(Luận văn) một số phương pháp lặp giải phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với hệ điều kiện biên phức tạp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ THẢO lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ THẢO lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP d oa nl w u nf va an lu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC m co l gm @ TS Vũ Vinh Quang an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP hồn thành nhận thức tơi, khơng trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình công bố lu an n va Thái Nguyên, tháng năm 2019 p ie gh tn to Người viết Luận văn d oa nl w VŨ THỊ THẢO oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS.Vũ Vinh Quang, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn lu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, an thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học khoa va n học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt gh tn to trình học tập nghiên cứu khoa học p ie Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè w động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt d oa nl trình học tập lu va an Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn oi lm ul nf z at nh VŨ THỊ THẢO z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục lu Lời cam đoan i an va n Lời cảm ơn ii tn to ii p ie gh Mục lục nl w Mở đầu d oa Một số ký hiệu viết tắt lu 3 Không gian Metric 1.1.2 Ánh xạ co 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 1.1.4 Hệ đại số tuyến tính với ma trận chéo trội 1.1.5 Phương pháp lặp đơn 1.1.6 Phương pháp lặp Jacobi 1.1.7 Phương pháp lặp Gauss - Seidel 10 Phương pháp sai phân phương trình vi phân cấp 13 oi lm 1.1.1 @ ul z at nh z m co l gm an Lu 1.2 Lý thuyết phương pháp lặp giải hệ đại số tuyến tính nf 1.1 va an Một số kiến thức n va ac th iii si 1.2.1 Công thức Taylor 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác cấp bốn 1.2.3 1.3 13 14 Hệ phương trình sai phân 19 Phương pháp Runge - Kutta phương trình vi phân cấp lu an n va cao 23 1.3.1 Mơ hình tốn tổng qt phương trình cấp cao 23 1.3.2 Xây dựng thuật toán với độ xác cấp 24 1.3.3 Giới thiệu thư viện QH− 2015 26 tn to ie gh Sự tồn nghiệm dương lớp toán biên với hệ 29 p điều kiện biên phi tuyến tính Mơ hình tốn biên phi tuyến thứ nl w 2.1 Sự tồn nghiệm 31 d oa 2.1.1 30 Nghiệm dương toán an lu 2.1.2 Mô hình tốn phi tuyến thứ hai 2.3 Mơ hình tốn biên với hệ số phụ thuộc tích phân, điều kiện oi lm ul phi tuyến 37 Mơ hình tốn 37 2.3.2 Sự tồn nghiệm 38 2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm số 39 z 2.3.1 @ z at nh l gm Phương pháp lặp tìm nghiệm số tốn biên phi m co 35 nf va 2.2 32 3.1 42 an Lu tuyến cấp bốn Phương pháp phân rã giải tốn tuyến tính cấp 42 n va ac th iv si 3.2 Dạng toán điều kiện đầu phi tuyến 44 3.3 Dạng toán điều kiện biên phi tuyến 48 3.4 Dạng toán biên chứa hệ số tích phân 51 Tài liệu tham khảo 57 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th v si Mở đầu Phương trình vi phân dạng phi tuyến tính lớp phương trình quan lu an trọng lý thuyết phương trình vi phân, lớp phương trình có ứng dụng va n quan trọng toán thực tế đặc biệt lý thuyết điều khiển ổn gh tn to định Việc tìm nghiệm giải tích phương trình thực p ie phương trình dạng đặc biệt chủ yếu phải xác định nghiệm w xấp xỉ qua phương pháp gần dựa sở thuật toán số oa nl việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính sơ đồ lặp thơng d qua phương pháp sai phân Mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm lu va an hiểu số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp với hệ điều kiện ul nf biên phức tạp bao sơ đồ lặp, nghiên cứu tính chất hội tụ sơ đồ lặp oi lm kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp thơng qua chương trình máy z at nh tính điện tử Nội dung đề tài: Chương 1: Một số kiến thức z gm @ Chương 2: Sự tồn nghiệm dương lớp toán biên với hệ điều kện biên phi tuyến tính l m co Chương 3: Phương pháp lặp tìm nghiệm số toán biên phi tuyến an Lu cấp bốn n va ac th si Một số ký hiệu viết tắt tập số thực R+ tập số thực không âm A ma trận A−1 ma trận khả nghịch A ||C|| chuẩn ma trận C d(x, y) khoảng cách từ phần tử x đến phần tử y limx→x0 giới hạn x đến x0 lu R an n va gh tn to ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc un đạo hàm cấp n p ie J w tích vơ hướng oa nl hi d U, K1 , K2 , F, Uα vecto n chiều oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức lu an n va Lý thuyết phương pháp lặp giải hệ đại số tn to 1.1 p ie gh tuyến tính Khơng gian Metric nl w 1.1.1 d oa Định nghĩa 1.1.1 Tập X phần tử x, y, z, gọi không gian an lu Metric với phần tử x, y tương ứng với số không nf va âm d(x, y) thoả mãn điều kiện sau: + d(x, y) = d(y, x) oi lm ul + d(x, y) > 0, d(x, y) = x = y z at nh + d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) z Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y hay thường gọi @ l gm Metric m co Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } gọi dãy ∀ε > 0, tồn số N > cho với m, n > N ta có d(xn , xm ) ≤ ε Nếu an Lu dãy không gian X hội tụ đến phần tử thuộc X n va ac th si Bước 3: Biến đổi tương tự, ta thu a0,2 = 0; an,n−2 = Trong phép biến đổi trên, thành phần F0 , Fn nhận giá trị thay đổi theo bước biến đổi Cuối cùng, sau ba bước biến đổi, ta nhận hệ phương trình tương đương ma trận hệ có dạng ba đường lu chéo với số hạng xác định sau:    a = c0 + ch1 ; a0,1 = − ch1 ;    0,0 ai−1,i = 1; ai,i = −2; ai,i+1 = 1; i = 1, 2, , n − 1,      an−1,n = d1 ; an,n = d0 + d1 h h an n va gh tn to Do điều kiện c0 , c1 > 0, d0 , d1 ≥ 0, hệ số hệ thỏa mãn tính chất p ie |a0,0 | > |a0,1 | , |an,n | > |an−1,n | , oa nl w |ai,i | = |ai,i−1 | + |ai,i+1 | , ∀i = 1, 2, , n − 1, d tức hệ thu hệ phương trình đại số dạng ba đường chéo có tính chất va an lu chéo trội oi lm ul nf Một số kết tính tốn: Để kiểm tra độ xác lược đồ xây dựng, kí hiệu uε z at nh nghiệm toán, u nghiệm xấp xỉ thu giải hệ phương trình sai phân, ε = kuε − uk∞ sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ z gm @ toàn lưới sai phân, sử dụng thuật toán truy đuổi ba đường chéo giải hệ m co Bảng (1.1) Bảng (1.2) l phương trình sai phân Kết kiểm tra độ xác lược đồ đưa an Lu Bảng 1.1: Giá trị sai số ε lưới điểm c0 = 1; c1 = 2; d0 = 2; d1 = n va ac th 22 si Hàm nghiệm 10 100 1000 sin x + cos x 1.1 × e − 1.4 × e − 9.0 × e − 13 e−x 8.0 × e − 1.0 × e − 3.1 × e − 13 ex + x4 + cos x 1.0 × e − 1.7 × e − 2.0 × e − 12 Bảng 1.2: Giá trị sai số ε lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = 10 sin x + cos x 1.0 × e − lu Hàm nghiệm 100 1000 an 2.1 × e − 14 3.1 × e − 18 2.0 × e − 10 1.0 × e − 14 1.0 × e − 18 ex + x4 + cos x 2.0 × e − 10 8.0 × e − 15 8.0 × e − 19 n va e−x gh tn to Các kết Bảng 1.1 độ xác phương pháp tương đương p ie oa nl với o(h6 ) w với o(h4 ) Khi lựa chọn c1 = d1 = (Bảng 1.2) độ xác tương đương d Kết luận: Bài tốn biên cho phương trình vi phân cấp hai ln ln tìm lu va an nghiệm xấp xỉ với độ xác cấp bốn thuật toán truy đuổi ba đường Phương pháp Runge - Kutta phương trình vi phân cấp cao z at nh 1.3 oi lm ul nf chéo với độ phức tạp tính tốn O(n) z @ Mơ hình tốn tổng quát phương trình cấp cao l gm 1.3.1 m co Xuất phát từ kết truyền thống phương trình vi phân cấp 1, sau đưa kết mở rộng phương pháp cho an Lu phương trình vi phân dạng tổng quát cấp n n va ac th 23 si Xét toán biên u(n) = f (x, u, u0 , , u(n−1) ), x ∈ [a, b] , u(a) = u0,a , , u (n−1) (1.14) (a) = un−1,a Việc xây dựng phương pháp sai phân trực tiếp cho phương trình vi phân cấp cao khó khăn vấn đề xác định cơng thức sai phân cho đạo hàm cấp cao khó, nhiên sử dụng phép biến đổi dạng vector lu để đưa dạng phương trình vi phân cấp sau: an va Đặt n    u0 ie gh tn to u     U =    p u0     u0a   00   u1a u    ; Ua =        (n−1) f (x, u, , u ) un−1,a         oa nl w u(n−1)          ; F (x, U ) =         d Khi tốn (1.14) tương đương với toán sau đây: an lu Xây dựng thuật tốn với độ xác cấp oi lm 1.3.2 ul nf va U = F (x, U ), x ∈ [a, b] , U (a) = Ua z at nh Sử dụng sơ đồ tính tốn tương tự phương pháp Runge-Kutta, ta có sơ đồ sai phân cách hình thức sau: z @ Sơ đồ QH− m K1 = hF (xk , Uk ), K2 = hF (xk + h2 , Uk + K2 ), K4 K1 ) (1.15) an Lu K3 = hF (xk + h2 , Uk + m co l gm Uk+1 = Uk − 61 [K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ] = hF (xk + h, Uk + K3 ) n va ac th 24 si Các kí hiệu U, K1 , K2 , K3 , K4 , F, Ua vector n chiều Bài toán cấp u00 = f (x, u, u0 ), x ∈ [a, b] , u(a) = u0,a , u0 (a) = u1,a       pi u u0a  , i = 1, 2, 3, Ki =   , v = u0 , U =   , U0 =  ki v u1a Sơ đồ QH− lu an  va n ∆ uk tn to vk   p1 = 1 ie gh  k1 p oa nl w d  p2 + 2 p1 k1   = f (xk , uk , vk ) h , uk f (xk + h , uk k3   + 1 + k1 2)   k2 + k4   p1 , vk + p4   k1 vk +  = p3  p2 , vk + k2 2)   vk + k3 z at nh k4 f (xk + oi lm f (xk + h, uk + p3 , vk + k3 )  z Bài toán cấp p4  + 2 vk + ul  k3 =  vk  nf  p3  k3 va  an  p2    = h lu k2      @ m co l gm u000 = f (x, u, u0 , u00 ), x ∈ [a, b] , u(a) = u0,a , u0 (a) = u1,a , u00 (a) = u2a        ri   u   u0a        00      , U = Ki =  , v = u , w = u , U =  pi   v   u1a  , i = 1, 2, 3,       w u2a ki an Lu n va ac th 25 si Sơ đồ QH−       r1   r2  uk      1 =  p + 2 p ∆ v  k  6  6      k1 k3 wk  lu an va  n p ie gh tn to   +       r3   r4    1  2 +  p  p 6  6      k3 k4   vk  r1         p  = h  w k         k1 f (xk , uk , vk , wk )    vk + p21       k1  = w + k       p1 r1 k1 h f (xk + , uk + , vk + , wk + )    vk + k22       k2  = wk +       p2 r2 k2 h f (xk + , uk + , vk + , wk + )    vk + p3       =  wk + k3       f (xk + h, uk + r3 , vk + p3 , wk + k3 ) d oa nl w  r2  p   k2   r3  p   k3   r4  p   k4    oi lm ul nf va an lu z at nh Hồn tồn tương tự, xây dựng sơ đồ QH− 4, QH− 5, QH− 6, z Giới thiệu thư viện QH− 2015 m co 1.3.3 l gm @ tìm nghiệm số cho phương trình vi phân cấp 4,5,6, an Lu Xuất phát từ lược đồ tính tốn phương trình vi phân cấp 1, lược đồ phương trình vi phân cấp tuyến tính sơ đồ QH− 2, QH− 3, n va ac th 26 si phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân Chúng xây dựng thư viện QH− 2015 gồm hàm cho phép trả lại nghiệm số phương trình tương ứng Trong thiết kế thư viện, chúng tơi thống sử dụng hệ thống kí hiệu sau: + a, b giá trị đầu mút đoạn [a, b] + n số nút lưới chia đoạn [a, b] lu an +h= b−a n bước lưới va n + α0 , α1 , β0 , β1 , A, B hệ số hệ điều kiện biên phương trình gh tn to vi phân tuyến tính cấp p ie + u0 , u1,a , , un−1,a , giá trị đầu cho phương trình vi phân phi tuyến cấp w n tổng quát Các hàm xây dựng thư viện gồm: oa nl + Hàm Rk1(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình d vi phân cấp theo phương pháp Euler lu va an + Hàm Rk2(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình ul nf vi phân cấp theo phương pháp Euler oi lm + Hàm Rk4(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình z at nh vi phân cấp theo phương án Runge-Kutta + Hàm qh4(a, b, n, α0 , α1 , β0 , β1 , A, B) trả lại kết nghiệm số z gm @ phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ điều kiện đầu với độ xác cấp sử dụng thuật toán truy đuổi đường chéo l m co + Hàm qhm(a, b, n, U0 ) trả lại kết nghiệm số phương trình an Lu vi phân phi tuyến cấp n sử dụng lược đồ tính tốn QH− m + Hàm qhhm(a, b, n, X0 ) trả lại kết nghiệm số hệ phương n va ac th 27 si trình vi phân phi tuyến cấp sử dụng lược đồ tính tốn QH− m N Sai số phương pháp m=3 m=4 m=5 m = 10 10 8.0e − 3.0e − 5.7e − 2.4e − 3.3e − 100 7.8e − 11 3.0e − 11 5.5e − 11 2.1e − 11 3.0e − 11 500 1.2e − 13 4.8e − 14 8.8e − 14 3.3e − 14 4.8e − 14 1000 8.8e − 15 4.8e − 15 6.8e − 15 3.4e − 15 4.8e − 15 lu m=2 an va n 10000 2.6e − 15 2.8e − 15 2.8e − 15 2.8e − 15 2.8e − 15 tn to p ie gh Bảng 2.1: Kết kiểm tra sai số lược đồ QH− m, u∗ (x) = e−x , x ∈ [0, 1] Sai số phương pháp m=3 m=4 m=5 10 3e − 2e − 6e − 2e − 3e − 11 2e − 10 7e − 10 2e − d oa nl m=2 lu w N ul 6e − 15 1e − 14 8e − 14 2e − 13 oi lm 1000 5e − 14 4e − 13 1e − 12 4e − 12 nf 500 va an 100 z at nh 10000 2e − 14 3e − 14 3e − 14 4e − 14 Bảng 2.2: Kết kiểm tra sai số lược đồ QH− m z gm @ Qua kiểm tra tính tốn ví dụ cụ thể thấy hàm xây l dựng thư viện QH− 2015 có độ xác theo lý thuyết đưa m co Thư viện QH− 2015 cung cấp cho người sử dụng cơng cụ chuẩn để tìm an Lu nghiệm số phương trình vi phân hệ phương trình vi phân n va ac th 28 si Chương Sự tồn nghiệm dương lớp lu an n va toán biên với hệ điều kiện p ie gh tn to biên phi tuyến tính oa nl w Tồn nghiệm dương số toán thuộc lớp phương trình vi phân với hệ điều kiện biên phi tuyến tính Các kết tham khảo d lu nf va an tài liệu [7,8,9] Xét toán biên tổng quát dạng   u(4) (x) = f (x, u, u0 , u00 , u000 ), x ∈ (0, 1)  u(0) = g , u0 (0) = g , u00 (1) = g , u000 (1) = g oi lm ul (2.1) z at nh Với toán đàn hồi, tốn tổng qt mơ tả dao động chùm dây dẫn mỏng đàn hồi với chiều dài L = 1, hai đầu gắn vào z gm @ thiết bị đàn hồi đầu x = x = Các thiết bị mô l tả hàm số phi tuyến với biến số biên độ dao động điểm gối tựa m co tương ứng Tùy điều kiện đầu, thu loại điều an Lu kiện biên khác Trong trường hợp tổng quát việc nghiên cứu tính tồn nghiệm phương pháp tìm nghiệm tốn n va ac th 29 si khó, chưa thực Người ta thu kết nghiên cứu dạng toán với hệ điều kiện đơn giản Một vấn đề mà toán học quan tâm vấn đề tồn nghiệm dương toán trường hợp này, nghiệm dương có tính thực tế Sau đưa số kết lý thuyết tồn nghiệm dương số tốn phí tuyến 2.1 Mơ hình tốn biên phi tuyến thứ lu an n va Trong phần này, nghiên cứu tồn nghiệm dương cho phương tn to trình bậc với điều kiện biên phi tuyến Bài toán tác giả đưa p ie gh tài liệu [7] Bài tốn có dạng:   u(4) (x) = f (x, u(x)), x ∈ (0, 1)  u(0) = u0 (0) = u00 (1) = 0, u000 (1) = g(u(1)) (2.2) oa nl w d với điều kiện f ∈ C([0, 1] × R) g ∈ C(R) Bài toán xuất ta an lu nghiên cứu độ lệch chùm dây dẫn đàn hồi hệ đàn hồi phi tuyến va oi lm ul nf Bài toán mơ tả thí nghiệm vật lý sau: chùm dây dẫn có tính chất đàn hồi mỏng, dẻo có độ dài L=1 với đầu trái x = 0, đầu z at nh phải x = Bài tốn biểu diễn mơ hình cân tĩnh tải, dọc theo chiều dài dây, đặc trưng hàm f Đầu trái gắn chặt, z gm @ đầu phải gắn vào thiết bị đàn hồi Một số tác giả nghiên cứu toán theo nhiều hướng khác nhau: l m co tính đa dạng, tính đối xứng tính kì dị Một số phương pháp tìm nghiệm số an Lu tác giả đề xuất n va ac th 30 si 2.1.1 Sự tồn nghiệm Để nghiên cứu tính chất nghiệm tốn (2.2), đưa vào khơng gian hàm  E = u ∈ H (0, 1) ; u(0) = u0 (0) = Trong H (0, 1) kí hiệu khơng gian Sobolev tất hàm u : [0, 1] → R, mà u đạo hàm yếu liên tục tuyệt đối u” thuộc lu L2 (0, 1) Có thể thấy, E khơng gian Hilbert với tích vơ hướng dạng chuẩn: Z hu, vi = u00 (x) v 00 (x) dx, kukE = ku00 k2 (2.3) an va n gh tn to Ngồi ra, E thuộc không gian L2 (0, 1) C[0, 1], đó, tồn p ie số α, β > thoả mãn: kuk∞ ≤ β kukE (2.4) nl w kuk2 ≤ α kukE , d oa (các chuẩn không gian E không gian L2 tương đương) va an lu Chúng ta xét phiếm hàm hàm J : E → R, định nghĩa bởi: Z Z 1 00 J(u) = u (x) dx − F (x, u (x)) dx + G (u(1)) , 0 ul nf (2.5) oi lm Trong hàm F G xác định công thức Z u F (x, u) = f (x, t)dt z at nh g(t)dt l gm G(u) = u @ Z z Tức F G nguyên hàm hàm f g tương ứng Vì f, g liên m co n ac th 31 va an Lu tục, suy J thuộc lớp C đạo hàm cho Z Z 00 00 hJ (u), ϕ)i = u (x)ϕ (x)dx − f (x, u(x))ϕ(x)dx + g(u(1))ϕ(1) si Trong kí hiệu (P (x), ϕ) kí hiệu giá trị đạo hàm hàm P(x) theo hướng ϕ Theo lý thuyết nghiệm yếu, nhận kết luận: u nghiệm cổ điển toán (2.2) u điểm cực tiểu phiếm hàm J(u) Theo kết định lý Mountain Pass khẳng định: Phiếm hàm J thỏa mãn điều kiện Palais-Smale (PS) Thì dãy số {un } thỏa mãn J(un ) tồn giới hạn J (un ) → dãy số hội tụ lu Định lý 2.1.1 Mountain Pass: cho E không gian Banach J : E → R an n va u ∈ C [0, 1] giá trị thoả mãn (PS) J(0) = Khi : tn to (mp1) tồn ρ, r > cho J (u) ≥ ρ kuk = r, ie gh (mp2) tồn e ∈ E cho kek > r J(e) ≤ 0, p Khi J có điểm cực trị u ∈ E thoã mãn J(u) > ρ w oa nl Bổ đề 2.1.2 Cho E không gian Banach J : E → R Giả sử có d tồn khoảng B = B(O, R), cho an lu B ∂B ul nf va inf J < inf J oi lm Khi tồn dãy un ∈ B, thoả mãn J(un ) → inf J J (un ) → B z at nh Việc chứng minh bổ đề đưa [7] Bổ đề khẳng định với số điều kiện đưa định lý (2.1.1) nghiệm toán (2.2) tồn z @ m co Nghiệm dương toán l gm 2.1.2 an Lu Trong phần này, chúng tơi trình bày số số kết nghiên cứu tồn nghiệm dương cho toán (2.2) Chúng ta giả thiết hàm g f thoả n va ac th 32 si mãn điều kiện + g(u) = −k1 u, mơ tả mơ hình nguồn tuyến tính thoả mãn định luật Hook + f (x, u) = k2 u3 k1 , k2 > Định lý 2.1.3 Giả sử tồn giá trị x, θ > cho: lim ( u→0 f (x, u) ) 0, ∀x ∈ [0, 1] (2.7) n va gh tn to Ngoài có tồn µ > 0, đó: lim ( (2.8) p ie u→0 g(u) ) > −µ u Và tồn a, b > 0, cho: oa nl w d g(u) ≥ −au − b, ∀u ∈ R (2.9) va an lu Và ∀u ∈ R Khi (2.10) oi lm ul nf ≥ 2G(u)u ≥ g(u)u, z at nh − λα2 − µβ > (2.11) z Với α, β > xác định (2.4), tốn (2.2) có nghiệm dương Khẳng @ m co l gm định kết dựa nguyên tắc tối ưu toán bậc 4:   u(4) (x) = f (x), x ∈ (0, 1) (2.12)  u(0) = u0 (0) = u00 (1) = 0, u000 (1) = γ an Lu Với f hàm số liên tục γ không đổi n va ac th 33 si Bổ đề 2.1.4 Nếu f ≥ γ < R1 (3t2 − t3 )f (t)dt với nghiệm u tốn (2.12) khơng âm Hơn nữa, u khác u > khoảng (0,1) Chứng minh Chúng ta lưu ý γ viết dạng số hạng f u(1) Bằng cách xuất phát từ (2.12), ta có: Z x2 f (x)dx = γ + 2u0 (1) lu an Và va Z n x3 f (x)dx = γ + 6u0 (1) − 6u(1) to tn p ie gh Nếu ta khử u0 (1) phương trình trên, ta được: Z 1 γ = −3u(1) + (3t − t3 )f (t)dt nl w d oa Sau đó, f ≥ từ giả thuyết bổ đề, ta suy u(1) ≥ Do vậy, va an lu quay lại toán   u(4) (x) ≥ 0, x ∈ (0, 1)  u(0) = u0 (0) = u00 (1) = 0, oi lm ul nf (2.13) u(1) ≥ z at nh Chúng ta u ≥ Thực tế, từ u(4) ≥ nhận thấy u00 hàm lồi, thoả mãn u00 (0) ≤ u00 (0) > z gm @ + Trong trường hợp thứ nhất: u00 (1) = 0, điều dẫn tới u00 ≤ khoảng (0,1) Sau đó, u(0) = u(1) ≥ suy u ≥ khoảng l m co (0,1) Hơn nữa, u 6= u > khoảng (0,1) an Lu + Trong trường hợp thứ hai: Sẽ tồn η ∈ (0, 1), thỏa mãn u00 > ∈ [0, η) u00 ≤ [η, 1] Nhưng u(0) = u0 (0) = 0, u có giới hạn tối thiểu n va ac th 34 si x = tính chất lồi suy u > (0, η) Trong (η, 1) biết u00 ≤ 0, u(η) > u(1) ≥ điều u > Do vậy, u > khoảng (0, 1) Kết luận: Với giả thiết đưa ra, tốn xét ln ln có nghiệm dương Chú ý: Chúng ta khẳng định tốn khơng có nghiệm dương lu mà cịn có hai nghiệm dương Các nghiệm goi nghiệm an nghiệm toán n va tn to Mơ hình tốn phi tuyến thứ hai p ie gh 2.2 w Chúng ta nghiên cứu toán biên với điều kiện biên phi tuyến dạng Bài d oa nl toán tác giả đưa tài liệu [8]    u(4) (x) = f (x, u(x)), x ∈ (0, 1)    u00 (0) = u00 (1) = 0,      u000 (0) = −g(u(0)), u000 (1) = g(u(1)) an lu (2.14) oi lm ul nf va Bài tốn mơ tả chùm dây đàn hồi gắn hai đầu vòng bi, z at nh giới hạn x = x = Nghiệm toán tương tự cực trị 002 u dx − Z F (x, u(x))dx + G(u(0)) + G(u(1)) m co l gm Z @ J(u) = z phiếm hàm định nghĩa không gian Sobolev H (0, 1), F G an Lu nguyên hàm f g Sự tồn nghiệm dương n va ac th 35 si f ≥0 g(u)u ≥ 0, ∀u ∈ R Trong thực tế, u không nghiệm (2.14), thỏa mãn:    u(4) (x) = f (x, u(x)) ≥ 0, x ∈ (0, 1)    00 00 u (0) = u (1) = 0,      u000 (0) = −g(u(0)), u000 (1) = g(u(1)) lu Bằng cách lấy tích phân, ta thấy Z g(u(0)) = (1 − x)f (x, u)dx ≥ an va n tn to Và Z gh g(u(1)) = xf (x, u)dx ≥ p ie w Sau đó, từ điền kiện g, có u(0) ≥ u(1) ≥ Bởi từ tính lồi u00 oa nl u, ta suy u > Tương tự tốn trên, ta có d Định lý 2.2.1 Giả sử: f (x, u) = kuγ + h(x, u), h(x, u) =0 u→0 u lim (2.15) oi lm ul nf va Và h thỏa mãn 0 A>0, thỏa mãn z at nh < θH(x, u) ≤ h(x, u)u, ∀u > A, x ∈ [0, 1] z @ ∀u ∈ R (2.16) m co λµ ≤ g(u) ≤ µu, l gm Giả sử tồn λ thỏa mãn < λ > µ Khi đó: an Lu Khi tồn k*>0, để k ∈ (0, k*), tốn (2.14) có nghiệm dương n va ac th 36 si