an n va gh tn to 5 p ie Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu 1.1 Hệ phương trình tốn tử khơng gian Banach Khái niệm ví dụ khơng gian Banach, không gian Hilbert 1.1.2 1.1.3 Toán tử đơn điệu Hệ phương trình tốn tử đơn điệu 13 w nl 1.1.1 d oa va an lu 1.2 1.2.2 Ví dụ tốn đặt không chỉnh 16 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu 17 z at nh 1.3 oi lm ul nf Bài tốn đặt khơng chỉnh 15 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 15 Hiệu chỉnh trường hợp fi = 19 1.3.2 Hiệu chỉnh trường hợp fi 6= 22 z 1.3.1 gm @ 2.1 m co l Chương Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 27 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 27 Nguyên lý độ lệch suy rộng 27 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 30 an Lu 2.1.1 2.1.2 n va ac th si iv 2.2 Tốc độ hội tụ 35 2.2.1 Tốc độ hội tụ 35 2.2.2 Ví dụ số minh họa 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si v Lời cảm ơn lu Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy an Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ n va gh tn to Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động p ie viên thầy cô giáo khoa Tốn–Tin thầy giáo trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô w d oa nl Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Nhã Nam – Huyện Tân Yên – Tỉnh Bắc Giang anh chị em nf va Cao học an lu đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học oi lm ul Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học K9C bạn bè đồng z at nh nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2017 z m co l gm @ Tác giả luận văn an Lu Nguyễn Ngọc Phương n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va tập hợp số thực không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ Lp [a, b], < p < ∞ không gian đối ngẫu E không gian hàm khả tích bậc p lp , < p < ∞ đoạn [a, b] không gian dãy số khả tổng bậc p ∅ ∀x tập rỗng với x p ie gh tn to R H toán tử đồng dãy {xn } hội tụ mạnh x0 ul nf va dãy {xn } hội tụ yếu x0 oi lm ánh xạ đối ngẫu tổng quát ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc z at nh j an Js J lu xn * x0 miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A d I xn → x0 oa nl w D(A) R(A) ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ kinh tế dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, an n va tức có thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở lên vơ nghiệm gh tn to vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh p ie Khái niệm toán đặt chỉnh đặt không chỉnh J Hadamard đưa vào đầu kỷ XX nghiên cứu điều kiện biên lên nghiệm d oa nl w phương trình eliptic parabolic (xem [6] tài liệu trích dẫn) an lu Lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh nhà toán học hàng ul nf va đầu giới đặt móng cho việc nghiên cứu như: V.K Ivanov, M.M Lavrentev, A.N Tikhonov Gần đây, tầm quan trọng ứng dụng oi lm mà lớp toán nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu như: Ya.I Alber, A.B Bakushinsky, P.K Anh, Đ.Đ Áng, z at nh Ng Bường, Đ.N Hào z Để giải lớp toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định, @ gm cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm m co l gần với nghiệm toán ban đầu Các phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh biết thêm thơng tin định tính nghiệm an Lu là: phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sử dụng phương trình xấp xỉ Trong trường hợp tổng quát thêm n va thông tin nghiệm, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh A.N ac th si Tikhonov đề xuất, dựa việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh cách chọn giá trị tham số đưa vào Năm 1963 A.N Tikhonov (xem [15]) đưa phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử đặt không chỉnh A(x) = f, (1) với A : H → H tốn tử liên tục đóng yếu không gian Hilbert thực H lu Năm 1966 F Browder (xem [11]) đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, gọi phương pháp hiệu chỉnh Browder– an n va sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh J s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát E, p ie gh tn to Tikhonov, với A tốn tử phi tuyến đơn điệu từ khơng gian Banach E vào E ∗ , E ∗ không gian liên hợp E Tư tưởng phương pháp oa nl w toán tử có tính chất Ya.I Alber (xem [5]) sử dụng ánh xạ để xây dựng phương trình hiệu chỉnh d Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ , (2) lu ul nf va an cho toán (1), Ah xấp xỉ A, f δ xấp xỉ f , x∗ phần tử cho trước thuộc E α tham số đưa vào oi lm Một mở rộng toán (1) tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh z at nh Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (3) z đây, Ai : E → E ∗ toán tử đơn điệu, đơn trị fi ∈ E ∗ Năm 2006, @ sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số αµi Ahi (x) + αJ(x) = i=0 i = 1, 2, , N − 1, (4) n va µ0 = < µi < µi+1 < 1, an Lu N X m co l gm Ng Bường (xem [9]) kết hợp phương trình hiệu chỉnh dạng (2) để hiệu chỉnh cho hệ phương trình (3) trường hợp vế phải fi = ac th si Ahi xấp xỉ Ai , α tham số hiệu chỉnh, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E, h sai số cho trước Tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm hậu nghiệm Năm 2006, Ng Bường (xem [9]) sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng để chọn tham số hiệu chỉnh cho phương trình (4) Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào h xác định từ phương trình: ρ(α) = hp α−q , p, q > 0, lu ρ(α) = α(a0 + kxhα k), với h > 0, a0 số dương cho trước, an n va xhα nghiệm (4) phụ thuộc liên tục vào α ∈ (0, α0 ], α0 > chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử (3), nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm p ie gh tn to Mục đích luận văn trình bày phương pháp chọn tham số hiệu hiệu chỉnh dựa cách chọn tham số hiệu chỉnh sở báo oa nl w [10] Nguyễn Bường đồng tác giả công bố năm 2015 d Nội dung luận văn, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham lu nf va an khảo gồm có chương Chương giới thiệu hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu oi lm ul khơng gian Banach Chương trình bày ngun lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh giới thiệu ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp hiệu z at nh chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử lu an đơn điệu n va p ie gh tn to Chương giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach phương pháp hiệu chỉnh hệ phương nl w trình tốn tử đơn điệu Nội dung chương trình bày mục Mục 1.1 giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu Mục 1.2 trình bày d oa khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Mục 1.3 trình bày phương 1.1 oi lm ul nf [9]–[12] [16] va an lu pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1]–[4], [6], [7], Hệ phương trình tốn tử khơng gian Banach z at nh z Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach mục sau, @ l gm mục giới thiệu định nghĩa, ví dụ số tính chất hình học khơng gian Banach, khơng gian Hilbert; định nghĩa, ví dụ số tính m co chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu mạnh, toán tử ngược đơn điệu mạnh không gian Banach Phần cuối an Lu giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu n va ac th si 28 cho phương trình hiệu chỉnh (1.5) xét phương trình tốn tử A(x) = f trường hợp tốn tử A cho xác vế phải f cho xấp xỉ f δ thỏa mãn (1.7) Trong trường hợp vế phải f biết xác, cịn tốn tử A cho xấp xỉ Ah thỏa mãn (1.10), để chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h) thỏa mãn điều kiện Định lý 1.3.2 ta xét hàm ρ(α) = α(a0 + t(α)), lu a0 số dương t(α) = kxhα k, với h > 0, phụ thuộc liên an n va tục vào α ∈ (0, α0 ], α0 > Tham số hiệu chỉnh α chọn dựa việc giải phương trình to p, q > (2.1) gh tn ρ(α) = hp α−q , p ie Sự tồn tham số hiệu chỉnh α phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện Định lý 1.3.2 trình bày bổ đề sau w oa nl Bổ đề 2.1.1 (xem [8]) d (i) Với p, q, h > tồn giá trị α > thỏa mãn phương trình (2.1); nf va an lu (ii) lim α(h) = 0; h→0 ul h→0 oi lm (iii) Nếu q ≥ p lim h/α(h) = 0; với h > đủ nhỏ, ta có z at nh (iv) Giả sử q ≥ p > Khi đó, tồn hai số dương C1 , C2 cho z gm @ C1 ≤ hp α−1−q (h) ≤ C2 m co l Chứng minh α→+∞ n va lim αq ρ(α) = +∞ an Lu (i) Do hàm t(α) = kxhα k liên tục khoảng [α0 , +∞), α0 > 0, nên hàm αq ρ(α) liên tục [α0 , +∞) ac th si 29 Mặt khác, từ (1.12) ta có lu
αq ρ(α) = α1+q a0 + kxhα k r   c(h) c(h) 1+q ≤α a0 + kxk + + kxk α α r
c(h) ≤ α1+q a0 + kxk + αq c(h) + αq kxk α Với < h < ta chọn α > cho r
c(h) < hp /3 α1+q a0 + kxk < hp /3, αq c(h) < hp /3, αq kxk α Vậy, an va n αq ρ(α) < hp (2.2) d(α) = αq ρ(α) − hp , α ∈ [α0 , +∞) ie gh tn to Đặt p Ta có lim d(α) = +∞ (2.3) nl w α→+∞ d oa Từ (2.2), (2.3), ta thấy tồn α > cho d(α) < Do d(α) liên tục [α0 , +∞) nên tồn giá trị α = α(h) thỏa mãn (2.1) lu α(h) ≤ a−1−q hh/1+q , hay oi lm ul nf va an (ii) Rõ ràng, từ (2.1) cơng thức ρ(α) ta có lim α(h) = z at nh h→0 z (iii) Ta có q  h = [hp α−q (h)]αq−p (h) = ρ(α(h))αq−p (h)) α(h)   = α(h) a0 + kxhα(h) k αq−p (h)   p 1+q−p q−p ≤ a0 α (h) + α (h) α(h)kxk + c(h) + α(h)kxkc(h) m co l gm @ n va lim h/α(h) = h→0 an Lu Vậy, ac th si 30 (iv) Ta có hp α−1−q (h) = α−1 (h)ρ(α(h)) = a0 + kxhα(h) k ≤ C2 , cho h/α(h) → +0 h → suy kxhα(h) k ≤ c với h đủ nhỏ Mặt khác, điểm hội tụ yếu x∗ dãy {xhα(h) } khác Thật vậy, x∗ = điểm hội tụ yếu từ (1.9) tính đơn điệu Ah0 ta suy hAh0 k (x), x − xhαkk i ≥ hAh0 k (xhαkk ), x − xhαkk i lu ≥ an va n ≥ N X i=1 N X αkµi hAhi k (xhαkk ), xhαkk − xi + αk hJ(xhαkk ), xhαkk − xi αkµi hAhi k (x), xhαkk − xi + αk hJ(x), xhαkk − xi, ∀x ∈ X, αk = α(hk ) Cho k → +∞ ta nhận ie gh tn to i=1 p hA0 (x), x − 0i ≥ ∀x ∈ E d oa nl w Nghĩa ∈ S0 , điều mâu thuẫn với giả thiết 6∈ S0 Do đó, tồn số dương c1 cho xhαh ≥ c1 Vậy, va an lu C1 ≤ hp α−1−q (h) ≤ C2 2.1.2 oi lm ul nf Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng z at nh Trong mục này, ta xét toán chọn tham số hiệu chỉnh cho hiệu chỉnh z hệ phương trình tốn tử (1.3) Nội dung mục viết sở báo [10] Như trình bày mục trên, nghiệm hiệu chỉnh xδα gm @ m co l phương trình hiệu chỉnh (1.14) cho hệ (1.3) tồn với α > cố định Đồng thời, α, δ/α → δ → dãy nghiệm hiệu n va ρ(α) = αkxδα − x∗ k an Lu chỉnh xδα hội tụ mạnh đến nghiệm x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, với giả thiết S 6= ∅ Tham số hiệu chỉnh α(δ) chọn sau Xét hàm ac th si 31 Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào δ (α = α(δ)) chọn từ việc giải phương trình ρ(α) = α−q δ p , p, q > (2.4) Bổ đề 2.1.2 (xem [10]) Giả sử E không gian Banach phản xạ có tính chất ES; E ∗ , khơng gian liên hợp E, lồi chặt; A0 , A1 , , AN ánh xạ hemi-liên tục có tính chất E; f0 , f1 , , fN là N + phần tử E ∗ cho tập nghiệm S hệ phương trình (1.3) khác rỗng Khi đó, ta có: lu an (i) Hàm ρ(α) xác định (2.4) liên tục (α0 , +∞), với α0 > 0; va n (ii) Nếu AN liên tục x∗ thỏa mãn to ∀δ ≥ 0, (2.5) fN0 = fN , p ie gh tn kAN (x∗ ) − fNδ k > 0, lim ρ(α) = +∞ α→+∞ nl w N X β µi (Ai (xδβ )−fiδ )+αJ(xδα −x∗ )−βJ(xδβ −x∗ ) = θ i=1 nf va i=1 (Ai (xδα )−fiδ )− an α µi lu N X d oa Chứng minh Giả sử α, β ∈ (α0 , +∞) Từ (1.14) suy oi lm ul Do đó, αhJ(xδα − x∗ )−J(xδβ − x∗ ), xδα − xδβ i + (α − β)hJ(xδβ − x∗ ), xδα − xδβ i @ (αµi − β µi )hAi (xδβ ) − fiδ , xδα − xδβ i = l gm i=1 αµi hAi (xδα ) − Ai (xδβ ), xδα − xδβ i z + i=1 N X z at nh + N X m co Từ bất đẳng thức kết hợp với tính chất J, x, y ∈ E, an Lu hJ(x) − J(y), x − yi ≥ (k x k − k y k)2 , n va ac th si 32 ta suy N X µi + | α − β µi α0 i=0  |α−β | δ kxβ − x∗ k α0   δ δ δ δ | kAi (xβ ) − fi k kxα − x∗ k + kx∗ k + kxβ k kxδα − x∗ k − kxδβ − x∗ k
2 ≤ Từ bất đẳng thức (1.17) suy ra, α → β kxδα − x∗ k → kxδβ − x∗ k, nghĩa kxδα − x∗ k liên tục β ∈ (α0 , +∞) Vì vậy, ρ(α) liên tục (α0 , +∞) lu Từ (1.14) suy an n va N X α µi (Ai (xδα ) − Ai (x∗ )) + αJ(xδα − x∗ ) = αµi (fiδ − Ai (x∗ )) i=0 Bằng cách tác động vào hai vế phương trình với xδα − x∗ , sử dụng tính đơn điệu Ai định nghĩa J ta có p ie gh tn to i=0 N X w kxδα − x∗ k ≤ i=0 α1−µi kfiδ − Ai (x∗ )k d oa nl Vậy, N X lu lim kxδα − x∗ k = an α→+∞ oi lm ul nf va Điều kiện (ii) bổ đề suy từ bất đẳng thức   N −1 X δ δ µN δ δ k Ai (xα ) − fi k , ρ(α) ≥ α k AN (xα ) − fN k − µN −µi α i=0 z at nh cách sử dụng (2.5), tính liên tục AN x∗ , µN > µi tính bị chặn Ai (xem [6], Định lí 1.3.16) với i = 0, 1, · · · , N − 1, ta có điều z gm @ phải chứng minh l Bổ đề 2.1.3 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi , i = 0, 1, , N giả thiết m co Bổ đề 2.1.2 Với p, q, δ > 0, tồn giá trị α > 0, cho (2.4) n va α → α1+q kxδα − x∗ k = αq ρ(α) an Lu Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.2, hàm ac th si 33 liên tục (α0 , +∞) với α0 > lim αq ρ(α) = +∞ α→+∞ Mặt khác, từ (1.17) suy αq ρ(α) ≤ αq+1 kx∗ − zk + αq δ N X  αµi + αq αδ N X i=0 1/2 αµi kx∗ − zk i=0 lu Với < δ < 1, ta chọn α > cho  X 1/2 N N X αq+1 kx∗ − zk, αq δ αµi , αq αδ αµi kx∗ − zk < δ p /3 an va i=0 i=0 n Vậy, αq ρ(α) < δ p với α đủ nhỏ Do đó, tồn giá trị α = α(δ) gh tn to cho α(δ)q ρ(α(δ)) = δ p p ie Bổ đề 2.1.4 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi , i = 0, 1, , N cho Bổ đề 2.1.2 N ánh xạ họ {Ai }N i=0 đơn điệu chặt Khi đó, nl w oa lim α(δ) = δ→0 d va an lu Chứng minh Khơng làm tính chất tổng qt, ta giả thiết Ai đơn điệu chặt với i = 0, 1, , N − Ta chứng minh phương pháp oi lm ul nf phản chứng với giả thiết x∗ không thuộc S Giả sử kết luận sai, tức tồn dãy δk → k → +∞ Khi xảy hai khả z at nh (1) αk = α(δk ) → C0 , C0 số dương; (2) αk → +∞ z gm @ Trường hợp (1), từ (2.4) suy k→+∞ m co l C01+q lim kxαδkk − x∗ k = Thay δ, α x (1.14) δk , αk , xδαkk cho k → +∞, N X z ∈ S (2.6) n va i=0 C0µi (Ai (x∗ ) − Ai (z)) = 0, an Lu ta có ac th si 34 Tác động vào phương trình x∗ − z sử dụng tính chất đơn điệu Ai với i = 0, 1, , N C0 > 0, ta có hAi (x∗ ) − Ai (z), x∗ − zi = 0, i = 0, 1, · · · , N Do Ai đơn điệu chặt với i = 0, 1, · · · , N − nên từ đẳng thức suy −1 x∗ ∈ ∩N i=0 Si Mà từ (2.6) suy x∗ ∈ SN Vậy, x∗ ∈ S, mâu thuẫn với giả thiết x∗ ∈ / S Trường hợp (2), từ (2.4) suy lu lim an k→+∞ kxδαkk δkp ρ(αk ) − x∗ k = lim = lim 1+q = k→+∞ αk k→+∞ α k (2.7) n va gh tn to Tiếp tục thay δ, α x phương trình (1.14) δk , αk xαδkk , ta có p ie  N −1 X µN δk δk αk kAN (xαk ) − fN k − i=0  δk δk µN −µi kAi (xαk ) − fi k αk oa nl w p ≤ αk kxδαkk − x∗ k = ρ(αk ) = α−q k δk d Trong bất đẳng thức cho k → +∞ từ (2.7), tính bị chặn địa phương va an lu Ai với i = 0, 1, · · · , N − 1, tính liên tục AN x∗ với điều kiện (2.5) αk → +∞, δk → ta có bất đẳng thức +∞ ≤ Điều vô nf oi lm ul lý Định lý chứng minh Bổ đề 2.1.5 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ z at nh đề 2.1.4 Nếu q ≥ p lim δ/α(δ) = δ→0 z m co l gm @ Chứng minh Dễ dàng  p δ = [δ p α(δ)−q ]α(δ)q−p = ρ(α(δ))α(δ)q−p α(δ) Mặt khác, từ (1.17) suy  α (δ) + α(δ)δ N X α (δ)kx∗ − zk n i=0 1/2 µi va i=0 µi an Lu ρ(α(δ)) ≤ α(δ)kx∗ − zk + δ N X ac th si 35 Do đó,  δ lim δ→0 α(δ) p = Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.1.6 Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề 2.1.3 Nếu < p ≤ q lim xδα(δ) = x0 δ→0 Chứng minh Kết suy từ Bổ đề 2.1.4, 2.1.5 lu an kết hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho toán (1.14) (xem [9], [14]) n va Tốc độ hội tụ ie gh tn to 2.2 p Mục trình bày tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn theo w d oa nl nguyên lý tựa độ lệch suy rộng Tốc độ hội tụ va an lu 2.2.1 Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh nf oi lm ul chọn theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng, ta cần kết bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 (xem [10]) Giả sử E, Ai fi giả thiết Bổ đề z at nh 2.1.3 < p ≤ q Khi đó, với δ > đủ nhỏ, tồn hai số dương C1 , C2 cho z ρ(α) = α(δ)kxδα(δ) − x∗ k, m co l Chứng minh Từ (1.7) (1.15) ta có, gm @ C1 ≤ δ p α−1−q (δ) ≤ C2 an Lu với Bổ đề 2.1.6 suy δ→0 n δ→0 va lim δ p α−1−q (δ) = lim α−1 (δ)ρ(α(δ))) = kx0 − x∗ k > ac th si 36 Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh việc sử dụng bổ đề ta cần phải có thêm điều kiện đặt lên toán tử hệ thức sau: Cho a, b, c số không âm đủ bé, p > q > Nếu ap ≤ bap + c
ta có ap = O bp/p−q + c gọi bất đẳng thức Young (xem [13]) Định lý 2.2.2 (xem [10]) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) Ánh xạ A0 khả vi Fréchet thỏa mãn: lu kA0 (y) − f0 − A00 (x0 )∗ (y − x0 )k ≤ τ kA0 (y) − f0 k, (2.8) an va với y thuộc lân cận x0 ∈ S, A00 (x0 ) đạo hàm Fréchet n A0 x0 ∈ E, A00 (x)∗ toán tử liên hợp A00 (x); ánh xạ A1 , A2 , , AN liên tục Lipschitz lân cận điểm x0 với p ie gh tn to số Lipschitz tương ứng L1 , L2 , , LN ; w (ii) Tồn phần tử ω ∈ E cho d oa nl A00 (x0 )∗ ω = J(x0 − x∗ ), an lu với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J thỏa mãn ∀x, y ∈ E, s ≥ 2, (2.9) nf va hJ(x) − J(y), x − yi ≥ mJ kx − yks , oi lm ul mJ số dương (iii) Tham số hiệu chỉnh α = α(δ) chọn (2.4) γ= 1+q z   q − p pµ1 , s−1 s m co l gm @ kxδα(δ) − x0 k = O(δ γ ), z at nh Khi đó, ta có an Lu n va ac th si 37 Chứng minh Từ (1.14), (2.8), tính đơn điệu Ai điều kiện (iii) định lí ta có mJ kxδα − x0 ks ≤ hJ(xδα − x+ ) − J(x0 − x+ ), xδα − x0 i N X µi δ = α fi − Ai (xδα ), xδα − x0 α i=0 + J(x0 − x+ ), x0 − xδα (2.10) lu N δ X µi δ α kxα − x0 k + ω, A00 (x0 )(x0 − xδα ) ≤ α i=0 an N n va δ X µi δ ≤ α kxα − x0 k + kωkkA00 (x0 )(x0 − xδα )k α i=0 gh tn to Mặt khác, từ (2.8) ta có p ie kA00 (x0 )(x0 − xδα )k ≤ (1 + τ )kA0 (xδα ) − f0 k   ≤ (1 + τ ) kA0 (xδα ) − f0δ k + δ nl w d oa   N X δ δ δ + µi ≤ (1 + τ ) δ + α kAi (xα ) − fi k + αkxα − x k an lu i=1 ul nf va  X N ≤ (1 + τ ) δ αµi + αkxδα − x+ k i=0  αµi kAi (xδα ) − Ai (x0 )k oi lm N X + z at nh i=1 Nếu α chọn (2.4), với δ đủ nhỏ α(δ) ≤ kxδα(δ) − x0 k < c, z c số dương đủ nhỏ Do vậy, ta có αµi (δ) ≤ αµ1 (δ) kAi (xα(δ) ) − Ai (x0 )k ≤ C, số dương Vì Ai bị chặn địa phương x0 nên từ (2.10) l gm @ Bổ đề 2.2.1, ta nhận m co mJ kxδα(δ) − x0 ks ≤ (1 + N )C2 δ 1−p αq (δ)kxδα(δ) − x0 k   −q p µ1 + kωk(1 + τ ) δ(1 + N ) + α (δ)δ + CN α (δ) an Lu − x0 k + µ pµ1 − 1+q CN C1 δ 1+q n va ≤ (1 + −q/(1+q) 1−p N )C2 C1 δ 1+q kxδα(δ) ac th si 38 Áp dụng Young cho bất đẳng thức ta nhận
kxδα(δ) − x0 k = O δ η Định lí chứng minh 2.2.2 Ví dụ số minh họa Xét hệ phương trình Ai (x) = 0, i = 1, 2, (2.11) lu an n va p ie gh tn to đây, Ai = BiT ∗ Bi với     −2 −1 −1     B1 = 0 −1  ; B2 = −2  −1 −1 −1 1 nl w Ta có det(Ai ) = 0, i = 1, nên phương trình (2.11) đặt khơng chỉnh, hệ (2.11) nói chung đặt không chỉnh d oa Ta thấy x0 = (0, 0, 0)T ∈ R3 nghiệm có chuẩn nhỏ hệ (2.11) Từ kết đạt ta tìm nghiệm hệ (2.11) từ việc giải lu va an phương trình hiệu chỉnh αµ1 A1 (x) + αµ2 A2 (x) + αJ(x − x∗ ) = 0, oi lm ul nf (2.12) [14])   α A1 (zm ) + α A2 (zm ) + αm (zm ) µ1 z zm+1 = zm − βm z at nh ví dụ ta chọn x∗ = (0, 0, 0) ∈ R3 , µ1 = 0, µ2 = 1/2, α = 10−3 Ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không với dãy lặp (xem µ2 @ Trong tính tốn thử nghiệm, 1≤i≤3 an Lu max kzim+1 − zim k ≤ err m co l gm để tìm nghiệm (2.12) với xấp xỉ ban đầu z0 = (1, 1, 1) ∈ R3 αm = (1 + m)−1/8 , βm = (1 + m)−1/2 va dừng tính tốn, với err sai số cho trước Sau kết tính tốn n ac th si 39 m kx0 − zm k err 10 9.3115 ×10−3 1.6250 ×10−2 50 3.9691 ×10−5 6.9863 ×10−5 100 1.1444 ×10−6 2.0268 ×10−6 200 1.1811 ×10−8 2.1096 ×10−8 Bảng 2.1 Kết tính tốn cho phương pháp hiệu chỉnh (1.14) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 Kết luận Luận văn đề cập đến vấn đề sau: lu an • Trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu, va hemi-liên tục không gian Banach, sở giải phương n trình tốn tử phụ thuộc tham số trường hợp vế phải không trường hợp vế phải khác khơng gh tn to p ie • Giới thiệu cách chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch oa nl w suy rộng, sở đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh tới nghiệm xác hệ phương trình tốn tử cho d • Đưa ví dụ số minh họa cho tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu an [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội n va pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ie gh tn to [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương p [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội oa nl w d Tiếng Anh an lu [4] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu (2000), Fixed point theory for va oi lm ul nf lipschitzian-type mappings with applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [5] Ya.I Alber (1975), "On solving nonlinear equations involving mono- z at nh tone operators in Banach spaces", Sibirian Mathematics Journal, 26, 3–11 z @ [6] Y Alber, I.P Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of l gm monotone types, Springer Verlag an Lu Banach spaces, Acad.Bucuresti Romania m co [7] V Barbu (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in n va [8] Ng Buong (2005), "On monotone ill-posed problems", Acta Mathematica Sinica, 21(5), 1001–1004 ac th si 42 [9] Ng Buong (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), 372–378 [10] Ng Buong, T.T Huong, and Ng.T.T Thuy (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20(2), 187–197 [11] F.E Browder (1966), "Existence and approximation of solutions of lu an nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sei U.S.A, 56(4), 1080–1086 n va tn to [12] I Ekeland, R Temam (1970), Convex analysis and variational problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland ie gh p [13] A Neubauer (1998), "An a-posteriori parameter choice for Tikhonov oa nl w regularization in Hilbert scales leading to optimal convergence rates", SIAM Journal Numer Math., 25, 1313–1326 d [14] Ng.T.T Thuy (2012), "Regularization for a system of inverse-strongly monotone operator equations", Nonlinear Funct Anal Appl., 17(1), ul nf va an lu 71–87 oi lm [15] A.N Tikhonov (1963), "Regularization of inorrectly posed problems and the regularization method", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 4, z at nh 1624–1627 [16] M.M Vainberg (1972), Variational method and method of monotone z m co l gm @ operators in the theory of nonlinear equations, M Nauka, in Russian an Lu n va ac th si