Một số phương pháp giúp học sinh giải hệ phương trình trong chương trình toán thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC o0o Nguyễn Thị Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HÓA, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC o0o Nguyễn Thị Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Sư phạm tốn Người hướng dẫn khóa luận Th.s Lê Anh Minh THANH HÓA, 2020 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.2 Hệ phương trình bậc ba ẩn 1.3 Hệ phương trình hai ẩn gồm phương trình bậc 1.4 phương trình bậc hai Hệ phương trình bậc hai, hai ẩn dạng tổng quát Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 2.2 2.3 2.4 10 Phương pháp lượng giác hóa 10 2.1.1 Nội dung phương pháp 10 2.1.2 Ví dụ mẫu 11 2.1.3 Bài tập tự luyện 15 Phương pháp đánh giá bất đẳng thức 16 2.2.1 Nội dung phương pháp 16 2.2.2 Ví dụ mẫu 17 2.2.3 Bài tập tự luyện 20 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 21 2.3.1 Nội dung phương pháp 21 2.3.2 Ví dụ mẫu 23 2.3.3 Bài tập tự luyện 25 Phương pháp phức hóa 27 2.4.1 27 Nội dung phương pháp 2.5 2.6 2.7 2.4.2 Ví dụ mẫu 28 2.4.3 Bài tập tự luyện 30 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm hệ phương trình 31 2.5.1 Nội dung phương pháp 31 2.5.2 Ví dụ mẫu 31 2.5.3 Bài tập tự luyện 33 Phương pháp sử dụng tính chất hình học giải tích 34 2.6.1 Nội dung phương pháp 34 2.6.2 Ví dụ mẫu 34 2.6.3 Bài tập tự luyện 36 Hệ hốn vị vịng quanh 36 2.7.1 Nội dung phương pháp 36 2.7.2 Ví dụ mẫu 37 2.7.3 Bài tập tự luyện 38 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Sự cần thiết đề tài Tốn học mơn khoa học bản, có vai trò quan trọng đời sống ứng dụng rộng rãi thực tiễn Đây môn học tương đối khó, mang tính tư cao, địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi, khám phá say mê nghiên cứu Kiến thức hệ phương trình chương trình tốn bậc trung học nội dung quan trọng, tảng để giúp học sinh tiếp cận đến nội dung khác chương trình tốn học, vật lý học, hóa học, sinh học bậc học Chính vậy, học sinh cần nghiên cứu kĩ nội dung để có kiến thức kĩ tốt phục vụ cho việc học tập trường làm tốt thi Đối với nhiều học sinh, hệ phương trình chun đề khó, em khó nắm hướng tiếp cận để tìm kiếm lời giải Do đó, việc đưa số phương pháp giúp học sinh giải tốt toán hệ phương trình yêu cầu cần thiết Vì vậy, chủ đề hệ phương trình chủ đề thuận lợi cho việc rèn luyện hoạt động trí tuệ phát triển tư cho học sinh Ngồi hệ phương trình có thuật tốn phương pháp giải sẵn, gặp hệ phương trình khơng mẫu mực địi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo Vì vậy, tơi chọn đề tài "Một số phương pháp giúp học sinh giải hệ phương trình chương trình tốn THPT" đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu đề tài Đề tài nghiên cứu số dạng tốn hệ phương trình phương pháp giải hệ phương trình nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức hệ phương trình giải tốt dạng Nội dung nghiên cứu Để đạt nội dung trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ vấn đề sau: Trên sở nghiên cứu tài liệu, nêu kiến thức chuẩn bị giải hệ phương trình Cụ thể là: dạng phương trình, bất phương trình số hệ phương trình Hệ thống hóa kiến thức kĩ cần thiết để học sinh nắm vững hệ phương trình Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu từ số tài liệu, sách, báo hay truy cập vào Website để thu thập thông tin, nghiên cứu đề tài có liên quan trực tiếp đến đề tài nhằm làm rõ khái niệm kiến thức bản, ban đầu Từ đó, hình thành sở lý luận cho đề tài Nghiên cứu thực tế: Thông qua việc quan sát thực tế để có số đánh giá thực trạng việc dạy học Toán trường THPT Tiến hành vấn, trao đổi trực tiếp để điều tra tình hình dạy học chuyên đề hệ phương trình số trường phổ thơng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu đề tài hệ phương trình chương trình THPT - Phạm vi nghiên cứu số phương pháp giải hệ phương trình chương trình THPT Bố cục đề tài: Đề tài gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng:  a1 x + b1 y = c1 2 2 a2 x + b2 y = c2 , (a1 + b1 > 0, a2 + b2 > 0) Đây hệ phương trình để giải thực phép thế, sử dụng máy tính bỏ túi sử dụng định thức Crame (hay dùng biện luận) , Dy = a c 2 2 2 Xét trường hợp:  • TH1 D 6= 0, hệ phương trình có nghiệm (x; y) =  Dx Dy ; D D • TH2 D = Dx = Dy = 0, hệ phương trình có vơ số nghiệm • TH3 D = Dx 6= Dy 6= 0, hệ phương trình vơ nghiệm 1.2 Hệ phương trình bậc ba ẩn Hệ phương trình bậc ba ẩn có dạng: ( a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 , (a2i + b2i + c2i > 0) a3 x + b3 y + c3 z = d3 • Với hệ phương trình ta giải nhiều phương pháp khác nhau, như: phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss, • Mọi hệ ba phương trình bậc ba ẩn biến đổi dạng tam giác, phương pháp khử dần ẩn số(hay gọi phương pháp khử Gauss) 1.3 Hệ phương trình hai ẩn gồm phương trình bậc phương trình bậc hai  mx + ny = a ax2 + bxy + cy = d Rút x theo y rút y theo x từ phương trình đầu hệ vào Hệ phương trình có dạng: phương trình thứ hai hệ đưa giải phương trình bậc hai 1.4 Hệ phương trình bậc hai, hai ẩn dạng tổng quát Hệ phương trình bậc hai hai ẩn hệ có dạng:  a1 x + b1 y + c1 xy + d1 x + e1 y + f1 = a2 x2 + b2 y + c2 xy + d2 x + e2 y + f2 = (1.1) (1.2) a) Nếu hai phương trình bậc dễ dàng giải hệ phương pháp a1 b1 b) Nếu = cách loại bỏ x2 + y đưa hệ phương trình bậc a2 b2 hai có phương trình bậc giải hệ phương pháp c) Nếu hai phương trình bậc hai (chẳng hạn d1 = e1 = f1 ) phương trình đầu a1 x2 + b1 y + c1 xy = phương x trình cho phép ta tính t = y d) Hệ đẳng cấp bậc hai d1 = e1 = d2 = e2 = hệ trở thành hệ đẳng cấp bậc hai Bằng cách khử hệ số tự ta đưa phương trình x bậc hai cho phép ta tính t = y e) Đưa hệ bậc cách đặt y − tx đặt z = x2 giải hệ với hai ẩn (x;z) lúc sau giải phương trình z = x2 f) Trong nhiều trường  hợp ta áp dụng phương pháp tịnh tiến x=u+a nghiệm Bằng cách đặt y = v + b (với u, v ẩn a, b hai nghiệm hệ phương trình) Để tìm a, b có hai cách thực ta cho hạng tử bậc sau khai triển triệt tiêu từ ta có hệ đẳng cấp bậc hai với hai ẩn u, v cách giải tương tự trường hợp c) đạo hàm phương trình theo biến x, theo biến y giải hệ phương trình thu ta nghiệm (x0 ; y0 ) a = x0 , b = y0 g) Dùng hệ số bất định: Cách 1: Lấy (1.1) + k(1.2) đưa phương trình bậc hai với ẩn t = ax + by + c ta tìm k hợp lý cho phương trình bậc hai có Delta số phương Cách 2: Tìm hai cặp nghiệm hệ phương trình Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Lấy điểm khác hai điểm thay vào hai vế phương trình hệ từ suy hệ số bất định cần tìm h) Đạo hàm theo biến x theo y  hai phương u=x−a trình hệ tìm nghiệm x = a, y = b đặt ẩn phụ v = y − b đưa hệ phương trình đẳng cấp 10 Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 Phương pháp lượng giác hóa 2.1.1 Nội dung phương pháp Nếu x ∈ [−a; a], a > đặt: x = a cos α, α ∈ [0; π] Hoặc x = a sin β, β ∈ [ −π π ; ] 2 Nếu x ∈ R đặt:  x = tan t, t ∈ −π π ; 2  Nếu x2 + y = a(a > 0) đặt: x= √ a sin t, y = √ a cos t, t ∈ [0; 2π] Các giá trị √ lượng giác √ góc đặc biệt: 2π 5−1 4π 5+1 • cos = ; cos =− 5 p √ √ √ √ √ π 6+ 6− 2− 5π 7π • cos = ; cos = ; cos = 12 12 12 Một số công thức lượng giác hay sử dụng: 11 Công thức cộng bậc   nhất:  √ √ 1 π = sin x ± • sin x ± cos x = sin x √ ± cos x √ 2  √ x = cos x ± ! √  √ π • sin x ± cos x = sin x ± cos x = sin x ± 2   π = cos x ± Cơng thức góc nhân đơi: • sin 2x = sin x cos x; cos 2x = cos2 x − = − sin2 x 2tanx 2tanx − tan2 x • tan 2x = ; sin 2x = ; cos 2x = − tan2 x + tan2 x + tan2 x Cơng thức góc nhân ba: • sin 3x = sin x − sin3 x; cos 3x = cos3 x − cos x cot2 x − tan x(3 − tan2 x) ; cot 3x = • tan 3x = − tan2 x cot2 x − Cơng thức góc nhân bốn: • sin 4x = cos x(sin x − sin3 x); cos 4x = cos4 x − cos2 x + Cơng thức góc nhân năm: • sin 5x = 16 sin5 x − 20 sin3 x + sin x; • cos 5x = 16 cos5 x − 20 cos3 x + cos x 2.1.2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: ([9]) Giải hệ phương trình:  x3 − 3x = y(3x2 − 1) y − 3y = z(3y − 1)  z − 3z = x(3z − 1) 12 Lời giải: 1 Nhận thấy hệ khơng có nghiệm x = ± √ ; y = ± √ , z = ± √ 3 Với x, y, z 6= ± √ ta có hệ tương đương:  x3 − 3x    y =   3x2 −   y − 3y z=  3y −    z − 3y   x = 3z − Đặt  x = tan t, t ∈ −π π ; 2  (2.1) Với tan t, tan 3t, tan 9t 6= ± √ Khi đó: tan3 t − tan t y= = tan 3t tan2 t − tan3 3t − tan 3t = tan 9t z= tan3 t − tan3 9t − tan 9t x= = tan 27t tan9 t − π Từ (2.1) (2.2) ta được; tan t = tan 27t ⇔ t = k , k ∈ Z 26   −π π −26 26 ; → y ⇒x−y = 2+ r − q q 2+ 2− 2− p 2+y √ + x < (vơ lý) • Nếu r x (vô lý) q p √ Vậy x = y ⇔ x = + − + x h π πi Đặt x = cos α, α ∈ − ; 2 Khi phương trình trở thành: r q √ cos t = + − + cos t s r t ⇔ cos t = + − cos r t ⇔ cos t = + sin s    π t ⇔ cos t = + cos −   π t ⇔ cos t = cos − π t π t ⇔ t = − + k2π t = − + + k2π 8 2π 16π 2π 16π ⇔t= +k t = +k 9 7 14 Vì  2π 2π −π π ; ⇒t= ,− t∈ 2   ⇒ (x; y) = (2 cos t; cos t), t = 2π 2π ;−  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:  (x; y) = (2 cos t; cos t), t = 2π 2π ,−  Nhận xét: Ta tổng quát cho n dấu căn:  r q p  √  x = + + + − + y r (n dấu căn) q p  √  y = + + + − + x Ví dụ 3: ([3]) Giải hệ phương trình:  x + 4y = √ 16x5 − 20x3 + 5x + 512y − 160y + 10y + = Lời giải:  x = sin α , α ∈ [0; 2π] 2y = cos α Khi đó, phương trình thứ hai hệ trở thành: Đặt (16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α) √ + (16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α) + = √ ⇔ sin 5α + cos 5α = −  π ⇔ sin 5α + = −1 3π 2π ⇔ α = − + k , k ∈ Z 20   π 13π 21π 29π 37π Do α ∈ [0; 2π] ⇒ α ∈ ; ; ; ; 20 20 20 20 Vậy hệ phương trình có năm nghiệm là:    cos α  π 13π 21π 29π 37π (x; y) = sin α; ,α ∈ ; ; ; ; 20 20 20 20 15 2.1.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Giải hệ phương trình:  2 x + y = √ 2x2 + 3y + 3(2xy − 3x) √  =1 3xy −   2π π Đáp số: (x; y) = (sin α; cos α), α ∈ ; ;π 3 Bài 2: Giải hệ phương trình:  x + 3y − 2y = √ √ √ 36(x x + 3y ) − 27(4y − y) + (2 − 9) x =     sin α + cos α π 7π 19π ; ,α ∈ , ; Đáp số: (x; y) = 3 12 24 24 Bài 3: Giải hệ phương trình: √ √  2y + 2x − x =√ 1−x−y y = 2x2 − + 2xy + x   3π √ 3π Đáp số: (x; y) = cos ; cos 10 20 Bài 4: Giải hệ phương trình: s √   − 2y − x2 = − 2y   4x − y − 6x2 y + 3xy + 3x − 3y = p p √ √ !   1 2− 2− Đáp số: (x; y) = √ ; √ ; − ;− 2 2 Bài 5: Giải hệ phương trình:  x − 3x = y(3x2 − 1) y − 3y = z(3y − 1)  z − 3z = x(3z − 1) Đáp số: Vậy hệ có 25 nghiệm:   π 3π 9π (x; y; z) = tan k ; tan k ; tan k (24 < k < 26; k ∈ Z) 26 26 26 16 2.2 Phương pháp đánh giá bất đẳng thức 2.2.1 Nội dung phương pháp Nội dung chủ đề đề cập đến đánh giá hệ phương trình thơng qua điều kiện nghiệm hệ phương trình bất đẳng thức AM.GM, Bunhiacopski, bất đẳng thức vectơ Bất đẳng thức AM.GM ([8]) Đẳng thức xảy a = b Tổng quát: Cho n số thực không âm a1 a2 , , an ta có √ a1 , a2 , , an ≥ n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Một số dạng tương đương bất đẳng thức Cô si hay sử dụng:   x+y 2 x + y ≥ 2xy, xy ≤ , (x + y)2 ≤ 2(x2 + y ), (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx), (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) Bất đẳng thức Bunhiacopski ([8]) Cho bốn số thực a,b,x,y Ta có: (x2 + y )(a2 + b2 ) ≥ (ax +by)2 b a a = kx Đẳng thức xảy khi: xy 6= = b = ky x y Tổng quát Cho số thực , bi , (i = 1, 2, , n) ta có: (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 Đẳng thức xảy = kbi , i = 1, 2, , n Bất đẳng thức vectơ ([6])