Tiểu luận Lý thuyết tổ hợp Hàm sinh thường và ứng dụng

Mục lục Lời nói đầu......................................................... 2 Danh sách nhóm................................................... 1. Đại cương về tổ hợp.............................................. 3 1.1 Các bài toán tổ hợp..................................................................... 3 1.1.1 Cấu hình tổ hợp............................................................ 3 1.1.2 Các dạng toán tổ hợp......................................... 3 1.2 Các cấu hình tổ hợp cơ bản........................................... 5 1.2.1 Hoán vị............................................................... 5 1.2.2 Hoán vị lặp........................................................ 5 1.2.3 Tổ hợp............................................................... 6 1.2.4 Tổ hợp lặp......................................................... 6 1.2.5 Chỉnh hợp............................................................. 7 1.2.6 Chỉnh hợp lặp........................................................ 7 1.2.7 Nhị thức Newton................................................... 8 2. Hàm sinh thường................................................................................. 9 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường...........................................................9 2.2 Định lý.............................................................................................9 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi.............................12 3.1 Bài toán (số Fibonaci)....................................................................12 3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình.....................13 3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler...............13 3.2.2 Ví dụ...................................................................................13 3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính....................15 3.3.1 Công thức truy hồi..............................................................15 3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng..........................15 3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh.............16 3.3.3.1 Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng...16 3.3.3.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng .................................................................................................................17 Kết luận ...........................................................................................................19 Tài liệu tham khảo............................................................................................20 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Lời nói đầu Vào TK XVII với hàng loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Uuler, Leibnitz,…dẫn đến lý thuyết tổ hợp được hình thành. Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán không lồ. Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển như vũ bảo, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Và cho đến khi xuất hiện máy tính điện tử và toán học hữu hạn, nhiều vấn đề tổ hợp được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và tin học… Hàm sinh là một trong những sáng tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng của toán rời rạc. Nói một cách nôm na, hàm sinh chuyển những bài toán về dãy số thành những bài toán về hàm số. Điều này là rất tuyệt vời vì chúng ta đã có trong tay cả một cỗ máy lớn để làm việc với các hàm số. Nhờ vào hàm sinh, chúng ta có thể áp dụng cỗ máy này vào các bài toán dãy số. Bằng cách này, chúng ta có thể sử dụng hàm sinh trong việc giải tất cả các dạng toán về phép đếm. Có cả một ngành toán học lớn nghiên cứu về hàm sinh, vì thế, trong bài này, chúng ta chỉ tìm hiểu những vấn đề căn bản nhất về chủ đề này. Đề tài xin trình bày vấn đề sau: "Hàm sinh thường và ứng dụng" Là một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp. Đề tài được chia thành những nội dung chính sau: 1. Lời nói đầu. 2. Chương 1. Đai cương về tổ hợp. 3. Chương 2. Hàm sinh thường . 4. Chương 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán tổ hợp. 5. Kết luận. Mặc dù nhóm đã rất cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót, mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn. Đà Nẵng, ngày 02 tháng 04 năm 2012 Nhóm 10 – Cao học Toán sơ cấp K24 NHÓM 10_

Mục lục

Lời nói đầu 2

Danh sách nhóm

1 Đại cương về tổ hợp 3

1.1 Các bài toán tổ hợp 3

1.1.1 Cấu hình tổ hợp 3

1.1.2 Các dạng toán tổ hợp 3

1.2 Các cấu hình tổ hợp cơ bản 5

1.2.1 Hoán vị 5

1.2.2 Hoán vị lặp 5

1.2.3 Tổ hợp 6

1.2.4 Tổ hợp lặp 6

1.2.5 Chỉnh hợp 7

1.2.6 Chỉnh hợp lặp 7

1.2.7 Nhị thức Newton 8

2 Hàm sinh thường 9

2.1 Định nghĩa hàm sinh thường 9

2.2 Định lý 9

3 Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi 12

3.1 Bài toán (số Fibonaci) 12

3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình 13

3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler 13

3.2.2 Ví dụ 13

3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính 15

3.3.1 Công thức truy hồi 15

3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng 15

3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh 16

3.3.3.1 Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 16

3.3.3.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 17

Kết luận 19

Tài liệu tham khảo 20

Lời nói đầu

Vào TK XVII với hàng loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Uuler, Leibnitz,…dẫn đến lý thuyết tổ hợp được hình thành

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán không lồ Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển như vũ bảo, thì dường như

nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học Và cho đến khi xuất hiện máy tính điện tử và toán học hữu hạn, nhiều vấn đề tổ hợp được giải quyết trên máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và tin học…

Hàm sinh là một trong những sáng tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng của toán rời rạc Nói một cách nôm na, hàm sinh chuyển những bài toán về

dãy số thành những bài toán về hàm số Điều này là rất tuyệt vời vì chúng

ta đã có trong tay cả một cỗ máy lớn để làm việc với các hàm số Nhờ vào hàm sinh, chúng ta có thể áp dụng cỗ máy này vào các bài toán dãy số Bằng cách này, chúng ta có thể sử dụng hàm sinh trong việc giải tất cả các dạng toán về phép đếm Có cả một ngành toán học lớn nghiên cứu về hàm sinh, vì thế, trong bài này, chúng ta chỉ tìm hiểu những vấn đề căn bản nhất về chủ đề này

Đề tài xin trình bày vấn đề sau: "Hàm sinh thường và ứng dụng"

Là một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp Đề tài được chia thành những nội dung chính sau:

1 Lời nói đầu

2 Chương 1 Đai cương về tổ hợp

3 Chương 2 Hàm sinh thường

4 Chương 3 Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán tổ hợp

5 Kết luận

Mặc dù nhóm đã rất cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót, mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn

Đà Nẵng, ngày 02 tháng 04 năm 2012

Nhóm 10 – Cao học Toán sơ cấp K24

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

1.1 Các bài toán tổ hợp

Có thể nói rằng bài toán tổ hợp rất đa dạng và phong phú, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau Một cách tổng quát rằng

lí thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó Mỗi cách phân bố sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp

1.1.1 Cấu hình tổ hợp:

Cho các tập hợp A1, A2,…,An, giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của

A1, A2,…,An, được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R1, R2,…,Rm các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S Khi đó mỗi cách sắp xếp các phần tử A1, A2,…,An, thảo mãn các điều kiện R1, R2,…,Rm gọi là một cấu hình

tổ hợp trên các tập A1, A2,…,An

Ví dụ: Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua Mỗi thế cờ có thể coi là một

cấu hình tổ hợp Ở đây có thể định nghĩa:

A là tập hợp các quân cờ trắng

B là tập hợp các quân cờ đen

S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ

R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua

1.1.2 Các dạng bài toán tổ hợp

a Bài toán tồn tại

Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào đó Có nhiều bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học

Ví dụ Cho n là số nguyên dương

A là tập hợp n x n điểm: A={ [ ]i,j,i,j = 1 n}

S là tập hợp 2n điểm trong A

R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng

Với 3 ≤n≤ 1 cấu hình tổ hợp tồn tại Nhưng bái toán vẫn chưa có lời giáo với n>15

b Bài toán đếm

Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét” Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lí đếmvà phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên

và cận dưới của nó Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán

Ví dụ Đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình

x + y + z = 12

c Bài toán liệt kê

Các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho Nhiều vấn đề trong các lĩnh vự khác nhau thường được đưa về bài toàn liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp

có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ?

Ví dụ Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử.

d Bài toán tối ưu tổ hợp

Trong nhiều vấn đề, một cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng hay chi phí thực hiện ) Khi đó bài toán tối

ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất)

Ví dụ Cho đồ thị có trọng số G, a và b là 2 đỉnh bất kì Tìm đường đi ngắn

nhất từ a đến b

1.2 Các cấu hình tổ hợp cơ bản

1.2.1 Hoán vị

Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp thứ tự

các phần tử đó

Ví dụ Có 6 học sinh xếp thành một hàng dọc trước lúc vào lớp Hỏi có thể có

bao niêu cách sắp xếp như vậy

Giải: một cách sắp hàng là một hoán vị của 6 người Vậy số cách xếp hàng là :

6 ! = 720

1.2.2 Hoán vị lặp

Định nghĩa :Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định một số

lần lặp lại cho trước

Ví dụ Có 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 4 viên bi trắng Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp các viên bi trên theo hàng ngang

Giải :

Có tất cả 9 lỗ trống để xếp tất cả các viên bi Ta có C(3,9) khả năng xếp

3 viên bi đỏ, C(6,2) khả năng xếp 2 viên bi xanh, còn lại một khả năng xếp các viên bi trắng Theo nguyên lí nhân ta có

C(9, 3) x C(6, 2) = 3 ! 2 ! 4 !

! 9

cách xếp

1.2.3 Tổ hợp

Định nghĩa Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể

thức tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho Nói cách khác ta

có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có phần

tử từ n phần tử đã cho

Kí hiệu Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử ta có:

)!

!.(

! )

,

(

k n

k

n k

n

C

−

=

Ví dụ Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh

trong lớp đi thi học sinh giỏi?

Giải

Mỗi cách chon 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp ứng với một tổ hợp

chập 5 của 45 Vậy có 5!.(45 5)!

! 45 )

5 , 45 (

−

=

C

1.2.4 Tổ hợp lặp

Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ

tự gồm k phân tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể được lặp lại

Ví dụ: Giả sử ta có 3 quyên sách: Toán, Lí, Hóa và mỗi quyển có ít nhất có 6

bản photocopy Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 quyển

Giải:

Bài toán đặt ra là chọn 6 phần tử, không kể thứ tự và cho phép lặp lại Mỗi cách chọn sách được xác định duy nhất bởi số lượng của mỗi loại sách

Ta có thể biểu diễn mỗi cách chọn sách như sau:

Trong đó 6 dấu x chỉ quyển sách chọn và hai dấu gạch đứng chỉ phân cách giữa giữa các loại sách Như vậy mỗi cách chọn sách tương ứng chọn 2

vị trí trong 8 vị trí để đặt 2 dấu gạch | tức là tổ hợp chập 2 từ 8 phần tử

Suy ra số cách chọ sách là: C(8,2) = 28

1.2.5 Chỉnh hợp

Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ

tự gồm 3 thành phần lấy từ n thành phần đã cho Các thành phần không được lặp lại

Kí hiệu: A(n, k) và ( )!

! )

, (

k n

n k

n A

−

=

Ví dụ Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọ 5 học sinh trong

lớp đi thi học sinh giỏi 5 môn: Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh

Giải

Mỗi cách chon 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp đi thi học sinh giỏi

5 môn ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 45 Vậy có (45 5)!

! 45 )

5 , 45 (

−

=

A

1.2.6 Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có

thứ tự gồm k thành phần lấy từ n thành phần đã cho Các thành phần có thể được lặp lại

Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đê- các Xk, với X là tập n phần tử Như vậy số tất cả các chỉnh hợp chập k của

n là

AR(n, k) = nk

Ví dụ Tính số hàm từ tập X có k phần tử đến tập Y có n phần tử

Giải:

Mỗi hàm từ X vào Y tương ứng với một bộ có thứ tự k thành phần của n phần tử của Y, các phần tử có thể lặp lại Như vậy số hàm từ X vào Y là nk

1.2.7 Nhị thức Newton:

Công thức nhị thức Newton

Chú ý:

Hệ số của số hạng thứ k+1 là giá trị không chứa biến

Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển (1 + 2x)n

Giải: Số hạng thứ 3 là

Suy ra hệ số của số hạng thứ ba của khai triển đó là

Chương 2

HÀM SINH THƯỜNG

2.1 Định nghĩa hàm sinh thường.

Cho dãy số thực (a r)r = ( a 0 , a 1 ,a 2 , …) và biến x Hàm sinh thường của

dãy ( a 0 , a 1 ,a 2 , …) là hàm

g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …

Ví dụ 1: Hàm

=

=

k

k k n n

x C x

0

1

Là hàm sinh của dãy C n0 ,C n1 ,C n2 , ,C n n

2.2 Định lý.

1 Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r thì (1 – x ) g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r – a r-1 ) r

2

Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r thì x

x g

−

1

) (

là hàm sinh

thường của dãy (a 0 + a 1 + a 2 + … + a r)r

3 Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r thì x. g′(x) là hàm sinh

thường của dãy (r.a r)r

4 Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r và h(x) là hàm sinh thường của dãy (b r)r thì p.g(x) + q.h(x) là hàm sinh thường của dãy (p.a r + q.b r ) r với mọi số thực p,q

5 Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r và h(x) là hàm sinh thường của dãy (b r)r thì g(x).h(x) là hàm sinh thường của dãy tích chập

r

r

i

i r

i b









∑

= 0 −

6 Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r, thì

!

) 0 (

r

g a

r

r =

,

∀

r = 0,1,2 … Chứng minh g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r nên :

g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …

1 Ta có

(1 – x ) g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …

– a 0 x – a 1 x 2 – a 2 x 3 – a 3 x 4 – …

= a 0 + (a 1 – a 0 )x + (a 2 – a 1 )x 2 + (a 3 – a 2 )x 3 + …

suy ra (1 – x ) g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r – a r-1 ) r ¨

2 Ta có

x

x g

−

1

) (

= g(x).(1 + x + x 2 + x 3 +…)

= a 0 + a 0 x + a 0 x 2 + a 0 x 3 + …

+ a 1 x + a 1 x 2 + a 1 x 3 + a 1 x 4 +

+ a 2 x 2 + a 2 x 3 + a 2 x 4 + a 2 x 5 + …

…

= a 0 + (a 0 + a 1 )x + (a 0 + a 1 + a 2 )x 2 + (a 0 + a 1 + a 2 )x 3 + …

x

g

−

1

)

(

là hàm sinh thường của dãy (a 0 + a 1 + a 2 + … + a r)r ¨

3 Ta có

g′(x) = a

1 + 2a 2 x +3 a 3 x 2 + …

x g′(x) = a

1 x +2 a 2 x 2 +3 a 3 x 3 +…

suy ra x g′(x) là hàm sinh thường của dãy (r.a

r)r ¨ (4), (5), (6) được chứng minh tương tự ¨

Ví dụ 2 Cho g(x) là hàm sinh thường của dãy (a r)r , a 0

≠

0, và h(x) = ( )

1

x

Giả sử h(x) là hàm sinh thường của dãy (b r)r Để tính dãy số (b r)r ta sử dụng

đẳng thức

= (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … ) (b 0 + b 1 x +b 2 x 2 + …) = g(x)h(x) = 1

suy ra hệ phương trình đối với (br)r

a0b0- = 1

a1b0 + a0b1 = 0

a2b0- + a1b1 + - a0b2 = 0-

………

Hai mệnh đề thường được sử dụng

Mệnh đề 1: Cho hàm sinh G(x) = (1 + x + x 2 + …) n

a) Đặt a r là hệ số của x r trong khai triển của G(x) thì : a r = C r r+n−1

m

c) (1 + x + x 2 + … + x m-1 ) n = (1 – x m ) n (1 + x + x 2 + …+) n

Mệnh đề 2: ( Công thức xác định hệ số tích của hai hàm sinh)

Cho hai hàm sinh của hai dãy (a n ), (b n ) lần lượt là:

A(x) = a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + …

B(x) = b 0 +b 1 x +b 2 x 2 + …

Đặt G(x) = A(x)B(x) = (a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + …)( b 0 +b 1 x +b 2 x 2 + …)

= a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x +( a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x 2 + (a 0 b 3 + a 1 b 2 +

a 2 b 1 + a 0 b 3 )x 3 + …

Khi đó hệ số của x r trong khai triển của G(x) là a 0 b r + a 1 b r-1 + a 2 b r-2 + …+ a

r-2 b 2 + a r-1 b 1 + a r b 0 (*).

Chú ý: Trong các ví dụ ứng dụng hàm sinh để giải bài toán đếm nâng cao ở phần II chúng ta rất hay sử dụng công thức (*)

Chương 3

ỨNG DỤNG HÀM SINH THƯỜNG GIẢI

CÁC BÀI TOÁN TRUY HỒI

3.1 Bài toán ( Số Fibonacci)

Giải công thức truy hồi sau

a n = a n-1 +a n-2 , với n ≥ 2, a 0 = 0, a 1 = 1

Bài giải Gọi g(x) là hàm sinh thường của dãy a n , ta có :

g(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 +…

xg(x) = a 0 x + a 1 x 2 + a 2 x 3 + a 3 x 4 +…

x 2 g(x) = a 0 x 2 + a 1 x 3 + a 2 x 4 +…

suy ra :

(1 – x – x2)g(x) = a 0 + (a 1 – a 0 )x + (a 2 – a 1 – a 0 )x 2 +

+ (a 3 – a 2 – a 1 )x 3 +(a 4 – a 3 – a 2 )x 4 +…

= x

Hay g(x) = 1 x x2

x

−

−

5

1 +

−

=

α

5

1 −

−

=

β

là hai nghiệm của phương trình bậc hai

1 – x – x 2= 0

Biến đổi g(x) như sau:

g(x) = 1 x x2

x

−

−

β α α

β

α

x x

x

1 1 1

1 1 1

.

1

= − ∑∞ −∑ 

=

∞

=

1

r

r

r

x x

β α

β

α

=

r r

r

∑∞

=  − 

− 0

1 1 1

β α β

α

Vì

5

−

=

− β

α

r r

r r

1

1 1

−

−

=

β

, ta có

g(x) =

r r r

r

x

2

5 1 2

5 1 5

1

















 −

−







 +

∑∞

=

Cuối cùng ta nhận được:

















 −

−







2

5 1 2

5 1

5

1

,

2

≥

∀n

3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình

3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler.

Ý tưởng chung của phương pháp sử dụng hàm sinh giải bài toán đếm là

đi tìm hệ số của xr trong khai triển của hàm sinh với r là số phần tử được chọn

ra trong n đối tượng vowid những điều kiện ràng buộc cho trước Bây giờ chúng ta sẽ vận dụng kiến thức hàm sinh trên vào việc giải quyết các ài toán đếm tổ hợp nâng cao Thông qua nhiều ví dụ khác nhau dưới đây chúng ta sẽ định hình và nắm chắc được cách sử dụng hàm sinh trong việc giải bài toán đếm tổ hợp nâng cao

3.2.2 Ví dụ.

3.2.2.1 Vào ngày chủ nhật, cô Hoa đi chơi và mua quà là 12 quả cam cho

3 đứa trẻ An, Bình, Chi Hỏi cô Hoa có bao nhiêu cách phân phối 12 quả cam sao cho An có ít nhất 4 quả, Bình và Chi mỗi người đếu có ít nhất 2 quả, nhưng Chi không được nhiều hơn 5 quả?

Giải:

Hàm sinh cho số cách chọn quả cho An là:

A(x) = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = x 4 ( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 )

= x 4 x

x

−

−

1

Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Bình là:

B(x) = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = x 2 ( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 )

= x 2 x

x

−

−

1

Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Chi là: