(Luận văn) định lý pick và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ DIỆU LINH lu an ĐỊNH LÝ PICK VÀ ÁP DỤNG n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ DIỆU LINH lu an ĐỊNH LÝ PICK VÀ ÁP DỤNG n va gh tn to p ie Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa nl w Mã số: 8460113 an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si Mục lục lu MỞ ĐẦU 1 Định lý Pick an 1.1 Kiến thức chuẩn bị Lưới điểm lưới 1.1.2 Đa giác lưới, điểm biên điểm 1.2 Định lý Pick n va 1.1.1 p ie gh tn to 1.2.1 Sơ lược việc chứng minh định lý Pick 1.2.2 Chứng minh định lý Pick dựa vào phép phân chia đa w giác thành tam giác nguyên thủy (Honsberger(1970)) 11 Chứng minh định lý Pick dựa vào định lý Euler (Funken- oa nl 1.2.3 12 1.3 Một số dạng tổng quát định lý Pick 13 d busch (1974), Gaskell et al 1976) an lu Đối với hình đa liên 13 1.3.2 Đối với hình đa diện khơng gian ba chiều 16 nf va 1.3.1 lm ul 31 z at nh oi Một số áp dụng định lý Pick 31 2.2 Đường tròn Ford 40 2.3 Một số toán khác 45 z 2.1 Dãy Farey @ gm TÀI LIỆU THAM KHẢO m co l QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) an Lu n va ac th i si MỞ ĐẦU Trong mặt phẳng lưới Z2 cho đa giác đơn P có đỉnh điểm lưới Làm để xác định diện tích hình đa giác P ? lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu Năm 1899, Georg Alexander Pick - nhà toán học người Áo (1859-1942) lm ul đưa công thức thú vị đáng ý để tính diện tích đa giác z at nh oi đơn không gian Euclide chiều có đỉnh điểm lưới: Area = B + I − 1, z B I tương ứng số điểm lưới biên bên đa @ gm giác P Định lý Pick nhiều người biết đến từ xuất l sách Mathematical Snapshots (1969) Hugo Steinhaus co Năm 1957, Reeve đưa phát biểu tương tự định lý Pick cho hình m đa diện khơng gian Euclide chiều Nghiên cứu Reeve cho thấy an Lu khơng thể đưa cơng thức tính thể tích hình đa diện lồi dựa vào số điểm lưới bên biên đa diện Cụ thể, Reeve n va ac th si xét tứ diện có đỉnh có tọa độ (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, r) với r số nguyên dương Khi tứ diện có điểm có tọa độ nguyên thay đổi giá trị r để thể tích tứ diện đạt giá trị lớn tùy ý Định lý Pick nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tổng quát theo nhiều khía cạnh khác nhau, chẳng hạn Krzysztof Kolodziejczyka (2008) Với mục đích nghiên cứu định lý Pick vấn đề có liên quan, chúng tơi chọn đề tài “Định lý Pick áp dụng ” Đề tài sâu nghiên cứu định lý Pick, phép chứng minh định lý từ dạng đơn giản đến dạng tổng quát hóa cho đa diện lồi khơng gian Euclide chiều Bên cạnh đó, đề tài tìm hiểu lịch sử phát triển định lý Pick, số áp dụng lu định lý dãy Farey, đường tròn Ford số toán khác an va Sau đọc hiểu tài liệu, tác giả cố gắng trình bày lại cách rõ ràng, n hệ thống chi tiết nội dung đề tài với bố cục gồm chương: tn to Chương 1: Trình bày sơ lược lịch sử phát triển định lý Pick, nội dung gh định lý Pick phép chứng minh dựa vào phép phân chia đa giác thành p ie tam giác nguyên thủy (Honsberger (1970)) dựa vào định lý Euler (Fun- kenbusch (1974), Gaskell et al 1976) Trình bày số dạng tổng quát nl w định lý Pick cho hình đa giác đa liên, hình đa diện khơng gian chiều d oa Chương 2: Trình bày áp dụng định lý Pick vào tốn: dãy Farey, lu đường trịn Ford số toán khác nf va an Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình TS Ngô Lâm Xuân Châu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy lm ul Cảm ơn Thầy dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn em suốt trình thực nghiên cứu hoàn thành đề tài Tác giả xin gửi lời z at nh oi cảm ơn đến toàn thể q thầy giáo Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại Học Quy Nhơn, thành viên lớp Cao học Toán K21 quan tâm, z giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu gm @ Cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln khích lệ, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu l Mặc dù cố gắng hết sức, điều kiện thời gian có hạn, trình độ co m kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cịn nhiều hạn chế nên luận văn khó an Lu tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận thơng cảm, dẫn, góp ý tận tình q thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện n va ac th si Chương Định lý Pick lu Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược lịch sử phát triển an nội dung định lý Pick số phép chứng minh định lý Pick Nội n va dung tham khảo từ tài liệu [1], [5], [6],[8] tn to Kiến thức chuẩn bị ie gh 1.1 p Trước đến với nội dung định lý Pick chứng minh, cần Lưới điểm lưới d 1.1.1 oa nl w số định nghĩa trình bày sau đây: lu x ∈ Z y ∈ Z nf va an Trong không gian Euclide chiều, tọa độ (x; y) gọi tọa độ nguyên lm ul − − − Cho điểm M (khác gốc tọa độ O) vectơ → u,→ v có tọa độ nguyên, → u → − v không phương Tập tất ảnh điểm M qua phép tịnh tiến z at nh oi → → Tk− u +t− v (k, t ∈ Z) lưới Mỗi lưới khác có hình sở hình bình hành khác kích thước (Hình 1.1) − − Với trường hợp hai vectơ → u → v vng góc có độ dài ta z gm @ lưới vng Lưới vng có hình sở hình vng (ơ vng) Với hệ trục tọa độ song song với cạnh hình vng sở, đỉnh hình l vng điểm có tọa độ nguyên, có đơn vị độ dài độ dài cạnh hình m co − − vng sở (|→ u |, |→ v |) (Hình 1.2) Hiển nhiên điểm lưới có tọa độ nguyên an Lu Mỗi vị trí ảnh điểm M qua phép tịnh tiến nói điểm lưới n va ac th si → − u → − v M Hình 1.1: Lưới lu an n va ie gh tn to → − u p M → − v d oa nl w nf va an lu Hình 1.2: Lưới vng Lưới nói chung lưới vng nói riêng có tính chất sau: lm ul • Trùng với điểm lưới dịch chuyển đến điểm lưới z at nh oi dịch chuyển song song • Trùng với xoay 180o xung quanh điểm lưới z @ m co l cứu định lý Pick gm Trong phạm vi nội dung luận, sử dụng lưới vuông để nghiên an Lu n va ac th si 1.1.2 Đa giác lưới, điểm biên điểm Đa giác lưới đa giác đơn (khơng tự cắt) có tất đỉnh điểm lưới Điểm biên điểm lưới nằm cạnh, bao gồm đỉnh đa giác lưới Điểm điểm lưới nằm vùng bên đa giác lưới lu B an va n C p ie gh tn to A nl w d oa Hình 1.3: A B hai điểm biên, C điểm đa giác lưới P an lu Định lý Pick nf va 1.2 lm ul Định lý Pick phương pháp để xác định diện tích đa giác z at nh oi lưới Mặc dù diện tích hình tính nhiều cách khác (ví dụ: phân vùng đa giác tính tổng diện tích vùng sử dụng hình chữ nhật xung quanh, ) vào năm 1899, Georg Alexander z Pick đưa công thức thú vị đáng ý tính diện tích @ gm đa giác đơn không gian Euclide chiều Công thức biết đến l định lý Pick Tuy nhiên, Steinhau phát biểu m cách rộng rãi co sách Mathematical Snapshots (1969) định lý Pick biết đến an Lu n va ac th si Định lý 1.2.1 Diện tích A đa giác lưới có B điểm biên I điểm A= B + I − Ví dụ 1.2.1 Đa giác lưới P Hình 1.3 có điểm biên điểm Diện tích đa giác P A(P ) = 1.2.1 + − = 9.5 Sơ lược việc chứng minh định lý Pick Kể từ định lý Pick biết đến rộng rãi hơn, có nhiều phép lu an chứng minh đưa Một vài phép chứng minh tiếng như: chứng n va minh dựa vào phép phân chia đa giác thành tam giác nguyên thủy theo tn to Honsberger; chứng minh dựa vào định lý Euler Funkenbusch; Để việc trình bày phép chứng minh ngắn gọn tường minh ie gh ý tưởng, tác giả xin trình bày số đơn vị kiến thức cần thiết p sau: w oa nl Tam giác nguyên thủy d Một tam giác có đỉnh điểm lưới khơng có điểm lưới khác lu an nằm cạnh vùng bên gọi tam giác nguyên nf va thủy lm ul Mệnh đề 1.1 Tam giác ngun thủy có diện tích (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ) z at nh oi Chứng minh Theo hình học giải tích, diện tích tam giác với đỉnh (x1 ; y1 ), z x1 y1 1 x2 y2 = |x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − x1 y3 − x2 y1 − x3 y2 | = P 2 x3 y3 co l gm @ m Vì đỉnh tam giác nguyên thủy điểm lưới nên giá trị x an Lu y số nguyên Do đó, giá trị P số nguyên dương bé Nếu P = điểm lưới (3 đỉnh) trùng thẳng n va ac th si hàng, trường hợp ta khơng có tam giác Vậy, P có giá trị bé Từ suy ra, diện tích tam giác nguyên thủy bé Để xác , ta đặt tam giác nguyên thủy T vào hình chữ nhật R theo cách sau: Một cặp cạnh hình chữ nhật nằm đường thẳng qua đỉnh bên trái đỉnh bên phải T Cặp cạnh cịn lại hình chữ nhật nằm đường thẳng qua đỉnh cao đỉnh thấp T (Hình 1.4) T R lu an n va Hình 1.4: Tam giác nguyên thủy T hình chữ nhật R tn to Hình chữ nhật R thu có k điểm l điểm biên (trong có gh điểm biên đỉnh) R phân vùng thành tam giác nguyên p ie thủy Giả sử phân vùng R chứa n tam giác nguyên thủy, số T Chúng khẳng định rằng, phân vùng R chứa nl w số tam giác nguyên thủy Chúng thiết lập điều d oa số góc sau: an lu 360o nf va 180o (b) (c) z at nh oi lm ul (a) 90o Hình 1.5: Góc nhìn từ điểm lưới hình chữ nhật z gm @ • Dễ thấy rằng, điểm R đỉnh chung vài tam giác nguyên thủy Góc đỉnh điểm lên tới 360o Từ l đó, với k điểm cho ta góc k.360o (Hình 1.5(a)) co m • Tại điểm biên khơng đỉnh R (có l − điểm thế), tam an Lu giác nguyên thủy đóng góp góc 180o Vậy, từ l − điểm cho ta góc (l − 4)180o (Hình 1.5(b)) n va ac th si 37 Mặt khác, phân số a c xuất trước phân số dãy Fn nên ta có b d a c b d < hay > Xét tam giác theo chiều ngược kim đồng hồ, diện tích b d a c 4OLM tính theo cơng thức hình học giải tích 0 1 c d = (bc − ad) 2 a b (2.1) Theo chứng minh trên, lại có lu S4OLM = an (2.2) va n Từ (2.1) (2.2) suy to gh tn 1 (bc − ad) = ⇔ bc − ad = 2 p ie Mệnh đề chứng minh a c e ba phân số liên tiếp b d f nl w Mệnh đề 2.2 ([6]) (Phân số trung bình) Nếu , d oa dãy Farey nf va an lu a+e c = d b+f 1 5 5+7 số liên tiếp , F8 có = 6+8 Ví dụ 2.1.3 Ba phân số liên tiếp , z at nh oi lm ul 1+1 F5 có = = Ba phân 5+3 12 = 14 Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1 ta có bc − ad = de − cf = nên suy z bc − ad = de − cf ⇔ bc + cf = de + ad c a+e ⇔ c(b + f ) = d(e + a) ⇔ = d b+f l gm @ Mệnh đề chứng minh a c hai phân số liên tiếp dãy b d m b + d > n an Lu Farey co Mệnh đề 2.3 ([9]) Nếu n va ac th si 38 1 F3 có + = > Hai phân 3 số liên tiếp F6 có + = > a c Chứng minh Với hai phân số liên tiếp trong dãy Fn , b d a+c xét phân số trung bình ta có: b+d Ví dụ 2.1.4 Hai phân số liên tiếp a+c a b(a + c) − a(b + d) bc − ad − = = = >0 b+d b b(b + d) b(b + d) b(b + d) c a+c c(b + d) − d(a + c) bc − ad − = = = >0 d b+d d(b + d) d(b + d) d(b + d) lu an bc − ad = theo Mệnh đề 2.1 va Do n a+c ∈ b+d tn to gh Nếu b + d n a c  , b d a c a+c ∈ Fn Điều vơ lý hai phần tử liên b+d b d p ie tiếp Suy w b + d > n oa nl Mệnh đề chứng minh d Mệnh đề 2.4 ([9]) Khơng có hai phân số liên tiếp dãy Farey có nf va an lu mẫu số ngoại trừ hai phần tử sở 1   Chứng minh Với n = ta có F1 = , gồm phần tử liên tiếp lm ul 1 hai phần tử sở có mẫu số z at nh oi c a hai phân số liên tiếp dãy Fn : b b a c • Nếu b = ta có hai phân số liên tiếp nên suy 1 Với n > z • Nếu b > c < b n va c < b an Lu m c a > b b co a + c l gm @ b = c = ⇒ a = ⇒ n = (Vô lí) ac th si 39 Hay a + c < b Mặt khác, ta lại có a a a+1 c < < b b−1 b b Do đó, vơ lý a a c phân số nằm hai phân số liên tiếp Điều b−1 b b Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.5 ([9]) Trong dãy Fn bất kỳ, tổng tử số nửa tổng mẫu số lu an Ví dụ 2.1.5 Dãy F2 có tổng tử số + + = tổng mẫu số n va tn to + + = = 2.2 gh Dãy F5 có tổng tử số + + + + + + + + + + = 19 tổng p ie mẫu số oa nl w + + + + + + + + + + = 38 = 19.2 Chứng minh Để chứng minh mệnh đề này, đầu tiên, ta cần chứng minh bổ d a a phân số dãy Fn nên ta có (a, b) = 6 b b z at nh oi Suy lm ul Chứng minh Vì a b−a phân số dãy Fn phân số b b nf va dãy Fn an Bổ đề 2.1.1 Nếu lu đề sau: (b − a, b) = − b−a phân số dãy Fn Bổ đề chứng minh b z gm @ Hay a b Quay lại việc chứng minh Mệnh đề 2.5, áp dụng bổ đề ta X b−a⇔2 X a= X co a= l X b m an Lu Mệnh đề 2.5 chứng minh n va ac th si 40 Mệnh đề 2.6 ([9]) Trong dãy Fn bất kỳ, mẫu số phân số liền trước liền sau phân số số nguyên lẻ lớn không vượt n Ví dụ 2.1.6 Dãy F4 có mẫu số phân số liền trước liền sau phân số Dãy F7 có mẫu số phân số liền trước liền sau phân số Chứng minh Gọi 2 a phân số liền trước dãy Fn Theo Mệnh b đề 2.1 ta có b − 2a = ⇔ b = 2a + Hay b số lẻ lu an Mặt khác, theo Mệnh đề 2.3 ta có va n b + > n ⇔ b > n − ⇔ b > n − gh tn to Mà p ie b6n nên nl w n − b n 2.2 nf va an lu minh d oa Vậy, b số nguyên lẻ bé không vượt n Mệnh đề 2.6 chứng Đường tròn Ford lm ul Trong phần này, chúng tơi tìm hiểu đường trịn Ford dựa vào tài liệu z at nh oi [9] Đường tròn Ford mở rộng hình học phân số Farey z Với số nguyên m, điểm (m, ), vẽ đường trịn có bán kính l gm @ Khi đó, ta có chuỗi đường trịn tiếp xúc liên tiếp có hai tiếp tuyến chung hai đường thẳng nằm ngang y = y = Tiếp điểm co đường tròn chuỗi với hai tiếp tuyến m (m, 0) (m, 1) Giữa hai đường tròn liên tiếp, vẽ đường tròn tiếp xúc an Lu với chúng đường thẳng y = Tiếp tục trình với chuỗi đường trịn mới, ta hình vẽ: n va ac th si 41 y=0 (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) Hình 2.5: Chuỗi đường trịn tiếp xúc liên tiếp Đặc biệt, tiếp điểm đường tròn với đường thẳng y = số hữu tỷ Hai đường tròn tiếp xúc hai số hữu tỷ tương ứng lu liên tiếp dãy Farey (Hình 2.6) an n va ie gh tn to p 1 3 3 nl w 1 3 d oa Hình 2.6: Chuỗi đường tròn tiếp xúc dãy Farey lu  nf va an Định nghĩa 2.2 Trong hệ tọa độ Oxy , đường trịn có tọa độ tâm tiếp xúc với Ox điểm có hồnh độ phân số tối giản lm ul tròn Ford, ký hiệu C(a, b) a , b 2b2  a gọi đường b z at nh oi Một số hình ảnh đẹp đường tròn Ford sau cách điệu [9] tác giả sưu tầm internet (Hình 2.7) z Mệnh đề 2.7 Với hai đường tròn Ford khác C(a, b) C(c, d), đó: @ l gm Hai đường tròn tiếp xúc |bc − ad| = m co Hai đường trịn khơng tiếp xúc |bc − ad| > ứng r, R ký hiệu hình vẽ (Hình 2.8) an Lu Chứng minh Cho C(a, b) C(c, d) hai đường tròn Ford có bán kính tương n va ac th si 42 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu Hình 2.7: Đường trịn Ford cách điệu Dễ thấy rằng, bán kính đường trịn tung độ tâm lm ul Hay Khi ta có 1 R = 2b2 2d2 z at nh oi r=  (r + R) = 2 z 1 + 2 2b 2d @ gm Gọi D khoảng cách hai tâm O1 O2 Áp dụng định lý Pytago cho 2 a − d b 2 + (R − r) = c a − d b 2  + m D = O1 M + O2 M = c co l 4M O1 O2 vuông M ta 1 − 2 2d 2b 2 an Lu n va ac th si 43 O2 D O1 R M r a b c d lu an Hình 2.8: Đường tròn Ford C(a, b), C(c, d) n va tn to Xét hiệu số D2 − (r + R)2 ta 2 ie gh D − (r + R) = c a − d b 2  + 1 − 2d2 2b2 2  − 1 + 2b2 2d2 2 p a −1 c2 2ac a2 + − 2 + · = 2− d b b d d bd b b d 2 2 (bc − ad) − b c − 2bcad + a d − = > = 2 b d b2 d2 c −  d oa nl w = an lu Đẳng thức xảy |bc − ad| = Có nghĩa là, |bc − ad| = 1, nf va ta có D2 − (r + R)2 = 0, hai đường tròn tiếp xúc Nếu |bc − ad| > D2 − (r + R)2 > 0, hai đường trịn khơng tiếp xúc Mệnh đề chứng z at nh oi lm ul minh Từ mệnh đề ta dễ dàng thấy rằng, biểu diễn mặt phẳng tọa độ, hai phân số Farey liên tiếp có hai đường trịn qua chúng hai đường trịn tiếp xúc Ví dụ biểu diễn dãy z gm @ Farey thứ (Hình 2.9) a e c < < ba phân số liên tiếp dãy Fn Khi b f d C(a, b) tiếp xúc với C(e, f ) điểm   an Lu A1 = e b − , f f (b2 + f ) b2 + f m co l Mệnh đề 2.8 Giả sử n va ac th si 44 lu an 5 4 56 67 1 n va gh tn to Hình 2.9: Biểu diễn F7 p ie C(e, f ) tiếp xúc với C(c, d) điểm  d e + , f f (d2 + f ) d2 + f nl w A2 =  d oa Chứng minh Ký hiệu độ dài đoạn hình vẽ (Hình 2.10) nf va an lu 2f 1 − 2 2f 2b m A z at nh oi lm ul 2b2 n e f z a b gm @ co l Hình 2.10: C(a, b) tiếp xúc C(c, d) 2f n − 2b2 = 2f 2f + 2b2 n va a b = an Lu e f m − m Áp dụng định lý Thales ta có ac th si 45 Suy m= a e 2f ( f − b ) 1 2f + 2b2 (Vì = eb − af 2f b2 b b(eb − af ) · = · = 2 2 2f fb b +f f (b + f ) f (b + f ) e a hai phân số liên tiếp Fn nên eb − af = 1.) b f n= 2f ( 2f12 − 2b12 ) 2f + 2b2 = b2 − f 2f b2 b2 − f · · = 2f 2f b2 b2 + f 2f (b2 + f ) Vậy, tọa độ điểm A1 (x1 , y1 ), đó: lu x1 = an e e b −m= − f f f (b + f ) b2 − f 1 b2 − f 2f 1 = = y1 = − n = − 2 − = · 2 2 2 2f 2f 2f (b + f ) 2f b +f 2f b + f b + f2 n va   gh tn to Bằng cách tương tự, ta tìm tọa độ A2 Mệnh đề chứng minh p ie Một số tốn khác oa nl w 2.3 d Ngồi áp dụng tiêu biểu dãy Farey đường tròn Ford, định lý an lu Pick áp dụng để giải số toán tác giả sưu tầm sau lm ul điểm nguyên nf va Bài tốn 2.3.1 Chứng minh khơng có tam giác có đỉnh z at nh oi Chứng minh Định lý Pick nói diện tích đa giác lưới nửa số điểm biên cộng với số điểm trừ Rõ ràng, diện tích đa giác lưới nói chung diện tích tam giác lưới (nếu có) z số hữu tỷ @ gm Tuy nhiên, cơng thức tính diện tích sơ cấp √ thường dùng nhất, ta tính √ lại số vơ tỷ nên suy tích co (điều Pytago chứng minh) mà a Vì a2 số hữu tỷ l diện tích tam giác cạnh a m chúng số vơ tỷ Từ ta diện tích tam giác khơng an Lu thể số hữu tỷ Vậy, khơng có tam giác có đỉnh điểm nguyên n va ac th si 46 Bài tốn 2.3.2 Tìm tất số nguyên dương n cho tồn n- giác có đỉnh điểm nguyên Lời giải Giả sử tồn n- giác A1 A2 · · · An có đỉnh điểm nguyên Theo Định lý Pick, diện tích tam giác A1 A2 A3 số hữu tỷ Suy A1 A2 A1 A3 sin A\ A1 A3 ∈ Q ⇒ sin π 2π ∈ Q ⇒ cos ∈ Q 2n n (2.3) Xét dãy đa thức {Fn }n>1 xác định lu F1 (x) = x, F2 (x) = x2 − 2, an Fn+2 (x) = xFn+1 (x) − Fn (x), n > n va tn to Dễ thấy với n, Fn monic có bậc n, có hệ số nguyên p ie gh Fn (2 cos t) = cos nt, ∀t ∈ R Ta có  Suy  = d oa nl w Fn 2π cos n lu 2π nghiệm đa thứcFn − n (2.4) nf va an cos Từ (2.3) (2.4) suy 2π 2π ∈ Z ⇒ cos ∈ {±1, 0, ±2} n n z at nh oi Do lm ul cos n ∈ {3, 4, 6} z gm @ Vì khơng tồn tam giác (n = 3)có đỉnh điểm ngun (Bài tốn 2.3.1) nên khơng tồn lục giác (n = 6) Vậy, n có giá l trị Dễ thấy hình vng có đỉnh điểm ngun co m Bài toán 2.3.3 (Bài toán Frobenius) Giả sử ngân hàng lại hai loại an Lu tiền nghìn nghìn Tơi có tờ n nghìn (n ∈ N), liệu đem tờ n nghìn đến ngân hàng để đổi lấy tờ nghìn nghìn hay khơng? Rõ n va ac th si 47 ràng lúc đổi được, chẳng hạn với n = với n đủ lớn ta đổi Một câu hỏi tự nhiên n lớn để không đổi được? Câu hỏi lần đặt Frobenius Bằng cách toán học hóa vấn đề, ta có tốn sau: Cho tập A = a1 , a2 , , ad gồm d số nguyên dương d > cho (a1 , a2 , , ad ) = Một số tự nhiên n gọi biểu diễn theo tập A tồn số tự nhiên m1 , m2 , , md d P cho n = mi Tìm số tự nhiên lớn không biểu diễn theo tập i=1 A Kết toán gọi số Frobenius A kí hiệu lu g(a1 , a2 , , ad ) an va Mệnh đề 2.9 Nếu p q hai số nguyên dương nguyên tố (p, q > 1) n to p ie gh tn g(p, q) = pq − p − q w d oa nl C(0, p) B(−1, p − 1) nf va an lu px + qy = pq z at nh oi lm ul D(q, 0) z gm @ px + qy = pq − p − q A(q − 1, −1) co l m Chứng minh Trong hình trên, tứ giác ABCD khơng chứa điểm ngun an Lu n va ac th si 48 cạnh ngồi A, B, C, D Áp dụng cơng thức dây giày ta có