(Luận văn) định lý pick, dãy farey, vòng tròn ford và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THẾ HANH lu an n va gh tn to p ie ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN FORD VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THẾ HANH lu ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN FORD VÀ ỨNG DỤNG an n va p ie gh tn to nl w Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp d oa Mã số: 60 46 01 13 nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC z at nh oi z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Văn Hoàng m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 n va ac th si i Mục lục Lời mở đầu lu an n va Định lý Pick 1.1 Ví dụ định lý Pick 1.2 Định lý Pick cho hình chữ nhật 1.3 Tam giác vuông canh bên phải 1.4 Định lý Pick cho tam giác 1.5 Định lý Pick cho trường hợp tổng quát 1.5.1 Tổng quan chứng minh 1.5.2 Ghép nối hai đa giác lưới 1.5.3 Các đường chéo bên 1.5.4 Đa giác có lỗ thủng p ie gh tn to nl w 3 10 10 12 13 14 17 17 22 26 26 26 26 29 Vòng tròn Ford liên hệ với định lý Pick, dãy 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford 3.2 Mối liên hệ định lý Pick dãy Farey 3.3 Mối liên hệ dãy Farey vòng tròn Ford Farey 32 32 38 39 d oa Dãy Farey 2.1 Khái niệm tính chất 2.2 Tìm kiếm phân số gần dãy Farey Fn 2.2.1 Thuật tốn tìm kiếm cải tiến 2.2.2 Phân tích hiệu suất 2.3 Một số ứng dụng có liên quan đến hình ảnh 2.3.1 Đa giác mơ gần 2.3.2 Phân tích hình ảnh nf va an lu z at nh oi lm ul z co l gm @ Kết luận 42 m an Lu Tài liệu tham khảo 43 n va ac th si ii Danh sách kí hiệu Kí hiệu Tên lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời mở đầu lu an n va tn to Chúng ta biết đề tài chủ đề gồm định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford sử dụng để kết nối ý tưởng từ khía cạnh trực quan hình học đến chất trừu tượng đại số Việc sử dụng định lý Pick lấy ý tưởng từ kiến thức bậc trung học sở dần chuyển lên cấp độ sử dụng lập luận tốn học cao thơng qua việc sử dụng dãy Farey vòng tròn Ford Trong số chương trình giảng dạy tốn học kiến thức đưa cách riêng biệt p ie gh Qua luận văn tơi muốn trình bày mối liên hệ kiến thức đó, mối liên hệ quan trọng giúp hiểu sâu tốn học Với mong muốn tìm hiểu sâu số kiến thức hình học hình ảnh, vài dãy số có tính chất đặc biệt, đồng thời nâng cao thêm kiến thức học chương trình đại học cao học, chọn đề tài oa nl w d Định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford ứng dụng làm luận văn cao học nf va an lu Cấu trúc luận văn chia thành 03 chương: z at nh oi lm ul Chương định lý Pick trình bày chứng minh phương pháp để tính diện tích đa giác đơn có đỉnh nằm lưới điểm có tọa độ nguyên mặt phẳng xOy Từ “đơn” “đa giác đơn” có nghĩa đa giác khơng có lỗ thủng cạnh khơng cắt z Chương trình bày lại phát minh Farey quy trình để tạo phân số thích hợp nằm đoạn [0, 1], gọi dãy Farey Một cách xác, dãy Farey Fn (với số n) dãy phân số tối giản, thực sự, dương, có mẫu số nhỏ n, xếp theo thứ tự tăng dần theo giá trị chúng m co l gm @ an Lu Chương trình bày định lý Ford biểu diễn hình học phân số n va ac th si a c b d vòng tròn (gọi vòng tròn Ford) nêu mối liên hệ định lý Pick với dãy Farey, dãy Farey với vòng tròn Ford Ford mong muốn minh họa phân số đặc biệt ví dụ Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hồng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hồng, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để tơi hồn thành luận văn Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên trang bị kiến thức, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn lu an n va Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm nghiên cứu phát triển giáo dục Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn to p ie gh tn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn nl w Thái Nguyên, tháng năm 2017 d oa Tác giả nf va an lu lm ul Lại Thế Hanh z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Định lý Pick lu an n va p ie gh tn to Trong chương chúng tơi trình bày chứng minh định lý Pick cơng thức tính diện tích đa giác đơn từ đơn giản đến tổng quát thông qua lưới điểm có tọa độ nguyên miền biên đa giác Các kết chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [5], [7] Ví dụ định lý Pick oa nl w 1.1 d Định lý Pick cung cấp cho phương pháp để tính diện tích đa giác đơn giản mà đỉnh nằm lưới điểm - điểm với tọa độ nguyên mặt phẳng x − y Từ "đơn giản" "đa giác đơn giản" có nghĩa đa giác khơng có lỗ thủng cạnh khơng cắt Các đa giác Hình 1.1 đa giác đơn giản, ta nên hiểu từ "đơn giản" áp dụng ý nghĩa định - đa giác đơn giản mặt kỹ thuật có triệu cạnh nf va an lu z at nh oi lm ul z Rõ ràng cho đa giác với miền lớn, miền khoảng xấp xỉ số lượng điểm lưới Ta đốn chút xấp xỉ tốt nhận cách thêm khoảng nửa điểm lưới “biên” chúng loại nửa nửa ngồi đa giác Nhưng nhìn vào vài ví dụ Hình 1.1 Đối với ví dụ đây, ta cho I số điểm miền trong, B số điểm biên Ta sử dụng ký hiệu A(P ) để diện tích đa giác P m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va tn to Hình 1.1: Ví dụ định lý Pick’s gh B = 2 B • B : I = 0, B = 3, A(B) = , I + = 2 B • C : I = 28, B = 26, A(C) = 40, I + = 41 B • D : I = 7, B = 12, A(D) = 12, I + = 13 p ie • A : I = 0, B = 4, A(A) = 1, I + d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi E : Có chút phức tạp để ước tính diện tích đa giác E F E bị chia thành hình chữ nhật x hai tam giác vuông với đáy chiều cao 5, ta nhận được: B = 34 z • I = 22, B = 24, A(E) = 33, I + gm @ an Lu B = 22 m • I = 9, B = 26, A(F ) = 21, I + co l F : Nó chí cịn khó tính diện tích cho trường hợp này, sau bổ sung loại bỏ số phần diện tích, nhận rằng: n va ac th si Điều bất ngờ nhìn vào tất sáu ví dụ trên, ta thấy ước tính B I+ ln ln đạt kết xác diện tích cộng thêm Dường lưới đa giác P nào, cơng thức tính diện tích sau BP A(P ) = IP + −1 với IP số điểm lưới nằm hoàn toàn bên P BP số điểm nằm biên P Đây gọi Định lý Pick Ta thử vài ví dụ khác trước tiếp tục 1.2 Định lý Pick cho hình chữ nhật lu an n va p ie gh tn to Thay cố gắng tìm cách chứng minh tổng quát từ đầu, kiểm chứng tính đắn Định lý Pick số trường hợp đơn giản Trường hợp đơn giản để xem xét “lưới” hình chữ nhật d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z l gm @ m co Hình 1.2: Định lý Pick cho hình chữ nhật an Lu Hình chữ nhật đặc biệt Hình 1.2 lưới 14×11 (m = 14 n = 11), có diện tích A = 14 × 11 = 154 Và thật dễ dàng để tính số n va ac th si điểm điểm biên: miền có I = 13 × 10 = 130 điểm, có B = 50 điểm biên Khi ta có liên hệ I+ B 50 − = 130 + − = 154 = A 2 Vì hình chữ nhật đặc biệt định lý Pick chắn lu Nhưng xét hình chữ nhật có kích thước m × n (với đỉnh nằm lưới nguyên, có cạnh song song với trục Ox, Oy ) điều xảy ra? Diện tích lúc hiển nhiên m × n Lúc dễ dàng thấy số điểm I = (m − 1) × (n − 1) (ta tự kiểm chứng cách xét vài ví dụ cần thiết) Ta thấy số điểm biên hình chữ nhật B = 2m + 2n (bởi B = 2(m + 1) + 2(n + 1) − 4) Vì cho hình chữ nhật có kích thước m × n, ta ln có cơng thức an va n I+ ie gh tn to B (2m + 2n) − = (m − 1) × (n − 1) + −1 2 = (mn − m − n + 1) + (m + n) − = mn, p cơng thức I + Tam giác vuông canh bên phải d oa 1.3 nl w B − = A lu nf va an Có chút khó khăn để công thức cho tam giác vuông canh bên phải, nơi hai cạnh góc vng tam giác nằm dọc theo đường lưới Cách dễ để làm rõ điều ta chọn tam giác nửa hình chữ nhật phần trước, có đường chéo thêm vào, Hình 1.3 z at nh oi lm ul z Ta xét hình tam giác T với cạnh góc vng có độ dài m n Khi tam giác có diện tích A(T ) = mn , liệu có điểm điểm biên nữa? Quan sát Hình 1.3, ta dễ dàng đếm điểm biên dọc theo cạnh, ta thấy số điểm lưới không nằm đường chéo tam giác Nhưng điều khơng quan trọng Đối với tam giác vuông tùy ý với cạnh góc vng dài m n có diện tích A(T ) = mn , giả sử có k điểm đường chéo, không kể điểm hai đầu (đỉnh tam giác) Khi dễ thấy số lượng m co l gm @ an Lu n va ac th si 29 độ dốc nêu phân số tập hợp 0 0 1 10 { ( , , , ), , , , ( , ), , , , , ( , , , )} 10 10 9 10 10 Ta lấy vài phép đối xứng (ứng với 11 ) bảng Tn , đổi chỗ tử số mẫu số cho nhau, cho ta tập hợp { pq | −n ≤ p, q ≤ n} Ta tìm số chúng từ phân số dãy Fn sau: Tn [i][−j] = 2fmax − Tn [i][j], Tn [−i][−j] = 2fmax − + Tn [i][j], Tn [−i][j] = 4fmax − − Tn [i][j] lu Ta thu ma trận cỡ (2n + 1) × (2n + 1) (các phần tử chúng xác định theo công thức trên) an n va to Phân tích hình ảnh gh tn 2.3.2 p ie Mơ tả hình ảnh đối tượng vấn đề nghiên cứu nhiều đầy khó khăn Nhiều mơ tả hình dạng kết hợp kỹ thuật khác trình bày sẵn có nhiều tài liệu tảng, chúng đóng vai trị quan trọng việc nhận dạng tự động đối tượng kĩ thuật số mẫu vật Các hình dạng đưa dãy số, dãy số dễ biểu diễn phân tích Các dãy số nằm góc bên góc đường biên đa giác, dãy số cho bao gồm độ lệch hạng độ dốc đường thẳng liên tiếp Nó gần khơng thay đổi thực phép quay; thời gian chạy xử lý hình ảnh giảm, khơng có hoạt động điểm (floating-point) Chỉ sử dụng nhớ truy cập phép trừ, nên ta trình bày mơ tả, số thuật tốn liên quan đến hình dạng áp dụng d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ m co l gm Hình 2.10 phần góc đỉnh đa giác mô gần Khi đối tượng hình xám bị quay đi, đa giác mơ gần bị lệch lượng không đáng kể Các phần góc, sau tính tốn lại từ đa giác mơ hình ảnh bị quay, quan sát thấy không thay đổi, điều cho ta thấy sức mạnh vốn có an Lu n va ac th si 30 hạng dãy Farey độ sai khác chúng việc nắm bắt đặc tính hình dạng Ví dụ v1 Hình ?? có độ sai lệch hạng f10 = 24650, trở thành f10 = 24739 sau tính tốn lại Khi n = 200, ta có 97856 phần tử ma trận Tn Do đó, f10 = 24650 tương ứng với 24650 24739 o o o o 97856 × 360 = 90, 68 f1 = 24739 với 97856 × 360 = 90, 01 ; tổng số lỗi 0, 50o , số nhỏ lu an n va p ie gh tn to oa nl w d Hình 2.10: Bất biến đặc điểm hình dạng (độ sai khác hạng Tn ) qua nf va an lu phép quay z at nh oi lm ul Kết luận z Chương cho thấy hạng phân số dãy Farey sử dụng để cung cấp ước lượng hữu ích giá trị tương đối chúng Việc tìm kiếm phân số dãy Farey cải thiện cách sử dụng bảng Farey Các thuật tốn để tìm phân số gần với phân số dãy Farey cho trình bày Tất thuật tốn khơng có thao tác điểm nổi, tiết kiệm thời gian để thực chức Bảng Farey có nhiều ứng dụng xử lý hình ảnh kĩ thuật số phân tích hình dạng, m co l gm @ an Lu n va ac th si 31 phần Nó đưa số vấn đề quan trọng, chẳng hạn vấn đề nén bảng cách loại bỏ số cột độ sai lệch hạng lớn cột giảm thiểu Những kết tiếp tục nghiên cứu tương lai gần tác giả báo lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 Chương Vòng tròn Ford liên hệ với định lý Pick, dãy Farey lu an n va p ie gh tn to Lester R Ford nhà toán học người Mỹ sinh năm 1886 Ford nhận tiến sĩ toán học từ đại học Harvard năm 1917 Các vòng tròn Ford đặt tên theo tên Ford, người nêu khái niệm báo năm 1938 gọi "Phân số" Ford biên tập viên tạp chí tốn hàng tháng Mĩ từ năm 1942 đến năm 1946, Chủ tịch Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ từ năm 1947 đến năm 1948 Năm 1964, Hiệp hội Tốn học Hoa Kỳ cơng nhận đóng góp ơng cho tốn học cách thiết lập "giải thưởng Lester R Ford" cho tác giả cơng bố kết tốn học tạp chí "The American Mathematical Monthly" d oa nl w nf va an lu lm ul 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford z at nh oi z Vòng tròn Ford hình học thể phân số Ford muốn minh họa phân số, ab dc , vịng trịn Ford cho thấy bạn tìm thấy phân số phân số ab dc cách tìm phân số trung gian chúng, phân số a+b c+d , thể sơ đồ đây: co l gm @ m Để biểu diễn hình học phân số này, vẽ điểm đường thẳng trục Ox mặt phẳng tọa độ xOy Ở x = ab với a an Lu n va ac th si 33 lu an n va p ie gh tn to b số nguyên, phân số dạng tối giản Cho x = ab , ta xây dựng vòng trịn với bán kính 2b12 Bây ta có vịng trịn tâm điểm ab có bán kính 2b12 tiếp xúc với trục Ox nằm góc phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Xét ví dụ: w x= oa nl Vịng trịn L Vòng tròn M d an lu Vòng tròn N nf va Vòng tròn O a b 2b2 y= 2 3 4 18 32 18 z at nh oi lm ul Việc phân số biểu diễn vòng tròn cho phép Ford phát biểu lại định lý liên quan đến phân số Định lý 3.1.1 (Ford, 1938) Các vòng tròn đại diện hai phân số riêng biệt tiếp xúc hoàn toàn nằm bên lẫn z m co l gm @ Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta quan sát khoảng cách tâm hai vịng trịn hình thành phân số ab dc (cả hai phân số tối giản) Khoảng cách tâm vòng tròn đoạn thẳng (P Q) từ điểm có tung độ (2b12 ) đến điểm có tung độ (2d12 ) c a Khoảng cách điểm tiếp xúc vòng tròn với Ox | − |, d b an Lu n va ac th si 34 lu an n va p ie gh tn to tạo đường thẳng (P R) song song với trục Ox Hai đường thẳng P Q P R tạo thành tam giác vng với cạnh góc vng QR có độ dài | 2d12 − 2b12 | d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 35 Sử dụng định lý Pitago ta được: 2 P Q = P R + QR c a 1 P Q = ( − )2 + ( − )2 d b 2d 2b (cb − ad)2 − 1 P Q = ( + )2 + 2d 2b d2 b2 (cb − ad)2 − P Q = (P S + T Q)2 + d2 b2 lu Từ phương trình này, ta nói |bc−ad| > 1, P Q > P S+T Q, hai vòng tròn bên ngồi với Nếu |bc−ad| = 1, P Q = P S+T Q, lúc hai vịng tròn tiếp xúc Tuy nhiên, |bc − ad| < 1, |bc − ad| = (vì số nguyên) nên ab = dc điều không thể; xảy trường hợp |bc − ad| < 1| an n va p ie gh tn to Khi |bc − ad| = P Q = P S + T Q, hai vòng trịn tiếp xúc nhau, ta nhìn vào mối quan hệ hai vòng tiếp xúc để tạo dựng vòng tròn nhỏ tiếp xúc với hai vòng tròn ban đầu tiếp xúc trục Ox nl w d oa Vòng tròn Ford đặc biệt lu nf va an Với hình ảnh sau hai vòng tròn tiếp xúc, tìm kiếm mối quan hệ vòng tròn lớn ( 11 , 12 ) vòng tròn nhỏ ( 12 , 18 ) sơ đồ sau: lm ul z at nh oi Bán kính vòng tròn lớn 12 lớn gấp bốn lần bán kính vịng trịn nhỏ 81 Biết bán kính nhỏ 14 lần bán kính lớn, nên ta tự hỏi liệu tỷ số bán kính vịng tiếp xúc khác 41 Để thấy điều này, ta tìm thấy vòng tròn nhỏ khác tiếp xúc với vòng tròn có z @ m co l gm Ta tìm thấy vịng trịn nhỏ hơn, tiếp xúc với hai vịng trịn ban đầu, nhìn vào trục Ox giá trị 21 11 Bằng cách tìm phân số trung gian, bán kính tại, ta có phân số (1+1) (2+1) = điểm thuộc trục Ox, cho ta vịng trịn Để tìm giá trị y vòng tròn sử dụng cơng thức (2b12 ) tìm bán kính vòng an Lu n va ac th si 36 lu an n va to 2.(32 ) = 18 p ie gh tn tròn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l Với ba vòng tròn kết nối này, ta nhận quan sát để thấy xem liệu bán kính vịng trịn có 14 giá trị hai vịng trịn có? Vịng trịn ( 23 , 18 ) có bán kính 19 lần bán kính vịng trịn lớn nhất, 94 lần bán kính vịng trịn thứ hai Vì 14 an Lu n va ac th si 37 số tỉ lệ Bằng cách sử dụng cách tìm phân số trung gian cho vài điều hạng mục tiếp theo, tạo phân số liền kề mới, thử tìm mơ hình kiên hệ tỉ lệ vòng tròn Bảng cho ta thấy vòng tròn tạo phân số liền kề so sánh tỉ lệ bán kính chúng: Trường hợp x, y( ab , 2b12 ) BK vòng BK vòng Tỉ lệ BK lu an va n to tròn 1 1, 1 2, , 18 , 32 , 50 n−1 n , 2(n2 ) 18 32 50 2(n2 ) 2 2 2 1 16 25 n2 gh tn vòng tròn tròn lớn p ie Trên thực tế, quan sát vào bảng cho thấy bán kính phân số trung gian bắt đầu với cặp vòng tròn ( 11 , 12 ) ( 21 , 18 ), ta thực quan sát hạng mục tỷ lệ bán kính chúng: nl w d oa 1 1 1 1 + = 4, + = 9, + = 16, + = 25 18 32 50 an lu nf va Tỉ lệ bán kính vịng trịn lớn chia cho bán kính vịng trịn ln ln số phương hồn hảo (đó 4/1, 9/1, 16/1, 25/1, n2 /1) Trong việc tạo lập bảng có nhãn vòng tròn hạng mục, ta thấy số phương liên tiếp có liên quan đến hạng mục (hoặc số vòng tròn mới) Đối với vòng tròn thứ n cho, ta thấy tỷ lệ vòng tròn lớn ban đầu so với vòng tròn thứ n, n1 z at nh oi lm ul z Chúng ta chí viết cơng thức để vẽ vòng tròn thứ n này, biết đặt ( n−1 n , 2(n2 ) ) gm @ co l Có vịng tròn Ford liên kết với số hữu tỉ Hơn nữa, đường thẳng y = coi vịng trịn Ford m L.R Ford lấy phân số, xem xét gồm phần ý nghĩa số số học, tạo biểu diễn hình học mối liên quan an Lu n va ac th si 38 lu an n va gh tn to p ie phân số bán kính chúng Các vòng tròn Ford giúp ta biểu thị trực quan khái niệm phân số trung gian mẫu liên kết với phân số Farey d oa nl w Mối liên hệ định lý Pick dãy Farey nf va an lu 3.2 z at nh oi lm ul Có mối quan hệ định lý Pick ý tưởng toán học dãy Farey Dãy Farey FN cấp N dãy tăng dần gồm phân số tối giản m n ∈ [0, 1] mà mẫu số khơng vượt q N Một phân số tối giản m n thuộc FN ≤ m ≤ n ≤ N gcd(m, n) = z Mối quan hệ định lý Pick dãy Farey đơn giản: Khi ta vẽ hai cặp phân số liên tiếp từ dãy Farey lưới, sử dụng mẫu số tử số cặp thứ tự (m, n) kết nối với điểm gốc (0,0); diện tích tam giác kết ln 21 Diện tích ln 12 điểm vẽ không chứa điểm bên lưới Do sử dụng cơng thức Pick ta diện tích A tính cơng thức A = I + B2 − = + 23 − (vì I = 0, B = 3) Điều sử dụng minh chứng thay m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 cho liên hệ Định lý Pick dãy Farey Một số ví dụ miêu tả lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul 3.3 Mối liên hệ dãy Farey vòng tròn Ford z Cho hai vịng trịn Ford C1 C2 có tâm phân số Farey liên tiếp, hai vịng trịn tiếp xúc với Để kiểm chứng hai vòng tròn tiếp xúc nhau, ta cần phải lý tổng quát chúng Thật vậy, tâm C1 C2 phân số Farey liên tiếp chẳng hạn ab < dc , nên chúng có tính chất bd − ac = Do tâm đường trịn C1 ab với bán kính 2b12 , tâm đường trịn C2 dc với bán kính 2d12 m co l gm @ an Lu Sử dụng định lý Pitago để tìm độ dài P Q nối hai tâm hai vòng tròn n va ac th si 40 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ Ta xét đẳng thức c a 1 ( + )2 = ( − )2 + ( − )2 2d 2b d b 2d 2b ⇔ an Lu c2 2ac a2 + + = − + + − + 4d4 4d2 b2 4b4 d2 bd b2 4d4 4b2 d2 4b4 ⇔ va ac th si 2 n c2 2ac a2 = 2− + 4d2 b2 d bd b ⇔ 2 41 Rõ ràng đẳng thức cuối giả thiết dc ab phân số Farey liên tiếp Vậy đẳng thức ban đầu đúng, nghĩa P Q = 2b12 + 2d12 tổng hai bán kính C1 C2 Do C1 tiếp xúc với C2 Vì vậy, vịng trịn Ford có tâm phân số Farey liên tiếp đường tròn tiếp xúc lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 Kết luận lu Ở luận văn này, xem xét định lý Pick, phân số Farey vòng tròn Ford số lĩnh vực Trong lý thuyết toán học fractal "hỗn loạn" chẳng hạn, phân số Farey chí cịn sử dụng để thiết kế thiết bị âm Điều ấn tuợng thực vấn đề nghiên cứu nhấn mạnh kết nối toán học với thực tiễn từ xuất an n va p ie gh tn to Trong luận văn này, ta tin chủ đề sử dụng để kết nối ý tưởng từ chất trực quan hình học đến chất trừu tượng đại số Việc sử dụng định lý Pick lấy ý tưởng từ cấp sở chuyển sang lý luận toán cấp cao thơng qua việc sử dụng dãy Farey vịng trịn Ford Trong nhiều chương trình đào tạo, chủ đề khám phá cách riêng biệt Thông qua luận văn này, ta phát nhiều mối liên quan khái niệm Những kết nối quan trọng để ta hiểu sâu toán học, hy vọng học sinh học toán d oa nl w nf va an lu lm ul Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Dãy Farey, vòng tròn Ford z at nh oi Định lý Pick tính diện tích đa giác đơn z m co l gm @ Mối liên hệ kiến thức an Lu n va ac th si 43 Tài liệu tham khảo [B] Tiếng Anh [1] T Davis (2003), Pick Theorem, (tomrdavis@earthlink.net, Oct 27, 2003) (http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf) lu an n va tn to [2] S Das, K Halder, S Pratihar, P Bhowmick (2015), Properties of Farey Sequence and their Applications to Digital Image Processing, (https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1509/1509.07757.pdf) p ie gh [3] J Ainsworth, M Dawson, J Pianta, J Warwick (2012), The Farey Sequence, Year Project School of Math Uni of Edinburgh March 15, 2012 nl w d oa [4] R L Graham, D E Knuth, O Patashnik (1994), "Concrete Mathematics", ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY an lu nf va [5] J Amen, S Green, A Schmidt (2006), Farey Sequences, Ford Circles and Pick’s Theorem Expository Paper, (http://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1001&context=math lm ul z at nh oi [6] J H Conway, R K Guy (1996) Farey Fractions and Ford Circles, The Book of Numbers New York: Springer-Verlag, pp 152-156 z [7] A Liu (1979), Lattice Points and Pick’s Theorem, Mathematics Magazine, 52, 232- 235 (Retrieved on July 6, 2006 from http://jstor.org) gm @ m co l [8] B Paria, S Pratihar, P Bhowmic (2016), On Farey table and its compression for space optimization with guarnteed error bounds, Math Appl (2016), 123–145 (DOI:10.13164/ma.2016.09) an Lu n va ac th si