(Luận văn) phương pháp lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN LINH lu an n va TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN LINH lu an PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA va n TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC p ie gh tn to w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp z at nh oi lm ul Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIỀN z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si i Mục lục Mục lục i Mở đầu lu an Một số bất đẳng thức va n 1.1 Bất đẳng thức Jensen to Hàm lồi 1.1.2 Bất đẳng thức Ví dụ 1.2 Bất đẳng thức AM-GM p ie gh tn 1.1.1 d oa nl w 1.1.3 Bất đẳng thức Ví dụ nf va an 1.2.2 lu 1.2.1 lm ul z at nh oi 1.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức 1.3.2 Ví dụ z 1.3.1 @ l gm 1.4 Bất đẳng thức Chebyshev Bất đẳng thức 1.4.2 Ví dụ m co 1.4.1 11 11 an Lu 12 n va ac th si ii Đẳng thức bất đẳng thức lượng giác 2.1 14 Bất đẳng thức lượng giác 14 Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức 3.1 23 Chứng minh bất đẳng thức tam giác 3.1.1 23 Chứng minh bất đẳng thức tam giác nhọn lu 3.1.2 23 an Chứng minh bất đẳng thức tam giác 28 Chứng minh bất đẳng thức đại số 35 n va khác gh tn to 3.2 Cơ sở lý thuyết 35 3.2.2 Ví dụ 40 3.3 Sử dụng lượng giác hóa tốn cực trị 56 p ie 3.2.1 d oa nl w an lu 3.4 Một số đề thi học sinh giỏi nf va Kết luận lm ul 71 73 z at nh oi Tài liệu tham khảo 62 z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Toán sơ cấp lĩnh vực mà kết chuyên gia sáng tạo tương đối đầy đủ hồn thiện Chính việc nghiên cứu để thu kết có ý nghĩa điều khó Khi đọc số lu tài liệu Bất đẳng thức gặp số toán đại số mà an giải chúng chuyển thành tốn lượng giác Trong chương trình va n Tốn học phổ thơng, chun đề lượng giác đóng vai trị gh tn to cơng cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều toán giải tích, đại số hình học Trong thực tiễn, lượng giác đặc trưng ie p lượng giác chuyên đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi nl w Toán bậc Trung học phổ thông, đồng thời ứng dụng ln d oa hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên an lu Mục tiêu luận văn "Phương pháp lượng giác hóa nf va chứng minh bất đẳng thức" nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương lm ul pháp lượng giác hoá để giải số toán bất đẳng thức nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học z at nh oi sinh giỏi cấp trung học phổ thơng Luận văn, ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội z dung luận văn chia làm ba chương @ l gm Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, tác giả nhắc lại số bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức AM - GM, co m bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức an Lu Chebyshev n va ac th si Chương Đẳng thức Bất đẳng thức lượng giác Chương trình bày cơng thức lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thường gặp Chương Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày sở lý thuyết chứng minh bất đẳng thức tam giác phương pháp lượng giác hóa Đồng thời, sưu tầm đề tốn bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi có sử dụng phương pháp lượng giác hóa Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Toán Giải lu an tích khóa 20 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q n va trình học tập nghiên cứu tn to Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, ie gh điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm p nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc w d oa nl để luận văn hồn thiện nf va an lu Bình Định, tháng năm 2020 Học viên lm ul Phạm Văn Linh z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, chúng tơi trình bày số bất đẳng thức bản, lu làm tảng cho chương sau an n va Bất đẳng thức Jensen gh tn to 1.1 1.1.1 Hàm lồi p ie w Định nghĩa 1.1 ([2]) Hàm số f (x) gọi hàm lồi (a, b) ⊂ R oa nl với x1 , x2 ∈ (a, b) cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta d có lu nf va an f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) Định lý 1.2 Nếu f (x) khả vi cấp (a, b) f 00 (x) ≥ f (x) 1.1.2 Bất đẳng thức z at nh oi lm ul hàm lồi z Định lý 1.3 (Jensen, [2]) Nếu y = f (x) hàm lồi khoảng (a, b) n P với x1 , , xn ∈ (a, b) số thực α1 , , αn ≥ 0, αi = gm @ i=1 co l f (α1 x1 + + αn xn ) ≤ α1 f (x1 ) + + αn f (xn ) m Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp an Lu theo n n va ac th si Với n = bất đẳng thức theo định nghĩa Giả sử bất đẳng thức với n ≥ Ta chứng minh bất đẳng thức cho n + Xét x1 , , xn , xn+1 ∈ (a, b) số thực α1 , α2 , , αn , αn+1 ≥ 0, n+1 X αi = i=1 Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức f (α1 x1 + + αn xn + αn+1 xn+1 )   αn αn+1 ≤ α1 f (x1 ) + + (αn + αn+1 ) f xn + xn+1 αn + αn+1 αn + αn+1 lu an n va ie gh tn to Vì f (x) hàm lồi nên   αn+1 αn xn + xn+1 f αn + αn+1 αn + αn+1 αn+1 αn f (xn ) + f (xn+1 ) ≤ αn + αn+1 αn + αn+1 p Vậy nl w f n+1 X ! αi x i ≤ n+1 X αi f (xi ) i=1 d oa i=1 nf va Ví dụ an lu 1.1.3 lm ul Ví dụ 1.4 Cho a > 1, x1 , , xn ∈ (0, 1) với x1 + + xn = Chứng z at nh oi minh
a a n  X n2 + 1 ≥ x1 + a−1 x n i=1 z @ Giải m co l gm  a Xét hàm y = f (x) = x + Ta có x   a−1 1 y =a 1− x+ , x x an Lu n va ac th si  2  a−1 a−2  23 1 12 y =a x+ x+ + a(a − 1) − ≥ x x x x Suy y = f (x) hàm lồi Chọn α1 = = αn = Áp dụng bất đẳng n thức Jensen ta có 00 n 1X α1 f (x1 ) + + an f (xn ) = (xi + )a ≥ f (α1 x1 + + αn xn ) n i=1 xi !  a  a n X 1 n +1 xi = f ( ) = +n = =f n i=1 n n n hay n  X lu an i=1 xi + xi a (n2 + 1)a ≥ na−1 n va tn to 1.2 Bất đẳng thức AM-GM p ie gh Bất đẳng thức w 1.2.1 oa nl Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức so sánh d trung bình cộng trung bình nhân số thực không âm phát nf va an lu biểu sau Định lý 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM, [2]) Cho a, b số khơng âm lm ul Khi z at nh oi a+b √ ≥ ab Chứng minh Với a = 0, b = bất đẳng thức ln ln z m co l gm @ Với a, b > 0, ta chứng minh sau: a+b √ ≥ ab √ ⇔a + b ≥ ab √ ⇔a − ab + b ≥ an Lu n va ac th si √ √ ⇔( a − b)2 ≥ Suy định lý chứng minh Định lý tổng quát cho n số: Định lý 1.6 Cho a1 , a2 , , an thực khơng âm ta có √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức cho n số không âm bất đẳng thức lu với 2n số khơng âm an n va Ta có gh tn to √ a1 + a2 + + a2n √ √ ≥ ( n a1 a2 an + n an+1 an+2 a2n ) ≥ a1 a2 a2n 2n p ie nên bất đẳng thức n luỹ thừa Giả sử bất đẳng thức với n số không âm, ta chứng minh bất d oa nl w đẳng thức với n − số không âm Thật vậy, đặt nf va Ta có A n−1 an lu A = a1 + a2 + + an−1 , an = suy r n a1 · a2 an−1 A n−1 z at nh oi lm ul A A+ ≥ n−1 A ≥ (n − 1) · √ n a1 a2 an−1 z Kết hợp ba điều suy bất đẳng thức AM-GM với n m co l gm @ nguyên dương (n ≥ 2) an Lu n va ac th si 3x 4x S = √ −q ≤ 1+x (1 + x2 ) an n va p ie gh tn to  π π √ Giải Theo Dạng 1, ta đặt x = tan α với α ∈ − , ⇒ + x2 = 2 , biến đổi S ta có cos α 3