(SKKN HAY NHẤT) phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức (BĐT) kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu vực Quốc tế coi “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành nhiều lời giải thảo luận nhiều diễn đàn tạp chí Tốn học Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen đạo hàm phần kiến thức quan trọng khơng thể thiếu nhiều tốn đại số BĐT Nó thực cơng cụ hiệu có ứng dụng rộng rãi giải tốn, phương pháp chuẩn mực ta gặp phải BĐT thông thường Các tài liệu viết BĐT nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT giải tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) có tính hệ thống tính phân loại tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng cần thiết Do chọn chuyên đề nhằm phần đáp ứng yêu cầu góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG tỉnh nhà Các nhiệm vụ đề tài Chuyên đề nghiên cứu trình bày nội dung sau: Phần I: Các kiến thức cần thiết Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bất đẳng thức biến số Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị hàm số để tìm tập giá trị hàm số Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu Dạng 3: Kết hợp với BĐT khác BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng Dạng 2: Kết hợp với BĐT khác AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes,… Dạng 3: Khảo sát theo hàm số biến LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3 Mở rộng số tốn thi vơ địch Quốc tế Mục đích đề tài Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại tốn trình bày theo ý tưởng kỹ vận dụng đạo hàm vào việc giải lớp toán chứng minh BĐT, tìm GTLN GTNN loại Qua ví dụ cụ thể chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm “cái nhìn” định hướng phương pháp giải tốn Đồng thời thơng qua lời giải tốn giúp học sinh thấy chất Tốn học ẩn chứa Giúp cho học sinh hình thành phương pháp giải tốn chứng minh BĐT, tìm GTLN GTNN đạo hàm, học sinh có kỹ năng, kỹ xảo cần thiết để nâng cao lực giải toán Chuyên đề cịn góp phần phát huy trí thơng minh, tính sáng tạo, khả tư linh hoạt, có suy luận logic, xác, tinh thần vượt khó Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu sở lý luận có liên quan đến đề tài - Nghiên cứu dạng thức toán nhằm rút phương pháp giải Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trình giảng dạy bồi dưỡng HSG trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu thân Đối tượng nghiên cứu - Các tài liệu: SGK, STK, đề thi ĐH HSG cấp,… Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên học sinh đội tuyển HSG tỉnh, đội tuyển HSG Quốc gia Những đóng góp đề tài - Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết tư phương pháp việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Đồng thời, thơng qua chun đề hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh Địa bàn Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên Lịch sử nghiên cứu Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG trường, tỉnh luyện thi Đại học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com B NỘI DUNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục [a; b] *) Nếu f(x) đồng biến [a; b] ta có *) Nếu f(x) nghịch biến [a; b] ta có Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y = f(x) xác định lân cận đủ bé điểm Khi hàm số y = f(x) đạt cực trị có đạo hàm Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định [a; b] Trong lân cận đủ bé , thay đổi dấu x qua (có thể khơng tồn ) f(x) đạt cực trị *) Nếu điểm cực tiểu *) Nếu điểm cực đại Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định [a; b] Trong lân cận đủ bé , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời điểm cực trị hàm số *) Nếu điểm cực tiểu hàm số *) Nếu điểm cực đại hàm số II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bất đẳng thức biến số 1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị hàm số để tìm tập giá trị hàm số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997) Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C Tìm GTNN hàm số Giải: Ta có Hàm số xác định Ta có Do (1) nên thỏa mãn (*) Ta có bảng biến thiên x sinC sinA f’(x) f(x) 1 Vậy f(sinA) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chú ý: Từ kết ta suy phương trình có nghiệm sinA – sinB < sinA – sinC) Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < ( < Bài tốn 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992) Chứng minh với số tự nhiên n > ta có Giải: Đặt BĐT cần chứng minh trở thành Xét hàm số liên tục có Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2, (đpcm) Bài toán 3: (ĐH An ninh, 1997) Cho n số lẻ lớn Chứng minh với ta có Giải: Đặt Ta cần chứng minh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có Vậy Vì n số lẻ lớn nên dấu với (-2x) Do ta có bảng biến thiên x y’ + Y - Từ bảng biến thiên ta có (đpcm) Bài tốn 4: (Bộ đề tuyển sinh Đại học) Cho số nguyên dương n Chứng minh với LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải: Ta có Xét hàm số với Ta có Nên ta có bảng biến thiên x f’(x) + - f(x) Vậy Ta chứng minh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số [2n; 2n+1] suy tồn thuộc cho Suy Từ (1), (2) (3) suy đpcm Bài luyện tập Bài 1: Chứng minh với ta có Bài 2: Chứng minh x > số nguyên dương n ta có Bài (Toán học tuổi trẻ) Cho số nguyên dương n Chứng minh HD: Xét hàm số Hàm số đồng biến suy Bài 4: Cho x > Chứng minh , đpcm Bài 5: (ĐH Bách khoa, 1980) Chứng minh với Bài 6: Tìm GTLN hàm số với 1.2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong số tốn phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp chí phải khảo sát thêm hàm số phụ Ta thường sử dụng  f(x) đồng biến [a; b] f(x) > f(a) với x > a  f(x) nghịch biến [a; b] f(x) > f(b) với x < b Bài toán 5: Chứng minh với Giải: Xét hàm số ta có Ta có Suy Ta có đồng biến , nên f’(x) đồng biến Do Tức với x > Lưu ý với x > ta có (1) (2) Từ (1) (2) ta có đpcm Bài tốn 6: Tìm GTNN hàm số Giải: TXĐ: R Xét hàm số R Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì nên  Nếu Xét hai trường hợp Suy f(x) giảm [0; 1] Do  Nếu ta có bảng biến thiên x f’ - + f Từ bảng biên thiên suy Như hai trường hợp ta có Mặt khác Ta chứng minh Thật vậy, đặt Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Nếu Suy g(y) giảm [0; 1] Do  Nếu ta có bảng biến thiên y g’ - + g Từ bảng biên thiên suy Như hai trường hợp ta có Ta có Với Bài tốn 29: Cho Tìm GTLN biểu thức Giải: Đặt  TH1: Xét hai trường hợp sau: Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy Mặt khác Suy Ta có Ta có bảng biến thiên b + - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ bảng biến thiên suy  TH2: Từ TH1 ta có Mặt khác Suy Vậy , đạt Bài tốn 30: Cho Tìm GTLN biểu thức Giải: Đặt Ta có Nên f’(c) giảm [0; 1] Suy Suy f(c) tăng [0; 1] Do Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nên g’(a) giảm [0; 1] Suy Suy g(a) tăng [0; 1] Do Ta có Suy h(b) tăng [0; 1], nên Với a = b = c = Bài tốn 31: Xét hàm số miền Tìm GTNN hàm f miền D Giải: Biến đổi hàm số cho thành Đặt u= – x, v = – y, ta chuyển tìm GTNN hàm số miền , nghĩa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số với Ta thấy g’(v) = , coi u tham số Ta có , mà qua g’(v) đổi dấu từ dương sang âm, suy ( Vậy ) u = 1, v = Từ x = 0, y = Bài toán 32: (Đề thi HSG THPT toàn quốc bảng A, 1999) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b Tìm GTLN biểu thức Giải: Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 - ac) > suy Thay (1) vào biểu thức P biến đổi Xét hàm số với < x < coi c tham số (c > 0) Ta có Trên có nghiệm f’(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại (3) với Qua nên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ theo (2) ta có Xét hàm số g(c) với c > Ta có Với c > 0, g’(c) = va qua ) giá trị cực đại, suy Giá trị đạt g’(c) đổi dấu từ dương sang âm nên g( theo (1) (3) Bài toán 33: (VMO, 2001) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện Hãy tìm GTLN biểu thức Giải: Từ điều kiện (1) (2) suy a) Xét hàm số (4) với x > tham số Xét hai trường hợp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Nếu  Nếu theo (4) nên (5) theo (4) nên Xét hàm số g(z) với Ta có Do g(z) hàm giảm (6) So sánh (5) (6) ta có b) (7) Xét hàm số với tham số Từ điều kiện (1) (3) suy (8) Lập luận tương tự phần a) ta  Nếu  Nếu (9) (10) So sánh (9) (10) ta có (11) So sánh kết phần a) b) ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đẳng thức xảy Vậy maxP = 13 Bài toán 32: (Đề thi chọn ĐTQG, 2001) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac Tìm GTNN biểu thức Giải: Đặt tốn trở thành: Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn 2x+8y+21z Từ giả thiết suy Tìm GTNN biểu thức với (1) Suy (12) Xét hàm số với biến y tham số dương Ta có Trên đoạn có nghiệm f’(x) đổi dấu từ âm sang dương nên f(x) đạt cực tiểu qua nên Suy (13) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số Ta có Đặt t = với t > 0, phương trình trở thành Từ g’(y) đổi dấu từ âm sang dương nên g(y) đạt cực tiểu lúc ta có Dấu đẳng thức xảy Vậy hay Nhận xét: Phương pháp khảo sát biến cho thấy đường lối giải rõ ràng so với cách vận dụng BĐT, đồng thời giải hàng loạt tốn tìm cực trị hàm nhiều biến khác Bài luyện tập Bài 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh Bài 2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (có thể suy biến) Đặt Tìm maxT chứng minh Bài 3: ( Bảng A, 2001) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho hàm số miền Bài 4: ( Bảng A, 2001) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện Hãy tìm GTLN biểu thức Bài 5: (USAMO, 1980) Cho Chứng minh Bài 6: Cho Tìm GTLN biểu thức Mở rộng số tốn thi vơ địch Quốc tế Trong kì thi IMO 2004 có tốn sau: Cho n số tự nhiên lớn n số thực dương thỏa mãn Chứng minh ba số n số ba cạnh tam giác LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở rộng ta có toán sau: Giả sử n k hai số tự nhiên thỏa mãn chất: k n số thực dương Tìm số thực lớn g(n, k) có tính độ dài k cạnh đa giác lồi Giải: Chúng ta biết và độ dài k cạnh đa giác lồi k cạnh Do tốn diễn đạt lại là: Với điều kiện , tìm GTNN hàm số Để làm điều ta thiết lập biểu thức liên hệ g(n+1; k) g(n; k) Giả sử giá trị g(n; k) xác định đẳng thức xảy Xét điều kiện với Đặt Xét hàm số với x > Ta có Do Tại , hàm f đạt cực tiểu Theo giả thiết đẳng thức xảy nên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đẳng thức xảy Bây ta cần tính giá trị g(k; k) xét với điều kiện Đặt Xét hàm số Với điều kiện , Vậy nên , đẳng thức xảy Từ kết suy Và chưa phải đánh giá tốt cho BĐT ban đầu Giá trị tốt phải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com C KẾT LUẬN Mỗi tốn có đặc trưng riêng, có tốn mà đặc thù sở để chứng minh mang tính kỹ thuật trở nên hữu dụng Thường chứng minh hấp dẫn tính đơn giản Tuy nhiên, việc tìm chứng minh đẹp đẽ đa số trường hợp mơ hồ Trái lại, phương pháp sử dụng đạo hàm cồng kềnh, nặng nề tính tốn lại đường dễ thực Chuyên đề hệ thống phân loại tốn áp dụng đạo hàm vào giải, đồng thời thơng qua ví dụ cụ thể giúp học sinh đứng trước toán liên quan đến đạo hàm biết cách vận dụng Các toán chuyên đề chọn lọc kĩ càng, đa dạng phong phú Thơng qua giúp học sinh hình thành phương pháp giải tốn gặp toán loại Chuyên đề đưa vào giảng dạy cho đội tuyển HSG Quốc gia tỉnh Hưng Yên từ năm 2007 đến Và gây hứng thú, say mê học tập, kích thích ham hiểu biết, tìm tịi sáng tạo học sinh Kết năm gần đội tuyển Toán tỉnh ta đạt giải HSG Quốc gia như: giải năm 2009, giải năm 2010, giải năm 2011, giải năm 2012, giải 2013 Chuyên đề “ Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh BĐT” viết với tinh thần trách nhiệm cao, với mong muốn phần giúp thầy dạy Tốn, em THPT, em ĐTQG có tài liệu tham khảo học tập, hi vọng thầy cô giáo em tìm thấy nhiều bổ ích lí thú chuyên đề Tuy nhiên chuyên đề chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận động viên, đóng góp chân thành quý thầy cô em học để ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vẻ đẹp Bất đẳng thức kì thi Olympic Tốn học, Trần Phương, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010 [2] Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, Trần Phương, 2009 [3] Sáng tạo bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, 2006 [4] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 298, 299, năm 2002 [5] Các đề thi HSG Quốc gia, thi tuyển sinh Đại học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... I: Các kiến thức cần thiết Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bất đẳng thức biến số Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị hàm số để tìm... sở để chứng minh mang tính kỹ thuật trở nên hữu dụng Thường chứng minh hấp dẫn tính đơn giản Tuy nhiên, việc tìm chứng minh đẹp đẽ đa số trường hợp mơ hồ Trái lại, phương pháp sử dụng đạo hàm cồng... DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bất đẳng thức biến số 1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị hàm số