Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHAN THỊ THU HUYỀN lu an n va to p ie gh tn MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHAN THỊ THU HUYỀN lu an n va gh tn to MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG p ie TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP Mã số: 46 01 13 d oa nl w Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si Mục lục Trang Lời nói đầu lu an va n Chương Một số kiến thức phép tính sai phân to 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân ie gh tn 1.1 Định nghĩa p 1.3 Định lý tồn nghiệm 12 1.4 Toán tử ∆ E 13 w oa nl 1.5 Các tính chất tốn tử sai phân 16 d 1.6 Toán tử ∆−1 phép lấy tổng 20 va an lu Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 24 ul nf Chương oi lm 2.1 Các định nghĩa 24 2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng 26 z at nh 2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 28 z @ 2.3.1 Phương trình tuyến tính tổng quát 28 l gm 2.3.2 Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn 31 2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rk yk 35 m co 2.4 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 35 an Lu 2.4.1 Tính tổng 35 2.4.2 Dãy Số Fibonacci 42 va n 2.4.3 Đa thức Chebyshev 44 ac th si 2.4.4 Một số dạng toán liên quan tới dãy số 47 Kết luận 53 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Phương trình sai phân lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan lu tâm tính hữu hiệu giải số mơ hình đề xuất, ta an va tham khảo ứng dụng đa dạng phương trình sai phân tài liệu n [3] tài liệu tham khảo Bên cạnh ứng dụng mạnh gh tn to mẽ phương trình sai phân nghiên cứu mơ hình phức tạp ie phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu giải toán p chương trình phổ thơng như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổng nl w quát, chứng minh bất đẳng thức, d oa Luận văn gồm có hai chương an lu Chương trình bày lại số kiến thức liên quan tới phương trình sai phân định lý tồn nghiệm, toán tử ∆ toán tử ul nf va E, toán tử ∆−1 , oi lm Chương nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới z at nh thiệu số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp Phần cuối chương trình bày vài ứng dụng z gm @ phương trình sai phân việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát dãy số số toán liên quan l Để thực hoàn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm m co ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phận Sau đại học - Phòng đào an Lu tạo, Khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyên n trình hoc tập nghiên cứu va quý thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ em suốt ac th si Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè anh chị lớp tạo điều kiện giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh người hướng dẫn khoa học trực tiếp dành thời gian, cơng sức hướng dẫn em q trình nghiên cứu thực luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 lu an Học viên n va gh tn to Phan Thị Thu Huyền p ie d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức phép lu an n va tính sai phân gh tn to Trong chương trình bày kiến thức ie p liên quan tới phép tính sai phân, định nghĩa định lý nghiệm, nl w tồn nghiệm; toán tử sai phân ∆ tính chất oa bản, tốn tử dịch chuyển E Nội dung chương tham d khảo Chương Chương tài liệu [2], Chương tài Định nghĩa oi lm ul 1.1 nf va an lu liệu [3] Một dãy số hàm mà miền xác định tập số nguyên z at nh Trong phần này, xét dãy mà miền xác định số nguyên không âm Ta ký hiệu số hạng tổng quát dãy yk sử z Cho dãy số {yk } thỏa mãn l gm @ dụng ký hiệu {yk } để biểu diễn dãy y0 , y1 , y2 , yk+n = F (k, yk+n−1 , yk+n−2 , , yk ) m co (1.1) an Lu Khi cho trước giá trị ban đầu ta tính tốn giá trị cịn lại Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng n giá trị liên tiếp va n yk xác định cách cụ thể dãy {yk } xác định ac th Các giá trị cụ thể gọi điều kiện ban đầu si Định nghĩa sau cho ta liên hệ dãy phương trình sai phân Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường quan hệ có dạng cho trước phương trình (1.1) Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình sai phân hiệu số cao số thấp xuất phương trình Phương trình cho dạng (1.1) phương trình sai phân cấp n lu an thành phần yk xuất hàm F vế phải Chú n va ý dịch chuyển số không đổi cấp phương trình sai tn to phân Chẳng hạn với số nguyên r (1.2) p ie gh yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1 , yk+n+r−2 , , yk+r ) oa nl (1.1) w phương trình sai phân cấp n tương đương với phương trình d Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân gọi tuyến tính lu va an cho dạng ul nf yk+n + a1 (k)yk+n−1 + a2 (k)yk+n−2 + · · · + an−1 (k)yk+1 + an (k)yk = Rk , oi lm (1.3) z at nh (k), i = 1, 2, , n Rk hàm k cho trước Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân gọi phi tuyến z gm @ khơng tuyến tính m co φ(k) thỏa mãn phương trình l Định nghĩa 1.5 Một nghiệm phương trình sai phân hàm an Lu Các ví dụ sau làm rõ định nghĩa vừa đưa phần n va ac th si Ví dụ 1.1 Xét số phương trình sau yk+1 − 3yk + yk−1 = e−k (bậc hai, tuyến tính), yk+1 = yk2 (bậc một, phi tuyến), yk+4 − yk = k2k (bậc bốn, tuyến tính), yk+1 = yk − (1/100)yk2 (bậc một, phi tuyến), lu yk+3 = cos yk (bậc ba, phi tuyến), k yk+2 + (3k − 1)yk+1 − yk = (bậc hai, tuyến tính) k+1 an va Ví dụ 1.2 Hàm n φ(k) = 2k ie gh tn to nghiệm phương trình vi phân tuyến tính bậc p yk+1 − 2yk = 0, oa nl w thay φ(k) vào phương trình, ta thu d 2k+1 − 2.2k = an lu Ví dụ 1.3 Phương trình phi tuyến bậc oi lm ul nf va có nghiệm yk+1 − yk2 = √ k+c z at nh φ(k) = (1.4) c số Thật vậy, φ(k) vào phương trình (1.4) thu z gm @ Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai an Lu yk+1 − yk−1 = m co l √ √ ( k + + c)2 − ( k + c)2 = (k + + c) − (k + c) = (1.5) va n có hai nghiệm, φ2 (k) = ac th φ1 (k) = (−1)k , si Gọi c1 c2 hai số tùy ý Bây giờ, ta thấy hàm ϕ(k) = c1 ϕ1 (k) + +c2 ϕ2 (k) = c1 (−1)k + c2 nghiệm Thật vậy, ϕ(k) phương trình (1.5) ta c1 (−1)k+1 + c2 − c1 (−1)k−1 − c2 = 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân lu Giả sử yk phần tử tổng quát dãy {yk } xác định theo an hàm cụ thể k n số c1 , c2 , , cn Bây va n giờ, ta yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n gh tn to Theo giả thiết, ta có yk = f (k, c1 , c2 , , cn ) (1.6) p ie nl w yk+1 = f (k + 1, c1 , c2 , , cn ), (1.7) d oa an lu yk+n = f (k + n, c1 , c2 , , cn ) nf va Đây dãy gồm n + phương trình với n số ci , i = 1, 2, , n oi lm ul Khử số ci ta nhận quan hệ có dạng G(k, yk , yk+1 , , , yk+n−1 ) = (1.8) z at nh Đây phương trình sai phân cấp n Như vậy, phần tử tổng z quát yk dãy {yk } biểu diễn hàm k n số @ l gm yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev xác định biểu thức sau cos(k cos−1 x), k = 0, 1, 2, , ; |x| < (1.9) an Lu 2k−1 m co Ck (x) = Bây ta hàm quan hệ truy hồi với theo phương (1.10) ac th Ck+1 (x) − xCk (x) + Ck−1 (x) = n va trình sau si 24 Chương Phương trình sai phân tuyến tính lu an n va ứng dụng gh tn to Chương hệ thống lại khái niệm, định nghĩa nghiệm,cách tìm ie p nghiệm phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời trình bày nl w số ứng dụng phương trình sai phân giải số tập tốn phổ oa thơng Nội dung chương tham khảo chủ yếu Chương d tài liệu [1], Chương tài liệu [2] an lu Các định nghĩa ul nf va 2.1 oi lm Định nghĩa 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính hệ thức tuyến tính sai phân cấp, có dạng: z at nh F (xn , ∆xn , ∆2 xn , , ∆k xn ) = 0, (2.1) z xn hiểu sai phân cấp hàm xn , ∆k xn sai phân @ l gm cấp k xn , k gọi bậc phương trình m co Định nghĩa 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính hàm xn hệ thức tuyến tính giá trị hàm xn điểm khác nhau, an Lu có dạng sau: va Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak xn = fn , (2.2) n ac th si 25 hệ số a0 , , ak , a0 6= 0, ak 6= số hay hàm số n; h bước lưới, tức h = |xn+1 − xn |; Lh (xn ) toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm số xn xác định lưới có bước lưới h; fn hàm biến số n; xn ẩn số cần tìm Định nghĩa 2.3 Nếu fn ≡ phương trình (2.2) gọi phương lu trình sai phân tuyến tính nhất; an Nếu fn 6= phương trình (2.2) gọi phương trình sai phân va tuyến tính khơng nhất; n gh tn to Nếu fn ≡ a0 6= 0, ak 6= 0, phương trình (2.2) trở thành (2.3) p ie Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak xn = số; oa nl w gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k với hệ số d Nếu a0 , a1 , a2 , , ak hàm n (2.2) phương trình sai va an lu phân tuyến tính với hệ số biến thiên ul nf Định nghĩa 2.4 (Nghiệm phương trình sai phân) Hàm số xn oi lm với biến n, thỏa mãn phương trình (2.2) gọi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (2.2) z at nh Hàm số x˜n phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (2.3) gọi nghiệm tổng z quát phương trình sai phân tuyến tính (2.3), với @ gm tập giá trị ban đầu x0 , x1 , , xk−1 , ta xác định l tham số C1 , C2 , , Ck để nghiệm x˜n trở thành nghiệm riêng (2.3), xk−1 m co tức vừa thỏa mãn (2.3) vừa thỏa mãn x˜0 = x0 , x˜1 = x1 , , x˜k−1 = an Lu Định lý 2.1 Nghiệm tổng quát (2.2) xn = x˜n +x∗n , x˜n va n nghiệm tổng quát (2.3) x∗n nghiệm riêng (2.2) ac th si 26 Chứng minh Thật vậy, Lh xn = L(˜ xn + x∗n ) = Lh x˜n + Lh x∗n = + fn Do xn nghiệm (2.2) Định lý 2.2 Nếu xn1 , xn2 , , xnk k nghiệm độc lập tuyến tính (2.3), tức từ hệ thức C1 xn1 + C2 xn2 + · · · + Ck xnk = lu an ta suy C1 = C2 = · · · = Ck = 0, nghiệm tổng quát x˜n (2.3) có n va dạng C1 , C2 , , Ck số tùy ý ie gh tn to x˜n = C1 xn1 + C2 xn2 + · · · + Ck xnk , p Chứng minh Sử dụng tính tuyến tính Lh ta dễ dạng điều Cách tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng d 2.2 oa nl w phải chứng minh an lu va Vì phương trình (2.3) ln có nghiệm xn = nên để tìm ul nf nghiệm tổng quát, ta tìm nghiệm xn dạng xn = Cλn , C 6= 0, λ 6= oi lm Thay xn = Cλn vào phương trình (2.3), ước lược cho Cλn 6= ta nhận z at nh Lh λ = a0 λk + a1 λk−1 + · · · + ak = (2.4) z Phương trình (2.4) gọi phương trình đặc trưng (2.3) (cũng @ l gm coi phương trình đặc trưng (2.2)) m co Nghiệm tổng quát x˜n phương trình (2.3) an Lu Định lý 2.3 • Nếu (2.4) có k nghiệm thực khác λ1 , λ2 , , λk nghiệm tổng quát x˜n (2.3) có dạng + ··· + = k X i=1 Ci λni ac th Ck λnk n + C2 λn2 va x˜n = C1 λn1 si 27 Ci , i = 1, , k số tùy ý; • Nếu (2.4) có nghiệm thực λj bội s, ngồi nghiệm λnj ta lấy thêm s − nghiệm dạng nλnj , n2 λnj , , ns−1 λnj , nghiệm độc lập tuyến tính (2.3) x˜n = s−1 X Cji ni λnj k X + i=0 Ci λni j6=i=1 Cji Ci số tùy ý; lu • Nếu (2.4) có nghiệm phức λj = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (2.4) an có nghiệm liên hợp phức λj = a − ib = r(cos ϕ − i sin ϕ), va n nghiệm tổng qt phương trình (2.3) có dạng Cji Ci • Nếu (2.4) có nghiệm phức λj = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) bội s ie gh tn to số tùy ý; p (2.4) có nghiệm liên hợp phức λj = a − ib = r(cos ϕ − i sin ϕ) bội w s, nghiệm tổng qt phương trình (2.3) có dạng Cji d oa nl Ci số tùy ý an lu Nghiệm riêng x∗n phương trình (2.2) nf va Trong số trường hợp vế phải hàm có dạng đặc biệt ta có oi lm ul thể tìm nghiệm riêng x∗n sau: Trường hợp Nếu fn đa thức bậc m n có dạng fn = Pm (n), m ∈ z at nh N • Nếu nghiệm λ1 , λ2 , , λk nghiệm khác phương trình z đặc trưng n va Trường hợp Nếu fn = β n Pm (n) an Lu x∗n = ns Qm (n) m co • Nếu nghiệm λ bội s l Qm (n) đa thức bậc m gm @ x∗n = Qm (n) ac th • Nếu nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm khác si 28 β x∗n = β n Qm (n) Qm (n) đa thức bậc m • Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = β bội s x∗n = ns β n Qm (n) Trường hợp Nếu fn = α cos(nx) + β n sin(nx) nghiệm riêng có dạng lu x∗n = A cos(nx) + B sin(nx) an n va Trường hợp Nếu fn = fn1 + fn2 + · · · + fns nghiệm riêng x∗ni ứng tn to với hàm fni Khi p ie gh x∗n = x∗n1 + x∗n2 + · · · + x∗ns 2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai nl w d oa phân tuyến tính cấp Phương trình tuyến tính tổng qt an lu 2.3.1 ul nf va Dạng tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp yk+1 − pk yk = qk , oi lm (2.5) có phương trình z at nh pk qk hàm cho trước Nếu qk đồng ta z yk+1 − pk yk = gm @ (2.6) l Đối với trường hợp khác phương trình (2.5) phương trình m co khơng Nghiệm tổng quát phương trình (2.5) tổng nghiệm phương trình (2.6) nghiệm riêng an Lu phương trình (2.5) ac th tìm dạng hữu hạn n va Bây ta chứng minh nghiệm tổng quát phương trình (2.5) si 29 Đầu tiên ta xét phương trình (2.6) Chú ý y1 cho trước y = p1 y , y = p2 y yk−1 = pk−2 yk−2 yk = pk−1 yk−1 Nhân lại với ta lu an yk =y1 p1 p2 pk−2 pk−1 va n =y1 k−1 Y (2.7) i=1 Vì y1 có thất lấy giá trị nên ta hy vọng biểu thức (2.7) nghiệm ie gh tn to pi p tổng quát phương trình (2.6) d oa nl w Bây ta xét phương trình khơng (2.5) Chia hai vế Q cho ki=1 pi ta yk qk yk+1 − Qk−1 = Qk , Qk p p p i=1 i i=1 i i=1 i va an lu ta viết nf ul ∆ ! y pi i=1 qk = Qk i=1 pi oi lm Qk−1 z at nh Do đó, nghiệm riêng phương trình (2.5) ! yk qk −1 , Qk−1 = ∆ Qk p p i=1 i i=1 i z i=1 qi Qi ! r=1 pr i=1 m co pi ! k−1 X l yk = k−1 Y gm @ ta viết lại sau an Lu Nghiệm tổng quát (2.5) tổng nghiệm nghiệm khơng có dạng sau qi Qi i=1 r=1 pr ! , ac th i=1 pi ! k−1 X n i=1 pi + k−1 Y va yk A k−1 Y si 30 A số Ví dụ 2.1 Phương trình sai phân với hệ số có dạng sau yk+1 − βyk = 0, β = const Điều có nghĩa pk = β Do đó, từ phương trình (2.7) nghiệm yk A k−1 Y β = Cβ k , lu i=1 an C = A/β số n va tn to Ví dụ 2.2 Bây giờ, ta xét phương trình khơng p ie gh yk+1 − βyk = α, α β số Với trường hợp này, ta có pk = β d oa nl w gk = α Do k−1 X qi lu Qi r=1 pr k−1 X i=1 r − rk r = 1−r i k−1 X β −i − β −k+1 = β−1 z i=1 z at nh suy k−1 k−1 X X α = =α β −i i β i=1 i=1 oi lm ul nf va an i=1 Từ khẳng định ! với C số n va yk+1 − yk = α, an Lu Khi β = 1, ta có m co α , β−1 l gm yk Cβ k − @ Do đó, với β 6= 1, nghiệm tổng quát ac th si 31 với pk = qk = α Khi đó, k−1 Y pk = i=1 k−1 X Qk−1 r=1 i=1 = 1, i=1 ! qi k−1 Y pr k−1 X =α (1) = α(k − 1) i=1 Do đó, với β = nghiệm tổng quát lu yk = A + α(k − 1) = C + αk, an n va A C = A − α số Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn gh tn to 2.3.2 p ie Phương trình sai phân tuyến tính khơng dạng (2.8) ∆yk = (n + 1)k n (2.9) nl w yk+1 − yk = (n + 1)k n d oa viết lại sau an lu nf va n số nguyên ∆yk = 0, oi lm ul Xét phương trình sau nghiệm tương ứng (2.10) z at nh ∆yk = 1, yk = A; yk = k + A; (2.11) yk = k − k + A; ∆yk = 3k , yk = k − k + k + A; 2 ∆yk = 2k, (2.12) z @ m co l gm (2.13) Trong trường hợp trên, A số Với n bất kỳ, ta n (2.14) ac th i=1 in + A, n yk = (n + 1)∆ (k ) = (n + 1) k−1 X va −1 an Lu có si 32 cho ta yk đa thức bậc (n + 1) Đa thức Bernoulli Bn (k) định nghĩa nghiệm phương trình sai phân sau Bn (k + 1) − Bn (k) = nk n−1 (2.15) λekλ , G(k, λ) = λ e −1 (2.16) lim G(k, λ) = (2.17) Ta đặt lu an λ→0 va Khai triển phương trình (2.16) thành chuỗi theo λ ta n ∞ X gh tn to λn G(k, λ) = Bn (k) n! n=0 (2.18) p ie Đống hai vế phương trình (2.18) theo lũy thừa λ, ta tìm Bn (k) w thỏa mãn phương trình (2.15) Do đó, ngoại trừ số A chưa biết, oa nl nghiệm phương trình sai phân cho phương trình d (2.10)-(2.13) ba đa thức Bernoulli lu an Ta xác định số cách đặt A = Bn (0), đó, Bn (0) nf va số Bernoulli Giá trị chúng tính cách cho k = oi lm ul phương trình (2.16) (2.17), −1 X ∞ λ λ λ2 λn = 1+ + + = Bn (0) eλ − 2! 3! n! n=0 (2.19) z at nh So sánh với lũy thừa λ ta thu z m co l gm @ B0 (0) = 1, B1 (0) = − , B2 (0) = , B3 (0) = 0, B4 (0) = − , B5 (0) = 0, 30 B6 (0) = , 42 an Lu n va ac th si 33 Các đa thức Bernoulli tương ứng B0 (k) = B1 (k) = k − B2 (k) = k − k + B3 (k) = k − k + k 2 30 5 B5 (k) = k − k + k − k B4 (k) = k − 2k + k − lu an n va gh tn to Từ đây, ta viết lại phương trình sai phân khơng sau ie p yk+1 − yk = n X am k m , (2.20) m=0 w oa nl đó, am số cho trước nghiệm biểu diễn d theo đa thức Bernoulli lu an Ta ý đa thức Bernoulli biểu diễn hàm nf va k với Bn (k) bậc n Nó biểu diễn k n tổng đa oi lm ul thức Bernoulli Sử dụng kết cho phía trên, ta thu k = B1 (k) + k = B2 (k) + B1 (k) + 3 k = B3 (k) + B2 (k) + B1 (k) + 2 19 k = B4 (k) + 2B3 (k) + 2B2 (k) + B1 (k) + 30 n Ta k có biểu diễn sau n X n+1 n k = Bi (k) (2.21) n i=0 i z at nh z m co l gm @ an Lu n va Ví dụ 2.3 Phương trình ac th yk+1 − yk = − k + 2k (2.22) si 34 có nghiệm riêng yk = = k−1 X i=1 k−1 X (1 − i + 2i3 ) k−1 X (1) − i=1 i+2 k−1 X i=1 =(k − 1) − i3 i=1 k(k − 1) (k − 1)2 k + 2 Nghiệm tổng quát lu an yk = k − k + k + A, 2 n va biểu diễn cuối viết lại sau gh tn to A số Theo biểu diễn đa thức Bernoulli, p ie 1 yk = B1 (k) − B2 (k) + B4 (k) + A1 , 2 (2.23) nl w A1 hàm số d oa Kết phương trình (2.20) viết an lu cách lưu ý phương trình (2.23) phương trình tuyến tính đó, nghiệm riêng tổng nghiệm riêng ul nf va phương trình có dạng oi lm yk+1 − yk = αm k m , αm Bm+1 (k), m+1 l gm @ phương trình (2.24) trở thành (2.25) z yk = (2.24) z at nh Qua phép biến đổi, ta có ≤ m ≤ n Bm+1 (k + 1) − Bm+1 (k) = (m + 1)k m , m co (2.26) an Lu phương trình sai phân xác định đa thức Bernoulli Do đó, từ hệ số am biết, nghiệm riêng thu từ n va (2.25) ac th si 35 2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rk yk Cho Rk hàm phân thức theo k biểu diễn sau C(k − α1 )(k − α2 ) (k − αn ) , (k − β1 )(k − β2 ) (k − βn ) Rk = (2.27) C αi , βi số Do Γ(k + − αi ) = (k − αi )Γ(k − αi ), lu nên nghiệm phương trình yk+1 = Rk yk có dạng an n va yk = AC k Γ(k − α1 )Γ(k − α2 ) Γ(k − αn ) , Γ(k − β1 )Γ(k − β2 ) Γ(k − βm ) gh tn to A số p ie Ví dụ 2.4 Phương trình oa nl w yk+1 = (k − k )yk viết lại sau d lu va an yk+1 = (−)k(k − 1)yk oi lm ul nf Nghiệm phương trình yk = A(−)Γ(k)Γ(k − 1) = A(−)k (k − 1)Γ2 (k − 1), z at nh A số Một số ứng dụng giải toán sơ cấp gm @ Tính tổng m co l 2.4.1 z 2.4 Xét tổng hữu hạn sau đây: (2.28) n va n=0 f (n), an Lu Sk = k X ac th si 36 f (n) hàm cho trước n Bây giờ, ta trình bày quy trình để tính Sk Ta có Sk+1 = k+1 X f (n) = n=0 k X f (n) + f (k + 1) (2.29) n=0 Từ phương trình (2.28) (2.29) cho thấy Sk phải thỏa mãn phương trình vi phân bậc nhất, tuyến tính, khơng đồng sau: lu Sk+1 − Sk = f (k + 1), (2.30) S0 = f (0) (2.31) an với điều kiện ban đầu n va phương trình (2.31) cho ta tổng chuỗi hữu hạn biểu diễn gh tn to Do đó, nghiệm phương trình (2.30) với điều kiện cho p ie phương trình (2.28) nl w Ví dụ 2.5 Tính tổng k X d oa Sk = n, n=0 lu va an f (n) = n Ta có oi lm ul nf Sk+1 − Sk = k + Nghiệm phương trình nghiệm riêng tương ứng = c, Sk = k(k + 1) , z với c số Do đó, (P ) z at nh (H) Sk @ k(k + 1) k(k + 1) (2.32) ac th n=0 an n Sk = k X va Ví dụ 2.6 Tính tổng an Lu Sk = m co S0 = 0, ta thu c = kết l gm Sk = c + si 37 Ta có f (n) = an , a 6= Phương trình vi phân cần giải Sk+1 − Sk = ak+1 , S0 = (2.33) Nghiệm chung phương trình (2.33) ak+1 Sk = c + −1 a lu an c số tùy ý xác định điều kiện S0 = n va Điều cho c giá trị 1−a Hệ tổng phương trình (2.32) cho biểu thức p ie gh tn to c= Sk = k X an = nl w n=0 ak+1 − a−1 d oa Lưu ý |a| < 1, nf va an lu ∞ X lim Sk = = an k→∞ − a n=0 oi lm ul Chuỗi gọi chuỗi hình học Ví dụ 2.7 Sử dụng Định lý 1.4, tính tổng z at nh An = 1.1! + 2.2! + · · · + n.n! z Bn = (12 + + 1)1! + (22 + + 1)2! + · · · + (n2 + n + 1)n! @ m = 2, m co Cn = cos x + cos 2x + · · · + cos nx l Sn = sin x + sin 2x + · · · + sin nx gm Tm = 1m + 2m + · · · + nm , an Lu Bài giải n va Xét hàm f (k) = fk = k!, ac th ∆fk = ∆k! = fk+1 − fk = (k + 1)! − k! = kk! si 38 Như An = 1.1! + 2.2! + · · · + n.n! = n X kk! = k=1 n X ∆fk = fn+1 − = (n + 1)! − k=1 Xét hàm f (k) = fk = kk!, (k +k+1)k! = (k +2k+1−k)k! = (k+1)2 k!−kk! = (k+1)(k+1)!−kk! = ∆kk! Như lu Bn = (12 + + 1)1! + (22 + + 1)2! + · · · + (n2 + n + 1)n! n n X X = (k + k + 1)k! = ∆fk = (n + 1)(n + 1)! − an va k=1 k=1 n tn to Ta có ie gh T2 = 12 + 22 + · · · + n2 p Xét hàm f (k) = fk = k , d an lu Do n X oa nl w ∆fk = fk+1 − fk = (k + 1)3 − k = 3k + 3k + (3k + 3k + 1) = va k=1 n X ∆k = (n + 1)3 − = n3 + 3n2 + 3n k=1 nf n X oi lm ul Mặt khác 2 3k + z at nh (3k + 3k + 1) = n X k=1 k=1 n X k=1 n X k2 + k=1 n(n + 1) + n 1 n(n + 1) k = n + 3n + 3n − −n 2 ac th n(n + 1)(2n + 1) n = va k=1 k+n an Lu T2 = n X k=1 m co Do l k2 + k=1 n X gm k=1 n X @ =3 3k + z =3 n X si
Ngày đăng: 21/07/2023, 09:00
Xem thêm:
