(Luận văn thạc sĩ) phương pháp lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN LINH PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM VĂN LINH PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC h LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - 2020 i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 Một số bất đẳng thức 1.1 Bất đẳng thức Jensen 3 Hàm lồi 1.1.2 Bất đẳng thức 1.1.3 Ví dụ 1.2 Bất đẳng thức AM-GM h 1.1.1 1.2.1 Bất đẳng thức 1.2.2 Ví dụ 1.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.3.1 Bất đẳng thức 1.3.2 Ví dụ 1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 11 1.4.1 Bất đẳng thức 11 1.4.2 Ví dụ 12 ii Đẳng thức bất đẳng thức lượng giác 2.1 Bất đẳng thức lượng giác 14 14 Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức 3.1 23 Chứng minh bất đẳng thức tam giác 3.1.1 Chứng minh bất đẳng thức tam giác nhọn 3.1.2 3.2 23 23 Chứng minh bất đẳng thức tam giác khác 28 Chứng minh bất đẳng thức đại số 35 Cơ sở lý thuyết 3.2.2 Ví dụ 40 3.3 Sử dụng lượng giác hóa tốn cực trị 56 3.4 Một số đề thi học sinh giỏi 62 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo h 3.2.1 35 73 Mở đầu Toán sơ cấp lĩnh vực mà kết chuyên gia sáng tạo tương đối đầy đủ hồn thiện Chính việc nghiên cứu để thu kết có ý nghĩa điều khó Khi đọc số tài liệu Bất đẳng thức gặp số toán đại số mà giải chúng chuyển thành tốn lượng giác Trong chương trình Tốn học phổ thơng, chun đề lượng giác đóng vai trị công cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn giải tích, đại số hình học Trong thực tiễn, lượng giác đặc trưng h lượng giác chuyên đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn bậc Trung học phổ thơng, đồng thời ứng dụng ln hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên Mục tiêu luận văn "Phương pháp lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức" nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương pháp lượng giác hoá để giải số toán bất đẳng thức nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thơng Luận văn, ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, tác giả nhắc lại số bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức Chebyshev Chương Đẳng thức Bất đẳng thức lượng giác Chương trình bày cơng thức lượng giác bản, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác thường gặp Chương Lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày sở lý thuyết chứng minh bất đẳng thức tam giác phương pháp lượng giác hóa Đồng thời, sưu tầm đề toán bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi có sử dụng phương pháp lượng giác hóa Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa 20 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót h Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2020 Học viên Phạm Văn Linh Chương Một số bất đẳng thức Trong chương này, chúng tơi trình bày số bất đẳng thức bản, làm tảng cho chương sau 1.1 1.1.1 Bất đẳng thức Jensen Hàm lồi h Định nghĩa 1.1 ([2]) Hàm số f (x) gọi hàm lồi (a, b) ⊂ R với x1 , x2 ∈ (a, b) cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) Định lý 1.2 Nếu f (x) khả vi cấp (a, b) f 00 (x) ≥ f (x) hàm lồi 1.1.2 Bất đẳng thức Định lý 1.3 (Jensen, [2]) Nếu y = f (x) hàm lồi khoảng (a, b) n P với x1 , , xn ∈ (a, b) số thực α1 , , αn ≥ 0, αi = i=1 f (α1 x1 + + αn xn ) ≤ α1 f (x1 ) + + αn f (xn ) Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp theo n Với n = bất đẳng thức theo định nghĩa Giả sử bất đẳng thức với n ≥ Ta chứng minh bất đẳng thức cho n + Xét x1 , , xn , xn+1 ∈ (a, b) số thực α1 , α2 , , αn , αn+1 ≥ 0, n+1 X αi = i=1 Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức f (α1 x1 + + αn xn + αn+1 xn+1 )   αn αn+1 ≤ α1 f (x1 ) + + (αn + αn+1 ) f xn + xn+1 αn + αn+1 αn + αn+1 Vì f (x) hàm lồi nên   αn+1 αn xn + xn+1 f αn + αn+1 αn + αn+1 αn+1 αn f (xn ) + f (xn+1 ) ≤ αn + αn+1 αn + αn+1 Vậy i=1 1.1.3 ! h f n+1 X αi x i ≤ n+1 X αi f (xi ) i=1 Ví dụ Ví dụ 1.4 Cho a > 1, x1 , , xn ∈ (0, 1) với x1 + + xn = Chứng minh Giải
a a n  X n2 + 1 ≥ x1 + a−1 x n i=1  a Xét hàm y = f (x) = x + Ta có x   a−1 1 y =a 1− x+ , x x  2  a−1 a−2  23 1 12 y =a x+ x+ + a(a − 1) − ≥ x x x x Suy y = f (x) hàm lồi Chọn α1 = = αn = Áp dụng bất đẳng n thức Jensen ta có 00 n 1X α1 f (x1 ) + + an f (xn ) = (xi + )a ≥ f (α1 x1 + + αn xn ) n i=1 xi !  a  a n X 1 n +1 xi = f ( ) = +n = =f n i=1 n n n hay n  X i=1 1.2 a (n2 + 1)a ≥ na−1 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức h 1.2.1 xi + xi Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức so sánh trung bình cộng trung bình nhân số thực khơng âm phát biểu sau Định lý 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM, [2]) Cho a, b số không âm Khi a+b √ ≥ ab Chứng minh Với a = 0, b = bất đẳng thức luôn Với a, b > 0, ta chứng minh sau: a+b √ ≥ ab √ ⇔a + b ≥ ab √ ⇔a − ab + b ≥ √ √ ⇔( a − b)2 ≥ Suy định lý chứng minh Định lý tổng quát cho n số: Định lý 1.6 Cho a1 , a2 , , an thực khơng âm ta có √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức cho n số không âm bất đẳng thức với 2n số khơng âm Ta có √ a1 + a2 + + a2n √ √ ≥ ( n a1 a2 an + n an+1 an+2 a2n ) ≥ a1 a2 a2n 2n nên bất đẳng thức n luỹ thừa h Giả sử bất đẳng thức với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức với n − số không âm Thật vậy, đặt A = a1 + a2 + + an−1 , an = Ta có A A+ ≥ n−1 r n A n−1 a1 · a2 an−1 A n−1 suy A ≥ (n − 1) · √ n a1 a2 an−1 Kết hợp ba điều suy bất đẳng thức AM-GM với n nguyên dương (n ≥ 2)