(Luận văn) một số ứng dụng của phép thế lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỨA MẠNH HƯỞNG lu MỘT SỐ ỨNG DỤNG an n va CỦA PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC to p ie gh tn Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si i Mục lục Mở đầu 1 lu an n va p ie gh tn to Kiến thức bổ trợ 1.1 Các bất đẳng thức 1.1.1 Các bất đẳng thức dãy số 1.1.2 Hàm lồi bất đẳng thức Jensen 1.2 Các đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng 1.2.1 Các đồng thức 1.2.2 Các bất đẳng thức thông dụng tam giác 1.3 Phép lượng giác biến đổi đơn giản 1.3.1 Phép góc cạnh 1.3.2 Phép hàm lượng giác d oa nl w 3 5 12 12 12 bất đẳng nf va an lu Phép lượng giác chứng minh đẳng thức thức 2.1 Các toán đẳng thức 2.2 Các toán chứng minh bất đẳng thức 2.3 Các toán cực trị hàm số 2.4 Bài tập vận dụng z at nh oi lm ul z Phép lượng giác phương trình, bất phương trình dãy số 3.1 Phương trình đại số 3.2 Hệ phương trình đại số 3.3 Phương trình thức bất phương trình thức 3.4 Các toán dãy số 3.5 Bài tập vận dụng 15 15 19 30 35 m co l gm @ an Lu 37 37 40 49 56 61 n va ac th si ii Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Đơi tốn đại số, hay giải tích giải dễ dàng cách sử dụng hàm lượng giác, mà gọi "Phép lượng giác" Đó nhờ tính chất đặc thù hàm lượng giác mà hàm khác khơng thể có, cơng thức biến tổng thành tích, cơng thức biến tích thành tổng, cơng thức cung nhân hai, nhân ba, tính chất bị chăn, đơn điệu, tuần hoàn v.v Đặc biệt đồng thức, bất đẳng thức quan trọng hàm lượng giác Mục đích luận văn tìm hiểu, thu thập tài liệu phân loại toán ứng dụng phép lượng giác số toán đại số, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình v.v Luận văn không đề cập đến ứng dụng phép lượng giác tính nguyên hàm tích phân Thông thường, số bất đẳng thức đại số phức tạp đơn giản hóa cách sử dụng phép lượng giác Khi ta đặt phép khéo độ khó tốn giảm nhiều đến mức ta thấy đáp án Bên cạnh đó, hàm số lượng giác tiếng giúp giải bất đẳng thức Kết có nhiều tốn đại số giải cách sử dụng phép lượng giác Luận văn có bố cục: Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức bổ trợ, trình bày bất đẳng thức dãy số, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng, phép lượng giác Chương 2: Trình bày ứng dụng phép lượng giác chứng minh đẳng thức bất đẳng thức có độ khó cao trích từ đề thi vào Đại học, thi học sinh giỏi Olympic Toán quốc tế Chương 3: Trình bày ứng dụng phép lượng giác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình dãy số d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va gh tn to Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Ngọc Qua đây, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng đào tạo, khoa Tốn Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trường Trung học Phổ thơng Hồng Văn Thụ, huyện Lục n, tỉnh Yên Bái, nơi tác giả công tác tạo điều kiện giúp đỡ động viên để tác giả hồn thành khóa học Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn p ie Xin chân thành cảm ơn d oa nl w Thái Nguyên, tháng 05 năm 2016 Học viên nf va an lu z at nh oi lm ul Hứa Mạnh Hưởng z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức bổ trợ lu an n va gh tn to Chương có tính bổ trợ, trình bày bất đẳng thức dãy số, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng, phép lượng giác Các kiến thức dùng đến thường xuyên chương sau Nội dung chương hình thành từ tài liệu [4, 5, 6] Các bất đẳng thức p ie 1.1 Các bất đẳng thức dãy số w 1.1.1 d oa nl Các bất đẳng thức đại số ứng dụng sâu rộng chứng minh bất đẳng thức hình học Luận văn trình bày bốn bất đẳng thức đại số bất đẳng thức AM − GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng Jensen nf va an lu lm ul Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM −GM ) Với n số thực không âm a1 , a2 , , an , ta có bất đẳng thức z at nh oi √ a1 + a2 + + an > n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an z Hệ 1.1 (Bất đẳng thức GM − HM ) Với số dương ta có n gm a1 a2 an > @ √ n m co Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an l 1 + + + a1 a2 an a2 an a1 + a2 + + an n va n a1 an Lu Hệ 1.2 Với số dương a1 , a2 , , an ta có   1 1 n + + + > ac th si Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Hệ 1.3 Với số không âm a1 , a2 , , an m = 1, 2, ta có  a + a + · · · + a m m m am n + a2 + + an > n n Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Xét hai số thực tùy ý a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn Khi ta có (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) Đẳng thức xảy a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn (Với quy ước mẫu tử 0) lu an Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Chebyshev) n va tn to Nếu (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) hai dãy số đồng dạng (cùng đơn điệu tăng đơn điệu giảm)  a + a + + a   b + b + + b  a b + a b + + a b gh 1 2 n n n n n n p ie n ≥ 1 oa nl w Nếu (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) hai dãy ngược nhau(một dãy đơn điệu tăng, dãy đơn điệu giảm)  a + a + + a   b + b + + b  a b + a b + + a b 2 n n n n d n ≤ n n an lu Hàm lồi bất đẳng thức Jensen nf va 1.1.2 z at nh oi lm ul Định nghĩa 1.1 Hàm số thực f : (a, b) → R gọi hàm lồi khoảng (a, b) với x, y ∈ (a, b) λ ∈ [0, 1], ta có f (λx + (1 − λ)y) λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) z Nếu (1.1) ta có bất đẳng thức nghiêm ngặt (chặt) ta nói f hàm lồi thực Cho hàm f ta nói hàm lõm −f hàm lồi Nếu f xác định R, xảy vài khoảng hàm hàm lồi, khoảng khác hàm lõm Vì lý ta xét hàm số xác định khoảng m co l gm @ an Lu n va Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Jensen 1906, Joham Ludwig Jensen 1859 - 1925) Cho f : (a, b) → R hàm lồi khoảng (a, b) Cho n ∈ N λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ ac th si (0, 1) số thực thỏa mãn λ1 +λ2 +· · ·+λn = Khi với x1 , x2 , · · · , xn ∈ (a, b) ta có n X f ! λi xi n X λi f (xi ), i=1 i=1 nghĩa f (λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn ) λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + · · · + λn f (xn ) 1.2 (1.2) Các đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thông dụng 1.2.1 Các đồng thức lu an n va p ie gh tn to Thông thường, để chứng minh bất đẳng thức đại số cho trước, ta sử dụng phép lượng giác cách hiệu lúc giải Sử dụng phép vậy, bất đẳng thức cho trước rút gọn thành bất đẳng thức mới, mà việc chứng minh đơn giản nhiều (thường sử dụng bất đẳng thức Jensen yếu tố lượng giác) Do cần có hiểu biết lượng giác Chúng ta đưa vài lập luận cần thiết có ích sử dụngbất đẳng  π π thức Jensen Cụ thể là, hàm sin x lõm (0, π), hàm cos x lõm − , ,  π  π  π 2 lõm 0, , tan x lồi 0, ; cot x lồi 0, d oa nl w lu 2 nf va an Hơn nữa, không chứng minh (các chứng minh lượng giác túy vài chứng minh tìm thấy số sách tốn phổ thơng), luận văn đưa số công thức lượng giác quan hệ góc tam giác Trong phần ta giả sử tam giác ABC có: • ∆ diện tích tam giác; z gm @ • p nửa chu vi tam giác; z at nh oi lm ul • BC = a, CA = b, AB = c; • ma , mb , mc , wa , wb , wc , , hb , hc độ dài trung tuyến, phân l giác đường cao tương ứng với cạnh a, b, c; co m • r, R, , rb , rc bán kính đường trịn nội tiếp, đường trịn ngoại an Lu tiếp, đường tròn bàng tiếp với cạnh a, b, c tam giác ABC ; P • a = a + b + c n va ac th si Mệnh đề 1.1 Cho α, β , γ góc tam giác cho trước Khi ta có cơng thức sau: α β γ I1 : cos α + cos β + cos γ = + sin sin sin , 2 β γ α I2 : sin α + sin β + sin γ = cos cos cos , 2 I3 : sin 2α + sin 2β + sin 2γ = sin α sin β sin γ, I4 : sin2 α + sin2 β + sin2 γ = + cos α cos β cos γ, I5 : tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ, α β γ α β γ I6 : cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 Mệnh đề 1.2 Cho α, β , γ số thực tùy ý Khi ta có: α+β β+γ γ+α sin sin , 2 α+β β+γ γ+α I8 : cos α + cos β + cos γ + cos(α + β + γ) = cos cos cos 2 lu I7 : sin α + sin β + sin γ − sin(α + β + γ) = sin an n va gh tn to Mệnh đề 1.3 Cho α, β, γ ∈ (0, π) Khi α, β, γ góc tam giác p ie tan β β γ α γ α tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 w π α+β γ = − Do 2 d oa π, nghĩa nl Chứng minh Giả sử α, β, γ góc tam giác Khi α+β +γ = lu nf va an γ tan = tan  π α+β − 2   = cot α+β  α β α β cot − 1 − tan tan 2 2 = = α β α β cot + cot tan + tan 2 2 ⇔ tan z at nh oi lm ul cot z α β β γ α γ tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 gm @ Ngược lại, giả sử α + β + γ = π thỏa mãn đẳng thức l m co α β β γ α γ tan + tan tan + tan tan = (1.3) 2 2 2 α α Nếu α = β = γ tan2 = Mà tan α > nên tan = √ Suy α = β = 2 γ = 60 kéo theo α + β + γ = π hay α, β, γ góc tam giác tan an Lu n va ac th si Không tính tổng quát ta giả sử α 6= β Vì < α + β < 2π nên tồn γ1 ∈ (−π, π) cho α + β + γ1 = π Theo chứng minh ta có tan α β β γ1 α γ1 tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 (1.4) Ta chứng minh γ = γ1 , suy α + β + γ = π , tức α, β, γ góc tam giác Thật vậy, trừ 2 + b + − b = + − b +