Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TR[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Trang Lời nói đầu Chương Một số kiến thức phép tính sai phân 1.1 Định nghĩa 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân 1.3 Định lý tồn nghiệm 12 1.4 Toán tử ∆ E 13 1.5 Các tính chất tốn tử sai phân 16 1.6 Toán tử ∆−1 phép lấy tổng 20 Chương Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 24 2.1 Các định nghĩa 24 2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng 26 2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 28 2.3.1 Phương trình tuyến tính tổng qt 28 2.3.2 Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn 31 2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rk yk 35 2.4 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 35 2.4.1 Tính tổng 35 2.4.2 Dãy Số Fibonacci 42 2.4.3 Đa thức Chebyshev 44 2.4.4 Một số dạng toán liên quan tới dãy số 47 Kết luận 53 Lời nói đầu Phương trình sai phân lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan tâm tính hữu hiệu giải số mơ hình đề xuất, ta tham khảo ứng dụng đa dạng phương trình sai phân tài liệu [3] tài liệu tham khảo Bên cạnh ứng dụng mạnh mẽ phương trình sai phân nghiên cứu mơ hình phức tạp phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu giải toán chương trình phổ thơng như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổng quát, chứng minh bất đẳng thức, Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày lại số kiến thức liên quan tới phương trình sai phân định lý tồn nghiệm, toán tử ∆ toán tử E, toán tử ∆−1 , Chương nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới thiệu số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp Phần cuối chương trình bày vài ứng dụng phương trình sai phân việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát dãy số số tốn liên quan Để thực hồn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phận Sau đại học - Phịng đào tạo, Khoa Tốn- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyên quý thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ em suốt trình hoc tập nghiên cứu Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè anh chị lớp tạo điều kiện giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh người hướng dẫn khoa học trực tiếp dành thời gian, cơng sức hướng dẫn em q trình nghiên cứu thực luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Thị Thu Huyền Chương Một số kiến thức phép tính sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan tới phép tính sai phân, định nghĩa định lý nghiệm, tồn nghiệm; toán tử sai phân ∆ tính chất bản, tốn tử dịch chuyển E Nội dung chương tham khảo Chương Chương tài liệu [2], Chương tài liệu [3] 1.1 Định nghĩa Một dãy số hàm mà miền xác định tập số nguyên Trong phần này, xét dãy mà miền xác định số nguyên không âm Ta ký hiệu số hạng tổng quát dãy yk sử dụng ký hiệu {yk } để biểu diễn dãy y0 , y1 , y2 , Cho dãy số {yk } thỏa mãn yk+n = F (k, yk+n−1 , yk+n−2 , , yk ) (1.1) Khi cho trước giá trị ban đầu ta tính tốn giá trị cịn lại Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng n giá trị liên tiếp yk xác định cách cụ thể dãy {yk } xác định Các giá trị cụ thể gọi điều kiện ban đầu Định nghĩa sau cho ta liên hệ dãy phương trình sai phân Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường quan hệ có dạng cho trước phương trình (1.1) Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình sai phân hiệu số cao số thấp xuất phương trình Phương trình cho dạng (1.1) phương trình sai phân cấp n thành phần yk xuất hàm F vế phải Chú ý dịch chuyển số không đổi cấp phương trình sai phân Chẳng hạn với số nguyên r yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1 , yk+n+r−2 , , yk+r ) (1.2) phương trình sai phân cấp n tương đương với phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân gọi tuyến tính cho dạng yk+n + a1 (k)yk+n−1 + a2 (k)yk+n−2 + · · · + an−1 (k)yk+1 + an (k)yk = Rk , (1.3) (k), i = 1, 2, , n Rk hàm k cho trước Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân gọi phi tuyến khơng tuyến tính Định nghĩa 1.5 Một nghiệm phương trình sai phân hàm φ(k) thỏa mãn phương trình Các ví dụ sau làm rõ định nghĩa vừa đưa phần Ví dụ 1.1 Xét số phương trình sau yk+1 − 3yk + yk−1 = e−k yk+1 = yk2 (bậc hai, tuyến tính), (bậc một, phi tuyến), (bậc bốn, tuyến tính), yk+4 − yk = k2k yk+1 = yk − (1/100)yk2 (bậc một, phi tuyến), yk+3 = cos yk (bậc ba, phi tuyến), k yk+2 + (3k − 1)yk+1 − yk = (bậc hai, tuyến tính) k+1 Ví dụ 1.2 Hàm φ(k) = 2k nghiệm phương trình vi phân tuyến tính bậc yk+1 − 2yk = 0, thay φ(k) vào phương trình, ta thu 2k+1 − 2.2k = Ví dụ 1.3 Phương trình phi tuyến bậc − yk2 = yk+1 có nghiệm φ(k) = √ (1.4) k+c c số Thật vậy, φ(k) vào phương trình (1.4) thu √ √ ( k + + c)2 − ( k + c)2 = (k + + c) − (k + c) = Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai yk+1 − yk−1 = có hai nghiệm, φ1 (k) = (−1)k , φ2 (k) = (1.5) Gọi c1 c2 hai số tùy ý Bây giờ, ta thấy hàm ϕ(k) = c1 ϕ1 (k) + +c2 ϕ2 (k) = c1 (−1)k + c2 nghiệm Thật vậy, ϕ(k) phương trình (1.5) ta c1 (−1)k+1 + c2 − c1 (−1)k−1 − c2 = 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân Giả sử yk phần tử tổng quát dãy {yk } xác định theo hàm cụ thể k n số c1 , c2 , , cn Bây giờ, ta yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Theo giả thiết, ta có yk = f (k, c1 , c2 , , cn ) (1.6) yk+1 = f (k + 1, c1 , c2 , , cn ), (1.7) yk+n = f (k + n, c1 , c2 , , cn ) Đây dãy gồm n + phương trình với n số ci , i = 1, 2, , n Khử số ci ta nhận quan hệ có dạng G(k, yk , yk+1 , , , yk+n−1 ) = (1.8) Đây phương trình sai phân cấp n Như vậy, phần tử tổng quát yk dãy {yk } biểu diễn hàm k n số yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev xác định biểu thức sau Ck (x) = 2k−1 cos(k cos−1 x), k = 0, 1, 2, , ; |x| < (1.9) Bây ta hàm quan hệ truy hồi với theo phương trình sau Ck+1 (x) − xCk (x) + Ck−1 (x) = (1.10)