Đang tải... (xem toàn văn)
��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC �������o0o������� H� V�N DÜ PH×ÌNG PH�P HI�U CH�NH H� PH×ÌNG TR�NH TO�N TÛ TRONG KHÆNG GIAN BANACH LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N, 10/2018 c ��I HÅC[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o H VN DÜ PH×ÌNG PHP HIU CHNH H PH×ÌNG TRNH TON TÛ TRONG KHỈNG GIAN BANACH LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 10/2018 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o H VN DÜ PH×ÌNG PHP HIU CHNH H PHìèNG TRNH TON T TRONG KHặNG GIAN BANACH Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 8460112 LUN VN THC S TON HC GIO VIN HìẻNG DN PGS.TS NGUYN THÀ THU THÕY THI NGUYN, 10/2018 c iii Mửc lửc BÊng kỵ hiằu M Ưu Chữỡng B i to¡n °t khỉng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov 1.1 1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh 1.1.1 Khæng gian Banach 1.1.2 To¡n tû khæng gian Banach 1.1.3 B i to¡n °t khæng ch¿nh 15 1.1.4 V½ dư v· b i to¡n °t khỉng ch¿nh 16 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 17 1.2.1 To¡n tû hi»u ch¿nh 17 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov 19 Ch÷ìng Hiằu chnh hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ ngữủc ỡn iằu mÔnh 21 2.1 2.2 Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ °t khæng ch¿nh 21 2.1.1 Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ 21 2.1.2 Mët sè b i to¡n li¶n quan 22 Hi»u ch¿nh hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ ngữủc ỡn iằu mÔnh 24 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 24 2.2.2 Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp 2.2.3 XĐp x hỳu hÔn chiÃu 28 c 25 iv Kát luên 35 Ti liằu tham khÊo 36 c BÊng kỵ hi»u H khæng gian Hilbert thüc X khæng gian Banach X khổng gian ối ngău cừa X SX mt cƯu ìn cõa X R tªp c¡c sè thüc Rn khỉng gian Euclid n chi·u ∀x vỵi måi x D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tỷ A I toĂn tỷ ỗng nhĐt L(X, Y ) têp tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc tø khæng gian Banach X v o khæng gian Banach Y C[a, b] khổng gian cĂc hm liản tửc trản oÔn [a, b] lp khỉng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p Lp [a, b] khỉng gian c¡c h m kh£ tẵch bêc p trản oÔn [a, b] d(x, C) khoÊng cĂch tứ phƯn tỷ x án têp hủp C lim supn xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf n xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn → x0 d¢y {xn } hëi tư mÔnh và x0 xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 Js Ănh xÔ ối ngău tờng quĂt J Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Fix(T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T c M Ưu KhĂi niằm bi toĂn t khổng chnh ữủc nh To¡n håc Jacques Hadamard ng÷íi Ph¡p ÷a v o nôm 1932 nghiản cựu Ênh hững cừa bi toĂn giĂ tr biản vợi phữỡng trẳnh vi phƠn ặng l ngữới  ch nhỳng bi toĂn khổng ờn nh l "b i to¡n °t khæng ch¿nh" (xem wikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard) X²t bi toĂn ngữủc: tẳm mởt Ôi lữủng vêt lỵ x X chữa biát tứ bở dỳ kiằn (f0 , f1 , , fN ) ∈ Y N +1 , ð ¥y X v Y l c¡c khổng gian Banach, N Trản thỹc tá, cĂc dỳ kiằn ny thữớng khổng ữủc biát chẵnh xĂc, m ch ữủc biát xĐp x bi fi Y thọa m¢n kfiδ − fi k ≤ δi , i = 0, 1, , N, (1) vỵi δi > (sai số cho trữợc) Bở hỳu hÔn dỳ ki»n fiδ ∈ Y , i = 0, 1, , N nhên ữủc bơng viằc o Ôc trỹc tiáp trản cĂc tham số Bi toĂn ny ữủc mỉ h¼nh hâa to¡n håc bði Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (2) ð ¥y Ai : D(Ai ) ⊆ X Y v D(Ai ) l kỵ hiằu miÃn xĂc ành cõa to¡n tû Ai t÷ìng ùng B i to¡n (2), nâi chung, l mët b i to¡n °t khæng ch¿nh theo nghắa nghiằm khổng nhĐt v nghiằm cừa bi toĂn khổng phử thuởc liản tửc vo dỳ kiằn ban Ưu Do â, ng÷íi ta ph£i sû dưng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ên ành b i to¡n n y Mët c¡c ph÷ìng phĂp ữủc sỷ dửng khĂ rởng rÂi v hiằu quÊ l phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov Mửc tiảu cừa luên vôn l trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov c hiằu chnh hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ (2) trữớng hủp toĂn tỷ A0 ỡn iằu, hemi-liản tửc, cỏn c¡c to¡n tû Ai , i = 1, , N cõ tẵnh chĐt ngữủc ỡn iằu mÔnh khổng gian Banach thỹc phÊn xÔ X bi bĂo [9] cổng bố nôm 2018 Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng giợi thi»u kh¡i ni»m v· khỉng gian Banach, to¡n tû ìn iằu, ỡn iằu cỹc Ôi, toĂn tỷ liản tửc, khÊ vi Fr²chet khỉng gian Banach cịng mët sè t½nh chĐt; nh nghắa v vẵ dử và bi toĂn ngữủc t khổng chnh; trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh BrowderTikhonov hiằu chnh phữỡng trẳnh toĂn tỷ ỡn iằu Chữỡng giợi thiằu và hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t khổng chnh, trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ ngữủc ỡn iằu mÔnh v xĐp x hỳu hÔn chiÃu nghiằm nghiằm chnh khổng gian Banach cĂc nh lỵ hởi tử mÔnh Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hồc têp, nghiản cựu TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án cĂc thƯy, cổ khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi håc Th¡i Nguy¶n °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS Nguyạn Th Thu Thừy - Ngữới  tên tẳnh hữợng dăn tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn tợi Ban giĂm hiằu Trữớng PTDTBT THCS Trung H, x Trung H, huyằn Chiảm Hõa, tnh Tuyản Quang  luổn tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho t¡c gi£ ho n th nh khâa håc Ch¥n th nh c£m ìn gia ẳnh, ỗng nghiằp, bÔn b  luổn cờ vụ, ởng viản tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu./ ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2018 TĂc giÊ luên vôn H Vôn Dỹ c Chữỡng B i to¡n °t khỉng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov Chữỡng ny giợi thiằu và bi toĂn t khổng chnh khổng gian Banach; trẳnh by vẵ dử và b i to¡n °t khỉng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov hi»u ch¿nh b i to¡n n y Nëi dung cõa ch÷ìng ÷đc têng hđp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4] v [5] 1.1 B i to¡n °t khỉng ch¿nh Mưc n y trẳnh by cĂc kián thực vÃ: khổng gian Banach, bi toĂn ngữủc t khổng chnh v vẵ dử và bi toĂn ngữủc t khổng chnh 1.1.1 Khổng gian Banach Trữợc hát ta nhưc lÔi mởt số khĂi niằm và khổng gian ành chu©n v khỉng gian Banach (xem [3]) ành nghắa 1.1.1 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh trản trữớng số thỹc R nh xÔ k.k : X R ữủc gồi l mởt chuân trản X náu nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) ||x|| ≥ vỵi måi x ∈ X ; ||x|| = v ch¿ x = 0; c (ii) ||kx|| = |k|||x|| vỵi måi x ∈ X , vỵi måi k ∈ R; (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vỵi måi x, y ∈ X Khỉng gian tuyán tẵnh X vợi chuân k.k xĂc nh nhữ trản ữủc gồi l khổng gian nh chuân, kỵ hiằu l (X, ||.||) nh nghắa 1.1.2 DÂy {xn } khổng gian nh chuân X ữủc gồi l hởi tử yáu tợi phƯn tỷ x0 X , kỵ hiằu l xn * x0 , náu vợi mồi f X ∗ , khỉng gian li¶n hđp cõa X , ta câ f (xn ) → f (x0 ) n Nhên xt 1.1.3 Mởt dÂy hởi tử mÔnh thẳ hởi tử yáu, iÃu ngữủc lÔi khổng úng Vẵ dử, khổng gian Hilbert l2 ta lĐy d¢y (e1 , e2 , , en , ) cho 1, i = j hei , ej i = 0, i 6= j Khi â, vỵi måi ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , , ϕn , ) ∈ l2 ta câ hej , i = j Vẳ l2 nản lim ϕj = 0, tùc l d¢y (e1 , e2 , , en , ) hởi tử yáu án j phƯn tỷ Những dÂy ny khổng hởi tử mÔnh vẳ kei ej k = vỵi måi i kh¡c j , nản dÂy (e1 , e2 , , en , ) khỉng ph£i l d¢y Cauchy l2 Chú ỵ 1.1.4 Trong khổng gian nh chuân X náu dÂy {xn } hởi tử mÔnh án x0 thẳ xn * x0 v kxn k kx0 k nh nghắa 1.1.5 Khổng gian nh chuân Ưy ừ ữủc gồi l khổng gian Banach Sau Ơy ta dũng kỵ hiằu k.k cho chuân X v X v viát tẵch ối ngău hx , xi thay cho giĂ tr cừa phiám hm tuyán tẵnh x X tÔi im x X , tực l hx∗ , xi = x∗ (x) V½ dư 1.1.6 C¡c khỉng gian sau ¥y l khỉng gian Banach: (i) khỉng gian hỳu hÔn chiÃu Rn vợi chuân xĂc nh bi: n X 1 2 ||x||2 = |xi | , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ; i=1 c (ii) khæng gian C[a, b] cĂc hm liản tửc trản oÔn [a, b] vợi chuân xĂc nh bi: ||f || = sup {|f (x)|} , f ∈ C[a, b] x∈[a,b] ành ngh¾a 1.1.7 Khổng gian Banach X ữủc gồi l phÊn xÔ náu vợi mồi phƯn tỷ x X , khỉng gian li¶n hđp thù hai cõa X , ·u tỗn tÔi phƯn tỷ x X cho x (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ X ∗ V½ dư 1.1.8 (i) Khỉng gian Rn , khỉng gian Hilbert H , khæng gian lp v Lp [a, b] vỵi < p < ∞ l c¡c khỉng gian phÊn xÔ (ii) CĂc khổng gian l1 , L1 khổng phÊn xÔ nh lỵ sau Ơy ữủc dũng cho chựng minh sü hëi tư cõa ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh ð Ch÷ìng Gi£ sû X l khỉng gian Banach Khi â, c¡c m»nh · sau l t÷ìng ÷ìng: (i) X l khổng gian phÊn xÔ (ii) Mồi dÂy b chn X Ãu cõ dÂy hởi tử yáu nh lỵ 1.1.9 (xem [4]) nh nghắa 1.1.10 Khổng gian Banach X ữủc gồi l (i) lỗi cht náu vợi mồi x, y thc m°t c¦u ìn SX cõa khỉng gian Banach X , SX := x ∈ X : kxk = , x 6= y , th¼ k(1 − λ)x + λyk < 1, λ ∈ (0, 1); (ii) lỗi Ãu náu vợi mồi < ≤ 2, kxk ≤ 1, kyk ≤ v kx yk thẳ tỗn tÔi = () > cho x + y < − δ V½ dư 1.1.11 (i) Khỉng gian Rn , n vợi chuân kxk2 ữủc xĂc nh nhữ Vẵ dử 1.1.6(i) l khổng gian lỗi ch°t c ... tuyán tẵnh liản tửc tứ khổng gian Banach X vo khæng gian Banach Y C[a, b] khæng gian c¡c h m liản tửc trản oÔn [a, b] lp khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc p Lp [a, b] khổng gian cĂc hm khÊ... khỉng gian Banach, b i to¡n ng÷đc °t khỉng ch¿nh v vẵ dử và bi toĂn ngữủc t khổng chnh 1.1.1 Khổng gian Banach Trữợc hát ta nhưc lÔi mởt số kh¡i ni»m v· khỉng gian ành chu©n v khỉng gian Banach. .. vợi mồi dÂy {xn } X hởi tử y¸u ¸n x ∈ X (xn * x), kxn k kxk thẳ dÂy {xn } hởi tử mÔnh án x (xn → x) 1.1.2 To¡n tû khæng gian Banach Cho X v Y l c¡c khæng gian Banach Trong luên vôn ny ta xt