(Luận văn) một số ứng dụng và mở rộng của bất đẳng thức cauchy schwarz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ NGUYỄN PHƯƠNG DUNG lu an MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ n va p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ NGUYỄN PHƯƠNG DUNG lu an MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ n va p ie gh tn to w Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp d oa nl Mã số: 846 01 13 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z Người hướng dẫn: @ m co l gm TS MAI THÀNH TẤN an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si Mục lục Mục lục lu MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz số ứng dụng 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.2 Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz an n va to tn đại số ie gh 1.2.1 Chứng minh số bất đẳng thức cổ điển số Một số ứng dụng khác 18 1.3 Một số ứng dụng hình học lượng giác 25 p bất đẳng thức khác 1.2.2 oa nl w 25 Một số ứng dụng lượng giác 29 nf va an lu 1.3.2 Một số ứng dụng tam giác d 1.3.1 Một số mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 34 lm ul 2.1 Một số bất đẳng thức liên quan 34 Một số dạng đặc biệt bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 34 2.1.2 Một số bất đẳng thức khác 38 2.2 Bất đẳng thc Hăolder 47 2.3 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hàm số 51 z at nh oi 2.1.1 z gm @ 2.4 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho số lượng véctơ hàm số l 68 m co KẾT LUẬN 59 69 an Lu TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) n va ac th si MỞ ĐẦU Bất đẳng thức đề tài hay giữ vai trị đặc biệt quan trọng tốn học Bất đẳng thức có ứng dụng tất lĩnh vực Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác Giải tích Trong kì thi chọn học sinh giỏi, lu Olympic toán sinh viên, toán bất đẳng thức thường xuyên sử an dụng làm đề thi thường dạng khó nên chuyên đề quan va tâm đặc biệt Một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi n tn to bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Chính thế, tơi nhận thấy gh việc nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có ý nghĩa đặc biệt quan p ie trọng Bởi vậy, lựa chọn đề tài "Một số ứng dụng mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz" nl w Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hay gọi với tên dài bất oa đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, thường viết tắt bất đẳng thức d BCS, đặt theo tên ba nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, Vik- lu an tor Bunyakovsky Hermann Amandus Schwarz Trong suốt trình phát nf va triển tốn học, nhà tốn học ln nghiên cứu phát triển bất lm ul đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hay, khả ứng dụng ngày rộng rãi toán học z at nh oi Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Chương tập trung nêu chứng minh bất đẳng thức CauchySchwarz dạng sơ cấp, dạng có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng z gm Schwarz số tốn ứng dụng @ Trình bày số bất đẳng thức kinh điển thông qua bất đẳng thức Cauchy- l Chương 2: Trình bày số dạng khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz m co số bất đẳng thức liên quan đặc biệt số mở rộng bất an Lu đẳg thức Cauchy-Schwarz cho hàm số hay cho số lượng véctơ hàm số hai dạng rời rạc liên tục n va ac th si Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Thầy Mai Thành Tấn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại Học Quy Nhơn, lớp Cao học Toán K21 quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu thực đề tài Mặc dù cố gắng trình thực luận văn, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý tận tình quý thầy cô bạn bè để luận văn lu hoàn thiện an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz số ứng dụng lu an va Trong chương này, tập trung trình bày bất đẳng thức Cauchy- n Schwarz dạng sơ cấp có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng Đồng tn to thời chứng minh số bất đẳng thức khác thông qua bất đẳng thức Cauchy- p ie gh Schwarz số ứng dụng đại số, hình học lượng giác Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz oa nl w 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz công cụ d an lu phần lớn toán chứng minh bất đẳng thức Nó tồn nhiều phiên nf va khác nhau, nhiên mức độ phổ thông, quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp cách chứng minh bất đẳng thức đa lm ul dạng Sau đây, ta tìm hiểu số cách chứng minh thú vị z at nh oi Định lý 1.1.1 ([23]) (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Nếu a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn số thực tùy ý,
2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n
b21 + b22 + · · · + b2n
(1.1) @ a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn l gm Đẳng thức xảy z a1 b + a2 b + · · · + an b n co Chứng minh Trong nhiều tài liệu, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường m chứng minh cách sử dụng tính chất tam thức bậc hai hay chứng an Lu minh thông qua số bất đẳng thức khác bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Jensen Nhưng đây, sử dụng phép biến đổi n va ac th si đại số sơ cấp đặc biệt sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cách Sử dụng đẳng thức Ta có n X a2i n X i=1 b2i − X n 2 = b i n n X X − = 2 = lu an n va = (a2i b2j b i aj b j + a2j b2i ) − n n X X b i aj b j i=1 j=1 i=1 j=1 n n X X (a2i b2j − 2ai bj aj bi + a2j b2i ) i=1 j=1 n X n X (ai bj − aj bi )2 i=1 j=1 to X tn = n n X X i=1 j=1 i=1 j=1 n n X X i=1 i=1 a2i b2j (ai bj − aj bi )2 , gh 1≤i z t Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành gh tn to y x Lời giải Đặt a = , b = , c = p ie x2 y2 z2 t2 + + + ≥ y + zx z + yt t2 + xz x2 + yt w oa nl Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta d y2 z2 t2 x2 + + + y + zx z + yt t2 + xz x2 + yt nf va

2


x2 y + xz + y z + yt + z t2 + xz + t2 x2 + yt lm ul = an lu ≥ x2 + y + z + t2 x2 + y + z + t2

y + t2 + xz x2 + z + yt y + t2 z at nh oi x2 + z x2 + y + z + t2 ≥ y + t2
x2 + z +
2 y + t2 +
2 = @ 1 = b d l gm Đẳng thức xảy a = c =

2 z x2 + z

2
co Ví dụ 1.2.6 (IMO 2008) Cho số thực x, y, z khác thỏa mãn xyz = m Chứng minh 2  + y y−1 2  + z z−1 2 ≥ n va x x−1 an Lu  ac th si 23 Lời giải Do x, y, z 6= xyz = nên tồn số thực a, b, c thỏa mãn


a2 b2 c2 x = , y = , z = , a2 − bc b2 − ca c2 − ab 6= bc ca ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a4 a2 − bc b4
2 + b2 − ca
2 + c4 c2 − ab
2 ≥ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta
2 X a2 + b + c a4
2 ≥
2
2 a2 − bc a2 − bc + b2 − ca + c2 − ab
2 lu an Bài toán quy chứng minh va n a2 + b + c
2
2 + b2 − ca
2
2 + c2 − ab Thực phép khai triển rút gọn, ta ie gh tn to ≥ a2 − bc p ab + bc + ca
2 ≥ nl w Bất đẳng thức hiển nhiên d oa Bài toán chứng minh xong nf va an lu Ví dụ 1.2.7 Chứng minh với số thực a, b, c, ta có Y

a2 + ab + b2 ≥ a2 b + b2 c + c2 a ab2 + bc2 + ca2
lm ul Lời giải Sử dụng đẳng thức Lagrange (1.2), ta có " = c a+ c a+  + bc 2 #2 + c2 # + "   b c a+ c−b a+ 2 b2 + bc + c2 = n va
2
2 b+c + b−c 4 an Lu Lại có m co
2
2 2a2 + ab + ac + 2bc + a2 b − c 4 #2 l  #" gm = b a+ + b2
@ = 2 a2 + ac + c2 z " b a+
z at nh oi a2 + ab + b2 ac th si 24 Do vậy, ta phải chứng minh  2a2 + ab + ac + 2bc
2 + 3a2 b − c
2 
2 b+c + b−c
2  ≥ 48 a2 b + b2 c + c2 a ab2 + bc2 + ca2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta  2a2 + ab + ac + 2bc
2 + 3a2 b − c
2  b+c
2 + b−c
2  ≥ 2a2 + ab + ac + 2bc b + c + a b − c 

= 12 a2 b + b2 c + c2 a + ab2 + bc2 + ca2 

2 2
2 lu an Ta cần chứng minh va  n a2 b + b2 c + c2 a + ab2 + bc2 + ca2

2 to ≥ a2 b + b2 c + c2 a ab2 + bc2 + ca2

gh tn p ie Bất đẳng thức theo AM-GM w Bài toán chứng minh xong mãn d oa nl Ví dụ 1.2.8 (Korea 2002) Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn thỏa nf va Chứng minh an lu a21 + a22 + · · · + a2n = b21 + b22 + · · · + b2n =
2 ≤ a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn − lm ul a1 b − a2 b a2i − b i i=1
2
2 ≥ a1 b − a2 b co l i=1 j=1 b j − aj b i gm @ = i=1 n X n X z i=1 b2i z at nh oi Lời giải Sử dụng đẳng thức Lagrange (1.2), ta có X  X  X 2 n n n n va ≥ a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ≥ an Lu thức Cauchy-Schwarz, ta có m Theo giả thiết a21 + a22 + · · · + a2n = b21 + b22 + · · · + b2n = nên theo bất đẳng ac th si 25 Do − a1 b − a2 b − · · · − an b n

2
+ a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ≥ a1 b2 − a2 b1 , hay a1 b − a2 b
2 ≤